矩阵分解：QR分解

Case2:矩阵不可逆.
我们仍然取其列向量分块：
那么⽤同样的⽅法对其做正交化，我们回顾⼀下其公式：
但是由于矩阵不可逆，那么就会出现的情况，因此我们必须对上述公式做出修改：
我们⽤数学归纳法来定义上述向量. 假设已经定义好, 现来定义. 令
若, 则令若, 则令. 容易验证是⼀组两两正交的向量, 或者是零向量或者是单位向量, 并且满⾜:
因此：
其中是⼀个上三⾓阵且主对⾓线上的元素依次为, 均⼤于等于零,并且由 *式知, 如果, 则的第⾏元素全为零.
但是我们的⼯作没有做完，因为此时并不是⼀个正交矩阵.他某⼏个向量
利⽤,即可得到,所以.因此唯⼀性得证.
练习：设是实数域上的列满秩矩阵,它可分解成, 其中是列向量组为正交单位向量组的矩阵, 为主对⾓元都为正数的上三⾓矩阵。

证明对于任意是线性⽅程组的唯⼀解。

⾸先我们先证明这是⼀个解，然后再证明唯⼀性.
将带⼊即得：
⼜因为：
注意到：这⾥不能直接由得到其为I,因为它只是⼀个矩阵⽽⾮⽅阵，不能直接利⽤正交矩阵的性质.
唯⼀性：由于,所以满秩，因此有解那么解是唯⼀的.
参考：姚慕⽣，谢启鸿《⾼等代数学》
丘维⽣《⾼等代数》。