2021-2022学年重庆市南开中学校高二下学期5月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年重庆市南开中学校高二下学期5月月考数学
试题
一、单选题
1．以下哪个名词不属于统计学板块（ ） A ．残差 B ．公差
C ．方差
D ．极差
【答案】B
【分析】由公差属于数列板块可判断.
【详解】残差、方差、极差都属于属于统计学板块，公差属于数列板块. 故选：B.
2．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品件数的数学期望值是（ ） A ．n B ．()1n M
N
- C ．
nM
N
D ．
()1n M
N
+
【答案】C
【分析】设抽到的次品件数为随机变量ξ，由题意知ξ服从超几何分布，可计算出ξ的数学期望值.
【详解】设抽到的次品件数为随机变量ξ，令{}max 0,m n N M =-+，{}min ,r n M =，
()()()()111!!
C C !1!!
k k M M M k M k M M k M k k M k ---⋅=
=⋅=⋅⋅--⋅-！，由随机变量均值的定义可知，
当0m >时，()11C C C C C C k n k k n k r
r
M N M M N M
n n
k m k m N N E k M ξ------===⋅=∑∑，① 因为11
11C C C r
k n k n M N M N k m ------==∑，
所以，
()()()()()1
1
1
1
1!!!C C
C
C C 1!!n r
k n k N M N M
n n k m
N
N
M N n N n M M
nM E n N n N N ξ------=⋅-⋅-⋅===⋅=-⋅-∑！.
当0m =时，注意到①式中间求和的第一项为0，同理可计算得出()nM
E N
ξ=. 故()nM
E N
ξ=. 故选：C.
3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订
单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可. 【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=， 900
1850
=，故至少需要志愿者18名. 故选：B 【点晴】
本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
4．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚金牌，4枚银牌，2枚铜牌的历史最好成绩．2月8日，在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中，中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作1620，得分反超对手，获得了金牌．已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分．设这六个原始分的中位数为a ，方差为2S ；四个有
效分的中位数为1a ，方差为2
1S ．则下列结论正确的是（ ）
A ．1a a ≠，221S S <
B ．1a a ≠，221S S <
C ．1a a =，221S S <
D ．1a a =，221S S <
【答案】D
【分析】由中位数求法分别求出a 、1a ，再根据方差公式求2S 、2
1S ，比较它们的大小即可得答案.
【详解】由题设，评分从小到大为93,94,94,95,95,95，去掉一个最高、低分为94,94,95,95，
所以19495
94.52a a +===，平均数94.3x ≈，194.5x =， 所以62211()0.5576i i S x x ==-≈>∑422
1111()0.254i i S x x ==-=∑.
故选：D
5．用y 关于x 的方程e nx y m =来拟合一组数据(),i i x y （1i =，2，…，10）时为了求出其回归方程，设ln z y =，得到z 关于x 的线性回归方程0.61z x =+，则（ ） A ．e m =，0.6n = B ．0.6m =，e n =
C ．1m =，0.6n =
D ．0.6m =，1n =
【答案】A
【分析】对y 关于x 的方程e nx y m =进行变形即可得到线性回归方程，然后根据系数对应相等列出,m n 的方程，解出,m n 即可
【详解】由题意，e nx y m =得到ln ln e ln 0.61nx z y m m nx x ===+=+ 故0.6,ln 1n m == ，0.6,e n m ∴== 故选：A
6．为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a ，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b ，方差为
14
5．若a =b ，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ） A ．336
35
B ．
2110
C ．
125
D ．
187
【答案】D
【分析】设初中部20名党员、高中部50名党员竞赛成绩分别为1220,,,x x x ，
1250,,
,y y y ，得()()()22
2
122040x a x a x a -+-+
+-=，
()()
()2
2
2
1250140y b y b y b -+-+
+-=，然后利用方差的计算公式可得答案.
