2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷(新高考)数学试题(解析版)

2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新
高考）数学试题
一、单选题
1．设i 是虚数单位，若复数2
21z i i
=++，则z =（ ）
A ．
12
B ．1
C
D ．2
【答案】C
【分析】根据复数除法运算法则，分子分母同乘以共轭复数，计算出复数z ，再代入模长公式计算即可.
【详解】()22212
2212111i z i i i i i i i
-=+=+=-+=++-，故z = 故选：C.
2．设集合{}
24A x x =-<<，{
}
2
60B x x x =+-<，则A B =（ ）
A ．{}
22x x -<< B ．{}
32x x -<< C ．{}23x x -<< D ．{}
24x x <<
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为{}
24A x x =-<<，
{}
{}26032B x x x x x =+-<=-<<，
所以{}
22A B x x ⋂=-<<， 故选：A. 3．曲线1
ax
y x =
-在点()2,2a 处的切线方程为30x y b -+=，则（ ）． A ．3a =，12b =- B ．3a =-，0b = C ．3a =，0b = D ．3a =-，12b =-
【答案】D
【分析】根据导数几何意义求出函数在2x =处的导数就是其切线斜率即可求出a ，将点代入直线方程求出b .
【详解】解：由题意得()()
()
2
2
111a x ax
a
y x x --'=
=-
--，
所以()
2
2
21x a
y a ==-
=--'
，
因为直线30x y b -+=的斜率为3， 所以3a -=，故3a =-，
故切点为()2,6-，代入切线方程为30x y b -+=得12b =-． 故选：D.
【点睛】若已知曲线()y f x =过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线方程的方法 （1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=⋅-. （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；
第二步：写出过点11(,())P x f x '的切线方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；
第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-可得过点00(,)P x y 的切线方程. 4．意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，
()21n n n a a a n *++=+∈N ，若3579551k a a a a a a +++++
+=，则k =（ ）．
A ．2020
B ．2021
C ．59
D ．60
【答案】D
【分析】根据题意234456,a a a a a a +=+=⋅⋅⋅，将所求化简即可得答案. 【详解】依题意，3579591a a a a a +++++
+2357959a a a a a a ++++++=
457959a a a a a ++++=+
67959585960a a a a a a a +++
+=
=+==，则60k =．
故选：D
5．已知A ，B 为单位圆22:1O x y +=上的两点，且满足3AB =，点P 为圆O 上一动点，则AP PB ⋅的取值范围是（ ）． A ．33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ B ．31,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C ．13,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ D ．11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ 【答案】B
【分析】根据题意 ()()
AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-，化简整理可得
()
1
2
AP PB OP OA OB ⋅=⋅+-，设AB 的中点为M ，OM 与OP 的夹角为θ，利用
数量积公式，结合θ的范围，即可求得答案.
【详解】如图，圆的半径为1，且3AB =，易得120AOB ∠=︒．
由题意知()()
AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-2
OP OB OP OA OB OA OP =⋅--⋅+⋅
111cos120OP OB OA OP =⋅--⨯⨯︒+⋅()
1
2OP OA OB =⋅+-．
设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且1
2
OM =，
设OM 与OP 的夹角为θ， 则1122cos 22
AP PB OM OP OM OP θ⋅=⋅-
=- 11121cos cos 222
θθ=⨯⨯⨯-=-．
又因为[]0,πθ∈，所以AP PB ⋅的范围为31,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦． 故选：B
6．已知双曲线()2
22:10x C y a a
-=>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，
OF 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若OAF △的面积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）．
A ．2
B ．2
C ．
52
D ．5
【答案】C
【分析】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，取渐近线1
