ln(x+1)≤x的几个推论及其应用
数学分析第六章微分中值定理及其应用课件1
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x 0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
一个重要函数不等式x_x_1_ln_1_x_x及其应用(优选.)
化为证明 （
1 1－x）
n ≤1.
例 2 正 项 数 列 ｛ an ｝ 前 n 项 和 为 Sn ，且 Sn =
an（
an +1） 2
，
（ 1） 求 an；
（
2）
证明：
（
1+
1
）
an
＜e＜（
1+
1
an+1
）；
an
an+1
（
3）
证明：
1 a2
+1 a3
+…+ 1 ＜lnan+1 ＜ 1
an+1
a1
+1 a2
x）
=
lnnn－+11
n
所以要证∑g（ k=2
k）
＞ 2－n－n2 槡2n（ n+1）
即证ln
1 3
+ln
2 4
+ln
3 5
+
…+lnn－1 ＞ 2－n－n2 n+1 槡2n（ n+1）
即证lnn（
2 n+1）
＞ 2－n－n2 槡2n（ n+1）
，
即证lnn（
n+1） 2
＜ n2 +n－2 槡2n（ n+1）
52
（ 2011 年第 7 期·高中版）
·复习参考·
一个重要
函数不等
式
x
x +1
≤ln（
1+x）
≤x
及其应用
430074 武汉市洪山高级中学 张 顺 戴 露
在导数的应用里很容易得到这样一个重要不等式
不等式exp(x)-1...引申出的一个不等式及其应用
不等式1x e x -≥引申出的一个不等式及其应用王永洪1（北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081）导数公式()xxe e '=重要极限01lim 1x x e x→-=，可导函数的极值定理得到了不等式1x e x -≥，而围绕这个形式上简单的不等式及其证明过程了还有很多与自然对数（指数）有关的不等式和极限，如不等式1(0)1x x e x x x -≤-≤≥+，ln(1)(1)1x x x x x ≤+≤>-+与极限()10lim 1x x x e +→+=、111lim 11ln 2n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 2可由不等式11x x e x e --≥≥-经过适当变形和放缩处理就可以得到，关于1(0)1x xe x x x-≤-≤≥+（即11x x e x e --≤≤-），有这样的问题，是否存在这样的正数,(0,1)a b ∈，对于任意0x ≥，成立111x x xe bx ax-≤-≤++，根据x 趋于正无穷大时不等式两边的函数极限可以直接判断b 是不存在的，下面将指出这样的a 值是存在的。
考虑下面的问题：设0x ≥，11x xe ax--≤+恒成立，求a (0)a ≥的取值范围。
下面利用不等式11x xe x e --≤≤-给出解答：设()(1)(1)x f x ax e x -=+--，0x ≥.只需()0f x ≤.()(1)(1)x x f x a e axe --'=--+,利用1x x e ≤-得()(1)(1)(1)(21)(1)x x x x f x a e a e e a e ---'≤--+-⋅=-⋅-，当102a ≤≤，()0f x '≤，()f x 单调递减，()(0)0f x f ≤=.当12a >时，注意1a <，利用1x e x --≤，()(1)(1)x x f x a x axe x a ae --'≥-+=-+，0ln 1ax a<<-时，()0f x '>，则()(0)0f x f >=，不符合要求。
一个不等式ln(1+x)≤x的引申和应用
公开课新课模课讲义学习指引辅导老师 刘亚明学科高中数学学习主题 一个不等式ln(1+x)≤x 的引申和应用 学生水平 110-120的学生+ 二轮复习的学生 学习目标1. 从课本习题出发，探源溯流，并通过函数图像进行几何解释；2. 与导数内容结合，解决函数综合问题；3. 与数列试题、特别是数列不等式放缩结合，解决数列问题。
学习重点 不等式ln(1+x)≤x 的引申和应用； 学习难点从题目的结构之中寻找等价转化的方向典型考题（2015年高考湖北卷理科第22（1）题）已知数列{}n a 的各项均为正数，e 为自然对数的底数．求函数()1e xf x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小.背景展现普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A 版》（人民教育出版社，2007年1月第2版）第32页习题第1（3）题：利用函数的单调性，证明不等式e x ＞x+1，x ≠0，并通过函数图像直观验证.【课堂练习·高考再现】1.（2015年高考福建卷理科第20（1）题）已知函数f()ln(1)x x ，证明：当0x x x 时，f().2.（2010年高考宁夏卷理科第21题）设函数2()1x f x e x ax =---。
（1） 若0a=，求()f x 的单调区间；（2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围.3.（2013年高考全国II 卷理科第21（2）题）已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．当m ≤2时，证明f(x)＞0.4.（2015年高考广东卷理科第21题）已知数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈.(1) 求3a 的值； (2) 求数列{}n a 前n 项和n T ；(3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足nS nln 22+<.5.（2013年高考辽宁卷理科第21题）已知函数()()()[]321,12cos .0,12xx f x x eg x ax x x x -=+=+++∈当时，求证：()11-;1x f x x≤≤+6.（2016年高考山东卷理科第20题）已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.7.（2014年高考陕西卷理科第21题）设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）略. （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.8.（2016年高考全国III 卷文科第21题）设函数()ln 1f x x x =-+．（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.【反馈训练·课后模拟】1.（2014年高考全国I 卷理科第21题）设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1) 2.y e x =-+（I ）求,;a b （II ）证明：() 1.f x >2.（2017年高考浙江卷第22题）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）． 证明：当n *∈N 时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n -≤x n ≤212n -．3.（2017年高考全国III 卷理科第21题）已知函数()1ln f x x a x =--.（Ⅰ）若()0f x ≥，求a 的值；（Ⅱ）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.。
高考数学对数与对数函数复习课件
(3)log3×log49+lg +2lg 2= .
课堂考点探究
[解析] log3×log49+lg +2lg 2=-×+lg +lg 4=-1+lg=-1+1=0.