【详解】设初中部20名党员竞赛成绩分别为1220,,,x x x ，
高中部50名党员竞赛成绩的平均分1250,,
,y y y ，根据题意得
则()()()
22
2
1
220220x a x a x a -+-+
+-=，
()()
()
22
2
12501450
5
y b y b y b -+-+
+-=
，
所以()()()2
2
2
122040x a x a x a -+-+
+-=，
()()
()22
2
1250140y b y b y b -+-+
+-=，由于a b =，
所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的平均分为a ， 则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为
()()
()()()()
22
222
2
1220125070
x a x a x a y a y a y a -+-+
+-+-+-+
+-
18018
707
=
=. 故选：D.
7．针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男､女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的4
5
，女生中
喜欢航天的人数占女生人数的3
5，若有95%的把握认为是否喜欢航天与学生性别有关，
则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ） 参考公式：附()
()()()()
2
2n ad bc K a b a c b d c d -=
++++.
A ．25
B ．45
C ．60
D ．75
【答案】A
【分析】设被调查的学生中男生的人数为x ，得出列联表，计算出2
221x
K =
，由
2 3.84121
x >可求出.
【详解】设被调查的学生中男生的人数为x ，则由题可得列联表如下：
2
242
13225555732155
x x x x x x K x x x x ⎛⎫⋅⋅-⋅ ⎪
⎝⎭==
⋅⋅⋅， 因为有95%的把握认为是否喜欢航天与学生性别有关， 所以
2 3.84121
x
>，解得40.3305x >，所以被调查的学生中男生的人数不可能为25. 故选：A.
8．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X 的期望()E X 和方差()D X 存在但其分布末知的情况下，对事件
“()X E X ε-”的概率作出上限估计，其中ε为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：
()()()(),P X E X f D X ε
ε-，其中()(),f D X ε是关于()D X 和ε的表达式.由于记忆
模糊，该同学只能确定()(),f D X ε的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（ ） A ．()2
D X ε⋅
B ．()2
1
D X ε⋅
C ．
()
2
D X ε D ．
()
2
D X ε
【答案】D
【分析】由题知()()
()
(
)
2
2P X E X P X E X εε-=-，计算可得结果.
【详解】切比雪夫不等式的形式为：()()()(),P X E X f D X ε
ε-，
由题知()()
()(
)()
()()2
22
2
2
E X E X D X P X E X P X E X εεεε--=-≤
=，
则()(),f D X ε的具体形式为()
2
D X ε.
故选：D.
9．如图所示的散点图与相关系数r 一定不符合的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据相关性和相关系数的关系可得.
【详解】根据相关性和相关系数的关系可得，若两个变量正相关，则相关系数0r >，若两个变量负相关，则相关系数0r <，A 选项的两个变量负相关，但0.50r =>，所以不符合. 故选：A. 二、多选题
10．已知圆锥底面半径为3，母线长为2，则（ ） A ．圆锥侧面积为23π
B ．圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为3π
C ．圆锥的体积为2π
D ．过顶点的截面三角形的面积最大值为3 【答案】AB
【分析】由题意可知圆锥的侧面展开图是半径为2，弧长为23π，利用扇形面积公式
12
S lr =即可判断A 是否正确；根据211
=22S lr r α=，即可求出圆锥的侧面展开图中扇形
的圆心角的大小，即可判断B 是否正确；根据题意易知圆锥的高，再根据圆锥的体积公式，即可判断C 是否正确；根据题意可知圆锥的轴截面的顶角为
23
π
，设过过顶点的截面三角形AEF ，其中2,0,3AEF πθθ⎛⎤
∠=∈ ⎥⎝⎦
，根据三角形面积公式可得2sin θ，根据三
角函数的性质，可知当2
π
θ=
时面积最大，由此即可D 是否正确.
