数学-2015年高考真题——四川卷(文)(word版含解析)

一、选择题
1、设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝( )
(A){x |－1＜x ＜3} (B){x |－1＜x ＜1} (C){x |1＜x ＜2} (D){x |2＜x ＜3} 2、设向量A ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法 4、设A ，b 为正实数，则“A ＞b ＞1”是“log 2A ＞log 2b ＞0”的( )
(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
(A)y ＝sin (2x ＋
2π) (B)y ＝cos (2x ＋2
π) (C)y ＝sin 2x ＋cos 2x (D)y ＝sinx ＋cosx 6、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )
(A) (C)－12 (D)12
7、过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两
点，则|AB |＝( )
(A)
3
(C)6
8、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度
x (单位：℃)满足函数关系
k x b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192
小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )
(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时
9、设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则xy 的最大值为( )
(A)
252 (B)492
(C)12 (D)14 10、设直线l 与抛物线y 2＝4x 相较于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4) 二、填空题
11、设i 是虚数单位，则复数1
i i
-＝_____________. 12、lg 0.01＋log 216＝_____________.
13、已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________.
14、在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.
15、已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋Ax (其中A ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝
1212()()f x f x x x --，n ＝1212
()()
g x g x x x --，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；
②对于任意的A 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的A ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的A ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．(本小题满分12分)
设数列{A n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2A n －A 3，且A 1，A 2＋1，A 3成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1
{
}n
a 的前n 项和为T n ，求T n .
17、(本小题满分12分)
一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P 1,P 2,P 3,P 4,P 5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P 1因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
(I)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两
(II)若乘客P 1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P 1坐到5号座位的概率.
18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (I)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (II)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF 平面BEG
19、(本小题满分12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tAnA 、tAnB 是关于方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小
(Ⅱ)若AB ＝3，AC p 的值
20、(本小题满分13分)
如图，椭圆E ：22
221x y a b +=(A >b >0)，点(0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅＝
－1
(I)求椭圆E 的方程；
(II)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得
OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
21、(本小题满分14分)
已知函数f (x )＝－2lnx ＋x 2－2Ax ＋A 2，其中A >0. (I)设g (x )为f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性； (II)证明：存在A ∈(0，1)，使得f (x )≥g (x ).
参考答案
1、【答案】A
【解析】集合A ＝(－1，2)，B ＝(1，3)，故A ∪B ＝(－1，3)，选A
2、【答案】B
3、【答案】C
【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C 4、【答案】A
【解析】A ＞b ＞1时，有log 2A ＞log 2b ＞0成立，反之也正确.选A 5、【答案】B
【解析】A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π 但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y
(2x ＋4
π
)是非奇非偶函数
故正确答案为B 6、【答案】D
【解析】第四次循环后，k ＝5，输出S ＝sin 56π＝1
2
，选D 7、【答案】
D
8、【答案】C
【解析】由题意，2219248b
k b
e e +⎧=⎪⎨=⎪⎩得1119212
b
k e e
⎧=⎪
⎨=⎪⎩ 于是当x ＝33时，y ＝e 33k ＋
b ＝(e 11k )3·e b ＝3
1
()2
×192＝24(小时)
9、【答案】A
当动点在线段AC上时xy取得最大此时2x＋y＝10
xy＝1
2
(2x·y)≤2
1225
()
222
x y
+
=
当且仅当x＝5
2
，y＝5时取等号，对应点落在线段AC上,故最大值为
25
2
选A
10、【答案】D
二、填空题
11、【答案】2i
【解析】
1
2 i i i i
i
-=+=
12、【答案】2
【解析】lg0.01＋log216＝－2＋4＝2 13、【答案】－1
【解析】由已知可得tAnα＝－2
2sinαcosα－cos2α＝
2
222
2sin cos cos2tan141
1 sin cos tan141
αααα
ααα
----
===-+++
14、【答案】1 24
15、【答案】①④
【解析】对于①，因为f '(x)＝2x ln2＞0恒成立，故①正确
对于②，取A＝－8，即g'(x)＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '(x)＝g'(x)，即2x ln2＝2x＋A
记h(x)＝2x ln2－2x，则h'(x)＝2x(ln2)2－2
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【解析】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力.
(Ⅰ) 由已知S n＝2A n－A1，有A n＝S n－S n－1＝2A n－2A n－1(n≥2)即A n＝2A n－1(n≥2)
从而A2＝2A1，A3＝2A2＝4A1，又因为A1，A2＋1，A3成等差数列即A1＋A3＝2(A2＋1)
所以A1＋4A1＝2(2A1＋1)，解得A1＝2所以，数列{A n}是首项为2，公比为2的等比数列故A n＝2n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得11
2n
n
a
=所以T n＝
2
11
[1()]
1111
22
(1)
1
2222
1
2
n
n n
-
+++==-
-
17、(本小题满分12分)
【解析】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.
(II)若乘客P1做到了2号座位，其他乘客按规则就坐
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4
所以P(A)＝41 82 =
答：乘客P5坐到5号座位的概率为1 2 .
18、【解析】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.
(I)点F，G，H的位置如图所示
(II)平面BEG∥平面ACH.证明如下因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG 又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH,于是BCEH为平行四边形所以BE∥CH 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH
同理BG∥平面ACH,又BE∩BG＝B,所以平面BEG∥平面ACH
(Ⅲ)连接FH因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH
因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD
又DF⊂平面BFDH，所以DF⊥EG
同理DF⊥BG又EG∩BG＝G所以DF⊥平面BEG.
19、【解析】(Ⅰ)由已知，方程x2
－p＋1＝0的判别式
△＝
)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0所以p≤－2或p≥
2
3
由韦达定理，有tAnA＋tAnB
，tAnAtAnB＝1－p
于是1－tAnAtAnB＝1－(1－p)＝p≠0
从而tAn(A＋B)
＝
tan tan
1tan tan
A B
A B p
+
== -
所以tAnC＝－tAn(A＋B)
C＝60°
(Ⅱ)由正弦定理，得sin B
＝
sin
2 AC C
AB
==
解得B＝45°或B＝135°(舍去)于是A＝180°－B－C＝75°
则tan A＝tAn75°＝tan(45°＋30°)
＝
00
00
1
tan45tan30
2 1tan45tan30
+
==+ -
所以p
(tAnA＋tAnB)
＝－(2
1)＝－1
20、(本小题满分13分)
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证呢过能留、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
(I)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)
又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅＝－1
于是2222112b c
a
a b c ⎧-=-⎪
⎪=⎨⎪⎪-=⎩，解得A ＝2，b
所以椭圆E 方程为
22
142
x y +=. (II)当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1 A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)
联立22
142
1x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0 所以121222
42
,2121
k x x x x k k +=-
=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1
＝22(24)(21)
21
k k λλ--+--+
＝－
21
221
k λλ---+
所以，当λ＝1时，－
2
1
221
k λλ---+＝－3
此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD
此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.
21、(本小题满分14分)
【解析】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.
(I)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)g (x )＝f '(x )＝2(x －1－lnx －A )
所以g'(x)＝2－22(1)
x
x x
-=
当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减
当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞)，g(x)单调递增
(II)由f '(x)＝2(x－1－lnx－A)＝0，解得A＝x－1－lnx
令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0
于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0
令A0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)
由u'(x)＝1－1
x
≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
故0＝u(1)＜A0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1即A0∈(0，1)
当A＝A0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0
再由(I)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0
当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0
又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－A0)2－2xlnx＞0
故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0
综上所述，存在A∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.
11。