0
例2 (1)若0<a<1,则函数g(x)=loga(|x|-1)的图像可能是( )
课堂考点探究
探究点二 对数函数的图像及应用
1
3. [教材改编] 设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是 .
[解析] a==log9=log9<log8=c,a=log9>log9=b,所以c>a>b.
题组二 常错题
索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
课堂考点探究
[思路点拨]先求函数的定义域,利用奇偶性的定义确定奇偶性,再分析某一区间上函数的单调性,从而对选项进行判断;
A B C D
图2-11-1
[思路点拨] 根据函数的定义域和函数的奇偶性,结合图像变换和对数函数的单调性,即可求解;
D
课堂考点探究
[解析] 函数g(x)=loga(|x|-1)满足|x|-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除A,B;因为g(-x)=loga(|-x|-1)=loga(|x|-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于y轴对称,当x>1时,函数g(x)= loga(|x|-1)的图像是由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到的,又0<a<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.故选D.
5.2.2导数的运算法则课件(人教版)
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公 式1.若f ( x ) c， 则f ' ( x ) 0;
公 式2.若f ( x ) x ， 则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公 式3.若f ( x ) sin x， 则f ' ( x ) cos x;
公 式4.若f ( x ) cos x， 则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ； （2） = 2 ;
巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习 练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
微分中值定理的证明及其应1正文
微分燕美辰摘 要:对微分中值定理的概念和一些相关基础知识进行了归纳, 以及一些相关定理的证明,同时介绍了它们在数学领域的应用,并给出了一些典型例题．关键词:罗尔中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒公式微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,不仅在理论上有着重要意义,而且在应用中也起着特殊的作用,因此学习研究微分中值定理是非常重要的．1.罗尔中值定理的证明及其应用1.1罗尔中值定理的证明定理1.1.1 （罗尔中值定理） 若函数f 满足如下条件：()i f 在闭区间[],a b 上连续； ()ii f 在开区间(),a b 内可导； ()iii ()f a =()f b ,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()f ξ'=0.几何意义：()1在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等则至少存在一条水平切线.()2若()f a =()f b =0，可导的函数f 的任意两根之间必定会有其导函数的根.下面我们来介绍罗尔定理的证明.定理1.1.2 （费马定理）设函数f 在点0x 点某邻域内有定义,且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点,则必有()0f x '=0.证 因为f 在[],a b 上连续,所以有最大值和最小值,分别用M 与m 表示,现分两种情况来讨论：()1若m M =,则f 在[],a b 上必为常数,从而结果显然成立.()2若m M <,则因()()f a f b =,使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(),a b 内某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点.由条件()ii ,f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0f ξ'=.1.2罗尔中值定理的应用微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，其中罗尔定理是基础中的基础.由于罗尔定理应用比较广泛,所以它在解题中也常用到.例1 设f 为R 上的可导函数,证明：若方程()0f x '=没有实根,则方程()0f x =至多只有一个实根.证 这可反证如下：倘若()0f x =有两个实根1x 和2x （设12x x <）,则函数f 在[]12,x x 上满足罗尔定理三个条件,从而存在()12,x x ξ∈,使()0f ξ'=，这与()0f x '≠的假设相矛盾,命题得证.2 拉格朗日中值定理的证明及其应用2.1 拉格朗日中值定理的证明定理2.1.1 （拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：()i f 在闭区间[],a b 上连续; ()ii f 在开区间(),a b 内可导,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-.几何意义：连续曲线()y f x =()a x b ≤≤,除端点之外处处有切线,则曲线上至少有一点的切线与连接两端点的弦相等.注1 拉格朗日中值定理还有其他几种表示形式()()()()f b f a f b a ξ'-=-，;a b ξ<<()()()()()()()(),01;,0 1.f b f a f a b a b a f a h f a f a h h θθθθ'-=+--<<'+-=+<<注2 下面我们来介绍拉格朗日中值的几个推论.推论 1 若函数f 在区间I 上可导,且()0,f x x I '≡∈,则f 为I 上的一个常量函数.推论 2 若函数f 和g 均在区间I 上可导,且()(),,f x g x x I ''≡∈则在区间I 上()f x 与()g x 只相差某一个常数,即()()f x g x c =+ (c 为某一个常数).