【详解】由题意可知，该圆锥的侧面展开图是半径为2，弧长为2323ππ⨯=，所以圆锥侧面积为1
223232
ππ⨯⨯=，故A 正确；
设圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为α，
又因为扇形的面积为2
12232
απ⨯⨯=，所以3απ=，故B 正确；
()
2
223
1-=，
圆锥的体积为2
1
313
ππ⨯⨯
⨯=，故C 错误；
如图，在Rt AOB △中，3
sin OAB ∠=
3π∠=OAB ，
所以轴截面三角形ABC 中，23
CAB π
∠=，
设过过顶点的截面三角形AEF ，其中2,0,3AEF πθθ⎛⎤
∠=∈ ⎥⎝⎦
，如下图所示：
过顶点的截面三角形的面积为122sin 2sin 2θθ⨯⨯⨯=，当2π
θ=时，过顶点的截面三角
形的面积最大值为2，故D 错误. 故选：AB.
11．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为
ξ，η）均服从正态分布，其中()211~,N ξμσ，()2
22~,N ημσ．如图，已知11150μ=，
21130μ=，212500σ=，221600σ=，两正态密度曲线在直线2x μ=左侧交于点()00,M x y ，
则下列说法正确的是（ ）
A ．()()12P P ξμξμ<<<
B ．()()12P P ημημ<><
C ．()()00P x P x ξη><>
D ．()()12501050P P ξη>><
【答案】BC
【分析】根据正太分布密度曲线的几何性质即可判断. 【详解】由图可知()()12P u P u ξξ<><，故A 错误； 由图可知()()12P u P u ηη<><，故B 正确；
∵()()001P x P x ξξ>=-≤，()()001P x P x ηη>=-≤，
由图可知()()00P x P x ξη≤>≤，∴()()00P x P x ξη><>，故C 正确；
11150μ=，150σ=，21130μ=，240σ=，
()11(1250)2P P ξξμσ>=>+，()()()2222105022P P P ηημσημσ<=<-=>+，
根据正态分布曲线的性质，根据3σ原则，应该有()()12501050P P ξη>=<，故D 不正确. 故选：BC.
12．对于数列{}n u ，若存在常数0M >，对任意的*n ∈N ，恒有
1121
n n n n u u u u u u M +--+-+⋯⋯+-，则称数列{}n u 为B -数列.比如，常数列满足此
条件，所以是B -数列，以下说法正确的是（ ） A ．首项为1，公比为1
2
的等比数列{}n a 是B -数列
B ．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n S 是B -数列，那么数列{}n a 为B -数列
C ．等差数列一定为B -数列
D ．有界数列一定为B -数列 【答案】AB
【分析】根据B -数列的定义依次判断即可.
【详解】对A ，可得1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，则1
2
1
1
111222n n n n n a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
因此1
2112
111222n
n n n n a a a a a a +-⎛⎫
⎛⎫-=++
+ ⎪ ⎪⎝-+-+⋯+⎭⎝⎭
111221111212
n
n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
=-< ⎪⎝⎭
-，所以{}n a 是B -数列，故A 正确；
对B ，若数列{}n S 是B -数列，则存在0M >，对任意的*n ∈N ，有
1121n n n n S S S S S S M +--+-+⋯+-≤， 即12
n n a a a M +++⋯+，
所以1121121112222n n n n n n n a a a a a a a a a a a M a +-+--+-+⋯++++++≤≤+-，
所以数列{}n a 为B -数列，故B 正确；
对C ，设等差数列{}n a 的公差为d ，则1121n n n n a a a a a nd a +---+-+=+⋯，所以不存在0M >，对任意的*n ∈N ，1211n n n n a a a a a M a +--+--+⋯+≤，所以等差数列不一定为B -数列，故C 错误；
对D ，设数列{}n a 为有界数列，则存在0M >，使得n a M ≤， 所以112112112222n n n n n n n a a a a a a a a a a nM a +-+--+--+⋯++++++≤≤，2nM
不是常数，所以有界数列不一定为B -数列，故D 错误. 故选：AB. 三、填空题
13．数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为________. 【答案】28
【详解】把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得： 12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，
因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.