y x a
=
，则可求DF 的长，根据1
tan DF AOF OD a
∠=
=，结合题意，可求得a 的值，代入公式即可求得答案. 【详解】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，如图所示：
渐近线方程为1y x a =±，不妨取1
y x a
=，(),0F c ．其中2221c a =+， 则2
2
11DF a
=
=+，
因为D 为AO 中点．因为1
tan DF AOF OD a
∠==， 所以OD a =，2AO a =． 则1
2122
OAF S a =
⨯⨯=△．解得2a =， 所以离心率5
2
c e a ==
． 故选：C
7．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得60AB =米，60BC =米，40CD =米，60ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD 大约为（ ）．（结果精确到1米） 2 1.414≈3 1.732≈5 2.236≈7 2.646≈）
A ．39米
B ．43米
C ．49米
D ．53米
【答案】D
【分析】求出AC ，在CDA 中，用余弦定理即可求得AD . 【详解】在ACB △中，60AB =，60BC =，60ABC ∠=︒， 所以60AC =，
在CDA 中，2222cos60AD AC CD AC CD =+-⋅⋅︒
221
60402604028002
=+-⨯⨯⨯
=， 所以20753AD =≈（米）． 故选：D
【点睛】解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 8．已知关于x 的方程0x
x
k e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，则实数k 的取
值范围为（ ）．
A ．21e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．234e ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．11,
1e ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
D ．21,
12e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】D
【分析】转化为函数()x f x =
的图象与直线1y k =-有3个交点，利用导数得到函
数()f x 的单调性，作出函数的图象，根据图象列式可得结果. 【详解】因为关于x 的方程0x
x
k e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，即
1x k -=
恰好有3个不相等的实数根，
设()()x
x f x x e
=
∈R ，则函数()y f x =
的图象与直线1y k =-有3个交点，
当0x ≥时，()x
x f x e =
，故()()
2
1
1222x x
x
x e xe x x
f x xe e --'==
，当102x ≤<时，()0f x '>，当1
2
x >
时，()0f x '<， 所以函数()f x 在1
[0,)2上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减，且()00f =，
1222e f e ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 当0x <时，()x x
f x e
-=
，故()()
21
12202x x
x x e xe x x xe e f x '-
----==-<-，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，
函数()f x 的图象如图：
由图可知，12012e k f ⎛⎫
<-<=
⎪⎝⎭
， 所以211e k <<+. 故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、多选题 9．设函数()1
12
2x x f x --=+，则（ ）．
A ．()f x 在()0,∞+上单调递增
B ．()f x 的最小值是2
C ．()f x 的图象关于直线1x =对称
D ．()f x 的图象关于点()1,0对称
【答案】BC
【分析】先根据()()2f x f x =-可判断C 正确，AD 错误，再根据基本不等式即可判断B 正确．
【详解】解：对A ，D ，C ，
()1122x x f x --=+， ()(
)()
()21
121122
222x x x x f x f x ------+-=+==∴，
即()()2f x f x =-，
即()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确， 函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故AD 错误； 对B ，
1120,20x x -->>，
(
)11222x x f x --=+≥=∴，
当且仅当“1122x x --=”，即“1x =”时取等号，故B 正确. 故选：BC.
10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）． A ．若11a =，则数列{}n S n +为等比数列 B ．若11a =，则数列{}1n a +为等比数列 C ．若11a =-，则数列{}n S n +为等差数列 D ．若11a =-，则数列{}1n a +为等差数列
【答案】ACD
【分析】由n a 与n S 的关系可推出()112n n S n S n +++=+，若11a =则1120S +=≠，
由
11
2n n S n S n
+++=+可证明{}n S n +为等比数列；由A 求出数列{}n S 的通项公式从而可由1n n n a S S -=-求得{}n a 的通项公式；若11a =-则110S +=，可推出0n S n +=判断C 选项；此时由1n n n a S S -=-可推出10n a +=，即可判断D 选项. 【详解】因为111n n n n a S S S n ++=-=+-即121n n S S n +=+-，所以