推论3 （导数极限定理） 设函数f 在点0x 的某邻域()0U x 内连续,在()0U x内可导,且极限()0lim x x f x →'存在,则f 在点0x 可导,且()()00lim x x f x f x →''=.证明拉格朗日中值定理的方法多种多样,一般来说采用的是构造辅助函数法,除此之外还有利用弦倾角法，利用面积构造辅助函数法，利用区间套证明等等，在这里我们只详细介绍两种证明方法 方法一：证 设()()()()f b f a F x f x x b a-=-⋅- [],x a b ∈,由()f x 连续知()F x 在[],a b 上连续,由()f x 可导知()F x 在(),a b 内可导()()()()()()()()f b f a F a f a ab af b f a F b f b bb a-=---=--,经计算()()F a F b =,由罗尔中值定理,()(),0a b F ξξ'∃∈∍=,即()()()0f b f a f b aξ-'-=-.由此可知()()()f b f a f b aξ-'=-,结论成立.方法二：证 分别用左右等式证明等式成立.()1任取()0x U x +∈ ,()f x 在[]0,x x 上满足拉格朗日定理条件,则存在()0,x x ξ∈,使得()()()00f x f x f x x ξ-'=-.由于0x x ξ<<,因此当0x x +→时,随之有0x ξ+→,对等式两边取极限,便得()()()()00000lim lim 0x x x x f x f x f f x x x ξ++→→-''==+-.()2同理可得()()000f x f x -''=-.因为()0lim x x f x k →'=存在,所以()()0000f x f x k ''+=-=,从而()()00f x f x k +-''==,即()0f x k '=.2.2拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在数学分析中应用非常广泛,如应用拉格朗日中值定理证明不等式,证明恒等式,利用拉格朗日中值定理求极限,描绘函数图象,解决最大小值等等,在此就不一一列举了.2.2.1应用拉格朗日中值定理证明不等式例1 ln ,b a b b ab a a --<<其中0a b <<. 证 ln ln ln b b a a =-,令()ln f x x =,则()1f x x'=,因为0a b <<,所以()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,故至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()ln ln f b f a b af b a b aξ--'==--,而()1f ξξ'=,于是1ln ln b ab aξ-=-,由0a b ξ<<<知111b aξ<<, 因而1ln ln 1b a b b a a-<<-, 故ln b a b b ab a a--<<. 2.2.2利用拉格朗日中值定理求极限例2 计算()()0tan 2tan 44limarctan 1arctan 12x x x x x ππ→⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--.解 由拉格朗日中值定理可知：21tan 2tan sec 344x x x ππξ⎛⎫⎛⎫+--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中1ξ介于4x π-与24x π+之间,且当0x →时,14πξ→.()()221arctan 1arctan 1231x x x ξ+--=⋅+,其中2ξ 介于()1x +与()12x -之间且当0x →时,21ξ→,所以，原式210223sec lim 4131x x x ξξ→⋅==⋅+.2.2.3利用拉格朗日中值定理证明恒等式例3 求证()f x 在区间I 上恒等于常数的充分必要条件是()0f x '≡ x I ∈. 证 必要性 常值函数的导数恒等于零结论成立.充分性 假设()0f x '≡ ()x I ∈,在区间I 中任取两点12,x x 根据拉格朗日中值定理,在12,x x 之间存在ξ,使得()()()120f x f x f ξ'-== 这说明()f x 在区间I 上恒等于常数.3 柯西中值定理的证明及其应用3.1 柯西中值定理的证明定理3.1.1 （柯西中值定理你）设函数f 和g 满足:()i 在[],a b 上连续； ()ii 在(),a b 内可导；()iii ()f x '和()g x '不同时为零； ()iv ()()g a g b ≠,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-.几何意义：连续曲线()y f x =()a x b ≤≤,除端点之外处处有切线,则曲线上至少有一点的切线与连接两端点的弦相等.利用罗尔定理来证明柯西中值定理的关键是构造辅助函数,下面我们就来介绍柯西中值定理的证明.证 作辅助函数()()()()()()()()()()f b f a F x f x f a g x g a g b g a -=----. 易见F 在[],a b 上满足罗尔定理条件,故存在(),a b ξ∈,使得()()()()()()()0f b f a F f g g b g a ξξξ-'''=-=-.故()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-, 所以,结论成立.3.2拉格朗日中值定理的应用柯西中值定理之所以重要, 是因为它在数学分析解题中有着广泛的应用, 下面就着重介绍柯西中值定理的应用, 以达到对其更深刻的认识和理解.3.2.1 求极限例1)lim 1n n→∞0x >.解 由柯西中值定理得,111,01n nξξξ-=>，即111ln ,n x nξ=有)11ln nnx ξ=,故)1lim1lim ln,nn nn xξ→∞→∞=因1,n=故)lim1lnnn x→∞=.3.2.2 证明不等式例2试证若()f x,()g x都是可微函数,且当x a≥时,()()f xg x'≤,则当x a≥时,()()()()f x f ag x g a-≤-.证令()()G x g x xε=+,则()()0G x g xε''=+>,而()()()()()()f b f a fG x G a Gξξ'-='-,a xξ<<,()()()()G x g x f x f xεε''''=+≥+>,故()()()1f b f a fG x G a Gξξ'-=<'-,有()()()()()()()f x f a G x G ag x g a x aε-<-=-+-,由于ε为任意小正数,令0ε→,有()()()()f x f ag x g a-≤-.