14．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成(“
”表示一根阳线，“
”表示一根阴线)，
从八卦中任取两卦，已知取出的两卦有一卦恰有一个阴线，则另一卦至少有两个阴线的概率是__________.
【答案】2
3
【分析】确定各卦中阴线和阳线的条数，然后计算取出的两卦中有一卦中恰有一个阴线的取法，再求出两卦有一卦恰有一个阴线，则另一卦至少有两个阴线的取法，然后计算概率．
【详解】观察八卦图知，含3根阳线的有一卦，含3根阴线的有一卦，含2根阴线一根阳线的有3卦，含一根阴线2根阳线的有3卦． 因此取出的两卦中有一卦中恰有一个阴线的取法为32
35182
⨯⨯+
=， 而两卦有一卦恰有一个阴线，则另一卦至少有两个阴线的取法数是3412⨯=， 所以所求概率为122
183
P ==． 故答案为：23
.
15．设点P 在直线2140x y --=上，点Q 在曲线ln y x x =+上，线段PQ 的中点为,M O 为坐标原点，则OM 的取小值为___________.
【分析】通过转化可得2
4OM 的最小值为()222,ln Q x x x +到()11,214N x x --+距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得出.
【详解】由题可设()11,214P x x -，()222,ln Q x x x +，则12122214ln ,22x x x x x M +-++⎛⎫
⎪⎝⎭
则22
2
121
22214ln 22x x x x x OM +-++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
即()()()22
2212214ln 214OM x x x x x =--++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
即2
4OM 的最小值为()222,ln Q x x x +到()11,214N x x --+距离平方的最小值，
其中点Q 在曲线ln y x x =+上，N 在直线214y x =+上，
QN 的最小值为在曲线ln y x x =+上与直线214y x =+平行的切线的切点到直线214y x =+的距离，
设切点为()000,ln x x x +，因为曲线导数11y x
'=+，则0112x +=，解得01x =，所以切点为()1,1，
所以min
QN
=
=
min
OM =
. 16．如图，已知点过11,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的两条直线分别与椭圆2
214
x y +=交于,,,A C B D ，且
2,2AP PC BP PD ==，则直线AB 的方程为___________.
【答案】8810x y ++=
【分析】设()()1122,,,A x y C x y ，根据已知可得11
22334,28
x y x y --=
=，根据,A C 在椭圆上可得118810x y ++=，同理()33,B x y 也满足338810x y ++=，即可得出答案. 【详解】设()()1122,,,A x y C x y ，因为2AP PC =，
则1122111,21,44x y x y ⎛⎫⎛⎫
--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()
121
212111244x x y y ⎧-=-⎪⎨⎛
⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 则可得11
22334,28
x y x y --=
=， 因为C 在椭圆上，所以2
22214
x y +=，
所以2
2111332844x y ⎛⎫
⎪⎛⎫⎝⎭+ -⎪⎭
-=⎝，整理得()221111442424190x y x y +---=，
因为A 也在椭圆上，所以2
21114x y +=，即221144x y +=， 代入可得118810x y ++=，
同理可得()33,B x y 也满足338810x y ++=， 所以直线AB 的方程为8810x y ++=. 故答案为：8810x y ++=. 四、解答题
17．高二下学期期末考试之后，年级随机选取8个同学，调查得到每位同学的每日数学学习时间(i x 分钟)与期末数学考试成绩i y (分)的数据，并求得
8
888
21
1
1
1
320,760,38500,18200i
i i i i i i i i x
y x y x ========∑∑∑∑.
（1）求学生的数学考试成绩y 与学生每日数学学习时间x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）小明每日数学学习时间如果是65分钟，试着预测他这次考试的数学成绩.
附：1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nxy
b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑ 【答案】（1） 1.535ˆy x =+；（2）132.5分.