()112n n S n S n +++=+．
若11a =，则1120S +=≠，所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++．
故数列{}n S n +是以2为首项，2为公比的等比数列，故A 正确；
由A 知2n n S n +=，则2n
n S n =-，
当2n ≥时，1
121n n n n a S S --=-=-，
由11a =，21a =，33a =可得112a +=，212a +=，314a +=，
即322111
11
a a a a ++≠++，故B 错误； 若11a =-，则110S +=，所以由()112n n S n S n +++=+，得0n S n +=， 此时数列{}n S n +为等差数列，故C 正确；
由C 知n S n =-，则当2n ≥时，()1[1]1n n n a S S n n -=-=----=-， 所以1n a =-，10n a +=，此时数列{}1n a +为等差数列，故D 正确． 故选：ACD
11．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，设每场比赛双方获胜的概率都为
1
2
，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．则下列说法正确的是（ ）． A ．最少进行3场比赛 B ．第三场比赛甲轮空的概率为
1
4
C ．乙最终获胜的概率为932
D ．丙最终获胜的概率
716
【答案】BCD
【分析】根据题意，依次分析选项，结合相互对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，故A 错； 第三场比赛甲轮空，即第三场是乙和丙比赛，则第二场甲一定参赛了，说明第一场甲赢了，第二场是甲和丙比赛，甲输了，所以第三场比赛甲轮空的概率为111224
P =⨯=，故B 正确；
记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，
记事件M ：甲赢，记事件N ：丙赢，则甲赢的基本事件包括：
BCBC ，ABCBC ，ACBCB ，BABCC ，BACBC ，BCACB ，BCABC ，BCBAC ，
所以甲赢的概率为()45
11972232
P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为()97
123216
P N =-⨯=． 故选：BCD
【点睛】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路： 1、将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；
2、将彼此互斥简单的事件中的简单事件，转化为几个已知概率的相互独立事件的积事件；
3、代入概率的计算公式进行运算.
12．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点D ，E 分别是AC ，AB 的中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点A '的位置（A '∉平面BCDE ），则在ADE 翻转过程中，下列说法正确的是（ ）．
A ．四棱锥A BCDE '-的体积的最大值是
98
B ．当二面角A DE B '--为直二面角时，102
A B '=
C ．一定存在某个位置，使平面A BC '⊥平面BCDE
D ．平面A ED '⊥平面BCD
E 时，四棱锥A BCDE '-外接球的表面积为13π
3
【答案】BD
【分析】对A ，平面A ED '⊥平面BCDE 3
公式计算；对B ，取ED 的中点M ，利用勾股定理即可计算；对C ，根据图像的特点，可知翻折的时候不会出现平面A BC '⊥平面BCDE 的情况；对D ，设球的半径，根据勾股定理列方程求解.
【详解】在翻折过程中，平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-体积最大，
1313333
323428
BCDE V S =⋅⋅=⋅⋅=，故A 错误．
对于B ，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示，
可得A M '⊥平面BCDE ，则22
22371022A B A M BM ⎛⎫⎛⎫''=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故B 正确．
对于C ，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上， 因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此C 不正确． 对于D ，平面A ED '⊥平面BCDE 时，
设外接球球心为O ，如图，易知BC 中点H 即为四边形BCDE 的外接圆的圆心， 设球的半径为R ，OH d =，
则有22
233d R ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，22
1d R +=，解得21312R =， 所以外接球的表面积为2
13π
4π3
S R ==，故D 正确． 故选：BD.
【点睛】关于立体几何的问题的判断，需要注意结合几何体的图分析，一般涉及二面角的问题的求解，一种是采用定义的方法，分别在两个平面内找与交线垂直的线，围成的角即为二面角的平面角，再采用勾股定理或者余弦定理求解角；另一种是利用空间向量的方法，计算平面的法向量，再代入数量积的公式计算.
三、填空题
13．已知函数()2log ,01,02x
x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭
⎩，且()()10f a f +-=，则实数a =______．
【答案】
14
【分析】先求()12f -=，得()2f a =-，结合解析式可得0a >，()2log 2f a a ==-，从而得解.
