河北省石家庄市2010届高三复习教学质检(二)(数学理)

2010年石家庄市高中毕业班复习班数学质量检测〔二〕
数 学〔理科〕 校对 王蒙
第Ⅰ卷 〔选择题 共60分〕
一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的选项填涂在答题卡上〔或填写在题后的表格中〕 1．已知集合M=｛x ∣x 2-3 x +2=0｝,N=｛0，1，2｝。

假设A ⊆B ，则以下关系正确的选项是 〔A 〕M= N 〔B 〕M N 〔C 〕M N 〔D 〕N ⊆M
2．假设z 是复数，且〔3+z 〕i=1(i 为虚数单位)，则z 的值为
〔A 〕-3+ i 〔B 〕3+ i 〔C 〕-3-i 〔D 〕3- i
3．从1008名学生中抽取20人参加义务劳动，规定采用以下方法选取：先用简单随机抽样从1008人剔除8人，剩下1000人再按系统抽样的方法抽取，那么在1008人中每个人入选的概率
〔A 〕都相等且等于
501 〔B 〕都相等且等于252
5 〔C 〕不全相等 〔D 〕均不相等
4．“a= 3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+〔a-1〕y-a+7=0平行”的 〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件
5．一排七个座位，甲、乙两人就座，要求甲与乙之间至少有一个空位，则不同的坐法种数是 〔A 〕30 〔B 〕28 〔C 〕42 〔D 〕16
6．将函数y=sinwx 〔w>0〕的图象按向量a=(-3
π
,0)平移，平移后的图象如下图，则平移后的图象所对应的函数解析式是
〔A 〕y=sin 〔x+
3π〕 〔B 〕y=sin 〔x-3π
〕 〔C 〕y=sin 〔2x+32π〕 〔D 〕y=sin 〔2x-3
2π
〕
- 2 -
7．已知圆C ：x 2+y 2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称，则实数m 的值为 (A)8 (B) -4 (C) 6 (D) 无法确定
8．如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是 〔A 〕
122 〔B 〕242 〔C 〕
123 〔D 〕24
3 9．已知向量a=〔cos θ，sin θ〕，b=〔cos φ，sin φ〕，假设θ-φ=3
π
，则向量a 与向量a+ b 的夹角是 (A) 3π (B) 6
π
(C) 65π (D) 32π
10．过椭圆左焦点F 且倾斜角为600的直线交椭圆于A ，B 两点，假设|FA|=2
3
|FB|，则椭圆的离心率等于 〔A 〕
32 〔B 〕5
2
〔C 〕
21 〔D 〕3
2
11．已知函数f(x) 的定义域为[1，+∞), 且f(2)= f(4)=1，f ’(x)为f(x)的导函数，函数y= f ’(x)的图象如下图，则不等式组 x ≥0 y ≥0
f(2x+y )≤1 所表示的平面区域的面积是
〔A 〕 3 〔B 〕4 〔C 〕 5 〔D 〕4
15
- 3 -
12．已知函数f(x) =2x+1，x ∈R.规定：给定一个实数x 0，赋值x 1= f(x 0)，假设x 1≤255，则继续赋值x 2= f(x 1) …，以此类推，假设x n-1≤255，则x n = f(x n-1)，否则停止赋值，如果得到
x n 后停止，则称赋值了n 次〔n ∈N *
〕.已知赋值k 次后该过程停止，则x 0的取值范围是
〔A 〕〔2k-9 ,2 k-8] 〔B 〕〔2 k-8 -1, 2k-9
-1]
〔C 〕〔28-k -1, 29-k -1] 〔D 〕〔27-k -1, 28-k
-1]
二、填空题：本大题共4题，每题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上. log(x+1),(x>-1)
13．设函数f(x) = ，则f(8) = . 2x-4.(x ≤-1)
14．双曲线n x 2-n
y -32
=1的渐近线方程为y =±2x ，则n= .
15．如图，在正三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，假设二面角的大小为600，则点C 到平面ABC 1的距离
为 .
16．设函数f(x) =122+x x ，［m ］表示不超过实数m 的最大整数，则函数g(x)=[ f(x)- 2
1
]+[ f(x)+
2
1
]的值域为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本小题总分值10分) 在三角形ABC 中，cosA= -
135, cosB=5
4. 〔I 〕求sinC 的值；
〔II 〕假设AB 边的长为11，求三角形ABC 的面积.
