四川省2019-2020年高一下学期期末考试数学(文)试题
2019-2020学年四川省成都市高一下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
【答案】B
【解析】根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等分析求解.
【详解】
由三视图的画法，可得侧视图如下：
故选：B
【点睛】
本题主要考查三视图，还考查了空间想象的能力，属于基础题.
3．二次不等式 的解为全体实数的条件是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据二次函数图像的特征判断即可.
（1）求角 的大小；
（2）若在该产业园区内再规划一个核心功能区 （ 、 是边 上的点），且 ， ， 米，求核心功能区 面积的最小值.
【答案】（1） ；（2） 平方米.
【解析】（1）由正弦定理将 边化角可求出 ，即可求出角 ；
（2）记 ，则 ，则 ，利用正弦定理可以表示出 和 ，利用面积公式表示出面积，再根据 的取值范围即可求出 面积的最小值.
【详解】
二次不等式 的解为全体实数，即二次函数 恒成立，即二次函数图像不在 轴下方，因此需要开口向上，并且与 轴无交点或有且只有一个交点，因此 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立的问题，属于基础题.
4．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由二倍角的余弦公式可直接求解.
所以 为递增数列，故
因为 ，则 ，故
所以
【点睛】
本题主要考查数列通项与前n项和的关系，等比数列的定义，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．已知函数 .
（1）当 时，求当 时，函数 的值域；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】(1)利用 代入化简 ，再用基本不等式求值域即可；
2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末考试数学(文)试题及答案
2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末考试数学（文）试题及答案一、单选题1．已知实数a ，b 满足0a b >>，则下列不等式不成立的是（）A ．22a b >B ．22a b b a <C ．22a b ab >D ．11a b<2．已知数列{}n a 的通项为23n a n =-，若3a ，6a ，m a 成等比数列，则m =（）A ．9B ．12C ．15D ．183．已知向量(1,2)a = ，(,4)b x = ，(2,)c y = ，若//a b r r ，a c ⊥，则()b a c ⋅-= （）A ．14B ．-14C ．10D ．64．设sin18cos 44cos18sin 44a =︒︒︒+︒，2sin 29cos 29b =︒︒，cos30c =︒，则有（）A ．c a b<<B ．b c a<<C ．a b c<<D ．b a c<<5．已知数列{}n a 首项12a =，且当*N n ∈时满足12n n a a +-=，若△ABC 的三边长分别为4a 、5a 、6a ，则△ABC 最大角的余弦值为（）A ．916B ．58C ．34D ．186．已知函数234()x x f x x++=，对于任意12x ≥时下列说法正确的是（）A ．函数最小值为7B ．函数最小值为232C ．函数最大值为7D ．函数最大值为2327．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a，b ，c ，已知3A π=，b ，3a =，则C ∠=（）A ．4πB ．3πC ．512πD ．6π8．已知点()11,A x y 在函数cos y x x =+的图象上，点()22,B x y 在函数5y =的图象上，则||AB uuu r的最小值为（）A ．2B ．5C ．4D ．39．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢?（）A ．16日B ．12日C ．9日D ．8日10．在四边形ABCD 中，AB DC ==，||||BA BC BD BA BC BD+= ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．BC ．D ．211．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（）A ．BC ．D ．12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则2a c ac a c+-+的最小值（）A ．12B ．2C ．14D ．4二、填空题13．sincos 1212ππ=__________．14．在等腰Rt ABC 中，斜边BC =AB c = ，BC a = ，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅= _____.15．在数列{}n a 中，11a =，212(2)n n n a a n ---=≥，则n a =_____.16．下列四个命题中正确的是_____.（填序号）①若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰三角形；②若a b <，x ∈R ，则bb xa a x+<+；③设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202011S S =﹣，则20211S >；④函数2()f x =的最小值为三、解答题17．已知3,4a b == ，且a 与b 不共线.（1）当向量a kb + 与a kb -互相垂直时，求k 的值；（2）当a 与b的夹角为3π时，求a b + 的模.18．某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <≤时，年利润为21()2R x x =-20250x ++，当35x >时，年利润为()18005202R x x x=--+.（1）若公司生产量在035x <≤且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围；（2）求公司年利润()R x 的最大值.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27a =，440S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得22020n T λ≤-对所有*N n ∈都成立的实数λ的范围.20．设函数22()cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，其外接圆直径为3()2f A =，求ABC 的周长l 的范围.21．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中x ∈R ，0A >，0>ω，02πϕ<<）的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点.若6OQ =，4OP =，PQ =.（1）求POQ ∠的大小；（2）求函数()y f x =的解析式；（3）若[2,2]α∈-，3()2f α=，求sin 8πα的值.22．已知数列{}n a 满足()2*12324623N nnn n n a a a a +++⋅⋅⋅=+∈.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设2(1)2nn n b n a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ，当2n 114m m S ≥++对一切正整数n 恒成立时，求实数m 的取值范围.数学（文）试题参考答案1-10BACBD ACDCA 11-12BA13.1414.2-15.12n -16.③④17.解：（1）因为3,4a b == ，且a 与b不共线，向量a kb + 与a kb - 互相垂直，所以()()22229160a kb a kb a k b k +⋅-=-=-= ，解得34k =±，（2）当a 与b 的夹角为3π时，a b +==== ，18.解：（1）当035x < 时，令21()202504002R x x x =-++ ，即2403000x x -+≤，解得1030x ，所以生产量x 的范围是1030x ；（2）当035x < 时，222111()20250(40)250(20)450222R x x x x x x =-++=--+=--+，故此时()R x 在(0,20)上单调递增，在(20,35)上单调递减，则此时()R x 最大值为(20)450R =；当35x >时，116001()(52052048022R x x x =-++≤-⨯+=，当且仅当160040x x==时，等号成立，则此时()R x 最大值为(40)480R =，综上公司年利润()R x 的最大值为480万元．19.解：（1）设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，若27a =，440S =．所以117434402a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得116a d =⎧⎨=⎩，所以65n a n =-．（2）由（1）得：13n n n b a a +=，3111()(65)(61)26561n n n n ==--+-+，所以111111111(1(12771365612612n T n n n =-+-+⋯+-=-<-++．所以22020n T λ- 对所有*n N ∈都成立只需满足12020λ- ．故2021λ ，即[2021λ∈，)+∞．20.解：（1）由题意，函数22()cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭13cos 22cos 2122x x x =--++1cos 2sin 21cos(2)1223x x x π=-+=++，令223x k ππ+=，解得,6=+∈x k k Z ππ，所以当,6=+∈x k k Z ππ时，函数取得最大值2.（2）由3()2f A =，即3cos(2132A π++=，整理得1cos(232A π+=，因为0A π<<，则70233A ππ<+<，所以5233A ππ+<，解得23A π=，所以2sin 32a R A ===，2sin 2sin sin )b c R B R C B C +=+=+sin()])33B B B ππ=+-=+，因为03B π<<，则2333B πππ<+<，所以sin()123B π<+≤，所以(3,b c +∈.故三角形的周长为(6,3l a b c =++∈+.21.解：（1）在OPQ △中，2221636281cos 22462OP OQ PQ POQ OP OQ +-+-Ð===,3POQ p\Ð=;（2）由（1）知2,P P x y ==，即(2,P ，A \=，周期()46216T =´-=，即216πω=，8πω∴=，将P代入())8f x x πϕ=+，得sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πϕ<<，4πϕ∴=，())84f x x ππ∴=+；（3）3()sin()842f ππαα=+=，1sin()844ππα∴+=，22a - ，0842p p pa \£+£，15cos844p p a \+=，sinsin 84844p p p p pa a \+=+-sincos cos sin 844844p p p p p pa a =+-+1215223042428-=-´=.22.解：（1）当1n =时，124a =，所以112a =，当2n ≥时，212324623n nn n a a a a +++⋅⋅⋅=+①，212312462(1)(1)3(1)n n n n a a a a --+++⋅⋅⋅=-+-②，由①-②得222n n n a =+，所以1n na n =+，当1n =时也符合此式，综上可知*()1n na n N n =∈+.（2）因为2(1)2n n n b n a =+⋅，所以4nn b n =⋅，所以231424344nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯③，234141424344n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯④，由③-④得：2311113444444(14)4444414314()433n n n n n n n n S n n n n ++++-=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅-=-⋅=-⋅-=--所以1314499n n n S +-=⨯+，又因为0n b >，所以n S 的最小值为14S =，所以21414m m ≥++，所以62m -≤≤，即实数m 的取值范围是[]6,2-.。
2019-2020学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．如果0a b <<，则下列不等式中成立的为（ ） A ．1a b< B ．1ab <- C ．1a b> D ．11a b< 【答案】C【解析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项. 【详解】令2,1a b =-=-，则21ab=>，所以A 错误， 令2,1a b =-=-，则1121,ab a b=>->，所以BD 选项错误.由1a a b b b--=，其中0,0a b b -<<，所以10a a bb b --=>，所以1a b >成立. 故选：C 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查差比较法，属于基础题.2．已知2a xi j =+，3b i y j =+（i ，j 不共线），若//a b ，则xy 的值为（ ） A ．6 B ．23C ．6-D ．23-【答案】A【解析】由题得,a b λ=化简方程3,2x y λλ=⎧⎨=⎩即得解. 【详解】 因为//a b ，所以,2(3)a b xi j i y j λλ=∴+=+所以3,62x xy yλλ=⎧∴=⎨=⎩. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量平行的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，3b =，30A =︒，则角B 等于（ ） A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质求得B . 【详解】由于3a b ==，等腰对等角，所以A B 30==︒. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题.4．如图，ABC 中，已知2CD DB =，则AD =（ ）A ．1233AB AC + B ．3144AB AC C ．1344AB AC D ．2133AB AC + 【答案】D【解析】利用向量加法、减法和数乘运算确定正确选项. 【详解】依题意()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+. 故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量加法、减法和数乘运算，属于基础题. 5．不等式21x x --≥0的解集是( ) A ．［2, +∞） B ．(],1-∞∪(2, +∞） C ．(－∞,1) D ．(－∞,1)∪［2,+∞)【答案】D 【解析】因为不等式21x x --≥0等价于(2)(1)0{1x x x --≥≠，解得可知选(－∞,1)∪［2,+∞)，选D6．数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，13n n a a --=，则5a 的值为（ ） A ．12 B ．12-C ．15D ．15-【答案】C【解析】判断出{}n a 是等差数列，由此求得5a . 【详解】由于数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为13a =，公差为3的等差数列，所以51431215a a d =+=+=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的定义，考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 7．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反； ③若//a b 且//b c ，则//a c ； ④若a b =，则2a b >． 其中正确的命题个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数. 【详解】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的.②，若//a b ，则可能b 为零向量，方向任意，所以②错误.③，若//a b 且//b c ，则可能b 为零向量，此时,a c 不一定平行，所以③错误. ④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误. 故正确的命题有1个. 故选：B 【点睛】本小题主要考查相等向量、共线向量、零向量等知识，属于基础题.8．如图，底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱相等，且PA AB =，E ，F 分别为棱PA 和PC 上的两点，3PE =，6PF =，F 处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到E 处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．35B ．52C ．37D ．9【答案】C【解析】根据四棱锥P ABCD -的结构特征， 沿P A ，PC 剪开展成平面时EF 最短，然后在PEF 中，利用余弦定理求解.【详解】 如图所示：因为底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱相等，且PA AB =， 所以四棱锥P ABCD -是正四棱锥且所有的棱都相等， 当沿P A ，PC 剪开展成平面，EF 最短，在PEF 中，3PE =，6PF =，120EPF ∠=︒， 由余弦定理得2222cos EF PE PF PE PF EPF =+-⋅⋅∠ 1936236632⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 解得 37EF =所以蚂蚁爬行的最短距离为故选：C 【点睛】本题主要考查四棱锥的结构特征以及展开图的应用，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.9．已知正项等比数列{}n a ，向量()3,9a a =-，()9,3b a =，若a b ⊥，则3537log log a a +，的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据a b ⊥，得到3927a a =，再根据数列{}n a 是正项等比数列，得到395727a a a a ==，然后利用对数运算求解.【详解】已知向量()3,9a a =-，()9,3b a =， 因为a b ⊥， 所以3927a a =，又因为数列{}n a 是正项等比数列， 所以395727a a a a ==，所以35373573log log log log 273a a a a +===， 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及等等比数列的性质和对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．医院食堂用两种原料为手术后的病人配制营养食品，甲种原料每1千克含2单位蛋白质和1单位铁质，售价30元；乙种原料每1千克含1单位蛋白质和3单位铁质，售价20元．若病人每餐至少需要3单位蛋白质和4单位铁质，则所需最低费用为（ ） A ．30元 B ．45元C ．50元D ．60元【答案】C【解析】利用线性规划的知识，结合图象求得最低费用.【详解】设购买甲x千克，购买乙y千克，则2334,0x yx yx y+≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，目标函数3020z x y=+.画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线30200x y+=到可行域边界点()1,1A时，目标函数z取得最小值为30120150⨯+⨯=.故选：C【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，属于基础题.11．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A．①②④B．②③C．①②D．②③④【答案】A【解析】对截面与正方体的侧面与底面的位置关系进行分类讨论，进而可得出截面形状. 【详解】如下图所示：当截面平行于正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 时，截面形状为④； 当截面经过A 、B 、1C 、1D 时，截面形状为②；当截面经过正方体1111ABCD A B C D -的体对角线时，截面形状可能为①；对于截面③，截面需经过正方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，只可能是A 、B 、1C 、1D 或1A 、1B 、C 、D 四点，但四边形11ABC D 和四边形11A B CD 不是正方形，所以，截面形状不可能为③. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体截面形状的判断，要对截面与正方体各面的位置关系进行分类讨论，考查空间想象能力，属于中等题.12．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 中必存在值为1的项．若01a =，则5a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据01a =，由()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数递推求解.【详解】因为01a =，()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，所以13114a =⨯+=， 2422a ==， 3212a ==， 43114a =⨯+=，5422a ==， 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的递推，属于基础题.二、填空题13．在正项等比数列{}n a 中，3122a a a =+，则该数列的公比q =______． 【答案】2【解析】将已知条件转化为1,a q ，由此求得q . 【详解】由3122a a a =+得21112a q a a q =+，即220q q --=，解得2q或1q =-（舍去）.故答案为：2 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 14．已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______． 【答案】3【解析】利用基本不等式求得1aa b+的最小值. 【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：3 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.15．已知M，N为平面区域401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，向量()1,0a=，则MN a⋅的最大值是______.【答案】2【解析】据题意，由于M，N为平面区域401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，则不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a⋅≤（当且仅当MN与a共线同向时等号成立）从而求得最大值.【详解】由401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图由条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可得()()()1,1,2,2,3,1A B C由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a MN⋅≤=（当且仅当MN与a共线同向时等号成立），即当MN所在直线平行于=(1,0)a所在直线且方向相同的时候得到大值，MN的最大长度为直线=0x y-与1y=的交点(1,1)与直线4=0x y+-和1y=的交点(3,1)的距离.22(31)(11)2-+-=，故答案为：2【点睛】解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用a b a b ⋅≤（当且仅当b 与a 共线同向时等号成立）得到结论．属于中档题.三、双空题16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为______，该四面体的外接球的表面积为______．【答案】3 22π【解析】将三视图还原为原图，由此计算出四面体的体积，利用补形的方法，求得四面体的外接球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体如下图所示几何体1A ABC -.