注综上我们可以看出罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理三者关系非常密,罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊形式,当罗尔定理中()()f a f b≠时即为拉格朗日中值定理，反之在拉格朗日中值定理中，当()()f a f b=时即为罗尔中值定理，在大多数学分析和数学教材中，拉格朗日中值定理一般是采用构造辅助函数使之满足罗尔定理的方法来证明，柯西中值定理与前两个中值定理有着相类似的几何意义，而柯西中值定理较前两者更具有一般性，现在只需把函数f和g写作以x为参量的参量方程，即()()()f x xg x g x=⎧⎪⎨=⎪⎩，我们便可得到拉格朗日中值定理.4 泰勒公式的证明及其应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂的函数近似的表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具,而泰勒多项式则泰勒公式的基础.下面我们来介绍泰勒多项式.对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶导数，由这些导数构成一个n 次多项式()()()()()()()()()200000001!2!!nnn f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-+⋅⋅⋅+-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，()n T x 的各项系数()()()01,2,3!nf x k n k =⋅⋅⋅称为泰勒系数.4.1泰勒公式的证明定理4.1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()0n n f x T x x x ο=+-，即()()()()()()()()()()()2000000002!!nn n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-+⋅⋅⋅+-+-注 )1上式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式.)2()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式余项，形如()()0nx x ο-的余项称为佩亚诺型余项.)3所以上式也称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，记()()()()0nn f x T x x x ο=+-.定理4.1.2 泰勒公式在0x =时的特殊形式，()()()()()()()200002!!nnn f f f x f f x x x x n ο'''=+++⋅⋅⋅++.称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式.定理4.1.3 （泰勒定理）若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在()1n +阶导数，则对任意给定的x ，[]0,x a b ∈，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()()()()()()()()()()()()121000000002!!1!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-+⋅⋅⋅+-+-+注 )1上式同样称为泰勒公式.)2它的余项为()()()()()()()()()11000,1!,01n n n n f R x f x T x x x n x x x ξξθθ++=-=-+=+-<<称为拉格朗日型余项. )3所以原式又称为带拉格朗日型余项的泰勒公式.定理4.1.4 当00x =时，得到泰勒公式()()()()()()()()()12100002!!1!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=+++⋅⋅⋅+++ 01θ<<称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.下面我们来介绍泰勒定理的证明 证 作辅助函数()()()()()()()()()()1,!n n n f t F t f x f t f t x t x t n G t x t +⎡⎤'=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=- 所以要证明的等式即为()()()()()1001!n f F x G x n ξ+=+或()()()()()1001!n F x f G x n ξ+=+.不妨设0x x <，则()F t 与()G t 在[]0,x x 上连续，在()0,x x 内可导，且()()()()()()()1!10n nnf t F t x t n G t n x t +'=--'=-+-≠,又因()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证得()()()()()()()()()()()10000,1!n F x F x F x F f G x G x G x G n ξξξ+'-==='-+其中()()0,,x x a b ξ∈⊂.4.2应用泰勒公式在高中数学中是一个十分重要的内容，在许多方面有着广泛的应用.下面给出在求极限方面的应用.4.2.1利用泰勒公式求极限对于函数多项式或有理项的极限问题的计算十分简单的，因此，对于一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理式的极限问题. 例1 求极限21lim log 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.解 由0=x 点泰勒公式得；222211111111log(1)22o o x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是，21lim log 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22111lim 22x x o x →∞⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 参考文献：[1] 华东师范大学数学系：数学分析(第三版)，高等教育出版社，2001版。
