2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.sin390°=（）
A. B. C. D.
2.若cosθ＞0，sinθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=（）
A.
B.
C.
D.
4.若，，，则与的夹角是（）
A. B. C. D. 150
5.cosα=-，α∈（，π），sinβ=-，β是第三象限角，则cos（β-α）=（）
A. B. C. D.
6.函数y=A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）
A.
B.
C.
D.
7.若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+cos（2α+）=（）
A. 0
B.
C.
D.
8.定义运算：，如1*2=2，则函数f（x）=sin x*cos x的值域为（）
A. B. C. D.
9.已知平面上不共线的四点O，A，B，C．若+2=3，则的值为（）
A. B. C. D.
10.已知向量，满足，，，，则的值为（）
A. 1
B. 2
C.
D.
11.△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）
A. B. C. D.
12.函数f（x）=cos2x-2sin x cosx下列命题中正确的是（）
（1）若存在x1，x2有x1-x2=π时，f（x1）=f（x2）成立
（2）f（x）在[-，]是单调递增
（3）函数f（x）关于点（，0）成中心对称图象
（4）将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y=2sin2x重合．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且，则x=______．
14.在△ABC中，若tan A=，tan B=，则∠C=______．
15.已知sin（+α）=，则cos（）=______．
16.如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧上的一个动点，若，
则x-y的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知函数f（x）=sin x+sin（x+），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若f（α）=，求sin 2α的值．
18.已知，，与的夹角为．
（Ⅰ）求||；
（Ⅱ）若与的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边
分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求2α+β的值．
20.已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）-k在，的零点个数．
21.如图，平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，，．
（1）求cos∠BAD；
（2）设，求、的值．22.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB=100米，宽
BC=50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内
铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，
点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
（Ⅰ）设∠CHE=x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表
示成x的函数，并求出此函数的定义域；
（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺
路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取1.732，取1.414）．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：sin390°=sin （360°+30°）=sin30°
=， 故选：A ．
由 sin390°=sin （360°+30°），利用诱导公式可求得结果．
本题考查诱导公式的应用，把sin390°化为sin （360°+30°） 是解题的关键． 2.【答案】D
【解析】
解：由题意，根据三角函数的定义sinθ=＜0，cosθ=＞0 ∵r ＞0，
∴y ＜0，x ＞0． ∴θ在第四象限， 故选：D ．
利用三角函数的定义，可确定y ＜0，x ＞0，进而可知θ在第四象限． 本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题． 3.【答案】D
【解析】
解：因为点E 是CD 的中点，所以
=，
点得F 是BC 的中点，所以
=
=-，
所以
=
+
=
，
故选：D ．
由题意点E ，F 分别是DC ，BC
的中点，求出
，
，然后求出向量
即得．
本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用．
4.【答案】A
【解析】
解：，
可得：，
cos
=
．
则
与
的夹角为30°．
故选：A ．
直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力． 5.【答案】A
【解析】
解：由题意，故sinα＞0 所以sinα==，
同理
，β是第三象限角，可得
cosβ=
由两角差的余弦公式可得：cos （β-α）=cosβcosα+sinβsinα ==
故选：A ．
由公式sin 2α+cos 2
α=1结合角αβ所在象限，可得sinα，cosβ，然后代入两角差的余弦公式可得答
案．
本题为两角和与差的三角函数公式的应用，熟练运用公式是解决问题的关键，属基础题． 6.【答案】A
【解析】
解：由已知可得函数y=Asin （ωx+ϕ）的图象经过（-，2）点和（
-，2）
则A=2，T=π即ω=2