【详解】因为()12f -=，()20f a +=， 所以()2f a =-，
由()2log ,01,0
2x
x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭
⎩，知0x ≤时，()120x
f x ⎛⎫= ⎪⎭>⎝，
所以0a >，()2log 2f a a ==-，解得14
a =． 故答案为：
14
. 14．已知圆()2
2:11E x y +=-的圆心与抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 重合，
过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与圆E 交于M ，N 两点（其中A 点和M 点在第一象限），则AM BN ⋅=______． 【答案】1
【分析】由题意，求得抛物线方程为2
4y x =，设直线:1l x ty =+，联立方程组，求得
124y y =-，结合抛物线的定义求得1AM x =，2BN x =，根据
()2
22
1212
124416
y y y y BN M x A x ⋅==⋅=
，即可求解. 【详解】由题意，圆()2
2:11E x y +=-的圆心坐标为(1,0)，可得12
p
=，即2p =， 所以抛物线方程为2
4y x =，
设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =+，
代入抛物线方程，得2
440y ty --=，所以124y y =-，
因为圆E 的圆心为抛物线焦点F ，
根据抛物线的定义知，1AF x =+，21BF x =+，故1AM x =，2BN x =，
所以()2
22
121212
4416
y y y y BN M x A x ⋅==⋅=， 因为124y y =-，所以1AM BN ⋅=． 故答案为：1.
【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：
1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；
2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2
PF p
x =+
或2
PF p y =+
. 15．如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．
255
【分析】根据垂直关系得出111
332
BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，设BN x =，则可得(
)(56
21
26
20x x V x -=
<<，再利用导数可求出最值.
【详解】因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA CM ⊥， 又CM AB ⊥，PA
AB A =，所以CM ⊥平面PAB ，
因为PB ⊂平面PAB ，所以CM PB ⊥，
又因为CN PB ⊥，CM CN C ⋂=，所以PB ⊥平面CMN ， 又MN ⊂平面CMN ，所以PB MN ⊥， 三棱锥B CMN -体积111
332
BMN V S CM BN MN CM =
⋅=⨯⨯⋅⋅△，
由2PA AB ==，可知PAB △为等腰直角三角形，
设BN x =，则MN x =，BM =
，
在直角三角形ABC 中，又CM AB ⊥，所以2CM AM BM =⋅，
因为2AB =，所以2AM =，
所以CM =
故111
326V BN MN CM x =
⨯⨯⋅⋅=
16x ==
0x =<<，
令56u x =
-，则()
454
66x x x u ='-=，
令0u '=，则x =
当06x <<
时，0u '>；当6
x <<0u '<，
故当6
x =
56u x =-取最大值，
此时V 也取最大值，最大值为2
max
16V =⎝⎭
125125618618=⨯=⨯=
．
. 【点睛】本题考查立体几何中的体积问题，解题的关键是证明垂直关系，得出
11320V BN MN CM x =⨯⨯=⋅⋅<<，利用导数求出最值.
四、双空题
16．已知函数()sin 2sin f x x x =⋅，则()f x 的最小正周期为______；()f x 的最大值为______．
【答案】π
【分析】由正弦函数性质先确定()f x 的一个周期是π，然后证明π是最小正周期，在
(0,)π上利用导数确定函数的单调性，结合(0)()0f f π==可得最小正周期，从而可
得最大值．
【详解】由题()sin 2sin f x x x =⋅，
则()()()()πsin 2πsin πsin 2sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅-=⎡⎤⎣⎦， 从而π是函数的周期，当0πx ≤≤，()sin 2sin f x x x =⋅，
则()6sin cos cos f x x x x ⎛'=+- ⎝⎭⎝⎭
，
设0παβ<<<，且cos α=
，cos β=，
则当0x α<<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当x αβ<<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当πx β<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，
又()()π00f f ==，所以函数的最小值正周期是π，最大值为()9
f α=．
故答案为：π． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最小正周期．方法是由部分函数的性质确定函数的一个周期，然后证明此周期是最小正周期即可，证明时可在一个周期内确定函数的性质，如单调性，以排除此区间内的周期性．从而得最小正周期．
五、解答题
17．在①2
cos 3
B =-；②7a =；③3b =，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，
使问题中的三角形存在，并求ABC 的面积．
问题：在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，已知
()sin sin sin B C A C -=-，补充的条件______和______．
【答案】答案见解析.