对数函数复习课件ppt
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
运算 ①loga(M·N)＝__lo_g_a_M__＋__lo_g_a_N_____， 法则 ②logaMN＝__l_o_g_aM__－__lo_g_a_N________，
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
[解] (1)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2
＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.
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3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点 (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围． 4．比较对数式的大小 (1)当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较； (2)当底数不同，真数相同时，可转化为同底(利用换底 公式)或利用函数的图象，数形结合解决； (3)当不同底、不同真数时，则可利用中间量进行比较.
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知识梳理
1．对数的概念 如果 ax＝N(a>0 且 a≠1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作_x_＝__l_o_g_aN__. 2．对数的性质、换底公式与运算法则
高等数学微积分知识整理
f -1 f f f n nn n高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）：∀x 1 , x 2 ∈ D f ，若x 1＜x 2时f (x 1 ) ≤ f (x )在D f 上严格单调递增。
f (x 2 )，则f (x )在D f 上单调递增；将≤ 改为＜，则*有界的定义： ∃M ＞0，对于∀x ∈ A ⊆ D f ，都有| f (x ) |≤ M ，则f (x )在A 上有界。
（f (x )≥m ∈R ，则 f (x )下有界；反之则上有界。
只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。
）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况：①y 与 x 一一对应；②f (x )是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同）* D = R ；当x ∈ D 时，f -1 ( f (x )) = x ；当x ∈ R 时，f ( f -1 (x )) = x 。
4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。
二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） 若lim a = A ，则{a - A }是无穷小量。
（一种证明极限的方法） n →∞（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。
（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。
6、收敛数列的性质 （1） 收敛数列必然有界 （2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。
不等式lnx≤x-1的类似及加强
所以ｆ （ ） （ ＞１ ） 是 增 函数 ， 得 （ ） ＞
，（ １ ） ＝０ （ ＞１ ） ， 得 欲证 成立 ．
例２ （ ２ ０ １ ０・ 湖北 高考题 ・ ２ １ （ １ ｌ Ｉ ） ） 证
式相 加 ， 即得 欲证 ． （ ２ ） 由定 理 １ ， 得 ｋ一１ ＞Ｉ ｎ ｋ＞０ ， １ ＞
定理 １ ｌ ｎ ｘ≤ 一１ （ ＞０ ） （ 当且 仅 当 ＝１ 时取 等号 ） ． 普通 高 中课程标 准 实验 教科 书《 数学 ・ 选 修２ —２ ・ Ａ版 》 （ 人 民教 育 出版社 ２ ０ ０ ７年 第 ２ 版） 第３ ２页 的习题第 １ 题 的第 （ ３ ） ｄ ｘ 题“ 证 明
） ・
１ 定量 计算— —做 到精 确分 析
例 １ （ ２ ０ １ ２年
＋… ＋
江西文） 如图 １ ， Ｏ Ａ
＝２ （ 单位 ： Ｉ ｎ ） ， Ｄ 日＝１ ０ （ 单位 ： ｍ） ， Ｏ Ａ与 Ｄ
／／ 一 一、 ＼、
二 ： ＝ 一 图１
… 一
＞ｌ ｎ （ ¨ １ ） （
所 以 ＞ｌ ｎ （ ｋ ＥＮ， ｜ ｊ ｝ ≥２ ） ．
令 ｋ＝２ ， ３ ， …， ｎ后 ， 把得到的 ／ ＂ ｔ 个不 等 式相加 ， 即得欲 证 ．
定理 ３ １ ｎ ＜ 证明： 设 厂（ ）： （ ＞１ ） ． 一 １
ｌ ｎ （ ＞
文定理 ２ ） 及一个加强 （ 即下文定理 ３ ） ， 再给
１
若 能 再 证 得１ ＋ ＋ 号 ＋ … ＋ 一 的 夹 角 为 詈 ， 以Ａ 为
lnx运算法则 -回复
lnx运算法则-回复什么是lnx运算法则？lnx运算法则是指在数学中对ln(x)函数进行运算时所遵循的一系列规则和性质。
其中ln(x)代表自然对数函数，也被称为以e为底的对数函数。
通过应用lnx运算法则，我们可以简化复杂的对数运算，使得计算更加便捷并且找到解决问题的最优方法。
一、lnx的基本性质在介绍lnx运算法则的具体内容之前，我们首先需要了解lnx的基本性质。
对于任意正数x和y，有以下基本性质：1. lne = 1：自然对数函数ln(e)的结果等于1，其中e是数学常数，也被称为自然对数的底。
2. ln(1) = 0：ln函数的定义域是(0, +∞)，在1处取得零值。
3. ln(x * y) = ln(x) + ln(y)：ln函数的一个基本性质是对数的乘法法则，当需要计算两个数的乘积的对数时，可以将其分解为两个数分别求对数再加和。
二、lnx运算法则的具体内容lnx运算法则包含以下具体内容:1. 恒等式：ln(a^b) = b * ln(a)这个恒等式可以用来将指数函数转换为对数函数。
当我们需要计算一个数的指数时，可以将其转化为求对数。
2. 除法法则：ln(x/y) = ln(x) - ln(y)当需要计算两个数的商的对数时，可以通过分别求两个数的对数再相减来计算。
3. 指数法则：ln(e^x) = x这个指数法则是ln函数的一个重要性质，表示求以e为底的指数函数的对数结果为指数本身。
