人教A版高中数学必修五课件《1.1正弦定理和余弦定理》
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Zx.xk
理论迁移
题型一 已知两角一边，求其它元素.
例1在△ABC中，已知A=45°， B=60°，a=42cm，解三角形.
理论迁移
题型二 已知两边及其中一边的对角，求其 它元素.
例2在△ABC中，已知a=2cm， 6，A=45°，解三角形. b=cm 例3在△ABC中，已知b=cm，3
c=1cm，B=60°，解三角形.
C
b
A D
a B
C
a
b D A
B
思考5：在任意三角形中，同理可得，
b c ,因此有 = sin B sin C
a b c = = sin A sin B sin C
该连等式称为正弦定理.如何用文字语言 描述正弦定理？
Z.x.x.K
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
知识探究（二）：正弦定理的向量证明
a b c a+b a+c b+ c = = = = = sin A sin B sin C sin A + sin B sin A + sin C sin B + sin C
a + b+ c = = 2R sin A + sin B + sin C
思考3：利用正弦定理如何求三角形的周 长？
a + b + c = 2R （sin A + sin B + sin C ）
探究（一）：正弦定理的几何意义
a 思考1：在直角三角形ABC中，等于什么？ sin A
C
3.在正弦定理中，
a sin A
b
A
a
c
B
思考2：如图，作△ABC的外接圆，你能 构造一个一条直角边长为a，其对角大小 为A的直角三角形吗？ B
3.在正弦定理中，
a sin A
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a = 2R sin A
C
a O A D
a b c = = sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
2.在解三角形中，利用正弦定理可以解 决哪两类问题？ 已知两角和一边解三角形； 已知两边和其中一边的对角解三角形.
a 3.在正弦定理中，有什么几何意义？利 sin A
用正弦定理可以得到哪些相关结论？这 需要我们作进一步了解和探究，加深对 正弦定理的理性认识.
高中新课程数学必修⑤ 第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理
第一课时
问题提出 1.在直角三角形中，三边a，b，c，及锐 角A，B之间有怎样的数量关系？ B a C
c
b
A
2.三角形是最基本的几何图形，许多与 测量有关的实际问题，都要通过解三角 形来解决.如船在航行中测量海上两个岛 屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座 山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或 底部不可到达的建筑物的高度；测量在 海上航行的轮船的航速和航向等. 3.对于直角三角形，我们可利用上述原 理进行有关计算.对于一般三角形中边和 角的关系，我们需要建立相关理论进行 沟通，这是一个有待探究的课题.
uuu r uuu r uuu r 思考1：在△ABC中，向量，，之间有什 A C A B BC
么关系？
C b A a B
思考2：若∠A为锐角，过点 作单位向量 uuu r uuu r Auuu r uuu r i，使i⊥, 则向量 i与,,的夹角分别是什么？ A B A C A B BC
C i A b a B
uuu r uuu r 思考3：由可得什么结论？ i ?AC i ?(AB
C
uuu r BC )
a B
i
A
b
a b = sin A sin B
思考4：若∠A为钝角，上述推理过程有 什么变化？所得结论如何？
C b A a i B
a b = sin A sin B
b c = 思考5：若证明，应如何作单位向量 i ？ sin B sin C
a b = 思考3：可变形为 sin A sin B
a sin B =ABC b sin A ,在锐角△ 中，该等式是否成立？为
什么？
C b A D a
B
思考4： a sin B = b sin A 若∠C为钝角，是否成立？ a sin B = b sin A 若∠A为钝角，是否成立？ a sin B = b sin A 若∠B为钝角，是否成立？
C b A c B
i
知识探究（三）：正弦定理的应用 思考：一般地,把三角形的三个角和它 们的三条对边叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫 做解三角形.我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问题呢? 可以解决两类解三角形的问题：一类 是已知两角和一边解三角形；另一类 是已知两边和其中一边的对角解三角 形
思考3：设△ABC的外接圆半径为R，则
a 等于什么？ sin A
思考4：如图，若∠A为钝角，上述结论 还成立吗？ 若∠A为直角呢？
B A
a = 2R sin A
O
a
C D
探究（二）：正弦定理的变式拓展
思考1：在三角形中有“大边对大角”原 理，如何利用正弦定理进行理论解释？
思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪 些变形？
小结作业 1.三角形的三个内角及其对边叫做三角 形的元素，已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形. 2.正弦定理的外在形式是公式，它由三 个等式组成即
z.xx.k
a b b c a c = = = sin C sin A sin A sin B sin B sin C ，，每个等式都表示三角形的两个角和
思考4：设△ABC的外接圆半径为R，则其
1 S = ab sin C 面积公式可以作哪些变形？ 2 1 2 S = abc = 2R sin A sin B sin C 4R
它们的对边的关系.
3.利用正弦定理可以解决两类解三角形 的问题：一类是已知两角和一边解三角 形；另一类是已知两边和其中一边的对 角解三角形.对于第二类问题，要注意确 定解的个数.
作业：
P4练习：1,2.
第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
第二课时
问题提出 1.正弦定理的外在形式和数学意义分别 是什么？
知识探究（一）：正弦定理的形成 思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC 分别等于什么？ C b a A c B
思考2：将上述关系变式，边长c有哪几 种表示形式？由此可得什么结论？ C
b
A
a
c
B
a b c = = sin A sin B sin C
理论迁移
题型一 已知两角一边，求其它元素.