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin 0C ≠，可得1
cos 2
A =，结合A 的范围可求π
3A =
，若补充的条件中有①，则21cos 32
B =-<-且(0,)B π∈，可得23
B π
>
,推出A B π+>，矛盾；可得只能补充的条件为②③，利用余弦定理解得c
的值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】在ABC 中，πA B C ++=， 那么由()sin sin sin B C A C -=-， 可得()()sin sin sin A C C A C +-=-，
sin cos cos sin sin sin cos cos sin A C A C C A C A C +-=-，
∴2cos sin sin 0A C C =≠，∴1cos 2
A =， ∴在ABC 中，π3
A =
． 补充的条件为②③时，三角形存在， 补充的条件为①②或①③时，三角形不存在， 理由如下：
若补充的条件中有①，
因为21cos 32
B =-<-，且()0,πB ∈，所以2
π3
B >． 所以πA B +>，矛盾．
所以ABC 不能补充的条件①，只能补充的条件为②③， 因为2222cos a b c bc A =+-，
所以222
1
73232
c c =+-⨯⨯⨯
，解得8c =，或5c =-（舍）．
所以ABC 的面积1sin 2
S bc A ==． 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变形推出π
3
A =
，结合此条件可排除选择①是解决此问题的关键所在，选②③后利用余弦定理求边c ，根据三角形面积公式即可求解.
18．已知数列{}n a 是等差数列，23a =且2
372a a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若10a >，设数列{}n b 满足23
1232222n n n b b b b a +++
+=，n *∈N ，求数列
{}n b 的前n 项和．
【答案】（1）1n a n =+或()31n a n =-；（2）31
22
n n T =
-. 【分析】（1）设等差数列的基本量1,a d ，根据条件建立方程组解出，可求解通项公式 （2）由数列{
}2n
n b ⋅的前n 项和为1n +，可先求出{
}
2n
n b ⋅的通项公式（注意分类讨
论），再求出n b ，再求出{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）∵23a =，∴13a d +=， ①
∵2
372a a =，∴()()2
11226a d a d +=+， ②
由①②得：112d a =⎧⎨=⎩或1
3
0d a =⎧⎨=⎩，
当1
1
2d a =⎧⎨
=⎩时，1n a n =+． 当1
30d a =⎧⎨=⎩时，()31n a n =-．
所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+或()31n a n =-． （2）∵10a >，∴1n a n =+，
2312322221n n b b b b n ++++=+， ①
()231123122222n n b b b b n n --+++
+=≥， ②
①－②得：21n
n b =，2n ≥， 得1
2n n
b =
，2n ≥， 1n =时，11b =不满足上式，所以1,11
,22n n
n b n =⎧⎪
=⎨≥⎪⎩， 所以2n ≥时，1223
1111222n n n
T b b b =++
+=+
+++
211113122112212
n n -⎛⎫- ⎪
⎝⎭=+=--，
当1n =时，11T =满足上式，所以3122n n
T =
-． 【点睛】1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；
2、给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，
再求n a .
19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，
160ABC A AC ∠=∠=︒，1AC BA ⊥．
（1）证明：11A A A C =；
（2）若二面角1A AC B --为直二面角，求直线BD 与平面1A BC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）
5
5
． 【分析】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，证明1A O 是AC 中垂线即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面1A BC 的法向量，利用线面夹角公式
sin n BD n BD
θ⋅=
代值计算即可.
【详解】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，
因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 及BD 的中点． 因为1AC BA ⊥，1BD
BA B =，所以AC ⊥平面1A BO ．
因为1
AO ⊂平面1A BO ，所以1A O AC ⊥， 又AO CO =，所以11A A A C =． （2）因为1A O AC ⊥，BO AC ⊥，
所以1A OB ∠即为二面角1A AC B --的平面角，
因为二面角1A AC B --为直二面角，所以1A O OB ⊥， 从而OB ，OC ，1OA 两两垂直，
如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系，
因为底面ABCD 为菱形，11A A A C =，160ABC A AC ∠=∠=︒， 所以ABC 和1A AC 均为等边三角形， 设2AB =，则)
3,0,0B
，()0,1,0C ，(13A ，(
)
3,0,0D -．
()3,1,0BC =-，(1
3,0,
3BA =-
，()23,0,0BD =-，
设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，
可得10
0n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30330
x y x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
不妨令1x =，则3y =
1z =，可取()
1,3,1n =，
设直线BD 与平面1A BC 所成角为θ， 则235
sin 523
n BD n BD
θ-⋅=
=
=
⋅ 所以直线BD 与平面1A BC 5． 【点睛】利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：
（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).
