广东省江门市普通高中2015届高三调研测试数学(文)试题

江门市2015届普通高中高三调研测试数 学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈设{}054|2=--=x x x A ，{} 5 , 4 , 3 , 2 , 1 =B ，则=B AA ．{} 1B ．{} 5C ．{} 5 , 1D ．φ ⒉=311sinπA ．23B ．23- C ．21 D ．21-⒊已知 i 是虚数单位，若复数bi a Z +=（a ，R b ∈）在复平面内对应的点位于第四象限，则复数 i Z ⋅在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 ⒋双曲线14491622=-y x 的离心率=e A ．1625 B ．925 C ．45 D ．35⒌将正弦曲线x y sin =上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期=TA ．πB ．π2C ．π4D ．2π⒍已知{}n a 是等比数列，11=a ，23=a ，则=2a A ．23B ．2C ．2或2-D ．以上都不对⒎函数1221)(+-=xx f 在其定义域上是A ．单调递增的奇函数B ．单调递增的减函数C ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递增D ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递减 ⒏直线 l 经过点)4 , 3(-P 且与圆2522=+y x 相切，则直线 l 的方程是图1 图2A ．)3(344+-=-x yB ．)3(434+=-x yC ．)3(344--=+x yD ．)3(434-=+x y ⒐某三棱锥的三视图如图1所示，这个三棱锥最长棱 的棱长是A ．1B ．2C ．3D ．2⒑已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=. , ln ,, )(2e x x e x ax x f ，其中e 是自然对数的底数，若直线2=y 与函数)(x f y =的图象有三个交点，则常数a 的取值范围是A ．)2 , (-∞B ．]2 , (-∞C ．) , 2(2∞+-eD ．) , 2[2∞+-e二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）⒒抛物线y x 22=的准线方程为 ．⒓若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤22x y x x y ，则y x z 2-=的最小值为 ．⒔已知定义在区间) 0 , (π-上的函数x x x x f c o s s i n )(+=，则)(x f 的单调递减区间是 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕如图2，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且棱AB 所在的直线与棱CD 所在的直线互相平行，正方体的六个面所在的平面与直线CE 、EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么=m ；=n ．⒖若函数)(x f 满足条件：①R x ∈∀，0)(>x f ；②R x x ∈∀21 , ，)()()(2121x f x f x x f =+；③1)2(<f ．则⑴=)(x f ；（写出一个满足条件的函数即可）⑵根据⑴所填函数)(x f ，=-)1(f ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知函数4sin()(π+=x A x f ，R x ∈，且1)0(=f ．⑴求A 的值；⑵若51)(-=αf ，α是第二象限角，求αcos ．⒘（本小题满分14分）如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点．⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ；⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积．⒙（本小题满分14分）设数列{}n a 、{}n b 满足：)1()1(2+-=n a n n ，1++=n n n a a b ，*∈N n ． ⑴求1a 的值；⑵求数列{}n b 的通项公式；⑶求数列{}n a 的前100项和100S 的值．⒚（本小题满分12分）某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m 2的矩形，房屋正面每平方米的造价．．．．．．．为1200元，房屋侧面每平方米的造价．．．．．．．为800元，屋顶的造价为5200元．如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？⒛（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为)0 , 4(1-F 、)0 , 4(2F ，且经过点) 1 , 3(P ． ⑴求椭圆C 的标准方程；⑵若点M 在椭圆C 上，且2121PF PF OM λ+=，求λ的值．21（本小题满分14分）已知函数12)(23-++=x x ax x f （R a ∈）． ⑴求曲线)(x f y =在点) )0( , 0 (f 处的切线方程；⑵是否存在常数a ，使得] 4 , 2 [-∈∀x ，3)(≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．