4. 乘方法则：ln(x^a) = a * ln(x)这个乘方法则是ln函数的一个重要性质，可以将乘方运算转化为对数运算。
5. 常数相乘：ln(k * x) = ln(k) + ln(x)对于常数和变量的乘积，可以将乘法拆分为两个对数相加，其中常数k的对数为ln(k)。
6. 常数相除：ln(x/y) = ln(x) - ln(y)对于常数k和变量的除法，可以将除法拆分为两个对数相减，其中常数k 的对数为ln(k)。
不等式x除1加x和ln的证明
一、概述在数学中，不等式是一种常见的数学表达式，它描述了数值之间的关系。
本文将探讨一个关于不等式的证明问题，即证明当x大于0时，不等式x/(1+x) < ln(1+x)成立。
二、不等式的证明1. 我们将不等式x/(1+x) < ln(1+x)表述为f(x) = ln(1+x) - x/(1+x)>0的形式。
2. 计算f(x)的导数f'(x)，并证明f'(x)>0。
3. 根据f'(x)>0，得出f(x)在x>0时是严格单调递增的。
4. 利用f(x)在x=0时的取值和f(x)在x>0时是严格单调递增的性质，得出当x>0时f(x)>0成立。
5. 不等式x/(1+x) < ln(1+x)在x大于0时成立。
三、结论通过对不等式x/(1+x) < ln(1+x)的证明过程，我们得出结论：当x大于0时，该不等式成立。
这一结论在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。
四、总结不等式是数学中常见且重要的概念，在证明不等式时，我们可以利用导数和函数的性质进行推导，以得出结论。
本文通过对不等式x/(1+x) < ln(1+x)的证明，展示了这一过程。
希望本文的内容能为读者解决类似问题提供一定的参考价值。
五、不等式的应用以上我们证明了当x大于0时，不等式x/(1+x) < ln(1+x)成立。
这个不等式在实际问题中也有着重要的应用。
在概率论和统计学中，这个不等式可以用来证明某些随机变量的性质；在微积分和数学分析中，这个不等式可以作为一些数学定理的推论或辅助论证的基础。
了解并掌握这种不等式的证明方法，对于深入学习数学理论和解决实际问题都具有积极的意义。
六、进一步推广不仅仅局限于x大于0的情况，我们还可以进一步推广不等式x/(1+x) < ln(1+x)的有效范围。
通过对函数f(x) = ln(1+x) - x/(1+x)的性质进行分析，我们可以发现当x<-1时，不等式依然成立。
ln(x+1)≤x的几个推论及其应用
ln(x+1)≤x的几个推论及其应用张必平;雷松柏【摘要】@@ 利用导数容易证明我们熟知的不等式:rn定理当x>-1时,In(x+1)≤x(当且仅当x=0时等号成立).rn注意到曲线y=lhn(x+1)在原点处的切线方程为)y=x,图1给出了这个不等式的几何解释.【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2008(000)004【总页数】2页(P34-35)【关键词】应用;推论;等号成立;不等式;导数【作者】张必平;雷松柏【作者单位】湖北省成宁市鄂南高中,437100;湖北省成宁市鄂南高中,437100【正文语种】中文【中图分类】其他· 34 ．中学数学月刊 2008 年第 4 期数列 { 争 } 为“ 同不等差”数列，则争≤ 争+ (n—1)×l= 凡，所以% ≤凡． 2l 例4 （ 2007 年全国卷 I 理 22 题）已知数列 1%1 中 ai=2 ，Ctn+l=( 、／丁一1)（ %+2 ）． (1) 求 {n ， l}的通项公式；(2) 若数列 IbnJ中 6l_2 ，6nF 盖著 }，证明：、／勺『 _<6。
≤a4n_3.分析(1) 利用构造法可求得 Ctn= 、／丁+、／丁（、／丁一1 ）” ；(2)6 。
> 、／丁容易由数学归纳法证得，困难是证 6。
≤‰争因从 6。
F 盖著 }不太容易求通项 6。
，所以试着分析结论 6 。
$a 。
，由(1) ‰-3=、／虿 + 、／虿（、／互一一1 ）如习 = 、／丁 + （ 2 一、／丁）【 (\~--1)4]n-l，则将 6 。
≤ (14n-3 变为 6。
一、／丁≤ (2- 、／丁 )【 (、／丁一1)4]n-’ ，容易猜想{6。
一、／丁 j为“ 同不等比”数列，q= （、／丁一1 ）4 ．证明(1) 利用构造法可求得an=\f+、／丁(\/2-l)n，解略． (2)6。
> 、／丁用数学归纳法证略． r)6 。
自然对数不等式公式知乎
自然对数不等式公式知乎自然对数不等式是数学中的一种重要的不等式关系，它在解决各种问题中具有重要的应用价值。
本文将从定义、性质、推导以及应用等方面进行介绍和讨论。
一、定义自然对数是以自然常数e为底的对数，通常表示为ln(x)，其中x为正实数。
自然对数不等式是指对于任意正实数x，都有ln(x) < x。
这个不等式的意义在于它揭示了自然对数函数的增长速度和指数函数的增长速度之间的关系。
二、性质1. 自然对数函数是严格递增的，即对于任意的正实数x和y，若x < y，则ln(x) < ln(y)。
2. 自然对数函数的导数是其自身的倒数，即(ln(x))' = 1/x。
3. 自然对数函数的图像在x轴的右侧无界，即lim(x->+∞) ln(x) = +∞。
三、推导为了证明自然对数不等式，我们可以采用泰勒展开的方法。
根据泰勒展开公式，我们有ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...，其中|x| < 1。
由此可得ln(1+x) < x，再结合ln(x) = ln[(1+x)^(1/x)] = (1/x)ln(1+x)，我们可以得出ln(x) < x。
四、应用自然对数不等式在各个学科领域中都有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 在微积分中，自然对数不等式常用于证明极限存在或不存在的问题，以及求解曲线的渐近线等。
2. 在概率论与统计学中，自然对数不等式可以应用于证明大数定律和中心极限定理，从而推导出常见的概率不等式，如切比雪夫不等式、马尔可夫不等式等。
3. 在经济学和金融学中，自然对数不等式可以用于分析市场价格的波动性、估算风险收益比等。
4. 在信息论中，自然对数不等式可以用于证明熵的性质，以及衡量信息传输的效率等。
总结自然对数不等式作为一种重要的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过对自然对数的定义、性质、推导和应用的介绍，我们可以更好地理解和运用这个不等式。
ln的不等式