（2）通过平面的法向量来求.若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面
α的法向量n 的夹角为β，则2
π
θβ=
-或2
π
θβ=-
，故有sin cos l n l n
θβ⋅==
⋅.
20．设椭圆()22
122:10x y C a b a b
+=>>的左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，F
是椭圆1C 的右焦点，且椭圆1C 的焦距为2，过点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线AD 和AE 分别与直线4x =交于点M ，N ． （1）求椭圆1C 的方程；
（2）2
2
MF NF +是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）存在，36． 【分析】（1）求出抛物线的准线方程为2x =-，求得(2,0)A -，求得2a =，利用焦距求出c ，即可求得椭圆的方程；
（2）设()()()004,,4,,,M m N n D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，写出AM 的方程，联立方程组，利用根与系数的关系及判别式，求出D 得坐标，然后推出直线FD 的斜率,FD FE k k ，利用数量积为0，转化为2
2
2
MF NF
MN +=，即可求解.
【详解】（1）由题意，抛物线22:8C y x =的准线为2x =-，
椭圆左顶点A 在抛物线2
2:8C y x =的准线上，所以()2,0A -，2a =，
椭圆1C 的焦距为2，所以22c =，所以1c =，所以2223b a c =-=，
所以椭圆1C 的方程为22
143
x y +=．
（2）2
2
MF NF +存在最小值为36，理由如下：
设()4,M m ，()4,N n ，()00,D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，易知0m ≠，
0n ≠，
直线AM 的方程为()26
m
y x =
+， 联立得()22
26143
m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()()2222
27441080m x m x m +++-=，
则(
)()()2
222442741080m
m m ∆=-+->成立，
由2024108227m x m --=+，解得2
02
54227m x m
-=+， 所以()002182627m m
y x m =+=+，所以22254218,2727m m D m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，
当3m =时，2
2
542127m m
-=+，即DE x ⊥轴， 由椭圆的对称性可得3n =，即3MP FP NP ===， 又因为
3PF =，90MPF NPF ∠=∠=︒，所以45MFP NFP ∠=∠=︒，
90MFN ∠=︒，
此时2
2
2
36MF NF
MN +==，
当3m ≠时，3n ≠，直线FD 的斜率222
2
180********
27FD
m
m
m k m m m -+==---+， 同理2
69FE n
k n
=
-， 因为DE 过点F ，所以
22
6699m n
m n =--，所以9mn =-，
()3,FM m =，()3,FN n =，90FM FN mn ⋅=+=
所以90MFN ∠=︒，2
2
2
MF NF
MN +=，3m ≠且3n ≠，
所以6MN MP NP m n =+=+>==，
222
36MF NF MN +=>，
综上可知，2
2
MF NF +的最小值为36． 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线
0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关
系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情
况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
该网络公司每销售一件“小型会议”，“中型会议”，“大型会议”产品，可以获得的销售利润分别为150，350，550（单位：元）．
（1）根据统计结果估计该网络公司每销售一件网络会议产品获得的平均销售利润； （2）该公司为了解月广告费用x （单位：万元）对月销售量y （单位：百件）的影响，对近5个月的月广告费用i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，发现
k y a x =⋅可以作为月销售量y （百件）关于月广告费用x （万元）的回归方程，同时
得到如下一些统计量的值．
表中ln i i u x =，ln i i v y =，51
15i i u u ==∑，5
115i i v v ==∑．
（ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（取 4.15964e =）
（ⅱ）结合（ⅰ）的结果及所求的回归方程估计该公司应投入多少广告费，才能使得该产品月收益达到最大？（收益＝销售利润－广告费用）
参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的
斜率和截距的最小二乘估计分别为()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i u u v v u u β
==--=-∑∑，ˆˆa
v u β=-． 【答案】（1）400元；（2）（ⅰ）1
464y x =；（ⅱ）256万元.