则函数的解析式可化为y=2sin （2x+ϕ），将（-
，2）代入得
-
+ϕ=
+2kπ，k ∈Z ， 即φ=
+2kπ，k ∈Z ，
当k=0时，φ=
此时
故选：A ．
根据已知中函数y=Asin （ωx+ϕ）在一个周期内的图象经过（-，2）和（
-，2），我们易分析出
函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A ，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin （ωx+ϕ）的解析式．
本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象确定其解析式，其中
A=|最大值-最小
值|，
|ω|=，φ=L•ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．
7.【答案】D
【解析】
解：点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，∴sinα=-2cosα，即tanα=-2，
则sin2α+cos（
2α+）=sin2α-
sin2α=
===，
故选：D．
利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】
解：根据信息：定义运算：，
则：函数f（x）=sinx*cosx=，
所以：根据函数的图象和性质的应用，
当sinx＞cosx时，函数的值域为：[
]，
当cosx≤sinx时，函数的值域为：[-1，1}，
故函数的值域为：[-1，1}．
故选：A．
函数的图象和性质的应用，主要考察分段函数的应用．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
9.【答案】A
【解析】
解：∵
∴移项
整理，得．
∵
，
∴，∴由此可得==．
故选：A．
根据变形，化简整理可得，由此代入即可得到的值．
本题给出平面内不共线四个点满足的向量等式，求两个向量模的比值，着重考查了向量的加法及其几何意义和向量的模性质等知识，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】
解：∵，
∴，
∴=2．
∵，∴，
化为，
∴，
解得．
故选：B．
利用向量的数量积运算即可得出．
本题考查了向量的数量积运算，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】
解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可
设=
+
（0≤λ≤1）．
∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=-1．
∴•
=[+]•
=
-+
=-（2λ-1）-4λ+1-λ
=-7λ+2．
∵0≤λ≤1，
∴（-7λ+2）∈[-5，2]．
∴•的取值范围是[-5，2]．
故选：D．
由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=
+
（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1
，可得=2×1×cos120°=-1．代入利用数量积运算
性质
即可得出•=-7λ+2．
再利用一次函数的单调性即可得出．
本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】
解：f（x）=cos2x-2sinxcosx
=cos2x-
=，
所以函数f（x）的周期为：，
①所以：若存在x1，x2有x1-x2=π时，
所以：x1=π-x2
则：f（x1）=f（x2）成立．
②
令：（k∈Z）
解得：
所以函数的单调递减区间为：[] 所以：f（x）在[-，]是单调递增不成立．
③
令：（k∈Z）
解得：x=
当k=0时，函数f（x ）关于点（，0）成中心对称图象．
④将函数的图象向左平移得到
y=
故与y=2sin2x重合相矛盾．则：（1）和（3）正确．
故选：B．首先把函数的关系式通过恒等变换变换成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出函数的周期，对称中心，及单调区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的性质求单调区间周期，及函数图象的平移问题，属于基础题型．
13.【答案】2
【解析】
解：x∈R ，向量=（x，1
），=（1，-2
），且
，
可得：x-2=0，解得x=2．
故答案为：2．
利用向量垂直，列出方程求解即可．
本题考查向量的垂直的充要条件的应用，是基础题．
14.【答案】135°
【解析】
解：由题意可得tanC=-tan（A+B）
=-=-=-1，
又∵C为三角形的内角，
∴C=135°
故答案为：135°
由题意tanC=-tan（A+B）
=-，代值结合角的范围可得．
本题考查两角和与差的正切函数公式，属基础题．
15.【答案】-
【解析】
解：因为 cos （-α）=sin
（+α）
=，
∴cos
（）=2-1=2×
-1=-，
故答案为-．
因为cos （-α）=sin
（+α）
=，利用二倍角公式求得cos （）的值．
该题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到cos （-α）与sin
（+α）中的角之间的余角关系，属于中档题．
16.【答案】[-1，1]
【解析】
解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其
中A
（
，）；B（1，0）；C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC=θ（
0≤θ≤）
有若=（cosθ，sinθ）=x （，）+y（1，0）；
整理得：x+y=cosθ
；x=sinθ，
解得x=，y=cosθ
-，
则
x-y=-
cosθ+=sinθ-cosθ=2sin（θ-），
其中（0≤θ≤）；
易知
x-y=-
cosθ+=sinθ-cosθ=2sin（θ-），为增函数，由单调
性易得其值域为[-1，1]
故答案为：[-1，1]
建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可．