ln的不等式（最新版）目录1.引言：介绍 ln 函数及其性质2.ln 的不等式：描述 ln 函数的不等式形式3.ln 的不等式的解法：讨论如何求解 ln 的不等式4.应用实例：给出 ln 的不等式的实际应用5.结论：总结 ln 的不等式的性质及其应用正文1.引言ln 函数，全称为自然对数函数，是数学中的一种基本函数。
它的定义域为正实数，值域为实数。
自然对数函数具有很多重要的性质，如单调性、凸性等，这些性质在数学分析、概率论等领域中有着广泛的应用。
2.ln 的不等式ln 的不等式是指涉及到自然对数函数的不等式。
由于自然对数函数的定义域限制，ln 的不等式的形式通常为：ln x > ln y或ln x < ln y其中，x 和 y 为正实数。
3.ln 的不等式的解法求解 ln 的不等式，首先要保证 x 和 y 为正实数。
然后，根据对数函数的性质，可以将不等式转化为指数形式，即：e^(ln x) > e^(ln y)或e^(ln x) < e^(ln y)进一步化简可得：x > y > 0或0 < x < y因此，求解 ln 的不等式，需要先确定 x 和 y 的取值范围，然后将不等式转化为指数形式，最后根据指数函数的性质求解。
4.应用实例ln 的不等式在实际问题中有广泛的应用，例如在经济学中的效用最大化问题、概率论中的概率计算等。
这里以效用最大化问题为例，假设有一个消费者面对两种商品，其效用函数为：U(x, y) = ln(x) + ln(y)其中，x 和 y 分别为两种商品的消费量。
消费者的目标是在预算约束下最大化效用。
这个问题可以转化为求解 ln 的不等式问题。
5.结论ln 的不等式是自然对数函数的一种重要性质，其在数学分析、概率论等领域中有着广泛的应用。
理想气体状态方程和克拉珀龙方程的几个推论及其应用
理想气体状态方程和克拉珀龙方程的几个推论及其应用之迟辟智美创作山东莒南一中 李树祥 山东莒南前刘山小学 张伯英对理想气体, 有两个基本方程:一是研究任意质量的气体, 在任意状态下, 三个状态参量之间的关系的克拉珀龙方程PV = nRT ；二是研究一定质量的理想气体在状态变动的过程中, 初状态和末状态的状态参量之间的关系的理想气体状态方程111PV T =222PV T . 由这两个方程可推导出一些有用的推论.推论一( 理想气体的密度方程)：设气体的质量为 m, 在状态 I 时的密度为 ρ1, 温度为 T 1,压强为 P 1 ; 状态Ⅱ时的密度为ρ2 , 温度为 T 2 , 压强为P 2, 则有121122P P T T ρρ=. 推导 把ρ1= m/ V 1 和ρ2= m/ V 2 代入理想气体的状态方程即得上式.此公式虽由一定质量的理想气体的状态方程推出, 但此式却与质量无关, 故经常使用来解决蜕变量气体的状态变动问题.例 1 ：贮气筒中压缩空气的温度是 T 1=27°C, 压强是 P 1= 40atm.当从筒内放出一半质量的空气以后, 筒内剩余空气的温度是 T 2=12°C, 问这些剩余空气的压强 P 2 是几多?解析： 筒内放出一半质量的气体后, 由于贮气筒的容积不变, 气体的密度酿成原来的一半, 即ρ2= 12ρ.故由推论一得P 2=P 1ρ2T 2/ρ1T 1=40×ρ1/2×285/ρ1×300= 19atm推论二： 一定质量的理想气体，从温度为T 1、压强为 P 的状态等容变动到温度为 T ′= T+ ΔT 、压强为 P ′= P+ ΔP 的状态时, 气体压强的变动量ΔP=T P T∆. ；从温度为 T 1、体积为 V 的状态等压变动到温度为T ′= T + ΔT 、体积为 V ′= V + ΔV 的状态时, 气体体积的变动量ΔV= T V T. 推导 设气体由状态 P 、T 、V 变动到状态P ′、T ′、V ′.因等容变动时 V= V ′, 故由气体状态方程有P ′/ P= T ′/ T ，由分比定理得 ΔP/ P= ΔT / T,所以ΔP= ΔTP/ T.同理可推得ΔV= ΔTV/ T例 2： 一定质量的理想气体, 在等压变动过程中, 温度由 300K 升高至 301K, 问体积的增量即是它在 300K 时体积的几多?解析 ：依题设, 气体温度的增量为ΔT = 301- 300= 1K由推论二可得, 体积的增量为ΔV= V/ 300，即体积的增量即是它在 300K 时体积的 1/ 300.推论三： 把压强、体积、温度分别为 P 1、V 1、T 1、P 2、V 2、T 2, ……的几部份理想气体( 不论这几部份气体性质是否相同) 进行混合,混合后的压强、体积、温度为 P 、V 、T , 则有111PV T +222PV T +333PV T +….=PV T若把压强、体积、温度为 P 、V 、T 的一定质量的气体分成几部份, 则有PVT =111PV T +222PV T +333PV T +…. 推导 设几部份气体的摩尔数分别为 n 1、n 2、……, 则由质量守恒可知, 混合后的总摩尔数为n= n 1+ n 2+ …….由克拉珀龙方程有n 1=111PV T R ,2222n =PV T R , ……n=PV TR ,得111PV T R +222PV T R +……=PV TR， 即111PV T +222PV T +……=PV T同理, 可导出推论三的后部份结论. 例 3 一个潜水艇位于水面下 h= 200m,艇上有一个容积 V = 2m 3 的贮气钢筒, 筒内贮有压缩空气, 将筒内一部份空气压入水箱( 水箱有排水孔与海水相连) , 排出海水 V 1= 10m 3, 此时筒内剩余气体的压强是 P 2= 95atm.设在排水过程中温度不变, 求贮气钢筒内原来的压缩空气的压强.设水面上空气压强为 P 0= 1atm,海水密度为ρ= 1. 0 ×103kg/ m 3, g = 10m/ s 2,1atm=1. 0×105Pa.解析 本题是一个压缩空气排水的问题,相当于把贮气筒内的压缩气体( 已知体积 V=2m 3, 设压强为 P, 温度为 T ) 分为两个部份, 一部份进入水箱( 已知体积为 V 1= 10m 3, 温度 T 1= T , 设压强为 P 1 ) , 一部份留在贮气筒( 已知体积 V 2= V = 2m 3, 压强 P 2= 95atm, 温度 T 2=T ) .水箱内空气的压强可直接算出P 1 = P 0 + ρg h = 1 +1×103×10×200/1×105 =21atm对压缩空气, 由推论三有PV/T=P 1V 1/T 1+P 2V 2/T 2得 P =(P 1V 1+ P 2V 2)/V=（21×10+ 95×2）/2=200atm推论四 k 个分歧状态的理想气体合并后再分成另外m 个分歧的状态, 则有111PVT +222PV T +333PV T +….=111P V T '''+222P V T '''+333P V T '''+…. 推导同推论三的推导类似, 由混合前气体的总摩尔数n 1+ n 2+ ……即是混合后的总摩尔数 n 1′+ n 2′+ ……, 再利用克拉珀龙方程即可导出推论四.