【分析】（1）利用已知的数据和公式先求解,,x y b ，再利用ˆˆa
y bx =-求出a ，从而可得回归方程；
（2）把65x =代入回归方程中可求得结果 【详解】解：（1）由已知可求得：40,95x y ==，
所以38500840958100
1.51820084040500
ˆ4b
-⨯⨯===-⨯⨯，
页95 1.545ˆ03a
=-⨯=，则线性回归方程为： 1.535ˆy x =+. （2）当65x =时，带入回归方程得65 1.5353.ˆ125y
=⨯+=， 所以预测他这次考试数学成绩为132.5分.
18．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2134a a a =，314S =． (1)求数列{}n a 的通项公式．
(2)若数列{}n b 满足()()
*,3,313k n a n k b k N k k n k
=⎧
=∈⎨
-<<⎩，求数列{}n b 的前15项和． 【答案】(1)2n n a = (2)92
【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由等比数列的通项公式进行基本量的运算即可求得通项；
（2）（方法一）利用已知条件列举出数列各项，然后分组求和即可； （方法二）写出数列{}n b 的通项，然后分组求和即可.
【详解】(1)设{}n a 的公比为q ，则由2134a a a =，得2
1114a q a a q =⋅．
整理得14a q =．
又314S =，得()
2
1114a q q ++=．
联立得()12
14114
a q a q q =⎧⎪
⎨++=⎪⎩，消去1a ，得22520q q -+=． 解得2q 或1
2
q =
． 又因为{}n a 为递增等比数列，
所以2q
，12a =．
所以112n n
n a a q -==．
(2)（方法一）当1k =时，()
1*,3
1,03
n a n b n N n =⎧=∈⎨
<<⎩，则121b b ==，312b a ==，同理，列举得452b b ==，2622b a ==，783b b ==，3932b a ==，10114b b ==，4
1242b a ==，
13145b b ==，51552b a ==．
记{}n b 的前n 项和为n T ，则 151215123451122334455T b b b a a a a a =++
+=++++++++++++++
()()1234521234522222=⨯+++++++++
()()5
212155292212
⨯-+⨯=⨯+=-．
所以数列{}n b 的前15项和为92．
（方法二）由()()
*,3,313k n a n k b k N k k n k
=⎧
=∈⎨
-<<⎩， 得()*
,32,31,3n k k n k b k n k k N a n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪
=⎩，
记{}n b 的前n 项和为n T ，则 151215123451122334455T b b b a a a a a =++
+=++++++++++++++
()()1234521234522222=⨯+++++++++
()()5
212155292212
⨯-+⨯=⨯+=-．
所以数列{}n b 的前15项和为92．
19．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表，记作i x ，1,2,
,7i =）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值X 服从正态分布()2
,N μσ，
（i ）若使84.14%的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？
（ii ）若该企业又生产了这种产品1000件，且每件产品相互独立，则这1000件产品质量指标值不低于12.14的件数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式：(
)
12
7
3.46i i i x h x
=-=∑
，21
3.46 2.632
≈
⨯；若()
2~,x N μσ， 则①()0.6827P x μσμσ-<≤-=； ②()220.9545P x μσμσ-<≤+=； ③()330.9973P X μσμσ-<≤+=．
【答案】（Ⅰ）17.4x =；2 6.92s =；（Ⅱ）（i ）14.77；（ii ）978．
【分析】（Ⅰ）由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和可得平均数x ，再由样本方差公式及参考数据求方差；
（Ⅱ）（i ）由题意，~17.40,62().9X N ，根据正态密度曲线的性质即可得解；
()ii 由首先求出(12.14)P X 的值，即可得到()
33,~100.977B ξ，利用二项分布的概率公式得
到3
31010()(1)
k k k P k C p p ξ-==-．再由()
1(1)P k P k ξξ=>=-，求得1001k p <，即可求出k 的取值范围，从而得解． 【详解】解：（Ⅰ）
120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
()
7
2
2
1
2 3.462 6.92i i i s x x
h ==-⨯=⨯=∑
（Ⅱ）由题意知：()~17.4,692X N （i ）()10.68270.841422
P x μσ>-=
+≈ ∴17.4 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意 即合格标准的质量指标值约为：14.77 （ii ）由()()0.9545
12.1420.50.97732
P x P X μσ≥=≥-=+
≈ 可知每件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率为0.9733 记这100产品的质量指标值不低于12.14的件数为ξ，
则()3
~10,B p ξ，其中0.9773p =
∴恰有k 件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率：()()3
31010
C 1k k k P k p p ξ-==-
则()()()()10011
11P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯-，解得：1001978.2773k p <=
∴当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=；
当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=
由此可知，在这1000件产品中，质量指标值不低于12.14的件数最有可能是978 20．如图，四边形ABCD 是圆柱1OO 的轴截面，点P 为底面圆周上异于A ，B 的点.