本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
17.【答案】解：（1）∵=∴函数f（x）=sin x+sin（x+）
的最小正周期是2π．
（2）∵x∈R，-1≤sin x≤1
（2）=
∴f（x）的最大值为，最小值为…（8分）
（3）∵f（α）=sinα+sin（α+）=sinα+cosα=
∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=
∴sin2α=-1=
【解析】
（1）根据诱导公式可求出函数的解析式，推断f（x）的最小正周期是2π
（2）依上问f（x）=2sinx，根据正弦函数的性质推断f（x）的最大值是2，最小值是-2．（3）把α代入函数式，两边平方可得答案．
本题主要考查三角函数中诱导公式的使用．做题时注意灵活运用和差化积、倍角公式等公式．18.【答案】解：（Ⅰ），
∴，
（Ⅱ）依题意得：＜，
即＜，
∴λ2+3λ+1＜0，
解得：＜＜，
又当与的夹角为180°时，设且μ＜0，
∵ 与不共线，
∴ 得λ=-1，
∵与的夹角为钝角，
∴＜＜且λ≠-1，
即＜＜或＜＜．
【解析】
（Ⅰ）由
||2=代入即可求解；
（Ⅱ）由与的夹角为钝角，可知，去掉向量共线的情况即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解答的关键是性质的熟练掌握，属于中档试题19.【答案】解：（1）由已知得：，．∵α，β为锐角，∴，．∴，．∴ ．
（2）∵，∴ ．
∵α，β为锐角，∴＜＜，
∴．
【解析】
（1）先求出两个锐角α，β的余弦，再利用同角三角函数的关系求出其正弦，进而利用商数关系得到两角的正切值，代入正切的和角公式求值．
（2）同（1）先用正切的和角公式求出2α+β的正切，再根据其正切值求2α+β的值，再确定其值前
要先确定2α+β的取值范围．
本题考查两角和与差的正切函数，求解的关键是利用公式求出角的正切值，再求角．本题中涉及到了三角函数中的多个公式，变形灵活，做题时要注意转化正确．本题考查了转化化归的思想．
20.【答案】解：（1）∵向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．
∴f（x）=•cos+=sin+cos+=sin（+）+，
∴最小正周期T==4π，
2kπ-≤+≤2kπ+，
则4kπ-≤x≤4kπ+，k∈Z．
故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ-，4kπ+]，k∈Z；
（2）∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为
：y=g（x）=sin[（x-+）]+=sin（-）+，
∴则y=g（x）-k=sin（x-）+-k，
∵x∈[0，]，可得：-≤x-≤π，
∴-≤sin（x-）≤1，
∴0≤sin（x-）+≤，
∴若函数y=g（x）-k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，
∴实数k的取值范围是[0，]．
∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是0；
当0≤k＜1时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是2；
当k=0或k=时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是1．
【解析】
（1）通过平面向量数量积的运算，三角函数的恒等变形得到f（x）=sin （+）
+，根据正弦函数
的性质求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）先求得y=g（x）-k的解析式，从而可求g（x）的值域，由函数y=g（x）的图象与直线y=k
在的上有交点，可得实数k的取值范围．
本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．
21.【答案】解：（1）设∠CAB=α，∠CAD=β，
，，
∴ ，，…．（3分）
∴cos∠BAD=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=…..（6分）
（2）由得：…．（8分）
∴ …..（10分）
解得：，．…（12分）
【解析】
（1）设∠CAB=α，∠CAD=β，由AB=13，AC=10
，．可得α的余弦值
，又由，分别求出两个角的正弦值，代入两角和的余弦公式，可得答案．
（2）若，则，结合AD=5，及（1）中结论，可得x、y值．
本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，熟练掌握平面向量夹角公式及数量积公式是解答的关键．
22.【答案】解：（Ⅰ）∵在Rt△CHE中，CH=50，∠C=90°，∠CHE=x，
∴HE=
在Rt△HDF中，HD=50，∠D=90°，∠DFH=x，
∴HF=．
又∠EOF=90°，
∴EF=，
∴三条路的全长（即△HEF的周长）L=．
当点F在点D时，这时角x最小，求得此时x=；
当点E在C点时，这时角x最大，求得此时x=．
故此函数的定义域为[，]；
（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长L的最小值即可．
由（Ⅰ）得L=，x∈[，]，
设sin x+cos x=t，则sin x cosx=，
∴L=
由t=sin x+cos x=，x∈[，]，
得，
从而+1≤≤+1，当x=，即CE=50时，L min=100（），
所以当CE=DF=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．
【解析】
（Ⅰ）要将△HEF的周长L表示成x的函数关系式，需把△HEF的三边分别用含有x的关系式来表示，从而可求．
（Ⅱ）要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．利用换元法，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．
本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．。