其体积为11323332⨯⨯⨯⨯=. 将几何体补形为长方体，几何体外接球的直径也即长方体的对角线，设外接球的直径为2R ，则()2222232322R =++=，即2422R =.所以外接球的表面积为2422R ππ=. 故答案为：3；22π【点睛】本小题主要考查三视图，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题.四、解答题17．已知1a =，2b =，()a b a -⊥． （1）求a b ⋅；（2）求a b -与b 的夹角． 【答案】（1）1a b ⋅=；（2）56π． 【解析】（1）由()()0a a b b a a -⇒-⋅=⊥，由此列方程，化简后求得a b ⋅的值. （2）先求得()a b b -⋅、a b -，由此利用向量的夹角公式，计算出a b -与b 的夹角. 【详解】（1）因()a b a -⊥，则()0a b a -⋅=即()20a b a -⋅=，又1a =，所以1a b ⋅=（2）设a b -与b 的夹角为θ．由（1）题与2b =得()()23a b b a b b-⋅=⋅-=-，()()()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=，则()3cos 2a b b a b bθ-⋅==--⋅，[]0,θπ∈所以56πθ=. 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，2a =．（1）若1c =，求b ；（2）若ABC ，求c ． 【答案】（1）b =（2）2．【解析】（1）根据A ，B ，C 成等差数列，利用等差中项得到3B π=，再由2a =，1c =，利用余弦定理求解.（2）根据ABC2a =，3B π=，由1sin 2ABCSac B ==解. 【详解】（1）因为A ，B ，C 成等差数列，即2B A C =+， 又A B C π++=， 所以3B π=又2a =，1c =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，解得b =（2）因为ABC所以1sin 2ABCSac B == 又2a =，3B π=，解得2c =. 【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用以及等差中项的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知156a a +=，36S =． （1）求n a 及n S ； （2）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <．【答案】（1）n a n =；21122n S n n =+；（2）证明见解析． 【解析】（1）利用已知条件求得1,a d ，由此求得n a 及n S . （2）利用裂项求和法求得n T ，进而证得1n T <. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由15366a a S +=⎧⎨=⎩即()11146336a a d a d ⎧++=⎨+=⎩解得111a d =⎧⎨=⎩所以()11n a a n d n =+-=()21111222n n n S na d n n -=+=+ （2）由（1）可知：()11111n b n n n n ==-++则123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+11111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+ 因为101n >+ 所以1n T <成立. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式、前n 项和公式，考查裂项求和法，属于中档题. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E ，F 分别为AB ，PC 的中点，求证：（1）//EF 平面PAD ； （2）平面PDC ⊥平面PAD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）证明//EF 平面PAD 内的一条直线AM ，即可得答案； （2）证明CD ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定理证明即可； 【详解】（1）证明：设M 为PD 的中点，连接MA ，MF （如图）， 则MF 为PDC △的中位线， 所以//MF DC 且12MF DC =∵四边形ABCD是正方形，E为AB的中点∴//AE DC且12AE DC=故MF AE//且MF AE=，∴四边形AEFM为平行四边形则//EF AM，又因EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD所以，//EF平面PAD（2）证明：∵侧面PAD⊥平面ABCD，侧面PCD平面ABCD AD=四边形ABCD为正方形，所以CD AD⊥∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD又∵CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．【点睛】本题考查线面平行判定定理和面面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力.21．n S是数列{}n a的前n项和，1122nnS-⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）证明{}n a的等比数列；（2）设1nnnba+=，求数列{}nb的前n项和nT．【答案】（1）证明见解析；（2）2nnT n=⋅．【解析】（1）根据1122nnS-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合n S与n a的关系，求得()*112n na n N-=∈，再根据等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）和题设条件，求得()112nnb n-=+⋅，结合成公比错位相减法，即可求得数列的前n项和.【详解】（1）因为1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2n ≥时，21122n n S --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两式相减，可得1112n n n n a S S --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即112n n a -=()2n ≥， 又由当1n =时，0111212a S ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，也满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式()*112n n a n N -=∈， 又由211121212(2,)1222n n n n n n a n n N a --+---===≥∈， 所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比12q =的等比数列.（2）由（1），可得()1121n nn n b a n -=+⋅+=， 所以()012122324212n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅，可得()12122232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅，两式相减，可得()()121222212n nn T n --=++⋅⋅⋅+--⋅，()2221212n n n -=+-+⋅-()2nn =-⋅，所以数列{}n b 的前n 项和2nn T n =⋅.【点睛】本题主要考查等比数列定义及的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c2sin a B =． （1）求A ；（2）若1b =，求c 的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（12sin a B =2sin sin B A B =求解.（2）由ABC 是锐角三角形， 则222222b ac c a b ⎧<+⎨<+⎩，然后由1b =，3A π=，利用余弦定理得到221a c c =-+，代入上面不等式组求解. 【详解】（12sin a B =，2sin sin B A B =， 因sin 0B ≠，得sin 2A =，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3A π=，（2）（解法一）因1b =，3A π=，由余弦定理得：22222cos 1a b c bc A c c =+-=-+， 因为ABC 是锐角三角形，所以，cos 0cos 0B C >⎧⎨>⎩，即222222b ac c a b ⎧<+⎨<+⎩， 代入得2221212c c c c c ⎧<-+⎨<-+⎩且0c >， 解得：122c <<， 即c 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． （解法二）因为1b =，3A π=，由正弦定理：sin sin b cB C =得sin sin 3sin sin B C c B Bπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，所以12c =+，又因为2232BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得,62Bππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan B⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，所以122c<<，即c的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知实数a ，b 满足0a b >>，则下列不等式不成立的是（ ） A ．22a b > B ．22a bb a <C ．22a b ab >D ．11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ，当0a b >>时，22a b >，A 选项成立，不符合题意，故A 错误； 对于B ，当0a b >>时，220a b >>，则22110b a ，22a bb a，即B 选项不成立，符合题意，故B 正确；对于C ，0a b >>，0ab ∴>，a ab b ab ，即22a b ab >，C 选项成立，不符合题意，故C 错误； 对于D ，当0a b >>时，11a b<，D 选项成立，不符合题意，故D 错误； 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.2．已知数列{}n a 的通项为23n a n =-，若3a ，6a ，m a 成等比数列，则m =（ ） A ．9 B ．12C ．15D ．18【答案】A【解析】由题意可得263m a a a =⋅，由此即可求出结果． 【详解】由23n a n =-， 若3a ，6a ，m a 成等比数列， 则263m a a a =⋅，即()81323m =-，可得，15m =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等比中项的性质和简单应用，属于基础题．3．已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，若//a b ，a c ⊥，则()b a c ⋅-=（ ）A ．14B ．-14C ．10D ．6【答案】C【解析】通过向量的共线与垂直，求出x ，y ，然后求解向量的数量积即可． 【详解】向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，//a b ，可得142x ⨯=，解得2x =，(2,4)b =， a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的共线与垂直，向量的数量积的应用，考查计算能力．4．设sin18cos44cos18sin 44a =︒︒︒+︒，2sin 29cos29b =︒︒，cos30c =︒，则有（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B【解析】先利用两角和的正弦公式对a 化简，利用二倍角公式对b 化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小 【详解】解：sin18cos 44cos18sin sin(1844)sin 4624a ︒︒=︒+︒==︒︒+︒， 2sin 29cos29sin58b =︒︒=︒，cos30sin60c =︒=︒， 因为sin y x =在(0,90)︒︒上为增函数，且586062︒<︒<︒， 所以sin58sin60sin62︒<︒<︒，即可b c a <<， 故选：B 【点睛】此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题 5．已知数列{}n a 首项12a =，且当*N n ∈时满足12n n a a +-=，若△ABC 的三边长分别为4a 、5a 、6a ，则△ABC 最大角的余弦值为（ ）A ．916B ．58C ．34D ．18【答案】D【解析】由题意得数列{}n a 为等差数列，则可求出4a 、5a 、6a ，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值. 【详解】当*N n ∈时满足12n n a a +-=，则数列{}n a 为首项是2公差为2的等差数列，则4a 、5a 、6a 分别为8，10，12，则最大角的余弦值为222810121cos 28108θ+-==⨯⨯，故选：D. 【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查等差数列的概念及通项的运用，较简单.6．已知函数234()x x f x x++=，对于任意12x ≥时下列说法正确的是（ ）A ．函数最小值为7B ．函数最小值为232 C ．函数最大值为7 D ．函数最大值为232【答案】A【解析】将函数()f x 化简为4()3f x x x=++，再结合对勾函数的单调性即可求解． 【详解】由题意可知，2344()3x x f x x x x++==++，由对勾函数可知，函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，所以当2x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为()27f =，没有最大值． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数最值的求解，要注意对勾函数单调性的应用．7．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，b ，3a =，则C ∠=（ ）A ．4π B ．3π C ．512π D ．6π 【答案】C【解析】由已知利用正弦定理可得sin B =，利用b a <，可得B 为锐角，然后求出B ，根据三角形内角和定理，求出C 的值． 【详解】解：3A π=，b ，3a =，∴由正弦定理sin sin a b A B=，=，sin 2B ∴=， b a <，B ∴为锐角，4B π∴=，512C A B ππ∴=--=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知点()11,A x y 在函数cos y x x =+的图象上，点()22,B x y 在函数5y =的图象上，则||AB 的最小值为（ ） A ．2 B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】利用辅助角公式进行化简，求出函数的最大值，分析即可得到最小值. 【详解】cos =2sin()6y x x x π=++,函数的最大值为2，点()22,B x y 在函数5y =的图象上，即()2,5B x ，则当()11,A x y 位于函数的最大值点时||AB 有最小值，最小值为5-2=3, 故选：D 【点睛】本题考查辅助角公式和三角函数性质的应用，属于基础题.9．在我国古代著名的数学专著《 九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢? （） A ．16 日 B ．12 日C ．9 日D ．8 日【答案】C 【解析】【详解】解：由题可知，良马每日行程a n 构成一个首项为103，公差13的等差数列， 驽马每日行程b n 构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列， 则a n ＝103+13（n ﹣1）＝13n +90，b n ＝97﹣0.5（n ﹣1）＝97.5﹣0.5n ， 则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n }的前n 项和为2n ⨯（103+13n +90）2n=⨯（193+13n ）， 数列{b n }的前n 项和为2n ⨯（97+97.5﹣0.5n ）2n =⨯（194.512-n ），∴2n ⨯（193+13n ）2n+⨯（194.512-n ）＝2250， 整理得：25n 2+775n ﹣9000＝0，即n 2+31n ﹣360＝0， 解得：n ＝9或n ＝﹣40（舍），即九日相逢． 故选C点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10．在四边形ABCD 中，(1,AB DC ==，||||BA BC BDBA BC BD+=，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．BC ．D ．2【答案】A【解析】由题意分析可知，四边形ABCD 为菱形且120ABC ∠=，然后求解四边形ABCD 的面积.【详解】因为(1,AB DC ==，所以四边形ABCD 为平行四边形，又||||BA BC BDBA BC BD+=，则BD 平分ABC ∠，则四边形ABCD 为菱形.且120ABC ∠=，由2AB DC ==，则2BC =,所以四边形ABCD 的面积为sin120222S BA BC =⋅⨯=⨯⨯=故选：A . 【点睛】本题考查向量的综合运用，较简单，解答时注意a a为a 上的单位向量.11．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BC ．D ．【答案】B【解析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值． 【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+，又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，∴2sin 2sin 2sin a A c C b B +-=，即222a b c ac R R R +-=2222cos a c b ac B R R+-==，∴R =又由正弦定理得2sin sin ,33a R A A c C ===，∴112sin sin sin()2233333ABC S ac B A C A A △ππ==⨯⨯⨯=-21sin )cos 2sin )2A A A A A A =+=+21cos 2)3A A =+-sin(2)363A π=-+，∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABCS = 故选：B ． 【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则2a c ac a c+-+的最小值（ ） A ．12B ．2C ．14D ．4【答案】A【解析】由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令24a c y a c +=-+，+a c t =，24t y t=-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π=且1ABC S =△，得1sin 126ac π=，解得4ac =， 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，即+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则24t y t=-（4t ≥）， 而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以24214442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c+-+的最小值为12. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.二、填空题 13．sincos1212ππ=__________．【答案】14【解析】11sincossin 1212264πππ==. 14．在等腰Rt ABC中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】先求出,,a b c 的模，再根据数量积的定义求解. 【详解】由题可知在等腰Rt ABC中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a bC c aB ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎫⎛=⨯-+-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-. 【点睛】本题考查数量积的计算，注意三角形中向量的夹角，属于基础题.15．在数列{}n a 中，11a =，212(2)n n n a a n ---=≥，则n a =_____.【答案】12n -【解析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】11a =，212(2)n n n a a n ---=≥∴()()()121321=+n n n a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-0121+2+2++2n -=⋅⋅⋅()()2212122+2221212n n n ----==+-=-∴12nna ()2,*n n N ≥∈当=1n 时，11a =符合上式，则12n n a .故答案为：12n - 【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式，属于基础题.16．下列四个命题中正确的是_____.（填序号）①若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰三角形；②若a b <，x ∈R ，则b b x a a x+<+；③设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202011S S =﹣，则20211S >；④函数2()f x =的最小值为【答案】③④【解析】根据每个选项的条件推导即可. 【详解】对于①，若cos cos a A b B =，可得sin cos sin cos A A B B =，则sin 2sin 2A B =，所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形，故①错误；对于②，若a b <，x ∈R ，当2,3,1a b x 时，32b a =，314213b x a x ++==++，则b b xa a x+>+，故②错误； 对于③，232020202011a a S a S ﹣=+++=，所以22020101120a a a ，则202112320202021101123202021S a a a a a a a a a ，故③正确；对于④，22()f x ===224x ，2245()2254f x x x，故④正确.故答案为：③④. 【点睛】本题考查对命题的判断，考查了正弦定理，不等式的性质，数列性质以及基本不等式的应用.三、解答题17．已知3,4a b ==，且a 与b 不共线.（1）当向量a kb +与a kb -互相垂直时，求k 的值；（2）当a 与b 的夹角为3π时，求a b +的模.【答案】（1）34±，（2 【解析】（1）利用向量垂直的性质求出k 的值； （2）由()2a b a b+=+，再利用向量的数量积公式求解即可【详解】解：（1）因为3,4a b ==，且a 与b 不共线，向量a kb +与a kb -互相垂直， 所以()()22229160a kb a kb a k b k +⋅-=-=-=， 解得34k =±， （2）当a 与b 的夹角为3π时， ()222292a b a ba ab b +=+=+⋅+=+=，【点睛】此题考查向量模的求法，考查平面向量数量积运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.18．某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <≤时，年利润为21()2R x x =-20250x ++，当35x >时，年利润为()18005202R x x x=--+.（1）若公司生产量在035x <≤且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围； （2）求公司年利润()R x 的最大值. 【答案】（1）1030x ；（2）480．