（1）求证：PB ⊥平面PAD ；
（2）若圆柱的侧面积为2π，体积为π，点Q 为线段DP 上靠近点D 的三等分点，是否存在一点P 使得直线AQ 与平面BDP 所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点P 的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；点P 为两个半圆弧AB 中点；正弦值为1. 【分析】（1）由题意，∠APB ＝90°，即PB ⊥P A ，再由母线AD ⊥底面圆O ，得AD ⊥PB ，由直线与平面垂直的判定可得PB ⊥平面P AD ；
（2）由已知求得圆柱底面半径为与母线长，在△P AD 中，过A 作AM ⊥DP 交DP 于M ，由（1）知PB ⊥平面P AD ，可得PB ⊥AM ，进一步得到AM ⊥平面BDP ．若M 不与Q
重合，∠AQM 即为直线AQ 与平面BDP 所成角；若M 与Q 重合，且直线AQ 与平面BDP 所成角为90°，求得点P 为两个半圆弧AB 中点．由此可得当点P 为两个半圆弧AB 中点时，直线AQ 与平面BDP 所成角最大为90°，正弦值最大为1． 【详解】解：（1）证明：因为AB 是圆O 的直径，点P 是圆周上一点， 所以90APB ∠=︒，即PB PA ⊥，
又在圆柱1OO 中，母线AD ⊥底面O ，PB ⊂底面O ， 所以AD PB ⊥，
又PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以PB ⊥平面PAD ，
（2）设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则222rl r l ππππ=⎧⎨=⎩，解得1
1r l =⎧⎨=⎩
，
在PAD △中，过A 作AM DP ⊥交DP 于点M . 由（1）知PB ⊥平面PAD ，
因为AM ⊂平面PAD ，所以PB AM ⊥， 又DP
PB P =，所以AM ⊥平面BDP .
若M 与Q 不重合，AQM ∠即为直线AQ 与平面BDP 所成的角. 若M 与Q 重合，直线AQ 与平面BDP 所成的角为90︒， 设AOP θ∠=，由对称性，不妨设(0,)θπ∈， 则在AOP 中，2sin
2
AP θ
=，
在Rt ADP △
中，2sin
AM θ
=
2
22133AQ AD AP
⎫+=
⎪于是3sin
sin AM AQM AQ θ
∠=
=
1=
≤=
当且仅当
2
2
1
4sin 2
sin 2
θ
θ=
，即sin 2θ=，2πθ=时，等号成立. 此时，AM AQ =，直线AQ 与平面BDP 所成的角为90︒，正弦值为1， 点P 为两个半圆弧AB 的中点.
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间中直线与平面所成角的最值的求法，属于中档题．
21．已知拋物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，且过F 的弦长的最小值为 4.
(1)求p 的值；
(2)如图，经过点P （三象限）且不过原点的直线l 与拋物线Γ相交于,S T 两点，且直线
,FS FT 的斜率分别为12,k k .问：是否存在定点P ，使得12k k ⋅为定值2若存在，请求出点
P 的坐标.