例 4 如图所示甲、乙两容器用细管相连, V 1=1L, V 2 = 2L, 甲容器内空气的压强为 P 1= 1atm, 乙容器中空气的压强为P 2= 2atm, 温度均为T 1= T 2= 27°C.翻开阀门,并将甲容器的温度降为 T 1′= - 73°C, 乙容器的温度仍为 T 2′= 27°C, 问此时容器内气体的压强为几多?解析 由推论四有111PVT +222PV T =111P V T '''+222P V T ''', 即111PV T +222PV T =11PV T ''+22PV T '' 得 P =（1122300300⨯⨯+）÷（12200300+）= 1. 43atm 推论五 （道尔顿分压定律）容器中混合气体的压强，即是在同样温度、同样体积下混合气体各成份独自存在时的分压强之和.即P 1+P 2=P.推导 ，由推论三得111PV T +222PV T +……=PV T，若V 1=V 2=V ,T 1=T 2=T,则P1+P2=P例5，一足球容积4L,内有压强P=2atm，用一容积为1L的打气筒充气，求充气4次后足球内压强？（忽略足球体积变动）解析：4次充气的气体在v=4L时的压强为P1，则P0×4×1L=P1×4L，P1=P0=1atm,此时足球内气体的压强为P2=P+P1=2+1=3atm。
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）一 一
明：／ ６≤ 。 、 ２＜
分析
（） １ 利用构造法可求得 、 ２＋ ／
１ ６ ／ ）所 以｛ 一 ／ ｊ 同不 等比” ） 、 ． （ ６ 、 为“
数 歹 ，４ ． ０贝 － ｂ 所 以 ６≤ ≤（一 ２ ） ［ （ 一 ） ， １４ ］ ～ ．
上述例题 同属需放缩的数列与不等式的 综合题 ， 解决 的关键在放缩． 放缩是一种不等 变形 ， 没有 目标 的指 向， 很难有效放缩 ． 如果 我们引入“ 同不等差” 数列 、同不等 比” “ 数列
） ［ （
一） １４ ］ ，贝 将 ６≤ ， ０ 变为 ６ 一
的概念及其“ 通项公式”再去放缩 ， ， 放缩 的指 向性 明显加强 ， 从而降低了此类问题的解决
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３ ・ ４
中学数学月刊
２０ 年第 ４ ０８ 期
数 ｛ 为同 等 ”列则 ≤ ＋ 、 （／ １ｎ解略． 列 ｝“不 差数 ，争 争 ／ 、 一 ），
（一 ）ｌｎ 所 以 ａ≤ ・ １ｘ ＝ ， ｎ ２
例 ４ （ ０ ７年 全 国卷 Ｉ ２ ２０ 理 ２题 ） 已知
难度． ’
、 ≤（ 一 ／ ） 、 一 ） ，容 易猜 想 ／ ２ 、 ［ ／ １４ （ ］ ｛，、 ｝ 同不等比” ６ ／ 为“ 广 数列 ，＝ 、 一 ） ｇ（ ／ １ 。 证明 （ ） １利用构造法可求 得 ％ 、 ＋ ＝／
ｌ（＋ ） 的 几个推论及其应用 ｎｘ １ ≤
张必平 雷松柏 （ 湖北省成 宁市鄂南高中 ４ ７０ ） ３ １０ Ｉ［＋ １ ］ １ ｎ １ （一 ） ≤ 一 ． 实际上 ， 将定理中的 换成 １便是推 一， 论 １将定理与推论 １ 。 用之于解题 ， 脱去” 在“
＝一Ｉ
利用导数容易证 明我们熟知的不等式 ：
定理 当 ＞ １ ，ｌ（＋ ） 当且仅 一 时 ｎｘ １≤ （
、 （／ １ ； ／ 、 一 ） （ ） 、 容易由数学归纳法证得 ， ２ ６＞ ／ 困
＋ ２ （＿
） ［ （
一 ） １４ ］
难 证 ＿从州 营不 容 求 是 ６‰ 因 ６ 太 易 ≤３ ＝ 。
通 项 ｂ，所 以试 着分析 结 论 ６－ ４３ 由（ ） － ．， ＜ａ－ １ ‰ ＝ ＋ （ 一 ）－ １４３ ｎ＝ ＋２ （一
・３ ５・
时， 对数值缩小 了． 这样 ， 一个 对数式 既可以 “ 也可以“ ， 放” 缩”根据实际题意， 我们可 以灵 活取舍， 来探索解决问题的方法．
综上 ， 实数 口的取值范围是（ ∞，］ 一 １． 例 ２ （０ ７年 高考 山东卷 理科 第 ２ ２０ ２
题 ） 函数 ｘ ＝２ ｌ（＋ ）其中 ｂ ． 设 ）ｘ ｂｎｘ １ ， ＋ ≠０
， …
因 ６＞
…
，所 以
… 一
’
（） ２ 若数列 ｛ ） ６ ２ ６ ４ 证 ６ 中 ， ＝ ＝ ｂ ３． ＋
，
（－ ３２ （
） （ ２ ６ 一 ）（ １ ６一
）， （ ３ ）６ （ ‘ ２／ ３ 、 ＋ ）即 ｂ＋ ， ．－ ｌ ＜ （
解题 中运用． 例 １ （０６ 高考全 国卷 Ⅱ理科 第 ２ ２０ 年 ０
（ 求函数 ） Ⅱ） 的极值点 ； （ Ⅲ）证明对任意的正整数 ，不等式
Ｉ（ ＋ ） 一 都成立 ｎ １＞
分析
（ ， Ⅱ） Ｉ）（ 问不难， Ⅲ） 第（ 问官方
提供的参考答案是通过构造辅助函数来展开 的． 事实上 ， 注意观察 目 标不等式及不等号的
方向， 利用推论 ２ 很容易证 明．
题 ） 函数 厂 ）（＋ ） （＋ ）若对所有 的 设 （ ＝ １ｌ ｘ １ ， ｎ ≥０ 都有ｆｘ ≥ 成立 ， ， ＜） 求实数 ａ 的取值范
＝ 一
（ ）６＞ ／ ２ 、 用数学归纳法证略．
＝ —
（－ ． －Ｖ － ３２ ％ ） ＋ ３ ￣ Ｖ ｂ４
数列 ｛ ｝ ａ ２ ｌ（ ／ １（ ２． 中 ， ， ＝ 、 一 ） １ ＝ ）
（） ｛ 】 １ 求 的通项公式 ； ： ｔ －１ Ｚ Nhomakorabea．
●
证 １ ， ＝ 一一 明 当 ＞ 时一 １１ 一 者 ＞，
所 ｌ（ ＝ ｎ１ 导） 以ｎ州） 者 － （ ｌ 一
≥（ ） ・ 一者 一 者
利用推论 ２ 解题 ，脱去”对数符号 的同 “
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，
（ 当
图 Ｉ 出了这个 给
且仅 当ｘ Ｏ时等号成立 ） ＝ ．
不等式的几何解释． 下面给出它的几个推论，推论中等号成 立的条件是显然的 ， 以下证 明过程中略去．
推论 １ 当ｘ Ｏ时，ｎ １当且仅 当 ＞ Ｉ ≤ 一 （ ＝ 时等号成立 ） １ ． 证明 当 ｘ Ｏ时 ，－ ＞ １所 以 Ｉ ＝ ＞ ｘ １一 ， ｎ
（Ｉ 当６ ， ） ＞ １时 判断函数 ） 在定义域
上 的单调 性 ；
推论 ３ 当 ∈Ｒ时 ， １（ ≥ ＋ 当且仅当
ｘＯ ＝ 时等号成立） ． 证明 由定理知 ，当 一 时 ，＋ ≤ ＞ １ ｘ ｌ ；
丽 当 ≤一 时 ， １ 显然 有 ｘ ｌｄ． ＋＜
当然 ， 以上三个推论离开篇首的定理 ， 都 很容易单独证明， 之所以将它们作为推论 ， 是 为了揭示它们之 间的内在联系，方便我们在
当 ｘＯ ＝ 时等号成立 ） ． 注 意 到 曲 线
ｙ ｌ （＋ ）在 原 点 ＝ｎ ｉ
； ｛ ｉ
； ； ；
。
／ ／／
０
Ｙ
对数符号的同时 ， 对数值放大了．
推论 ２ 当 一 时 ， （＋ ） ＞ １ Ｉ ｘ １ ≥ ｎ
十 １
处 的切线方程 为 ｙ ＝