【分析】（1）根据题意，写出每销售一件网络会议产品的销售利润的分布列，计算期望；（2）对函数取对，换元以后代入最小二乘法计算回归方程；（3）根据收益＝销售利润－广告费用，列出函数关系式，换元以后求导，判断函数的单调性，即可得函数的最大值.
【详解】（1）设每销售一件网络会议产品的销售利润为ξ元， 则ξ的所有可能取值为150，350，550， 三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，
所以()1500.15P ξ==，()3500.45P ξ==，()5500.4P ξ==， 所以随机变量ξ的分布列为：
所以()1500.153500.455500.4400E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故每销售一件网络会议产品的销售利润估计值为400元．
（2）（ⅰ）由b y a x =⋅得，(
)ln ln ln ln b
y a x
a b x =⋅=+，
令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，
由表中数据可得，()()
()
5
1
5
2
1
0.41
ˆ0.251.64
i
i
i i
i u u b
u u υ
υ==--==
=-∑∑， 则24.8716.30
ˆˆ0.25 4.15955
c
bu υ=-=-⨯=， 所以，ˆ 4.1590.25u υ
=+，即(
)
1
44.159ˆln 4.1590.25ln ln y x e x =+=⋅， 因为 4.15964e =，所以1
4ˆ64y x =， 故所求的回归方程为1
464y x =．
（ⅱ）设月收益为z 万元，则()1
4256z E y x x x ξ=⋅-=-，
设14t x =，()4
256f t t t =-，则()()
332564464f t t t '=-=-，
当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增， 当()4t ,∈
+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，
所以当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，
即该公司投入256万元广告费，能使得该产品每月的收益达到最大768万元． 【点睛】关于概率统计类的解答题，一是考查随机变量及其分布，正态分布问题，一般
需要列分布列求解期望，需要注意题目是属于超几何分布问题还是二项分布问题；二是考查回归分析，利用最小二乘法求解回归方程，如果是非线性的情况需要换元变为线性的情况求解；三是考查样本估计总体，频率分布直方图，需要计算中位数、平均数和方差等数字特征；四是考查独立性检验问题，建立22⨯列联表，代入公式计算卡方比较大小判断.
22．已知函数()()2ln 2x
f x e x ax a =--∈R 在点1
1,22f
⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线与y 轴垂直．
（1）求实数a 的值；
（2）()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）22a e =-；（2）(],0-∞． 【分析】（1）求出导数，由题可知102f ⎛⎫
=
⎪⎭
'⎝，即可求出a ； （2）可知2121f k
⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得0k ≤，再利用导数求出()f x 的最小值112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，即可判断.
【详解】（1）()21
2x
f x e
a x
'=--， ()f x 在12x =
的切线斜率为12202f e a ⎛⎫
=--= ⎪'⎝⎭
，解得22a e =-． （2）由（1）知，()()2ln 222x
f x e x e x =---，
由()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，故有2
121f k
⎛⎫≥+
⎪⎝⎭， 又112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，故112k +≤，从而0k ≤，
由()()2ln 222x
f x e
x e x =---，
则()21222x
f x e
e x '=--+，()2214x
f x e x
''=+， 由()f x ''在()0,∞+上恒大于零，()f x '在()0,∞+上单调递增， 又102f ⎛⎫
=
⎪⎭
'⎝，故102x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 1
2
x >
时，()0f x '>，()f x 单调递增，
故()f x 有最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 而当0k ≤时，
112k x +≤恒成立，即()12
f x k
x ≥+恒成立， 故实数k 的取值范围为(],0-∞．
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用导数求出函数()f x 的最小值，结合不等式恒成立得解.。