【答案】(1)2 (2)()1,2--
【分析】（1）设出过点F 的直线方程，与抛物线联立，表示出弦长即可根据最小值求出； （2）设出直线l 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理表示12k k ⋅，根据其为定值即可求出.
【详解】(1)设过点F 的直线方程为2
p
x ty =+
，设交抛物线于()()1122,,,A x y B x y ， 将直线代入抛物线可得2220y pty p --=，则122y y pt +=，2
12y y p =-，
所以()2
1212||222AB x x p t y y p pt p =++=++=+，
当0=t 时，AB 取得最小值为24p =，所以2p =；
(2)假设存在定点()00,P x y ，设直线l 的方程为x my n =+，()()3344,,,S x y T x y ，
将直线方程代入抛物线得2
440y my n --=，则34344,4y y m y y n +==-，
所以
334412223
434111144
y y y y k k y y x x ⋅=
⋅=⋅----()()34
22343434164216y y y y y y y y =
⎡⎤-+-+⎣⎦22
4214n
n n m -=
-+-，
因为点()00,P x y 为定点，所以00y ≠，00x my n =+，即00
x n
m y -=， 因为直线l 不过原点，所以0n ≠， 所以
12222
002
42214n
k k x nx n n n y -⋅=
-+-+-⨯ ()(
)
2
022222
00000
44824y n
y n x y n y x -=
-+-+-
(
)()
20
22
2200000
44482y y x y n x y n
-=--++- ， 因为12k k ⋅为定值，所以2022
0020
04040820
y y x x y ⎧-=⎪-=⎨⎪-≠⎩，解得001,2x y =-=±，
因为P 在第三象限，所以存在定点P ，其坐标为()1,2--. 22．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.
(1)已知等比数列{an }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证：数列{an }为“M -数列”； (2)已知数列{bn }满足：1
111,2n n n n n
b b b S b b ++==-，其中Sn 为数列{bn }的前n 项和.
①求数列{bn }的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M -数列”{}n c ，对任意正整数k ，当k m ≤时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①n b n =;②5
【分析】（1）根据题意列出方程求出首项和公比即可证明；
（2）①根据1n n n b S S -=-可得112n n n b b b +-+=，即可判断数列{}n b 为等差数列，即可求出通项公式； ②根据题意有
ln ln ln 1k
k q
k
k -，构造函数ln ()(1)x
f x x x
=
>，利用导数可得max ln 3
()(3)3
f k f ==
，即可求解. 【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，所以10,0a q ≠≠，
由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得2441121
11440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得11
2a q =⎧⎨=⎩，
所以数列{}n a 为“M -数列”；
(2)①因为1111,2n n n n n b b b S b b ++==
-，则12
1
121
22b b S b b b ==-，则22b =， 当2n 时，由1n n n b S S -=-，得1111
2n n n n n n n n n b b b b
b b b b b +-+-=
---，整理得112n n n b b b +-+=，
所以数列{}n b 是首项为1，公差为1 的等差数列，所以n b n =； ②由①知，,k b k k N *=∈，
因为数列{}n c 为“M -数列”，设公比为q ，所以11,0c q =>， 因为1k k k c b c +，所以1k k q k q -，其中1,2,3,,k m =，
当1k =时，有1q ； 当2,3,,k m =时，有
ln ln ln 1
k k
q
k
k -， 设ln ()(1)x
f x x x
=
>，则21ln ()x f x x -'=，
当()1,e x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当()e,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，
因为
ln 2ln8ln 9ln 3
2663
=<=，所以max ln 3()(3)3f k f
==，
取q =1,2,3,4,5k =时，ln ln k
q k
，即k k q ，经检验知1k q k -也成立， 因此所求m 的最大值不小于5，
若6m ，分别取3,6k =，得33q ，且56q ，从而15243q 且15216q ，所以q 不存在，所以6m <，
综上，所求m 的最大值为5.。