【解析】（1）令21()202504002R x x x =-++，解之即可；（2）利用二次函数的最值和基本不等式分别求出()R x 两段函数的最大值,再比较大小即可． 【详解】（1）当035x <时，令21()202504002R x x x =-++，即2403000x x -+≤，解得1030x ，所以生产量x 的范围是1030x ；（2）当035x <时，222111()20250(40)250(20)450222R x x x x x x =-++=--+=--+， 故此时()R x 在(0,20)上单调递增，在(20,35)上单调递减，则此时()R x 最大值为(20)450R =；当35x >时，116001()()52052048022R x x x =-++≤-⨯+=， 当且仅当160040x x==时，等号成立， 则此时()R x 最大值为(40)480R =，综上公司年利润()R x 的最大值为480万元．【点睛】本题考查了函数的应用，利用二次函数的性质和基本不等式求最值是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27a =，440S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得22020n T λ≤-对所有*N n ∈都成立的实数λ的范围.【答案】（1）65n a n =-；（2）[2021，)+∞．【解析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出参数的取值范围．【详解】解：（1）设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，若27a =，440S =． 所以117434402a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得116a d =⎧⎨=⎩，所以65n a n =-．（2）由（1）得：13n n n b a a +=，3111()(65)(61)26561n n n n ==--+-+， 所以111111111(1)(1)2771365612612n T n n n =-+-+⋯+-=-<-++． 所以22020n T λ-对所有*n N ∈都成立只需满足12020λ-．故2021λ，即[2021λ∈，)+∞．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法，裂项相消法求数列的和，参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．20．设函数22()cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，其外接圆直径为若3()2f A =，求ABC 的周长l 的范围. 【答案】（1）当,6=+∈x k k Z ππ时，函数取得最大值2；（2）(6,3+.【解析】（1）首项利用三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形为正弦型函数，结合三角函数的性质，即可求解；（2）利用（1）的结论，求得A 的值，再利用正弦定的应用，即可求解.【详解】（1）由题意，函数22()cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 22cos 212x x x =-++1cos 221cos(2)123x x x π=+=++， 令223x k ππ+=，解得,6=+∈x k k Z ππ， 所以当,6=+∈x k k Z ππ时，函数取得最大值2.（2）由3()2f A =，即3cos(2)132A π++=，整理得1cos(2)32A π+=，因为0A π<<，则70233A ππ<+<，所以5233A ππ+<，解得23A π=， 所以32sin 2332a R A ==⨯=，2sin 2sin 23(sin sin )bc R B R C B C +=+=+ 23[sin sin()]23sin()33B B B ππ=+-=+， 因为03B π<<，则2333B πππ<+<，所以3sin()123B π<+≤， 所以(3,23]b c +∈.故三角形的周长为(6,323]l a b c =++∈+.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，以及正弦定理的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.21．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中x ∈R ，0A >，0>ω，02πϕ<<）的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点.若6OQ =，4OP =，27PQ =.（1）求POQ ∠的大小；（2）求函数()y f x =的解析式；（3）若[2,2]α∈-，3()2f α=，求sin 8πα的值. 【答案】（1）3π；（2）()23sin()84f x x ππ=+；（3）2308. 【解析】（1）在OPQ △中，由余弦定理求出cos POQ ∠，即可求出POQ ∠的大小； （2）根据图象可计算出最高点，即求出A ，找出周期，根据2T πω=，求出ω，再将P代入即可求出ϕ，即求出解析式.（3）根据关系可求出1sin()844ππα+=，然后计算出cos()84ππα+，利用sin sin 84844展开求解.【详解】（1）在OPQ △中，2221636281cos 22462OP OQ PQ POQ OP OQ , 3POQ ;（2）由（1）知2,23P Px y ，即(2,P ， 23A ，周期46216T ， 即216πω=，8πω∴=，将P 代入()sin()8f x x πϕ=+，得sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πϕ<<，4πϕ∴=，()sin()84f x x ππ∴=+；（3）()sin()84f ππαα=+= 1sin()844ππα∴+=， 22，0842， 15cos 844，sin sin 84844 sin cos cos sin 844844 1215223042428.【点睛】本题考查了根据余弦定理求角，根据三角函数图象求解析式，以及相关角的三角函数的求法.22．已知数列{}n a 满足()2*12324623N nn n n n a a a a +++⋅⋅⋅=+∈. （1）求数列{}n a 的通项；（2）设2(1)2n n n b n a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ，当2n 114m m S ≥++对一切正整数n 恒成立时，求实数m 的取值范围.【答案】（1）*()1n n a n N n =∈+；（2）[]6,2-. 【解析】（1）先求出1a ，再用错位相减法求出2n ≥时的n a ，再检验1a 是否符合(2)n a n ≥，进而求出*()n a n N ∈；（2）首先根据（1）求出数列{}n b 的通项公式，再求出数列{}n b 的前n 项和n S ；又因为n S 递增，所以2n 114m m S ≥++对一切正整数n 恒成立等价于i 2n m n 11()4S m m ≥++，即21114m m S ≥++，进而求出实数m 的取值范围. 【详解】解：（1）当1n =时，124a =，所以112a =， 当2n ≥时，212324623nn n n a a a a +++⋅⋅⋅=+ ①， 212312462(1)(1)3(1)n n n n a a a a --+++⋅⋅⋅=-+- ②， 由①-②得222n n n a =+，所以1n n a n =+，当1n =时也符合此式， 综上可知*()1n n a n N n =∈+. （2）因为2(1)2n n n b n a =+⋅，所以4n n b n =⋅，所以231424344n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ③，234141424344n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ④，由③-④得：2311113444444(14)4444414314()433n n n n n n n n S n n n n ++++-=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅-=-⋅=-⋅-=-- 所以1314499n n n S +-=⨯+， 又因为0n b >，所以n S 的最小值为14S =， 所以21414m m ≥++， 所以62m -≤≤，即实数m 的取值范围是[]6,2-.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和数列前n 和的求解，以及数列与不等式的结合等问题，考查运算求解能力，属于中等题型.。
2019-2020学年四川省乐山市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年四川省乐山市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知数列则是它的第( )项．A. 19B. 20C. 21D. 222.已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|y =√x −1}，则( )A. A ∩B =⌀B. A ⊆BC. B ⊆AD. A =B3.设是非零实数，若，则下列不等式成立的是( )A.B.C.D.4.在△ABC 中，已知面积S = (a 2+b 2−c 2)，则角C 的度数为( )A. 135°B. 45°C. 60°D. 120°5.两平行直线x +y +3=0与ax +2y +2=0之间的距离是( )A. 12B. 1C. √2D. 26.给出集合序列{1}，{2,3}，{4,5，6}，{7,8，9，10}，…，设S n 是第n 个集合中元素之和，则S 21为( )A. 1113B. 4641C. 5082D. 53367.已知等比数列{a n }的首项a 1=e ，公比q =e ，则数列{lna n }的前10项和S 10=( )A. 45B. 55C. 110D. 2108.实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +2y −3≥02x +y −6≤0，若3x −2y ≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [9,+∞)B. [−13,+∞)C. [−53,+∞)D. [−13,9]9.如图，在△ABC 中，AB =2，∠ABC =30°，AD 是边BC 上的高，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( )A. √32B. 2C. 1D. √2210. 如图，a ∈(0,π)，且a ≠π2，当∠xOy =e 时，定义平面坐标系xOy为a 仿射坐标系，在α−仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 分别为与x 轴、y 轴正向相同的单位向量，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ ，则记为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，若在仿射坐标系中，已知a ⃗ =(m,n)，b ⃗ =(s,t)，下列结论中不正确的是( )A. 若a ⃗ =b ⃗ ，则m =s ，n =tB. 若a ⃗ //b ⃗ ，则mt −ns =0C. 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则ms +nt =0D. 若m =t =1，n =s =2，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角π3，则a =2π311. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,2√2)，则log 2f(4)的值为( )A. 2B. −3C. −2D. 312. 已知向量m⃗⃗⃗ =(1,1)，n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角为3π4，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1，则向量n ⃗ =( ) A. (−1,0) B. (0,−1) C. (−1,0)或(0,−1)D. (−1,−1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知两点A(−1,2)、B(3,6)，则直线AB 的倾斜角为______． 14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =n(2n +1)，则a 5= ______ ．15. 已知点P 1(1,3)，P 2(4,−6)，P 是直线P 1P 2上的一点，且P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么点P 的坐标为______ ． 16. 设向量a ⃗ =(x,1)，b ⃗ =(3,4)，a ⃗ //b ⃗ ，则实数x =______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知平面上点A(4,1)，B(3,6)，D(2,0)，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)若点M(−1,4)，用基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．18. 证明：如果两条直线斜率的乘积等于−1，那么它们互相垂直．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，且A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，b =√3，求a +c 的值；(2)若A<C，求2sin2A+sin2C的取值范围．20.(本小题满分10分)已知等差数列{}，公差，前n项和为，，且满足成等比数列．(1)求{}的通项公式；(2)设，求数列的前项和的值．21.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，CB⊥C1B，BC=1，CC1=2，A1B1=√2，(1)试在棱CC1(不包含端点C，C1)上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；(2)在(Ⅰ)的条件下，求AE和BC1所成角．22.设正项等比数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且____．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=−log13a n+1，求数列{anb n}的前n项和T n．在①S n=3n+1；②S n=3n−12；③S3=13.这三个条件中，请选择一个满足题意的正确的条件将上面的题目补充完整，并解答本题．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：观察式子，其中根式里面的数字为以6为公差的等差数列.而，所以答案为C．考点：等差数列2.答案：B解析：本题考查了集合的表示法和子集与真子集，属于基础题．利用集合的表示法，结合一元二次不等式的解法得A=(1,3)，再利用集合的表示法得B=[1,+∞)，最后利用子集的定义得结论．解：集合A={x|x2−4x+3<0}={x|(x−3)(x−1)<0}=(1,3)，B=[1,+∞)，显然A⊆B．故选B．3.答案：C解析：本题主要考查一元二次不等式的应用及不等关系与不等式，属于基础题．由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故也可利用特例进行讨论得出正确选项．解：A选项不正确，因为a=−2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为，只知道a<b，ab的符号是不能确定的，故不等式就不成立；C选项正确，因为，故当a<b时一定有；D选项不正确，因为a=−1，b=2时，不等式就不成立；故选C．4.答案：B解析：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角．根据△ABC的面积为，求得c2=a2+b2−2ab⋅sinC，再由余弦定理得tanC=1，由此求得C的值．解：∵△ABC的面积为，∴c2=a2+b2−2ab⋅sinC．又根据余弦定理得c2=a2+b2−2ab⋅cosC，∴−2absinC=−2abcosC，即sinC=cosC，∴tanC=1，∴C=45°，故选B．5.答案：C解析：解：∵两平行直线x+y+3=0与ax+2y+2=0，∴a=2，∴ax+2y+2=0化为：x+y+1=0，∴两平行直线x+y+3=0与ax+2y+2=0之间的距离：=√2．d=22故选：C．利用平行线的性质求出a=2，ax+2y+2=0化为：x+y+1=0，由此能求出两平行直线x+y+ 3=0与ax+2y+2=0之间的距离．本题考查两平行线间的距离的求法，考查两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：第n个集合中有n个数，S21 前边共有1+2+3+4+⋯+20=210项,S21中共有21个数，这21个数成等差数列，最小的一个是211，×1=4641；∴S21=211+222+223+⋯共21项的和，S21=21×211+21×202故选B．第一个集合中有一个数，第二个集合中有2个数，第三个集合中有3个数，…第n个集合中有n个数，S21中共有21个数，这21个数成等差数列，最小的一个是211，利用等差数列求和公式计算S21的值．本题考查数列求和的方法，注意集合中元素的特征及元素个数的规律．7.答案：B解析：解：根据题意可得，a n=a1q n−1=e⋅e n−1=e n，所以lna n=lne n=n，=55，所以数列{lna n}的前10项和S10=1+2+3+⋯+10=10(1+10)2故选：B．先写出等比数列{a n}的通项公式a n=e n，则lna n=n，数列{lna n}为首项为1，公差为1的等差数列，由等差数列的前n项和公式即可得出答案．本题考查等比数列通项公式，等差数列的前n项和公式，属于基础题．8.答案：A解析：解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A(3,0)时，3x−2y有最大值9，故m≥9，故选：A．由题意作平面区域，从而利用线性规划求3x−2y的最大值，从而求恒成立问题．本题考查了线性规划问题的变形应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想方法应用．9.答案：C解析：解：AD ⊥BC ，AB =2，∠ABC =30° 可得AD =1Rt △CAD 中，AC =ADcos∠DAC =1cos∠DAC则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DAC =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 故选：C ．由AD ⊥BC ，AB =2，∠ABC =30°可求AD ，在Rt △CAD 中，AD =ACcos∠DAC ，由向量的数量积的定义可得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DAC ，代入可求 本题主要考察了向量的数量积的定义a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ的应用，解答本题的关键是在直角三角形中，利用三角函数的定义表示出AD ．10.答案：C解析：解：根据斜坐标的定义，a ⃗ =(m,n),b ⃗ =(s,t)； ∴a ⃗ =m e 1⃗⃗⃗ +n e 2⃗⃗⃗ ,b ⃗ =s e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ ；A .若a ⃗ =b ⃗ ，根据平面向量基本定理得：m =s ，n =t ，∴该结论正确；B .若a ⃗ //b ⃗ ，则存在实数k ，使b ⃗ =k a ⃗ ，k a ⃗ =mk e 1⃗⃗⃗ +nk e 2⃗⃗⃗ ； ∴{s =mkt =nk；∴sm =tn； ∴mt −ns =0； ∴该结论正确；C .若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则：a ⃗ ⋅b ⃗ =(m e 1⃗⃗⃗ +n e 2⃗⃗⃗ )⋅(s e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ )=ms +(mt +ns)e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +nt =0； e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≠0； ∴ms +nt ≠0； ∴该结论错误；D .若m =t =1，n =s =2，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ,b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，a⃗ ,b ⃗ 的夹角为π3，则：cos π3=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |； a ⃗ ⋅b ⃗ =2+5e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +2=4+5cosa ，|a ⃗ |=√a ⃗ 2=√5+4cosa ，|b ⃗ |=√b ⃗ 2=√5+4cosa ；∴12=4+5cosa5+4cosa ； 解得cosα=−12； ∴a =2π3；∴该结论正确． 故选：C ．根据在仿射坐标系中斜坐标的定义，便可得到a ⃗ =m e 1⃗⃗⃗ +n e 2⃗⃗⃗ ,b ⃗ =s e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ ，然后由平面向量基本定理及共线向量基本定理，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式即可判断每项结论的正误．考查对仿射坐标系的理解，及对定义的斜坐标的理解，以及平面向量基本定理、共面向量基本定理，向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式．11.答案：D解析：推导出f(2)=2a =2√2，从而f(x)=x 32，进而f(4)=432=8，由此能求出log 2f(4)的值． 本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 解：∵幂函数y =f(x)的图象过点(2,2√2)， ∴f(2)=2a =2√2，a =32 解得f(x)=x 32， ∴f(4)=432=8， ∴log 2f(4)=log 28=3． 故选D ．12.答案：C解析：解：设n⃗ =(x,y)， ∵向量m ⃗⃗⃗ =(1,1)，n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角为3π4，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1， ∴cos3π4=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2×√x 2+y 2，x +y =−1．化为{x +y =−1x 2+y 2=1，解得{x =−1y =0或{x =0y =−1． ∴n ⃗ =(−1,0)或(0,−1)． 故选：C ．设n ⃗ =(x,y)，由于向量m ⃗⃗⃗ =(1,1)，n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角为3π4，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1，可得cos 3π4=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√x 2+y 2，x +y =−1.联立解出即可．本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：45°解析：【试题解析】 解：∵A(−1,2)、B(3,6)， ∴k AB =6−23−(−1)=1，由斜率等于倾斜角的正切值可得，直线AB 的倾斜角为45°． 故答案为：45°．由两点求斜率公式求得AB 的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线AB 的倾斜角． 本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．14.答案：19解析：解：∵数列{a n }的前n 项和为S n =n(2n +1)，∴a 5=S 5−S 4=5⋅11−4⋅9=19， 故答案为：19．根据a 5=S 5−S 4，计算求得结果．本题主要考查数列的前n 项和与第n 项之间的关系，属于基础题．15.答案：(3,−3)解析：解：设点P(x,y)， 且P 1(1,3)，P 2(4,−6)， P1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −3)， PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x,−6−y)， 又P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{x −1=2(4−x)y −3=2(−6−y)， 解得{x =3y =−3，∴点P 的坐标为(3,−3)． 故答案为：(3,−3)．