评分参考一、选择题 BBADC CABCD二、填空题⒒21-=y （或等价方程） ⒓2- ⒔) 0 , 2(π-（或) 0 , 2[π-，端点对即给5分）⒕4，4（填对任何一空给3分，全对给5分）⒖x )21(或x )32(或其他或x a （其中10<<a ）……第1空3分，第2空2分；若第1空填诸如x 2或x a ……本小题给2分三、解答题⒗解：⑴依题意，14sin =πA ……2分，122=⨯A ……3分，2=A ……4分 ⑵（方法一）由⑴得，x x x x f cos sin )4sin(2)(+=+=π……6分由51)(-=αf 得，51cos sin -=+αα……7分51cos sin --=αα，22)51cos (sin --=αα……8分251cos 52cos cos 122++=-ααα……9分，02512cos 51cos 2=-+αα……10分 解得53cos =α或54cos -=α……11分∵α是第二象限角，0cos <α，∴54cos -=α……12分（方法二）由⑴得，)4sin(2)(π+=x x f ……5分由51)(-=αf 得，102)4sin(-=+πα……6分 ∵α是第二象限角，ππαππ+<<+k k 222，4524432πππαππ+<+<+k k ……7分，∴4πα+是第二或第三象限角（由0102)4sin(<-=+πα知4πα+是第三象限角），1027)4(sin 1)4cos(2-=+--=+παπα……9分（列式1分，计算1分） 4sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ππαππαππαα+++=-+=……11分 5422102221027-=⨯-⨯-=……12分⒘证明与求解：⑴设⊙O 所在的平面为α，依题意，PA α⊥，BC α⊂，∴PA ⊥BC ……2分∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的一点，∴AC ⊥BC ……3分 ∵PA∩AC=A ，∴BC ⊥平面PAC ……5分∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ……7分⑵∵PA α⊥，∴三棱锥P -ABC 的体积PA S V ABC ⨯=∆31……9分∵AB=2，∠ABC=30°，AC ⊥BC ，∴AC=1，BC=3……11分 2321=⨯⨯=∆BC AC S ABC ……13分 332233131=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC ……14分⒙解：⑴2)11()1(211-=+-=a ……2分⑵]1)1[()1()1()1(212++-++-=+n n b n n n ……3分]11)1[()1(221--++-=+n n n ……5分，)12()1(1+-=+n n ……6分 ⑶由已知，99531100b b b b S +++=……8分1991173++++= ……10分250)1993(⨯+=……13分，5050=……14分⒚解：设房屋地面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元（x ，y ，0>z ），则12=xy ……1分52008003212003+⨯⨯+⨯=x y z ……4分∵x y 12=，∴52004800360012++⨯=x xz ……5分 ∵x ，0>y ，∴520048003600122+⨯⨯≥z ……8分，34000=……9分 当x x4800360012=⨯时……10分，即3=x 时，z 取最小值，最小值为34000元……11分答：房屋地面长3m ，宽4m 时，总造价最低，最低总造价为34000元……12分⒛解：⑴（方法一）依题意，设椭圆C 的标准方程为12222=+b y a x （0>>b a ）……1分||||221PF PF a +=……2分，261)43(1)43(2222=+-+++=，∴23=a ……4分4=c ……5分，∴2222=-=c a b ……6分椭圆C 的标准方程为121822=+y x ……7分 （方法二）依题意，设椭圆C 的标准方程为12222=+b y a x （0>>b a ）……1分∵4=c ……2分，∴162222+=+=b c b a ，1162222=++b y b x ……3分 ∵点) 1 , 3(P 在椭圆C 上，∴1116922=++bb ……4分 016624=-+b b ……5分，解得22=b 或82-=b （负值舍去）……6分 181622=+=b a ，椭圆C 的标准方程为121822=+y x ……7分 ⑵)212 , 272()1 , 1()1 , 7(212121+--=-+--=+=λλλλPF PF ……9分 点M 的坐标为)212 , 272(+--λλM ……10分 ∵点M 在椭圆C 上，∴1)212(21)272(18122=+-+-⨯λλ……11分即074202=-+λλ……12分，解得21=λ或107-=λ……14分21．解：⑴223)(2/++=x ax x f ……1分，所求切线的斜率2)0(/==f k ……2分所求切线方程为)0()0(-=-x k f y （或)0(f kx y +=）……3分 即12-=x y ……4分⑵（方法一）由312)(23≤-++=x x ax x f ，作函数x xx x g 124)(23--=，其中4] , (00) , 2 [ -∈x ……5分)2)(6(11412)(4234/-+=++-=x x x g ……6分由上表可知，0) , 2 [-∈∀x ，21)2()(-=-≤g x g ；4] , (0∈∀x ，21)2()(-=≥g x g……11分由312)(23≤-++=x x ax x f ，当4] , (0∈x 时，x xx a 12423--≤，a 的取值范围为]21 , (--∞，当0) ,2 [-∈x 时，x x x a 12423--≥，a 的取值范围为) , 21[∞+-……13分∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∞+---∞21) , 21[]21 , ( ，31)0(≤-=f 恒成立，∴21-=a ……14分（方法二）0≥a 时，232364)4(≥+=a f 不符合题意……5分0<a 时，解0223)(2/=++=x ax x f 得a a x 36111-+-=，aax 36112---=) , (2∞+x－……8分，由⎩⎨⎧≤+=32364)4(a f ……10分，解得16521-≤≤-a ……11分此时416122<--=a x ，2161236111->+--=-+-=a a a x ……12分∴312)(222322≤-++=x x ax x f ，即0124222≤-+x x ，262≤≤-x ……13分 解216122≤--=a x 得21-≤a ，综上所述21-=a ……14分。