- 4 -
18．(本小题总分值12分)
甲乙两人进行射击训练，每人射击两次，假设甲乙两人一次射击命中目标的概率分别为
3
1和2
1
，且每次射击是否命中相互之间没有影响. 〔I 〕求两人恰好各命中一次的概率；
〔II 〕求两人击中目标的总次数§的分布列和期望.
19．(本小题总分值12分)
如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为矩形PA=AD=1,AB=2,且P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点.
〔I 〕求证：EF ⊥PD ；
〔II 〕求二面角C-PD-E 的大小.
20．(本小题总分值12分) 已知函数f(x) =4ln(x -1) +
21 x 2-(m+2) x+2
3
- m, x ∈R.〔其中为m 常数〕 〔I 〕当m=4时，求函数的单调区间；
〔II 〕假设函数y=f(x)有两个极值点，求实数m 的取值范围.
- 5 -
21．(本小题总分值12分)
已知抛物线方程x 2=4y ，过点〔t ，-4〕作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B . 〔I 〕求证直线AB 过定点〔0，4〕；
〔II
〔O 为坐标原点〕面积的最小值.
22．(本小题总分值12分)
已知数列｛a n ｝满足a 1=1, a n+1=2 a n +(-1) n 〔n ∈N *
〕. 〔I 〕b n = a 2n-1-
3
1
，求证数列｛b n ｝是等比数列； 〔II 〕求数列｛a n ｝的通项公式； 〔III 〕求证：11a +21a +…+n
a 1<3.
- 6 -
2010年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测〔二〕
数学理科答案 校对 王蒙
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分． 1.C 2. C 3. 7. C 8.B 9.
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分 13．2 14．
35 15．3
2
16．{}1,1- 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解：〔Ⅰ〕由已知2
2
512
sin 1cos 11313
A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭,
同理3
sin 5
B =. …………………………………………………………………2分
则sin sin()C A B =+
sin cos cos sin A B A B =+ 12453()135135=⨯+-⨯33
65
=
. ………………………………5分 〔Ⅱ〕因为△ABC 中，sin sin AB BC C A
=,所以1133126513
BC
=
. 所以20BC =. ……………………………………………7分
那么1
sin 2
S ABC AB BC B ∆=⋅⋅
13112025
=⨯⨯⨯ =66.
所以ABC ∆的面积为66. …………………………………………10分 18．解：〔Ⅰ〕设k A 表示甲击中目标k 次，0,1,2.k =
k B 表示乙击中目标k 次，0,1,2.k =
因为每次射击相互之间没有影响,所以1
12
124
(),339P A C =⋅=
112111()222P B C =⋅= .
………………………………………3分
所以两人恰好各命中一次的概率为
11412
().929P A B ⋅=⋅=…………………5分
〔Ⅱ〕ξ的取值为0，1，2，3，4.
2200211
(0)()()();329
P P A B ξ==⋅=⋅=
- 7 -
21120110222111211(1)()()();3223323
P P A B A B C C ξ==⋅+⋅=⋅+⋅⋅= =021*******(2)()2121113
()()()();3293236
P P A B A B A B ξ==⋅+⋅+⋅++=
)=12212122122121111(3)(()()();332326
P P A B A B C C ξ==⋅+⋅⋅++=
)=2222111
(4)(()();3236
P P A B ξ==⋅= ………………………10分
所以ξ的分布列为
ξ
0 1 2 3 4
P 19 13 1336 16 136 数学期望5
.3
E ξ= ……………………………………12分
19．解：法一：〔Ⅰ〕 取PD 的中点M ，连结AM 、FM .
因为,E F 分别为AB ,PC 的中点. 所以AE 平行且等于
1
2
CD , FM 平行且等于1
2
CD ,
所以四边形AEFM 为平行四边形， 则EF //AM . …………………3分
又PA ⊥平面ABCD ，PA AD =,所以在等腰Rt PAD ∆中,AM PD ⊥,
所以EF PD ⊥. ………………………………6分 〔Ⅱ〕连结ME .
因为底面ABCD 为矩形，所以CD DA ⊥,
因为PA ⊥平面ABCD ，所以CD PA ⊥.又FM // CD , 所以FM ⊥平面PAD ，则FM PD ⊥.