设出点P ，表示出向量P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据向量相等列出方程组，即可求出点P 的坐标． 本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．16.答案：34解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ； ∴4x −3=0；∴x =34． 故答案为：34．根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出4x −3=0，解出x 即可． 考查向量坐标的定义，以及平行向量的坐标关系．17.答案：解：(1)设C(x,y)，由点A(4,1)，B(3,6)，D(2,0)，可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −3,y −6)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)， 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x −3=−2y −6=−1， 解得{x =1y =5，所以点C(1,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)， 所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−3)2+42=5； (2)由点M(−1,4)，可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,3)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,5)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)， 设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ，μ∈R ， 即{−5=−λ−2μ3=5λ−μ，解得{λ=1μ=2，用基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 解析：本题考查了平面向量的坐标运算和线性表示，也考查了运算求解能力，是基础题．(1)设出点C 坐标，利用平面向量的坐标表示和向量相等列方程求出点C 的坐标，再计算AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模长； (2)把AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示即可． 18.答案：解：设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1⋅k 2=−1，下面求证l 1⊥l 2，∵k 1⋅k 2=−1，∴k 1 与k 2 异号，不妨设k 1>0，k 2<0，如图所示：设直线l 1的倾斜角为α1，则0°<α1<90°，k 1=tanα1 设直线l 2的倾斜角为α2，则90°<α2<180°，k 2=tanα2， ∵k 1⋅k 2=−1，∴tanα1⋅tanα2=−1， ∴tanα1⋅[−tan(180°−α2)]=−1，∴tanα1⋅tan(180°−α2)=1，∴tanα1=1tan(180∘−α2)， ∴α1+180°−α2=90°，∴α2−α1=90°，∴l 1⊥l 2．解析：本题主要考查了两直线垂直的位置关系，是中档题．不妨设k 1>0，k 2<0，设直线l 1的倾斜角为α1，则0°<α1<90°，k 1=tanα1，设直线l 2的倾斜角为α2，则90°<α2<180°，k 2=tanα2，由k 1⋅k 2=−1 得tanα1⋅tanα2=−1，利用三角函数公式化简得到tanα1=1tan(180∘−α2)，所以α2−α1=90°，从而证得l 1⊥l 2． 19.答案：解：(1)∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B =A +C ，又A +B +C =π，∴B =π3，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23得，c ⋅acos 2π3=−32，∴ac =3，① 又由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accos π3，∴3=a 2+c 2−ac ，∴a 2+c 2=6②由①、②得，a +c =2√3．(2)∴B =60°，∴A =120°−C ，又0°<A <C ，可得60°<C <120°，即120°<2C <240°，∴−√32<sin2C <√32，， 即2sin 2A +sin 2C 的取值范围是(34,94).解析：(1)先由等差数列的知识求出角B 的值，再由两向量的数量积运算求出a 与c 的乘积，最后根据余弦定理a +c 的值．(2)先根据二倍角公式对2sin 2A +sin 2C 进行降幂，再将A 的关系转化为C 的关系，最后根据C 的范围求出最后答案．本题主要考查余弦定理和二倍角公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考要重视．20.答案：(1)；(2)．解析：试题分析：(1)等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;(2)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；(3)观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．试题解析：(1)由，得成等比数列解得：或3分数列的通项公式为.5分(2). 10分考点：1、等差数列的通项公式；2、裂项求数列的和．21.答案：解：(1)由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，从而B1E⊥平面ABE且BE⊂平面ABE，故BE⊥B1E．不妨设CE=x，则C1E=2−x，∵∠BCC1=60°，∴BE2=1+x2−x，∵∠BCC1=60°，∴∠B1C1C=120°，∴B1E2=x2−5x+7．在Rt△BEB1中有1+x2−x+x2−5x+7=4，从而x=1或x=2(当x=2时E与C1重合不满足题意)．故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1．(2)取BC 中点D ，则DE//BC 1，连接AD ，所以∠AED 或其补角为异面直线AE 和BC 1所成角所成的角．∵AE =√3,DE =√32,AD =32， ∴cos∠AED =(√32)2+(√3)2−(32)22×√32×3=12， ∴∠AED =60°．解析：(1)由EA ⊥EB 1，AB ⊥EB 1，AB ∩AE =A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，从而B 1E ⊥平面ABE 且BE ⊂平面ABE ，故BE ⊥B 1E .利用余弦定理及其勾股定理即可得出．(2)取BC 中点D ，则DE//BC 1，连接AD ，所以∠AED 或其补角为异面直线AE 和BC 1所成角所成的角． 利用余弦定理即可得出．本题考查了空间位置关系、空间角、余弦定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)若选①，∵S 2=32+1=1+a 2，∴a 2=9又∵S 3=28=1+9+a 3∴a 3=18，a 22≠a 1⋅a 3，所以不满足{a n }是等比数列(或a 1≠1)．若选②，因为S 2=32−12=1+a 2=4，所以a 2=3，q =a2a 1=3， a n =3n−1．若选③，因为a 1=1，S 3=13，所以S 3=1+q +q 2=13，q 2+q −12=(q +4)(q −3)=0，解得q =3或q =−4，因为a n >0，所以q =3，则：a n =3n−1．(Ⅱ)b n =−log 13a n+1=log 33n=n ． 令c n =a n b n =n ⋅3n−1，前n 项和为T n ，T n =1×30+2×31+⋯+n ×3n−1①，3T n =1×31+2×32+⋯+n +3n ②，①−②得：−2T n =30+31+⋯+3n−1−n ×3n =1−3n 1−3−n ×3n ， 所以T n =(2n−1)⋅3n 4+14． 解析：(Ⅰ)直接利用选项的条件和递推关系式的应用求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和；本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．。
四川省内江市2019-2020学年高一下学期期末检测数学(文)答案
９
又因为ｂｎ ＞ ０，所以Ｓｎ 最小值为Ｓ１ ＝ ４
所以 ， 分 ４≥
１ ４
ｍ２
＋
ｍ
＋１
１１
所以－ ６≤ｍ≤２，即实数ｍ 的取值范围是［ ，］ － ６ ２ １２ 分
高一数学（文科）试题答案第 ３ 页（共３ 页）
ｂ ｓｉｎＢ
＝
Ｃ ｓｉｎＣ
＝
２
３
， 槡 ， 槡 ∴ ａ ＝ ３ ｂ ＝ ２ ３ｓｉｎＢ Ｃ ＝ ２ ３ｓｉｎＣ
周长 槡 槡 ｌ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ３ ＋ ２ ３ｓｉｎＢ ＋ ２ ３ｓｉｎＣ
槡 槡 （ ） ＝ ３ ＋ ２
３ｓｉｎＢ ＋ ２
３ｓｉｎ
π ３
－Ｂ
槡 （ ） 分 ＝ ３ ＋ ２
３ｓｉｎ
＝
１６ ２
＋ ３６ － ２８ ×４ ×６
＝
１ ２
所以 ， 分 ∠ＰＯＱ
＝
π ３
３
（２）因而Ｐ（２，２ 槡３），所以Ａ ＝ ２ 槡３，周期Ｔ ＝ ４ × （６ － ）２ ＝ ， １６
又 ，则 分 ２π ＝ １６ ω
ω
＝
π ８
．
５
二、填空题（本大题共４ 小题，每小题５ 分，共２０ 分． ）
１３．
１ ４
１４． － ２
１５． ２ｎ － １
１６． ③④
三、解答题（本大题共６ 小题，共７０ 分． ）
１７． 解：（１）ａ珒＋ 与 ｋｂ珗 ａ珒－ ｋｂ珗互相垂直的条件是：（ａ珒＋ ）·（ ｋｂ珗 ａ珒－ ）ｋｂ珗 ＝ ０ 分 ３
ｓｉｎ
π ８
α
＋
π ４
）＝
１ ４
高一数学（文科）试题答案第 ２ 页（共３ 页）
2019-2020学年成都市高一下学期期末数学试卷(文科)
2019-2020学年成都市高一下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.等比数列{a n}中，若a3=4，则a2⋅a4=()A. 8B. 16C. 32D. 642.已知四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是()A. 2B. 3C.D. 33.设对任意实数x>0，y>0，若不等式x+√xy≤a(x+2y)恒成立，则实数a的最小值为()A. √6+24B. 2+√24C. √6+√24D. 234.若cosα2=√63，则cos2α=()A. 13B. 79C. −79D. −135.各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，12a3，2a1成等差数列，则a3+a4a4+a5的值为()A. 2B. 2或−1C. 12D. 12或−16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosC>ba，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形7.在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则sin2AsinC=()A. 125B. 1225C. 2425D. 238.设x∈R，且a=3x2−x+1，b=2x2+x−1，则a与b的大小关系为()A. a>bB. a=bC. a<bD. 不确定，与x取值有关9.一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是()A. 8B. 16C. 16√2D. 32√210.已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n+1)=n+1，则数列{a n}的通项公式为()A. a n=2nB. a n={3 n=12n n≥2C. a n=2n−1D. a n=2n+111.在三角形ABC中，已知B=60度，C=45度，BC=8，AD垂直于BC于D，则AD长为()A. B. C. D.12.()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）,π]的值域为______ ．13.函数y=3sinx+4cosx,x∈[π214.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π，b2=c⋅(c+a)，则B=______．615.已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．则数列{a n}的通项公式为______ ；则a2+a5+a8+⋯+a3n−1+⋯+a3n+8的表达式为______ ．16.已知x+y=40且x和y都是正数，则xy的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知(1)求数列{}的通项公式(2)数列{}的首项b1=1，前n项和为T n，且，求数列{}的通项公式．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C=√6，(理科做)求二面角B−AC−A1的余弦值．(文科做)求三棱锥A−CA1B的体积．19.已知cosα=−45,sinβ=−34,α∈(π2,π),β∈(π,32π)，求cos(α−β)20.在数列{a n}中，满足点P(a n,a n+1)是函数f(x)=3x图象上的点，且a1=3．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．21.已知二次函数，满足，且方程有两个相等的实根。
2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．下列几何体是旋转体的是（）A．五棱柱B．六棱锥C．八棱台D．球2．已知a＞b，则下列不等式成立的是（）A．2a＞b B．a＞2b C．|a|＞b D．a＞|b|3．已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图为△A'B'C'，如图，若A'B'＝3，A'C'＝2，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．3D．64．若α∈（0°，180°），且cos（α+20°）cos20°+sin（α+20°）sin20°＝，则tanα＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．一个简单组合体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图中的圆半径都为3，正视图和侧视图的下半部分都为正方形，则该几何体的体积为（）A．54πB．63πC．72πD．90π6．已知{a n}为等比数列，且a1＝32，a2a3＝128，设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．13B．14C．15D．167．若x＞，则3x+的最小值为（）A．7B．4C．9D．28．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1＝，a1＝﹣2，则S97＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣79．△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2n，则a9＝（）A．510B．512C．1022D．102411．已知sin（α+）＝，则sin（﹣2α）＝（）A．B．C．﹣D．﹣12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S99＝，函数f（x）＝sin2x﹣3cos2x+，则f（a1）+f（a2）+…+f（a99）＝（）A．66B．33C．99D．88二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．求值：＝．14．△ABC中，BC＝6，AC＝2，∠BAC＝90°，把△ABC绕直线AB旋转一周，则形成的旋转体的侧面积为．15．关于x的不等式tx2+tx+5＞0的解集为R，则实数t的取值范围是．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝3，2S n＝（n+1）a n，设b n＝a n a n+1（）n，则数列{b n}的最大项的值为．三、解答题：本题共6小题，共70分。
2019-2020学年四川省绵阳市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年四川省绵阳市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．若a＞b，则下列结论正确的是（）A．a3＞b3B．a2＞b2C．a2＜ab D．2．在△ABC中，BC＝5，AC＝4，C＝60°，则△ABC的面积为（）A．5 B．5C．10 D．103．在等差数列{a n}中，若a4＝5，则数列{a n}的前7项和S7＝（）A．15 B．20 C．35 D．454．已知平面α，β，γ和直线l，下列命题中错误的是（）A．若α⊥β，β∥γ，则α⊥γB．若α⊥β，则存在l⊂α，使得l∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．若等比数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（）A．80 B．120 C．150 D．1806．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值是（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣57．在△ABC中，点P满足＝3，则＝（）A．﹣B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π9．在△ABC中，＝0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（）A．|| B．|| C．﹣|| D．||10．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．将△AED，△CFD，△BEF 分别沿DE，DF，EF折起，使A，C，B三点重合于A′，则三棱锥A′﹣EFD的外接球表面积为（）A．3πB．6πC．12πD．24π12．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n（m＞0，n＞0），则的最大值为（）A．B．1 C．2D．2二、填空题（共4小题）.13．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，1），若⊥，则实数x＝14．若关于x的不等式ax2﹣2x+3＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a＝．15．如图，轮船A和轮船B同时离开海港匀速直线航行，其中轮船A的航行速度是vnmile/h，轮船B的航行速度比轮船A快10nmile/h．已知航行lh后，测得两船之间的距离为（v+20）nmile，如果两艘轮船的航行方向之间的夹角为钝角，则v的取值范围是．16．数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3（n∈N*），若（4λ﹣1）a n＞9（n﹣3）对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：共40分。
2019-2020学年四川省绵阳市高一下学期期末数学试卷（解析版）
2019-2020学年四川省绵阳市高一第二学期期末数学试卷一，选择题（共12小题）.1.若&>b,则下列结论正确的是（）A. />2>3B.C. £<ab2. 在△收中，BC=5. XC=4, r=60c .则△必的面积为（A. 5B. MC. 103. 在等差数列有。
中，若囱=5,则数列｛曷的前7项和S= <A. 15B. 20C. 354. 已知平面a, B, Y 和直线儿下列命题中错误的是（）A. 若 a B , 8 〃 Y ,则 « ± YB. 若a _L6,则存在】u a ,使得1〃 6C. 若a J_y ，BJ.Y ，<« A 3=2,则 2± yD. 若 a J_B, 2# a > 则5. 若等比数列U ）的前〃项和为S,且夕=10, &=30，则&=)D. 10>/3)D・45A. 80B. 120C. 1506. 若实数.、•，尹满足x-y+L>0，则z=.r-2.r 的最小值是（2x-y-2<0A. 3B.-3C. 17. 在△板7中，点户满足BP=3pc ，则R£=（ ）.3— 1 一 口4 一 1 一 厂3 — 1 —A・ *2 AP-^ABB・-7AP —ABC.彳廿"•曲8. 某几何体的三视图如图所示，则其表面枳为（）D. 180D. • 52 一 1 —D.亏此与曲侧视图（左）正视图1«1«1①俯视图A.啰B.C.%D.ion9.在△见中，AB*AC=O.点P、为BC的中点，且PAl=AB•则向量商在向量反上的投影为（）A.半成B.辛瓦C.*瓦D.土胡10.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥户-物②为町马.侧棱RJ_底而板⑦，PA=AB=AD,E为棱物的中点，则宜线您与平面W所成角的正弦值为（）A*3 B.亨 C.亨 D.晋11.在边长为4的正方形板刀中，E尸分别为布，驼的中点.将Zim.MFD, fXBEF分别沿班.DF,欧折起，使岳C,号三点重合于#,则三棱锥£•网?的外接球表面积为（）A.3n B-6n C.12h D.24h12.如图，平行四边形炒的对角线相交于点0.过点。
2019-2020学年四川省内江市高一下期末数学试卷(有答案)