例1在△ABC中，已知A=45°， B=60°，a=42cm，解三角形.
理论迁移
题型二 已知两边及其中一边的对角，求其 它元素.
例2在△ABC中，已知a=2cm， 6，A=45°，解三角形. b=cm 例3在△ABC中，已知b=cm，3
c=1cm，B=60°，解三角形.
C
b
A D
a B
C
a
b D A
B
思考5：在任意三角形中，同理可得，
b c ,因此有 = sin B sin C
a b c = = sin A sin B sin C
该连等式称为正弦定理.如何用文字语言 描述正弦定理？
Z.x.x.K
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
知识探究（二）：正弦定理的向量证明
a b c a+b a+c b+ c = = = = = sin A sin B sin C sin A + sin B sin A + sin C sin B + sin C
a + b+ c = = 2R sin A + sin B + sin C
思考3：利用正弦定理如何求三角形的周 长？
a + b + c = 2R （sin A + sin B + sin C ）
探究（一）：正弦定理的几何意义
a 思考1：在直角三角形ABC中，等于什么？ sin A
C
3.在正弦定理中，
a sin A
b
A
a
c
B
思考2：如图，作△ABC的外接圆，你能 构造一个一条直角边长为a，其对角大小 为A的直角三角形吗？ B
3.在正弦定理中，
a sin A
Βιβλιοθήκη Baidu
a = 2R sin A
C
a O A D
a b c = = sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
2.在解三角形中，利用正弦定理可以解 决哪两类问题？ 已知两角和一边解三角形； 已知两边和其中一边的对角解三角形.
a 3.在正弦定理中，有什么几何意义？利 sin A
用正弦定理可以得到哪些相关结论？这 需要我们作进一步了解和探究，加深对 正弦定理的理性认识.
高中新课程数学必修⑤ 第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理
第一课时
问题提出 1.在直角三角形中，三边a，b，c，及锐 角A，B之间有怎样的数量关系？ B a C
c
b
A
2.三角形是最基本的几何图形，许多与 测量有关的实际问题，都要通过解三角 形来解决.如船在航行中测量海上两个岛 屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座 山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或 底部不可到达的建筑物的高度；测量在 海上航行的轮船的航速和航向等. 3.对于直角三角形，我们可利用上述原 理进行有关计算.对于一般三角形中边和 角的关系，我们需要建立相关理论进行 沟通，这是一个有待探究的课题.
uuu r uuu r uuu r 思考1：在△ABC中，向量，，之间有什 A C A B BC
么关系？
C b A a B
思考2：若∠A为锐角，过点 作单位向量 uuu r uuu r Auuu r uuu r i，使i⊥, 则向量 i与,,的夹角分别是什么？ A B A C A B BC
C i A b a B
uuu r uuu r 思考3：由可得什么结论？ i ?AC i ?(AB
C
uuu r BC )
a B
i
A
b
a b = sin A sin B
思考4：若∠A为钝角，上述推理过程有 什么变化？所得结论如何？
C b A a i B
a b = sin A sin B
b c = 思考5：若证明，应如何作单位向量 i ？ sin B sin C
a b = 思考3：可变形为 sin A sin B
a sin B =ABC b sin A ,在锐角△ 中，该等式是否成立？为
什么？
C b A D a
B
思考4： a sin B = b sin A 若∠C为钝角，是否成立？ a sin B = b sin A 若∠A为钝角，是否成立？ a sin B = b sin A 若∠B为钝角，是否成立？
C b A c B
i
知识探究（三）：正弦定理的应用 思考：一般地,把三角形的三个角和它 们的三条对边叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫 做解三角形.我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问题呢? 可以解决两类解三角形的问题：一类 是已知两角和一边解三角形；另一类 是已知两边和其中一边的对角解三角 形
思考3：设△ABC的外接圆半径为R，则
a 等于什么？ sin A
思考4：如图，若∠A为钝角，上述结论 还成立吗？ 若∠A为直角呢？
B A
a = 2R sin A
O
a
C D
探究（二）：正弦定理的变式拓展
思考1：在三角形中有“大边对大角”原 理，如何利用正弦定理进行理论解释？
思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪 些变形？
小结作业 1.三角形的三个内角及其对边叫做三角 形的元素，已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形. 2.正弦定理的外在形式是公式，它由三 个等式组成即
z.xx.k
a b b c a c = = = sin C sin A sin A sin B sin B sin C ，，每个等式都表示三角形的两个角和
思考4：设△ABC的外接圆半径为R，则其
1 S = ab sin C 面积公式可以作哪些变形？ 2 1 2 S = abc = 2R sin A sin B sin C 4R
它们的对边的关系.
3.利用正弦定理可以解决两类解三角形 的问题：一类是已知两角和一边解三角 形；另一类是已知两边和其中一边的对 角解三角形.对于第二类问题，要注意确 定解的个数.
作业：
P4练习：1,2.
第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
第二课时
问题提出 1.正弦定理的外在形式和数学意义分别 是什么？
知识探究（一）：正弦定理的形成 思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC 分别等于什么？ C b a A c B
思考2：将上述关系变式，边长c有哪几 种表示形式？由此可得什么结论？ C
b
A
a
c
B
a b c = = sin A sin B sin C