可知PD ⊥平面EM ，所以EMF ∠为二面角C PD E --的平面角. …………9分
由FM ⊥平面PAD ,可知FM AM ⊥,四边形AEFM 为矩形. 那么在Rt EFM ∆中，tan EMF ∠=
2
2EF FM =, 二面角C PD E --的大小为2
arctan 2
. ……12分 法二：
- 8 -
〔Ⅰ〕建立如下图的坐标系，因为,E F 分别为AB ,PC 的中点,则(1,0,0)E ,11(1,,)22
F ，
(0,0,1)P ，(0,1,0)D . ………………………………….3分
那么11(0,,)(0,1,1)022
EF PD ⋅=⋅-=. 所以EF PD ⊥. ………………………………….6分
〔Ⅱ〕由图可知(2,1,0)C ,则(2,0,0)CD -,(1,0,1)PE =-,(0,1,1)PD =-. 设平面PED 的一法向量为(,,)x y z =n
则0;0.
PE PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 因此0;
0.
x z y z -=⎧⎨
-=⎩
取1z =，则(1,1,1)=n ……………………………………………….8分 又11(0,,)22
EF =,0EF CD ⋅=,所以EF CD ⊥，EF ⊥平面PCD . 则EF 为平面PCD 的一法向量. ………………………10分 所以cos ＜n ，EF ＞=
6
132
EF EF
⋅=
=
⋅⋅
n n .
所以所求二面角C PD E --的大小6
arccos
3
. ………………12分 20．解：依题意，函数的定义域为〔1，＋∞〕. 〔Ⅰ〕 当m ＝4时，215()4ln(1)622
f x x x x =-+
--. ()f x '＝4
61x x +--= x 2－7x ＋10x －1＝
〔x －2〕(x －5)x －1.………………2分 令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <. 令()0f x '< ， 解得25x <<.
可知函数f (x )的单调递增区间为〔1，2〕和〔5，＋∞〕， 单调递减区间为()2,5．……………………………………5分
- 9 -
〔Ⅱ〕()f x '＝ 4
x －1＋x －(m ＋2)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6x －1. ………………………7分
假设函数y ＝f (x )有两个极值点,
则
2(3)4(6)0;1(3)60;
3 1.2
m m m m m ⎧
⎪∆=+-+>⎪
-+++>⎨⎪+⎪>⎩，…………………………………10分 解得 m ＞3. ………………………………………………………12分 21．〔Ⅰ〕设切点为A (x 1， y 1)、B (x 2， y 2). 又 1
2
y x '=
， 则切线PA 的方程为：1111()2y y x x x -=
-,即111
2y x x y =-, 切线PB 的方程为：2221()2y y x x x -=-,即221
2
y x x y =-，…………………2分
由〔t ,―4〕是PA 、PB 交点可知： 11142x t y -=-， 221
42
x t y -=-，
∴过A 、B 的直线方程为142tx y -=-，即1
402
tx y -+=.………………4分
所以直线AB :1
402
tx y -+=过定点〔0，4〕. ……………6分
〔Ⅱ〕由21
40;24.tx y x y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩
,得2
2160x tx --= .
则12122,16.x x t x x +==- ……………………………………8分 因为121
42
OAB S x x ∆=
⨯⨯- …………………………………………10分
2=
＝16.
当且仅当t ＝０时， 16S =最小.……………………………………12分
22．解：〔Ⅰ〕22122(1)n
n n a a +=+-=
2121212[2(1)]141,n n n a a ---+-+=-…………………………1分
- 10 -
21211212114
4334,1133
n n n n
n n a a b b a a +-+---
-
===--
又11
12.33b a =-= 所以{}n b 是首项为23，公比为4的等比数列，且1
24.3
n n b -=⨯…………………3分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知121
2112114(21)3333n n n n a b ---=+=⨯+=+，
2121222121
2(1)(21)1(21).33
n n n n n a a ---=+-=+-=- …………………………5分
所以1
1(2(1))3n n n a +=+-，或1(21);(2)31(21).(21)3
n
n n n k a n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=-⎪⎩………………………7分
〔Ⅲ〕 ∴2212211121
2,2.3333
n n n n a a --=
⋅-=⋅+ 212212*********
22122121221
21211332121
3(22)222213(22)3(22)222122n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n
a a ----------+=++-⨯+=⋅+--⨯+⨯+=≤⋅+-⋅ 2121
132
2n n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ …………………………………9分
当n ＝2k 时，
1234212111111k k a a a a a a -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
223211(1)111122*********
k k -⎛⎫≤++++=⨯
⎪⎝⎭-23332k =-< 当n ＝2k －1时，
12342322211111111k k k a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ <1234212111111k k
a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
<3 ∴1 a 1
＋1 a 2
＋…＋1
a n
＜3．…………………………………12分。