四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）2．设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．3．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣4．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）5．已知非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2b＞ab2D．6．若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于（）A．﹣B．C．D．7．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．128．=（）A．﹣B．﹣C．D．9．已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形10．设D为△ABC所在平面内一点，=3，若=x+y，则x+y=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣11．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞012．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x的最小正周期为．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．15．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c，则下列命题正确的序号是．①若ab=c2，则C≤②若a+b=2c，则C≤③若a3+b3=c3，则C＜④若（a+b）c＜2ab，则C＞．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}的公差d=1，前n项和为S n．（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．18．已知向量=（，），=（2，cos2x﹣sin2x）．（1）试判断与能否平行？请说明理由．（2）若x∈（0，]，求函数f（x）=•的最小值．19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．21．已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），=sin2C且A、B、C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且=18，求c的值．．22．已知{a n}是递增的等比数列，a2，a4方程x2﹣40x+256=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n，并证明：≤S n＜2．四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D2．设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴•=0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A3．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，故选：D．4．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．5．已知非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2b＞ab2D．【考点】不等关系与不等式．【分析】举特列，令a=1，b=﹣2，经检验A、B、C 都不成立，只有D正确，从而得到结论．【解答】解：令a=1，b=﹣2，经检验A、B、C 都不成立，只有D正确，故选D．6．若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于（）A．﹣B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我们可以计算出2+与﹣的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案．【解答】解：∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=2（1，2）+（1，﹣1）=（3，3），﹣=（1，2）﹣（1，﹣1）=（0，3），∴（2+）（﹣）=0×3+3×9=9，|2+|==3，|﹣|=3，∴cosθ==，∵0≤θ≤π，∴θ=故选：C7．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴=4×（4a1+），解得a1=．则a10==．故选：B．8．=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：===sin30°=．故选C9．已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由条件可得sinCcosB=cosCsinB，故sin（C﹣B）=0，再由﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B=0，从而得到此三角形为等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，，则ccosB=bcosC，由正弦定理可得sinCcosB=cosCsinB，∴sin（C﹣B）=0，又﹣π＜C﹣B＜π，∴C﹣B=0，故此三角形为等腰三角形，故选C．10．设D为△ABC所在平面内一点，=3，若=x+y，则x+y=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意，画出图形，结合图形用向量、表示出，即可求出x、y的值．【解答】解：画出图形，如图所示：∵=3，∴=+=，∴=+=﹣+=x+y，∴x=﹣，y=，∴x+y=1．故选：A．11．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．12．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+）的最小正周期为=π，故答案为：π．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【考点】解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．15．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．【分析】由a n+1=2a n，结合等比数列的定义可知数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵a n+1=2a n，∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：616．设△ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c，则下列命题正确的序号是①②③．①若ab=c2，则C≤②若a+b=2c，则C≤③若a3+b3=c3，则C＜④若（a+b）c＜2ab，则C＞．【考点】余弦定理．【分析】①利用余弦定理，将c2放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC≥，从而证明C≤；②由已知可得c2≥ab，利用余弦定理，即可证明cosC≥，从而证明C≤；③利用反证法，假设C≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确．④只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；【解答】解：①ab=c2⇒cosC=≥=⇒C≤，故①正确；②a+b=2c，⇒2c≥2，可得：c2≥ab，⇒cosC==≥⇒C≤，故②正确；③当C≥时，c2≥a2+b2⇒c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确；④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜＜，故④错误；故答案为：①②③．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}的公差d=1，前n项和为S n．（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合；不等关系与不等式．【分析】（I）利用等差数列{a n}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，建立方程，即可求a1；（II）利用等差数列{a n}的公差d=1，且S5＞a1a9，建立不等式，即可求a1的取值范围．【解答】解：（I）∵等差数列{a n}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，∴∴∴a1=﹣1或a1=2；（II）∵等差数列{a n}的公差d=1，且S5＞a1a9，∴∴∴﹣5＜a1＜2．18．已知向量=（，），=（2，cos2x﹣sin2x）．（1）试判断与能否平行？请说明理由．（2）若x∈（0，]，求函数f（x）=•的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）判断出与不能平行，利用向量平行的坐标运算列出方程，由二倍角的余弦公式化简后，由余弦函数的值域进行判断；（2）由向量的数量积坐标运算、二倍角的余弦公式以及变形化简f（x），由正弦函数的性质和f（x）的单调性求出f（x）的最小值．【解答】解：（1）与不能平行，原因如下：若向量=（，），=（2，cos2x﹣sin2x）平行，则=0，，∵，∴cos2x+2=0，即cos2x=﹣2不成立，∴与不能平行；（2）f（x）=•====，由x∈（0，]得，sinx∈（0，]，∵f（x）=随着sinx的增大而减小，∴当sinx=时，f（x）取到最小值是．19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．21．已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），=sin2C且A、B、C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且=18，求c的值．．【考点】平面向量数量积的运算；等比数列的通项公式；正弦定理．【分析】（1）由=sin2C，结合向量的数量积的坐标表示及两角和的正弦公式可求cosC，进而可求C （2）由已知可得，sin2C=sinAsinB，结合正弦定理可得c2=ab，再由向量的数量积的定义可求ab，进而可求c【解答】解：（1）∵=sin2C∴sinAcosB+sinBcosA=sin2C∴sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC∵sinC≠0∴cosC=∵C∈（0，π）∴（2）∵sinA，sinB，sinB成等比数列，∴sin2C=sinAsinB由正弦定理可得c2=ab∵=18，∴==18，∴ab=36∴c2=36，c=622．已知{a n}是递增的等比数列，a2，a4方程x2﹣40x+256=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n，并证明：≤S n＜2．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）通过解方程求出等比数列{a n}的a2，a4，然后求出公比，得到{a n}的通项公式；（2）求出{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列的前n项和公式，再根据数列单调性即可证明．【解答】解：（1）解方程x2﹣40x+256=0，得x1=8，x2=32．∵{a n}是递增的等比数列，∴a2，a4是方程x2﹣40x+256=0的两个根，∴a2=8，a4=32，∴q2=4，∴q=2，a1=4，∴a n=a1q n﹣1=2n+1，（2）b n===（n+2）•（）n+1，∴S n=3•（）2+4•（）3+…+（n+2）•（）n+1，∴S n=3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1+（n+2）•（）n+2，∴S n=2•（）2+（）2+（）3+（）4+…+（）n+1﹣（n+2）•（）n+2=﹣（n+2）•（）n+2=1﹣（）n+1﹣（n+2）•（）n+2，=﹣（）n+1（2+）+1，∴S n=2﹣（）n（2+），∵（）n（2+）＞0，∴S n=2﹣（）n（2+）＜2∵S n+1﹣S n=（）n+（）n+1（n﹣1）＞0，∴数列{S n}单调递增，所以S n的最小值为S1=．∴≤S n＜2．。
2019-2020学年四川省巴中市高一(下)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2019-2020学年四川省巴中市高一（下）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合A ={x|x 2−x −2<0}，则∁R A =( )A. {x|−1<x <2}B. {x|−1≤x ≤2}C. {x|x <−1}∪{x|x >2}D. {x|x ≤−1}∪{x|x ≥2}2. 函数y =tan(12x +π3)的最小正周期为( )A. π4B. π2C. πD. 2π3. 已知角α的终边与单位圆的交点P 的坐标为(−12,m)，则cosα=( )A. 12B. −12C. √32 D. −√324. 点P(tan2020°,cos2020°)位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列命题中，正确的是( )A. 若a >b ，c >d ，则ac >bdB. 若a >b ，则a 2>b 2C. 若ac 2<bc 2，则a <bD. 若a >b ，c >d ，则a −c >b −d6. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )A. f(x)=x −sinxB. f(x)=x 2+cos2xC. f(x)=e x −1e xD. f(x)=x 2+tanx7. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +2b ⃗ |=|a ⃗ −2b⃗ |，则( ) A. a ⃗ //b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ ⊥b ⃗D. |a ⃗ |>|b ⃗ |8. 将函数y =sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)后，再向右平移π6个单位所得图象的表达式为( )A. y =sin2xB. y =sin(12x +π4) C. y =sin(2x +π6)D. y =sin(2x +2π3)9. 已知函数f(x)={x +1,x ≤0x +1x ,x >0，则使方程f(x)=m 有解的实数m 的取值范围是( )A. (1,2)B. (−∞,−2]C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (−∞,1]∪[2,+∞)10. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1001，a 1020满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1001OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +a 1020OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中A 为△OBC 边BC 上任意一点，则S 2020=( )A. 2020B. 1020C. 1010D. 211. 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．那么位于表中的第n 行第(n +1)列的数是( )A. n 2−nB. n 2C. n 2+nD. n 2+2n12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若CD =1且cosC =14，则△ABC 面积的最大值为( )A. 85B. √154 C. √155 D. 2√155二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若sinθ+cosθ=15，则sin2θ的值是______ ．14. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(2,3)，若满足(a ⃗ −b ⃗ )//(a ⃗ +λb ⃗ )，则λ=______． 15. 已知cos(π6−α)=35，则sin(α−2π3)=______．16. 若lga +lgb =lg(a +2b)，则2a +b 的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知等差数列{a n }满足a 3+a 5=14，a 10=19．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosA+acosC=2a．(1)求ba的值；(2)若a=1，c=√7，求△ABC最大角的值．19.已知f(x)=2x2+bx+c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意x∈[−1,1]，不等式f(x)+t≤2恒成立，求t的取值范围．20.“山水画廊，秀美巴中”.巴中市得天独厚的旅游资源吸引了一批又一批中外游客慕名而来．如图，游客从巴中某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B 处停留1min后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量得cosA=1213，cosB=−1665．(1)求索道AB的长度；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？21. 已知△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足bc =6，0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ≤3√2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ． (1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−√3cos2θ的最大值与最小值．22. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=(1+1n )a n +n+12n．(1)设b n =a n n，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2−x−2<0}，可得A={x|−1<x<2}．则：∁R A={x|x≤−1}∪{x|x≥2}，故选：D．通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．2.【答案】D【解析】解：函数y=tan(12x+π3)的最小正周期为π12=2π，故选：D．本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．利用函数y=Atan(ωx+φ)+b的周期为πω，得出结论．3.【答案】B【解析】解：∵角α的终边与单位圆的交点P的坐标为(−12,m)，∴cosα=x1=−12．故选：B．由题意利用本题主要考查任意角的三角函数的定义即可求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为tan2020°=tan(180°×11+40°)=tan40°>0，cos2020°=cos(180°×11+40°)=−cos40°<0，所以点P(tan2020°,cos2020°)位于第四象限．根据诱导公式化简tan2020°和cos2020°，即可判断点P(tan2020°,cos2020°)位于第几象限．本题考查了利用诱导公式判断三角函数值的大小关系应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：对于A：当a>b>0，c>d>0，则ac>bd>0，故A错误；对于B：当a>b>0时，则a2>b2，故B错误；对于C：若ac2<bc2，则a<b，故C正确；对于D：当若a>b，0<c<d时，则a−c>b−d，故D错误；故选：C．直接利用不等式的基本性质分别判断各选项即可．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为f(x)=x−sinx为奇函数，不符合题意；f(x)=x2+cos2x为偶函数，不符合题意；f(x)=e x−1为奇函数，不符合题意；e xf(x)=x2+tanx为非奇非偶函数，符合题意．故选：D．结合函数奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+2b⃗ |=|a⃗−2b⃗ |，∴|a⃗+2b⃗ |2=|a⃗−2b⃗ |2，∴a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2，∴a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⊥b⃗ ，根据向量的数量积，利用平方求出向量的模长即可．本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积求出向量的模长，是基础题．8.【答案】A【解析】解：将函数y =sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)后，可得y =sin(2x +π3)的图象，再向右平移π6个单位所得图象的表达式为y =sin2x ， 故选：A ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：依题意可得实数m 的取值范围即函数f(x)的值域， 当x ⩽0时，f(x)=x +1∈(−∞,1]；当x >0时，f(x)=x +1x ⩾2√x ⋅1x =2，所以f(x)∈[2,+∞)．故函数f(x)的值域为(−∞,1]∪[2,+∞)． 即m 的取值范围为(−∞,1]∪[2,+∞)． 故选：D ．依题意可得实数m 的取值范围即函数f(x)的值域，再求出函数f(x)的值域即可． 本题考查函数的应用，考查方程的解与函数的零点之间的关系，考查直观想象的核心素养，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1001，a 1020满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1001OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +a 1020OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中A 为△OBC 边BC 上任意一点， ∴a 1001+a 1020=1，S 2020=20202(a 1001+a 1020)=1010．故选：C ．由a 1001，a 1020满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1001OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +a 1020OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中A 为△OBC 边BC 上任意一点，得到a 1001+a 1020=1，由此能求出S 2020．本题考查数列的前2020项和的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：由题意可得：a n1=1+n −1=n ，∴a n(n+1)=n +n(n +1−1)=n 2+n ． 故选：C ．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：因为cosC =14，可得：sinC =√1−cos 2C =√154，由2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得4CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得4=b 2+a 2+2abcosC ，可得a 2+b 2+12ab =4，所以4=a 2+b 2+12ab ≥2ab +12ab =52ab ，解得ab ≤85，当且仅当a =b =2√105时取等号，所以S △ABC =12absinC ≤12×85×√154=√155，当且仅当a =b =2√105时取等号， 即△ABC 面积的最大值为√155．故选：C ．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C ，利用2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得a 2+b 2+12ab =4，进而根据基本不等式可求ab 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查基本不等式，余弦定理，平面向量数量积的运算，三角形的面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握公式定理是解题的关键，考查转化与化归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】−2425【解析】【解答】解：∵sinθ+cosθ=15∴两边平方得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=125，即1+sin2θ=125，∴sin2θ=−2425故答案为：−2425【分析】只需将已知式两边平方，化简即可．本题考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式．计算能力是高考考查的能力之一，防止计算出错，是基础题．14.【答案】−1【解析】解：a⃗−b⃗ =(−1,−2)，a⃗+λb⃗ =(1+2λ,1+3λ)，∵(a⃗−b⃗ )//(a⃗+λb⃗ )，∴−2(1+2λ)−(−1)(1+3λ)=0，解得λ=−1．故答案为：−1．利用向量共线定理即可得出λ．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】−35【解析】解：sin(α−2π3)=sin(α−π6−π2)=−cos(α−π6)=−35，故答案为：−35．由α−2π3=α−π6−π2，再结合诱导公式，即可得解．本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：由题意可得，a>0，b>0，∵lga+lgb=lg(a+2b)，∴lgab=lg(a+2b)∴ab=a+2b，同时除ab可得，2a +1b=1，2a+b=(2a+b)(2a +1b)=2ab+2ba+5≥2√2ab⋅2ba+5=9，当且仅当2ab =2ba且2a+1b=1，即a=b=3时等号成立，故答案为：9．根据条件，运用对数的性质，可得ab=a+2b，再结合均值不等式，即可求解．本题考查了对数函数的性质，以及均值不等式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a5=14，a10=19，可得2a1+6d=14，a1+9d=19，解得a1=1，d=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1；(2)b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以S n=12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；(2)求得b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和．本题考查等差数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosA+acosC=2a．整理得：sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB=2sinA，利用正弦定理的应用，整理得b=2a，所以ba=2．(2)由于a=1，b=2a，所以b=2，c=√7，利用余弦定理可得cosC=1+4−72×1×2=−12<0，由于C∈(0,π)，可得C为三角形最大角，且C=2π3．【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．(2)利用余弦定理可求cosC<0，结合C的范围即可求解．本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)f(x)=2x2+bx+c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，∴2x2+bx+c<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由韦达定理知，−b2=5,c2=0，解得b=−10，c=0，∴f(x)=2x2−10x；(2)f(x)+t≤2恒成立等价于2x2−10x+t−2≤0恒成立，∴2x2−10x+t−2的最大值小于或等于0．设g(x)=2x2−10x+t−2≤0，则由二次函数的图象可知，g(x)=2x2−10x+t−2在区间[−1,1]为减函数，∴g(x)max=g(−1)=10+t≤0，解得t≤−10．【解析】(1)由题意可得，0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，然后利用根与系数的关系列式求得b，c的最值，则f(x)的解析式可求；(2)把问题转化为2x2−10x+t−2≤0在x∈[−1,1]上恒成立，即g(x)=2x2−10x+ t−2在[−1,1]上的最大值小于等于0恒成立，由二次函数的图象可知，g(x)=2x2−10x+t−2在区间[−1,1]为减函数，求其最大值后利用最大值小于等于0列关于t的不等式求解．本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用函数单调性求二次函数的最值，是中档题．20.【答案】解：(1)因为cosA =1213，cosB =−1665，所以sinA =513，sinB =√1−(−1665)2=6365， 所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =513×(−1665)+1213×6365=45； 又因为AC =1260m ，由正弦定理ABsinC =ACsinB ，得AB =AC⋅sinC sinB=1260×456365=1040，即索道AB 的长度为1040m ．(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，cosA =1213，由余弦定理得：d 2=(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213 =200(37t 2−70t +50) =200[37(t −3537)2+62537]，因为0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，所以当t =3537min 时，即乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短．【解析】(1)由cos A 、cos B 求出sin A 、sin B ，再求出sin C ，利用正弦定理求出AB 的值； (2)设乙出发t 分钟后甲、乙两游客距离为d ，利用余弦定理求出d 2，根据二次函数的图象与性质求出t 为何值时d 2取得最小值．本题考查了余弦定理，三角函数的定义与解三角形中的应用问题，也考查了函数思想与数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：(1)∵0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤3√2， 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosθ=bc ⋅cosθ， ∴0<bc ⋅cosθ≤3√2， ∵bc =6， ∴0<cosθ≤√22， ∵θ∈(0,π)， ∴θ∈[π4,π2)．(2)∵f(θ)=2sin2(π4+θ)−√3cos2θ=1−cos[2(π4+θ)]−√3cos2θ=1+sin2θ−√3cos2θ=1+2(12sin2θ−√32cos2θ)=1+2sin(2θ−π3)，∵θ∈[π4,π2),2θ−π3∈[π6,2π3)，∴1≤2sin(2θ−π3)≤2，即2≤1+2sin(2θ−π3)≤3，故f(θ)的最大值为3，最小值为2．【解析】(1)根据已知条件，运用向量的数量积公式，即可求解．(2)运用二倍角公式，以及三角函数的两角差公式，将f(θ)化简为1+2sin(2θ−π3)，再结合θ的取值范围，即可求解．本题考查了向量的数量积公式，以及三角函数的二倍角公式和三角函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．22.【答案】解：(1)由已知得b1=a1=1，且a n+1n+1=a nn+12n，即b n+1=b n+12n ，从而b2=b1+12，b3=b2+122，b n=b n−1+12n−1(n≥2)．于是b n=b1+12+122+⋯+12n−1=2−12n−1(n≥2)．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2−12n−1．(2)由(1)知a n=2n−n2n−1，故S n=(2+4+⋯+2n)−(1+22+322+423+⋯+n2n−1)，设T n=1+221+322+423+⋯+n2n−1，①1 2T n=12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，②①−②得，1 2T n=1+12+122+123+⋯+12n−1−n2n=1−1 2n1−12−n2n=2−22n−n2n，∴T n=4−n+22n−1．∴S n=n(n+1)+n+22n−1−4．【解析】(1)由已知得a n+1n+1=a nn+12n，即b n+1=b n+12n，由此能够推导出所求的通项公式．(2)由题设知a n=2n−n2n−1，故S n=(2+4+⋯+2n)−(1+22+322+423+⋯+n2n−1)，设T n=1+221+322+423+⋯+n2n−1，由错位相减法能求出T n=4−n+22n−1.从而导出数列{a n}的前n项和S n．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．。
四川省凉山州2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文)试题
所以
又 ， ，由余弦定理 ，
解得 .
（2）因为 的面积为 ,
所以 ，
又 ， ，
解得 .
【点睛】
本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用以及等差中项的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．（1） ； ；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件求得 ，由此求得 及 .
（2）利用裂项求和法求得 ，进而证得 .
7．B
【解析】
【分析】
根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数.
【详解】
①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的.
②，若 ，则可能 为零向量，方向任意，所以②错误.
③，若 且 ，则可能 为零向量，此时 不一定平行，所以③错误.
④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误.
当截面经过 、 、 、 时，截面形状为②；
当截面经过正方体 的体对角线时，截面形状可能为①；
对于截面③，截面需经过正方体 的四个顶点，只可能是 、 、 、 或 、 、 、 四点，但四边形 和四边形 不是正方形，
所以，截面形状不可能为③.
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体截面形状的判断，要对截面与正方体各面的位置关系进行分类讨论，考查空间想象能力，属于中等题.
3．A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质求得 .
【详解】
由于 ，等腰对等角，所以 .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
利用向量加法、减法和数乘运算确定正确选项.
2019-2020学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．如果0a b <<，则下列不等式中成立的为（ ） A ．1a b< B ．1ab <- C ．1a b> D ．11a b< 【答案】C【解析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项. 【详解】令2,1a b =-=-，则21ab=>，所以A 错误， 令2,1a b =-=-，则1121,ab a b=>->，所以BD 选项错误.由1a a b b b --=，其中0,0a b b -<<，所以10a a bb b--=>，所以1a b >成立. 故选：C 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查差比较法，属于基础题.2．已知2a xi j =+，3b i y j =+（i ，j 不共线），若//a b ，则xy 的值为（ ） A ．6 B ．23C ．6-D ．23-【答案】A【解析】由题得,a b λ=化简方程3,2x y λλ=⎧⎨=⎩即得解. 【详解】 因为//a b ，所以,2(3)a b xi j i y j λλ=∴+=+所以3,62x xy yλλ=⎧∴=⎨=⎩. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量平行的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，3b =，30A =︒，则角B 等于（ ） A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质求得B . 【详解】由于3a b ==，等腰对等角，所以A B 30==︒. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题.4．如图，ABC 中，已知2CD DB =，则AD =（ ）A ．1233AB AC + B ．3144AB AC C ．1344AB AC D ．2133AB AC + 【答案】D【解析】利用向量加法、减法和数乘运算确定正确选项. 【详解】依题意()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+. 故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量加法、减法和数乘运算，属于基础题. 5．不等式21x x --≥0的解集是( ) A ．［2, +∞） B ．(],1-∞∪(2, +∞） C ．(－∞,1) D ．(－∞,1)∪［2,+∞)【答案】D 【解析】因为不等式21x x --≥0等价于(2)(1)0{1x x x --≥≠，解得可知选(－∞,1)∪［2,+∞)，选D6．数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，13n n a a --=，则5a 的值为（ ） A ．12 B ．12-C ．15D ．15-【答案】C【解析】判断出{}n a 是等差数列，由此求得5a . 【详解】由于数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为13a =，公差为3的等差数列，所以51431215a a d =+=+=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的定义，考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 7．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反； ③若//a b 且//b c ，则//a c ； ④若a b =，则2a b >． 其中正确的命题个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数. 【详解】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的.②，若//a b ，则可能b 为零向量，方向任意，所以②错误.③，若//a b 且//b c ，则可能b 为零向量，此时,a c 不一定平行，所以③错误. ④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误. 故正确的命题有1个. 故选：B 【点睛】本小题主要考查相等向量、共线向量、零向量等知识，属于基础题.8．如图，底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱相等，且PA AB =，E ，F 分别为棱PA 和PC 上的两点，3PE =，6PF =，F 处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到E 处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．35B ．52C ．37D ．9【答案】C【解析】根据四棱锥P ABCD -的结构特征， 沿P A ，PC 剪开展成平面时EF 最短，然后在PEF 中，利用余弦定理求解.【详解】 如图所示：因为底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱相等，且PA AB =， 所以四棱锥P ABCD -是正四棱锥且所有的棱都相等， 当沿P A ，PC 剪开展成平面，EF 最短，在PEF 中，3PE =，6PF =，120EPF ∠=︒， 由余弦定理得2222cos EF PE PF PE PF EPF =+-⋅⋅∠ 1936236632⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 解得 37EF =，所以蚂蚁爬行的最短距离为故选：C 【点睛】本题主要考查四棱锥的结构特征以及展开图的应用，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.9．已知正项等比数列{}n a ，向量()3,9a a =-，()9,3b a =，若a b ⊥，则3537log log a a +，的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据a b ⊥，得到3927a a =，再根据数列{}n a 是正项等比数列，得到395727a a a a ==，然后利用对数运算求解.【详解】已知向量()3,9a a =-，()9,3b a =， 因为a b ⊥， 所以3927a a =，又因为数列{}n a 是正项等比数列， 所以395727a a a a ==，所以35373573log log log log 273a a a a +===， 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及等等比数列的性质和对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．医院食堂用两种原料为手术后的病人配制营养食品，甲种原料每1千克含2单位蛋白质和1单位铁质，售价30元；乙种原料每1千克含1单位蛋白质和3单位铁质，售价20元．若病人每餐至少需要3单位蛋白质和4单位铁质，则所需最低费用为（ ） A ．30元 B ．45元C ．50元D ．60元【答案】C【解析】利用线性规划的知识，结合图象求得最低费用.【详解】设购买甲x 千克，购买乙y 千克，则2334,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，目标函数3020z x y =+. 画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线30200x y +=到可行域边界点()1,1A 时，目标函数z 取得最小值为30120150⨯+⨯=.故选：C【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，属于基础题.11．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①②④B ．②③C ．①②D ．②③④【答案】A【解析】对截面与正方体的侧面与底面的位置关系进行分类讨论，进而可得出截面形状. 【详解】 如下图所示：当截面平行于正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 时，截面形状为④； 当截面经过A 、B 、1C 、1D 时，截面形状为②；当截面经过正方体1111ABCD A B C D -的体对角线时，截面形状可能为①；对于截面③，截面需经过正方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，只可能是A 、B 、1C 、1D 或1A 、1B 、C 、D 四点，但四边形11ABC D 和四边形11A B CD 不是正方形，所以，截面形状不可能为③. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体截面形状的判断，要对截面与正方体各面的位置关系进行分类讨论，考查空间想象能力，属于中等题.12．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 中必存在值为1的项．若01a =，则5a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据01a =，由()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数递推求解.【详解】因为01a =，()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，所以13114a =⨯+=， 2422a ==， 3212a ==， 43114a =⨯+=，5422a ==， 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的递推，属于基础题.二、填空题13．在正项等比数列{}n a 中，3122a a a =+，则该数列的公比q =______． 【答案】2【解析】将已知条件转化为1,a q ，由此求得q . 【详解】由3122a a a =+得21112a q a a q =+，即220q q --=，解得2q或1q =-（舍去）.故答案为：2 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 14．已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______． 【答案】3【解析】利用基本不等式求得1aa b+的最小值. 【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：3 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.15．已知M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，向量()1,0a =，则MN a ⋅的最大值是______. 【答案】2【解析】据题意，由于M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，则不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MNa ⋅≤（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）从而求得最大值. 【详解】由0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图由条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可得()()()1,1,2,2,3,1A B C由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a MN ⋅≤=（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）， 即当MN 所在直线平行于=(1,0)a 所在直线且方向相同的时候得到大值，MN 的最大长度为直线=0x y -与1y =的交点(1,1)与直线4=0x y +-和1y =的交点(3,1)的距离.22(31)(11)2-+-=， 故答案为：2 【点睛】解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用a b a b ⋅≤（当且仅当b 与a 共线同向时等号成立）得到结论．属于中档题.三、双空题16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为______，该四面体的外接球的表面积为______．【答案】3 22π【解析】将三视图还原为原图，由此计算出四面体的体积，利用补形的方法，求得四面体的外接球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体如下图所示几何体1A ABC -.其体积为11323332⨯⨯⨯⨯=. 将几何体补形为长方体，几何体外接球的直径也即长方体的对角线，设外接球的直径为2R ，则()2222232322R =++=，即2422R =.所以外接球的表面积为2422R ππ=. 故答案为：3；22π11【点睛】本小题主要考查三视图，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题.四、解答题17．已知1a =，2b =，()a b a -⊥． （1）求a b ⋅；（2）求a b -与b 的夹角． 【答案】（1）1a b ⋅=；（2）56π． 【解析】（1）由()()0a a b b a a -⇒-⋅=⊥，由此列方程，化简后求得a b ⋅的值. （2）先求得()a b b -⋅、a b -，由此利用向量的夹角公式，计算出a b -与b 的夹角. 【详解】（1）因()a b a -⊥，则()0a b a -⋅=即()20a b a -⋅=，又1a =，所以1a b ⋅=（2）设a b -与b 的夹角为θ．由（1）题与2b =得()()23a b b a b b-⋅=⋅-=-，()()()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=，则()3cos 2a b b a b bθ-⋅==--⋅，[]0,θπ∈所以56πθ=. 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，2a =．（1）若1c =，求b ；（2）若ABC c ． 【答案】（1）b =（2）2．12 【解析】（1）根据A ，B ，C 成等差数列，利用等差中项得到3B π=，再由2a =，1c =，利用余弦定理求解.（2）根据ABC2a =，3B π=，由1sin 2ABCSac B ==解. 【详解】（1）因为A ，B ，C 成等差数列，即2B A C =+， 又A B C π++=， 所以3B π=又2a =，1c =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，解得b =（2）因为ABC所以1sin 2ABCSac B == 又2a =，3B π=，解得2c =. 【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用以及等差中项的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知156a a +=，36S =． （1）求n a 及n S ； （2）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <．【答案】（1）n a n =；21122n S n n =+；（2）证明见解析． 【解析】（1）利用已知条件求得1,a d ，由此求得n a 及n S . （2）利用裂项求和法求得n T ，进而证得1n T <. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，13由15366a a S +=⎧⎨=⎩即()11146336a a d a d ⎧++=⎨+=⎩解得111a d =⎧⎨=⎩所以()11n a a n d n =+-=()21111222n nn S na d n n -=+=+ （2）由（1）可知：()11111n b n n n n ==-++则123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+11111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+ 因为101n >+ 所以1n T <成立. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式、前n 项和公式，考查裂项求和法，属于中档题. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E ，F 分别为AB ，PC 的中点，求证：（1）//EF 平面PAD ； （2）平面PDC ⊥平面PAD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）证明//EF 平面PAD 内的一条直线AM ，即可得答案； （2）证明CD ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定理证明即可； 【详解】（1）证明：设M 为PD 的中点，连接MA ，MF （如图）， 则MF 为PDC △的中位线， 所以//MF DC 且12MF DC =14 ∵四边形ABCD 是正方形，E 为AB 的中点 ∴//AE DC 且12AE DC =故MF AE //且MF AE =， ∴四边形AEFM 为平行四边形 则//EF AM ，又因EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD 所以，//EF 平面PAD（2）证明：∵侧面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PCD 平面ABCD AD =四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥ ∵CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面PAD又∵CD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面PAD ． 【点睛】本题考查线面平行判定定理和面面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力.21．n S 是数列{}n a 的前n 项和，1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）证明{}n a 的等比数列； （2）设1n nn b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）证明见解析；（2）2nn T n =⋅．【解析】（1）根据1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合n S 与n a 的关系，求得()*112n n a n N -=∈，再根据等比数列的定义，即可求解； （2）由（1）和题设条件，求得()112n n b n -=+⋅，结合成公比错位相减法，即可求得数列的前n 项和.15【详解】（1）因为1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2n ≥时，21122n n S --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两式相减，可得1112n n n n a S S --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即112n n a -=()2n ≥， 又由当1n =时，0111212a S ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，也满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式()*112n n a n N -=∈， 又由211121212(2,)1222n n n n n n a n n N a --+---===≥∈， 所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比12q =的等比数列.（2）由（1），可得()1121n nn n b a n -=+⋅+=， 所以()012122324212n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅，可得()12122232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅，两式相减，可得()()121222212n nn T n --=++⋅⋅⋅+--⋅，()2221212n n n -=+-+⋅-()2nn =-⋅，所以数列{}n b 的前n 项和2nn T n =⋅.【点睛】本题主要考查等比数列定义及的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c2sin a B =． （1）求A ；（2）若1b =，求c 的取值范围．16 【答案】（1）3A π=；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（12sin a B =2sin sin B A B =求解.（2）由ABC 是锐角三角形， 则222222b ac c a b ⎧<+⎨<+⎩，然后由1b =，3A π=，利用余弦定理得到221a c c =-+，代入上面不等式组求解. 【详解】（12sin a B =，2sin sin B A B =， 因sin 0B ≠，得sin 2A =，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3A π=，（2）（解法一）因1b =，3A π=，由余弦定理得：22222cos 1a b c bc A c c =+-=-+， 因为ABC 是锐角三角形，所以，cos 0cos 0B C >⎧⎨>⎩，即222222b ac c a b ⎧<+⎨<+⎩， 代入得2221212c c c c c ⎧<-+⎨<-+⎩且0c >， 解得：122c <<， 即c 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭． （解法二）因为1b =，3A π=，由正弦定理：sin sin b cB C=得sin sin 3sin sin B C c B Bπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，所以12tan2cB=+，又因为2232BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得,62Bππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan B⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，所以122c<<，即c的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17。
四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年四川省成都市郫都区高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．cos2﹣sin2＝（）A．1B．C．D．2．已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5+b9等于（）A．2B．4C．8D．163．若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．a3＜b3C．D．a2＞b24．已知各项均不相等的等比数列{a n}，若3a2，2a3，a4成等差数列，设S n为数列{a n}的前n 项和，则等于（）A．B．C．3D．15．在△ABC中，若B、C的对边边长分别为b、c，B＝45°，c＝2，b＝，则C等于（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°6．若＝，则tan2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则△ABC的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．已知sin（+x）＝，则sin2x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．9．已知，，则tanα•tanβ的值为（）A．B．C．D．10．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x 成立，则（）A．﹣1＜a＜1B．0＜a＜2C．D．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．D．12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x＞1，则x+的最小值是．14．若，则（1+tanα）•（1+tanβ）＝．15．如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为40米的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角β＝60°，α＝30°，若山坡高为32米，则灯塔高度是米．16．设a1，a2，…，a50是从﹣1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50＝9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2＝107，则a1，a2，…，a50中数字0的个数为．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．求下列各式的值：（1）；（2）若x＝，求（sin x+cos x）2+2cos2x的值．18．在等比数列{a n}中，a1+a2＝6，a2+a3＝12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是等差数列，且b2＝a2，b4＝a4．求数列{b n}的公差，并计算b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的值．19．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在二次函数f（x）＝3x2﹣2x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC中点，AB＝BC，A1D⊥AC1．求证：（1）B1C∥平面A1BD；（2）平面A1BD⊥平面AB1C1．22．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，D是边AB上一点．（1）求△ABC的面积的最大值；（2）若CD＝2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．参考答案一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．cos2﹣sin2＝（）A．1B．C．D．【分析】利用二倍角公式以及特殊角的三角函数求值即可．解：＝cos＝．故选：C．2．已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5+b9等于（）A．2B．4C．8D．16【分析】利用等比数列求出a7，然后利用等差数列的性质求解即可．解：等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，∴b7＝4，数列{b n}是等差数列，则b5+b9＝2b7＝8．故选：C．3．若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．a3＜b3C．D．a2＞b2【分析】根据条件，取a＝﹣2，b＝﹣1，可知C不成立．解：根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则可知C不成立．故选：C．4．已知各项均不相等的等比数列{a n}，若3a2，2a3，a4成等差数列，设S n为数列{a n}的前n 项和，则等于（）A．B．C．3D．1【分析】设等比数列{a n}的公比为q，q≠1，由3a2，2a3，a4成等差数列，可得2×2a3＝3a2+a4，由等比数列的通项公式解得q，利用通项公式与求和公式即可得出．解：设等比数列{a n}的公比为q，q≠1，∵3a2，2a3，a4成等差数列，∴2×2a3＝3a2+a4，∴4a2q＝3a2+a2q2，化为q2﹣4q+3＝0，解得q＝1（舍去）或q＝3．q＝3时，则＝＝．故选：A．5．在△ABC中，若B、C的对边边长分别为b、c，B＝45°，c＝2，b＝，则C等于（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】由B的度数求出sin B的值，再由b及c的值，利用正弦定理求出sin C的值，根据C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数．解：由B＝45°，c＝2，b＝，根据正弦定理＝得：sin C＝＝＝，又C为三角形的内角，且c＞b，可得C＞B＝45°，即45°＜C＜180°，则C＝60°或120°．故选：D．6．若＝，则tan2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】将已知等式左边的分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入即可求出值．解：∵＝＝，∴tanα＝﹣3，则tan2α＝＝＝．故选：B．7．△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则△ABC的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理＝⇒＝，再结合已知＝可求得＝，从而可得sin2A＝sin2B，可判断△ABC的形状．解：△ABC中，由正弦定理得：＝，∴＝，又＝，∴＝，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B＝，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．8．已知sin（+x）＝，则sin2x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】根据sin2x＝﹣cos（2x+）＝﹣[1﹣2]，把sin（+x）＝代入，运算求得结果．解：∵sin（+x）＝，∴sin2x＝﹣cos（2x+）＝﹣[1﹣2]＝2﹣1＝2×﹣1＝﹣，故选：B．9．已知，，则tanα•tanβ的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知结合和差角的余弦公式及同角基本关系即可求解．解：因为，，所以cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，cosαcosβ+sinαsinβ＝，解可得，cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则tanα•tanβ＝＝＝﹣．故选：C．10．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x 成立，则（）A．﹣1＜a＜1B．0＜a＜2C．D．【分析】此题新定义运算⊙：x⊙y＝x（1﹣y），由题意（x﹣a）⊙（x+a）＝（x﹣a）（1﹣x﹣a），再根据（x﹣a）⊙（x+a）＜1，列出不等式，然后把不等式解出来．解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即x2﹣x﹣a2+a+1＞0∵任意实数x成立，故△＝1﹣4（﹣a2+a+1）＜0∴，故选：C．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】在正方体、长方体中往往可以建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题．解：如图，以D为坐标系原点，AB为单位长，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，易见，，所以＝＝＝，故选：B．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．D．12【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为三棱柱ABC﹣DEF切去一个三棱锥体C﹣DEF．如图所示：所以：V＝＝4．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x＞1，则x+的最小值是3．【分析】x+＝x﹣1++1，利用基本不等式可求函数的最值．解：∵x＞1，∴x+＝x﹣1++1+1＝3，当且仅当x﹣1＝即x＝2时取等号，∴x＝2时x+取得最小值3，故答案为：3．14．若，则（1+tanα）•（1+tanβ）＝2．【分析】先求出tan（α+β）＝1，把所求的式子展开，把tanα+tanβ换成tan（α+β）（1﹣tanα•tanβ），运算求出结果．解：∵，∴tan（α+β）＝1．∴（1+tanα）•（1+tanβ）＝1+tanα+tanβ+tanα•tanβ＝1+tan（α+β）（1﹣tanα•tanβ）+tanα•tanβ＝1+1+tanα•tanβ﹣tanα•tanβ＝2，故答案为2．15．如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为40米的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角β＝60°，α＝30°，若山坡高为32米，则灯塔高度是28米．【分析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出灯塔高度．解：如图所示，△ABD中，AB＝40，∠ABD＝90°+α＝120°，∠BAD＝90°﹣β＝30°，所以∠ADB＝30°，所以AD2＝402+402﹣2×40×40×cos120°＝4800，AD＝40；Rt△ADE中，∠DAE＝60°，所以DE＝AD sin60°＝40×＝60，又山坡高为CE＝32米，所以灯塔高度是60﹣32＝28（米）．故答案为：28．16．设a1，a2，…，a50是从﹣1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50＝9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2＝107，则a1，a2，…，a50中数字0的个数为11．【分析】根据题中已知条件先求出a12+a22+…+a502的值为39，便可知﹣1和1的总个数是39，则0的个数为11．解：由（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2＝107得a12+a22+…+a502+2（a1+a2+…+a50）+50＝107，即：a12+a22+…+a502＝107﹣50﹣2×9＝39由此式可知：0的个数为11﹣1和1的总个数是39设﹣1 的个数为x，1的个数为y则有：x+y＝39 且y﹣x＝9可知：x＝15，y＝24，故：a1，a2，…，a50中有0的个数为11，1 的个数为24，﹣1的个数为15，故答案为11．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．求下列各式的值：（1）；（2）若x＝，求（sin x+cos x）2+2cos2x的值．【分析】（1）先进行通分，然后结合二倍角及辅助角公式进行化简即可求解；（2）展开后结合二倍角公式进行化简，代入即可求解．解：（1）＝＝＝＝4，（2）若x＝，则（sin x+cos x）2+2cos2x＝1+sin2x+cos2x+1＝2+sin＝2 18．在等比数列{a n}中，a1+a2＝6，a2+a3＝12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是等差数列，且b2＝a2，b4＝a4．求数列{b n}的公差，并计算b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的值．【分析】（Ⅰ）由等比数列的通项公式可得，a1（1+q）＝6，a1q（1+q）＝12，解方程可求a1，进而可求通项（Ⅱ）结合等差数列的通项公式可得，b1+d＝4，b1+3d＝16，解方程求出b1，d，然后利用分组求和即可解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由已知，a1（1+q）＝6，a1q（1+q）＝12 …两式相除，得q＝2．…所以a1＝2，…所以数列{a n}的通项公．…（Ⅱ）设等差数列{b n}的公差为d，则b1+d＝4，b1+3d＝16…解得b1＝﹣2，d＝6…b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的＝（b1﹣b2）+（b3﹣b4）+…（b99﹣b100）＝﹣50d＝﹣300…19．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）＝﹣求得tan（α+β），利用tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在二次函数f（x）＝3x2﹣2x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）推导出S n＝3n2﹣2n，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由a n＝6n﹣5，得到b n＝＝，由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和．解：（1）∵点（n，S n）（n∈N*）均在二次函数f（x）＝3x2﹣2x的图象上．∴S n＝3n2﹣2n，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3n2﹣2n﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]＝6n﹣5，当n＝1时，a1＝S1＝3×12﹣2×1＝1满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝6n﹣5．（2）∵a n＝6n﹣5，∴b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和：T n＝（1﹣）+（）+（）+…+（）＝1﹣＝．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC中点，AB＝BC，A1D⊥AC1．求证：（1）B1C∥平面A1BD；（2）平面A1BD⊥平面AB1C1．【分析】（1）设A1B与AB1交于点O，连接OD，证明OD∥B1C，得出B1C∥平面A1BD；（2）证明BD⊥平面ACC1A1，得出BD⊥AC1，由A1D⊥AC1，得出AC1⊥面A1BD，即可证明平面A1BD⊥平面AB1C1．【解答】证明：（1）设A1B与AB1交于点O，连接OD，如图所示；在平行四边形ABB1A1中，O为AB1中点，D为AC中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD；（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD为△ABC的底边上的中线，BD⊥AC；在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以BD⊥C1C，又BD⊥AC，AC⊂平面ACC1A1，C1C⊂平面ACC1A1，AC∩C1C＝C，所以BD⊥平面ACC1A1；又AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1；又A1D⊥AC1，BD⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，A1D∩BD＝D，所以AC1⊥面A1BD；又AC1⊂平面AB1C1，所以平面A1BD⊥平面AB1C1．22．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，D是边AB上一点．（1）求△ABC的面积的最大值；（2）若CD＝2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．【分析】（1）由余弦定理得AB•BC≤＝20（2+），由此能求出△ABC的面积的最大值．（2）设∠ACD＝θ，由三角形面积得到sinθ＝，cos，由余弦定理，得AD ＝4，由正弦定理，得，由此能求出BC的长．解：（1）∵在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，D是边AB上一点，∴由余弦定理得：AC2＝20＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝≥（2﹣）AB•BC，∴AB•BC≤＝20（2+），∴，∴△ABC的面积的最大值为．（2）设∠ACD＝θ，在△ACD中，∵CD＝2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，∴＝＝4，∴sinθ＝，cos，由余弦定理，得AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cosθ＝20+4﹣8×＝16，∴AD＝4，由正弦定理，得，∴，∴，此时，∴BC＝．∴BC的长为4．。
四川省雅安市2019-2020学年高一下期末考试数学试题含解析
四川省雅安市2019-2020学年高一下期末考试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是两两互不重合的直线，则下列命题：①a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ②//a b a c c b ⊥⎫⇒⎬⊥⎭； ③//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭.其中正确命题的个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理，可得①正确；利用列举所有可能，即可判断②③错误． 【详解】①由面面垂直的判定定理，∵a α⊥，a ⊂β，∴α⊥β，故正确； ②,a b c b ⊥⊥，则,a c 平行，相交，异面都有可能，故不正确； ③//,a b a α⊥，则b 与α平行，相交都有可能，故不正确． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查线面关系的判断，考查的空间想象能力，属于基础题.判断线面关系问题首先要熟练掌握有关定理、推论，其次可以利用特殊位置排除错误结论. 2．在△ABC 中，222a b c bc =++，则A 等于（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：222a b c bc =++22222211cos 120222b c a b c a bc A A bc +-∴+-=-∴=-∴=-∴=考点：余弦定理解三角形3．已知m 个数的平均数为a ，n 个数的平均数为b ，则这m n +个数的平均数为（ ） A ．2a b+ B ．a bm n++ C ．ma nba b++D ．ma nbm n++【答案】D 【解析】根据平均数的定义求解. 【详解】两组数的总数为：ma nb + 则这m n +个数的平均数为：ma nbm n++故选：D 【点睛】本题主要考查了平均数的定义，还考查了运算求解能力，属于基础题.4．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z=x-y 的取值范围是 A ．[–3,0] B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]【答案】B 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即y x z =-，易知直线y x z =-在y 轴上的截距最大时，目标函数z x y =-取得最小值；在y 轴上的截距最小时，目标函数z x y =-取得最大值，即在点()0,3A 处取得最小值，为min 033z =-=-；在点()2,0B 处取得最大值，为max 202z =-=.故z x y =-的取值范围是[–3,2].所以选B.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即运用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点处或边界上取得. 5．要得到函数的图象，只要将函数的图象( )A ．向左平行移动个单位B ．向右平行移动个单位C ．向右平行移动个单位D ．向左平行移动个单位【解析】 【分析】 把化简即得解.【详解】 由题得，所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平行移动个单位，故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，则异面直线11A C 与MN 所成的角等于（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B 【解析】 【分析】连接11,,AB AC B C ，可证1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，求出此角即可． 【详解】连接11,,AB AC B C ，因为M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，所以1//MN AB ，又正方体中11//A C AC ，所以1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，1AB C ∆是等边三角形，1B AC ∠＝60°．所以异面直线11A C 与MN 所成的角为60°．故选：B ． 【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所成的角，同时给出证明，然后在三角形中计算．7．直线10x -=的倾斜角为( ) A ．30 B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D 【解析】 【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解. 【详解】10x +-=化为y x =直线的斜率为0150. 故选:D. 【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题. 8．设等比数列{}n a 满足123a a +=，133a a -=-，则4a =（ ） A ．8 B ．16C ．24D ．48【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则1123a a q +=⎧⎨，解得11,2a q ==所以3418a a q ==.故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.9．已知函数()f x 满足下列条件：①定义域为[)1,+∞；②当12x <≤时()4sin()2f x x π=；③()2(2)f x f x =. 若关于x 的方程()0f x kx k -+=恰有3个实数解，则实数k 的取值范围是 A ．11[,)143B ．11(,]143C ．1(,2]3D ．1[,2)3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】分析：先根据条件确定函数()f x 图像，再根据过定点（1，0）的直线与()f x 图像关系确定实数k 的取值范围.详解：因为()()22f x f x =，当12x <≤时()4sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；所以可作函数()f x 在[)1,+∞上图像，如图，而直线y kx k =-过定点A （1，0）,根据图像可得恰有3个实数解时实数k 的取值范围为1020[,)[,)=4121AC AB k k --=--1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭,选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶10．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，32A O ''=，那么原ABC 中ABC ∠的大小是（ ）．A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原ABC 在直角坐标系的图形，进而分析出ABC 的形状，可得结论．【详解】 如图：根据斜二测画法可得：'2BC B C ='=，'23AO AO'== 故原ABC 是一个等边三角形故选C 【点睛】本题是一道判定三角形形状的题目，主要考查了平面图形的直观图，考查了数形结合的思想 11．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为（ ）A ．18B ．79C ．29D ．716【解析】 【分析】方砖上共分为九个全等的正方形，涂色方砖为其中的两块，由几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】由图形可知，方砖上共分为九个全等的正方形，涂色方砖为其中的两块， 由几何概型的概率公式可知，小狗最终停在涂色方砖的概率为29，故选：C. 【点睛】本题考查利用几何概型概率公式计算事件的概率，解题时要理解事件的基本类型，正确选择古典概型和几何概型概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.12．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n n S a a +=，则20S =（ ） A ．200 B ．210C ．400D ．410 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前n 项和公式的应用求出结果． 【详解】由题11a =，12n n n S a a +=，又因为11a S = 所以当1n =时，可解的22a =当2n ≥时，112n n n S a a --=，与12n n n S a a +=相减得112n n a a +--=当n 为奇数时，数列}{n a 是以1为首相，2为公差的等差数列，21n a n =- 当n 为偶数时，数列}{n a 是以2为首相，2为公差的等差数列，2n a n = 所以当n 为正整数时，n a n =， 则2012320210S =++++=故选B. 【点睛】本题考查的知识点有数列通项公式的求法及应用，等差数列的前n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题． 二、填空题：本题共4小题 13．已知数列、都是公差为1的等差数列，且，，设，则数列的前项和________【答案】【解析】【分析】根据等差数列的通项公式把转化到，再把转化，然后由已知和等差数列的前项和可求结果．【详解】．故答案为：．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和前项和的应用，利用分组求和法是解决本题的关键．14．如图是一个算法流程图.若输出y的值为4，则输入x的值为______________.【答案】-1【解析】对x 的范围分类，利用流程图列方程即可得解． 【详解】当1x ≤时，由流程图得：3y x =-令34y x =-=，解得：1x =-，满足题意． 当1x >时，由流程图得：3y x =+令34y x =+=，解得：1x =，不满足题意． 故输入x 的值为：1- 【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题． 15．如图，在Rt ABC ∆内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,,,n a a a ，若AB a ，2BC a =，则所有正方形的面积的和为___________.【答案】245a 【解析】 【分析】根据题意可知12AB BC =，可得123a a =，依次计算2123a a =，3223a a =⋯，不难发现：边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯构成是公比为23的等比数列，正方形的面积：依次2149S a =，22149S a =⋯，不难发现：边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯正方形的面积构成是公比为49的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和． 【详解】根据题意可知12AB BC =，可得123a a =， 依次计算2123a a =，3223a a =⋯，是公比为23的等比数列，正方形的面积：依次2149S a =，22149S a =⋯，边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，正方形的面积构成是公比为49的等比数列．所有正方形的面积的和22144941519n aS S a q ===--． 故答案为：245a【点睛】本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题． 16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝(－1)n a n －12n，n ∈N ，则a 3＝________． 【答案】－116【解析】当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，则a 1＋a 2＋2a 3＝－18，当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，两式相减得a 3＝－116. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
下学期期末质量检测 高一数学试题卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 下列各个角中与2018︒终边相同的是（ ）A ．148-︒B ．668︒C ．218︒D ．318︒ 2.sin17sin 223cos17cos(43)︒︒+︒-︒等于（ ）A ．12 B ．12- C ．-3.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A ．(0,0)a =，(2,3)b = B ．(1,0)a =-，(2,0)b =- C ．(3,6)a =，(2,3)b = D ．(1,2)a =-，(2,4)b =-4.已知随机变量x ，y 的值如下表所示，如果x 与y 线性相关，且回归直线方程为92y bx =+，则实数b 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．6-D ．65.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 6.已知向量a 与b 的夹角为120︒，()1,0a =，2b =，则2a b +=（ ）AB ．2 C．．4 7.为了得到函数y x =的图象，可以将函数sin 3cos3y x x =+的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位8.已知O 、A 、B 三点不共线，P 为该平面内一点，且AB OP OA AB=+，则（ ）A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上 9.已知1cos 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()sin 32πα-+=（ ） A ．79 B ．79- C ．35 D ．35- 10.已知圆C ：2212x y +=，直线l ：4325x y +=，圆C 上的点A 到直线l 的距离小于2的概率为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．1211.在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3A π∠=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-，则AM AN ⋅=（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1612.函数()sin f x x =在区间(0,18)π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得1212()()()......n nf x f x f x x x x ===，则n 的最大值等于（ ） A ．19 B ．18 C ．17 D ．16二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置．．．．．．．．．．．．．．．） 13.某市2017年各月的平均气温（单位：C ︒）数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ．14.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模a b a b ⨯=⋅，若()3,1a =--，()1,3b =，则a b ⨯= ．15.设M 是ABC ∆的边BC 上任意一点，且4NM AN =，若AN AB AC λμ=+，则λμ+= ．16.在平面直角坐标系xoy 中，已知任意角θ以坐标原点o 为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点00(,)p x y ，且(0)op r r =>，定义：00y x sos rθ+=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y sosx =”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦； ②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线34x π=对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为2π； ⑤该函数的递增区间为32,244k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 其中正确的是 ．（填上所有正确性质的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知向量(3,4)a =，(1,2)b =-. （1）求向量a 与b 夹角的余弦值；（2）若向量a b λ-与2a b +垂直，求λ的值. 18.已知tan 2α=. （1）求tan()4πα+的值；（2）求22sin 2sin sin cos 2cos ααααα+-的值.19.从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图1的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为1A ，2A ，3A ，4A ，5A .（1）求图1中a 的值；（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S . 20.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)2A πωϕ>>>>的最大值为2，最小正周期为π，直线6x π=是其图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.21.已知集合23456,,,,,777777A ππππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. （1）若从集合A 中任取两个不同的角，求至少有一个角为钝角的概率；（2）记()1cos ,1sin a θθ=++，求从集合A 中任取一个角作为θ的值，且使用关于x 的一元二次方程2250x a x -+=有解的概率. 22.设函数2()2sin(2)4cos 36f x x x π=+-+，x R ∈.（1）求()f x 的周期及对称轴方程； （2）当[0,]2x π∈时，不等式2(1)()28()m f x m f x +-+≥恒成立，求实数m 的取值范围.新余市2017-2018学年度下学期期末质量检测高一数学参考答案（文科）一、选择题1-5: CACDD 6-10: BADAB 11、12：AB 二、填空题13. 20 14. 2 15. 1516. ①④⑤ 三、解答题17．（本小题满分10分）【答案】解：（1）因为 ，所以 ()2222345,125a b =+==-+=，所以()31425a b ⋅=⨯-+⨯=.（2）因为()()3,4,1,2a b ==-，所以5,5a b cosa b a b⋅==，因为向量a b λ-与2a b +垂直，所以 解得：()()3,42,21,8a b a b λλλ-=+-+=，73λ=.18.解(1)原式.(2）原式()()3,4,1,2a b ==-()314280λλ+⨯+-⨯=（）19.【答案】解：（1）由频率直方图可知110)04.003.002.02(=⨯+++a ， 解得005.0=a ；（2）根据程序框图12010005.01=⨯⨯=A ，82010040.02=⨯⨯=A ，62010030.03=⨯⨯=A ，42010020.04=⨯⨯=A ，， 所以输出的18432=++=A A A S ； 20.【答案】解：（1）由题意得，2,2==ωA 当6π=x 时，1)3sin(,2)62sin(2±=+±=+⨯ϕπϕπ即所以6,23ππϕππϕπ+=+=+k k 解得，6,20πϕπϕ=<<所以又,所以 )62sin(2)(π+=x x f .(2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=6)12(2sin 26)12(2sin 2)(ππππx x x g )32sin(2π-=x .由 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈-22,2232πππππk k x ，得 所以函数)(x g 的单调递增区间是z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππ. 21.【答案】解：（1）341155P =-=； （2）方程2250x a x -+=有解，即2244505a a ∆=-⋅≥⇒≥． 又()()()2221cos 1sin 32sin cos a θθθθ=+++=++， ∴()32sincos 5θθ++≥，即sin cos 1θθ+≥. 即sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，)32sin(22sin 2π+-=x x xx 2cos 32sin -=z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈125,12ππππ12010005.05=⨯⨯=A不难得出：若θ为锐角，(t ∈；若θ为钝角， ()1,1t ∈-，∴θ必为锐角， 12P =． 22.【答案】解：（1）2()2sin(2)4cos 36f x x x π=+-+1cos 22cos 2432xx x +=+-⨯+2cos 21x x =-+ 22T ππ∴==，当 2,62x k k Z πππ-=+∈ 即,32k x k Z ππ=+∈. 所以对称轴方程,32k x k Z ππ=+∈.（2）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤，故1sin(2)124x π-≤-≤,∴0()2sin(2)136f x x π≤=-+≤，令()t f x =，则03t ≤≤，由21()28()m f x m f x +-+≥（） 得2(1)280t m t m -++-≤在03t ≤≤恒成立， ∴令2()(1)28,[0,3]g t t m t m t =-++-∈，则(0)280g m =-≤且(3)20g m =--≤，所以24m -≤≤.2sin(2)16x π=-+高一数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.C 2. A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.A 10.B 11.A 12.B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13．2014．2 15．1516．①④⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．（本小题满分10分）【答案】解：（1）因为 ，所以 …2分()2222345,125a b =+==-+=所以 ……………………5分（2）因为 ，所以因为向量a b λ-与2a b +垂直，所以 解得： ………………………10分18.（本小题满分12分）【答案】解：(1)原式.................6分(2）原式5,5a b cosa b a b⋅==()()3,4,1,2a b ==-()31425a b ⋅=⨯-+⨯=()()3,4,1,2a b ==-()()3,42,21,8a b a b λλλ-=+-+=73λ=()314280λλ+⨯+-⨯=（）..............12分19. （本小题满分12分）【答案】解：（1）由频率直方图可知110)04.003.002.02(=⨯+++a ，解得005.0=a ； ........ 6分 （2）根据程序框图12010005.01=⨯⨯=A所以输出的18432=++=A A A S ； ......12分20. （本小题满分12分）【答案】解：（1）由题意得，2,2==ωA 当6π=x 时，1)3sin(,2)62sin(2±=+±=+⨯ϕπϕπ即所以6,23ππϕππϕπ+=+=+k k 解得，.................4分6,20πϕπϕ=<<所以又,所以 )62sin(2)(π+=x x f .............6分(3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=6)12(2sin 26)12(2sin 2)(ππππx x x g)32sin(22sin 2π+-=x x xx 2cos 32sin -=12010005.05=⨯⨯=A 42010020.04=⨯⨯=A 62010030.03=⨯⨯=A 82010040.02=⨯⨯=A)32sin(2π-=x ..................8分由 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈-22,2232πππππk k x ，得 所以函数)(x g 的单调递增区间是z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππ ..........12分 21. （本小题满分12分） 【答案】解：（1）341155P =-=； ...........4分 （2）方程2250x a x -+=有解，即2244505a a ∆=-⋅≥⇒≥．又()()()2221cos 1sin 32sin cos a θθθθ=+++=++，∴()32sin cos 5θθ++≥，即sin cos 1θθ+≥． ........8分 即sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，不难得出：若θ为锐角， (t ∈；若θ为钝角， ()1,1t ∈-，∴θ必为锐角， 12P =． ...........12分 22. （本小题满分12分）【答案】解： （1）2()2sin(2)4cos 36f x x x π=+-+1cos 22cos 2432xx x +=+-⨯+ 2cos 21x x =-+ 22T ππ∴== 当 2,62x k k Z πππ-=+∈ 即,32k x k Z ππ=+∈ 所以对称轴方程,32k x k Z ππ=+∈ …… 5分（2）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤，故1sin(2)124x π-≤-≤,∴0()2sin(2)136f x x π≤=-+≤ ......8分令()t f x =，则03t ≤≤由21()28()m f x m f x +-+≥（） 得2(1)280t m t m -++-≤在03t ≤≤恒成立， z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈125,12ππππ2sin(2)16x π=-+- 11 - ∴令2()(1)28,[0,3]g t t m t m t =-++-∈ ....... 9分 则(0)280g m =-≤且(3)20g m =--≤， 所以24m -≤≤ ......12分。