高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析
1．定义运算⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢
⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021.已知πβα=+，2
π
βα=-，则=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢
⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）.
A. 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 01⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
2．定义运算a b ad bc c d =-,则符合条件120121z i
i i +=--的复数z 对应的点在
( )
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限 3．矩阵E =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数
4． 若行列式21
24
1
013
9x
x =-，则=x ．
5．若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则x y += ．
6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则
x y -=_______． 7．矩阵1141⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的特征值为 ． 8．已知变换100M b ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618
法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知，
，则y= ．
11．若
221
1
x x
x y y y
=
--，则______x y +=
12．计算矩阵的乘积=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0110n m y x ______________ 13．已知矩阵A －1 =⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛1201，B －1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则 (AB)－1 = ；
七、解答题
14．已知矩阵1252M x -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
的一个特征值为2-，求2M . 15．已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .
16．[选修4—2：矩阵与变换]
已知矩阵1214A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，求矩阵A 的特征值和特征向量． 17．已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
e ，并且矩阵M 对应
的变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵M ．
18．（选修4—2：矩阵与变换）
设矩阵
02 1a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程．
19．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤
11，属
于特征值1的一个特征向
量为α2＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤
3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
20．选修4­2：矩阵与变换
已知矩阵M ＝12b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e 1＝23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
（1）求矩阵M ；
（2）求曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程．
21．求直线x ＋y ＝5在矩阵0011⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到的图形．
22．已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 23．求点A(2，0)在矩阵1002⎡⎤
⎢
⎥-⎣⎦
对应的变换作用下得到的点的坐标． 24．已知N=0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭
,计算N 2.
25．已知矩阵M ＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N ＝0113-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． （1）求矩阵MN ；
（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P 的坐标． 26．已知矩阵20 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11
25-⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
B ，求矩阵1
-A B 27．已知矩阵A =10-⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦
，B =01⎡⎢⎣ 26⎤
⎥⎦，求矩阵1
A B -.
28．求使等式 2 4 2 03 50 1M ⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
成立的矩阵M ． 29．已知矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 12有一个属于特征值1的特征向量
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ； (Ⅱ) 若矩阵B =⎪
⎭
⎫
⎝⎛-1011，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作
用下的像的方程.
30．已知矩阵A 的逆矩阵1
13441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
A ,求矩阵A 的特征值.
参考答案
1．A
【来源】2012-2013学年湖南省浏阳一中高一6月阶段性考试理科数学试题（带解析） 【解析】
试题分析：根据题意，由于根据新定义可知⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢
⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，那么由2
π
βα=
-,
π
βα=+sin cos cos sin cos cos sin s ()cos sin sin cos cos sin sin cos()in ααβαβαβαβααβαβαβαβ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=00⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，故选A. 考点：矩阵的乘法
点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，属于基础题．考查知识点比较多有一定的计算量 2．D
【来源】2012-2013学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题（带解析） 【解析】 试题分析：
按照所给法则直接进行运算，利用复数相等，可求得复数对应点所在象限．根据题意，由于
120
121z i
i i +=--，即可知z （1-i ）-（1-2i ）
（1+2i ）=0，∴z （1-i ）=5 设z=x+yi ，∴z （1-i ）=（x+yi ）（1-i ）=5，（x+y ）+（y-x ）i=5，x+y=5，y-x=0,那么
考点：复数
点评：主要是考查了复数的基本概念和代数形式的混合运算，是高考常考点，也是创新题，属于基础题。

3．A
【来源】2012-2013学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析） 【解析】
试题分析：解：矩阵M 的特征多项式f （λ）=00-1-1λλ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
=（λ-1）（λ-1）0所以（λ-1）（λ-1）
=0,可知λ-=1，故即为所求的特征值，因此选A. 考点：矩阵的特征值
点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题． 4．2或3-
【来源】【百强校】2015-2016学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：由题意得0|3
11|
4|9
1
1|
2|9
3
|
22=-⨯+⨯+-x
x x x ，所以062=+-x x ，解得
=x 2或3-．
考点：三阶行列式的应用． 5．2
【来源】【百强校】2015-2016学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：因为2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以⎩⎨⎧=+--=10322y x x 解得⎩⎨⎧=-=31y x ，所以x y +=2 考点：矩阵的含义． 6．2
【来源】【百强校】2015-2016学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：由二元线性方程组的增广矩阵可得到 二元线性方程组的表达式 ⎩
⎨
⎧=+=-202
y y x 解得 x=4，y=2，故答案为：2．
考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义． 7．3或－1.
【来源】2013-2014学年江苏省连云港高二下学期期末数学试卷（选修物理）（带解析） 【解析】
试题分析：矩阵1141⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
的特征多项式为41--λ4)1(112--=--λλ.令04)1(2=--λ，可得3=λ或1-=λ.故应填3或－1. 考点：矩阵特征值的定义. 8．1
【来源】2013-2014学年江苏省阜宁中学高二下学期期中考试理科数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：由102011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣
⎦⎣⎦⎣⎦得2,1, 1.a b a b =-=+= 考点：矩阵运算 9．33.6ml
【来源】2013届湖南省株洲市二中高三第五次月考文科数学试题（带解析） 【解析】
试题分析：根据公式x 1=小+0.618（大-小）=10+0.618（110-10）=71.8， x 2=小+大-x 1=10+110-71.8=48.2，
此时差点将区间分成两部分，一部分是[10，71.8]，另一部分是[71.8，110]将
不包含好点的那部分去掉得存优部分为[10，71.8]，
根据公式x3=小+大-x2=10+71.8-48.2=33.6，
所以第三次实验时葡萄糖的加入量为33.6mL，
故答案为33.6ml。

考点：黄金分割法--0.618法
点评：简单题，熟练掌握黄金分割法的基本概念及步骤是解答的关键。

10．1
【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷带解析）【解析】
试题分析：由已知，，
所以x﹣2=0，x﹣y=1
所以x=2，y=1．
考点：二阶行列式的定义
点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题
【答案】0
【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析）【解析】2220
x y xy x y
+=-⇒+=．
【考点定位】考查矩阵的运算，属容易题。

12．
y x n m
-
⎛⎫ ⎪
-
⎝⎭
【来源】2012-2013学年江苏淮安市涟水县第一中学高一下学期期末考试数学题（带解析）【解析】
试题分析：根据矩阵乘法法则得，0110x y y x m n n m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

考点：矩阵乘法法则。

点评：简单题，应用矩阵乘法法则直接计算，属于基础题。

13．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛3211 【来源】2012-2013学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析） 【解析】
试题分析：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，则可知a b c d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201=1001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，可知得到A=1201⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，同理可知B=1110⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则可知(AB)－1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3211 考点：矩阵的乘法，逆矩阵
点评：利用矩阵的乘法法则及逆矩阵的求解，即可得到答案．属于基础题。

14．
2
64514M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 【来源】2016届江苏省泰州市高三第一次模拟考试理科数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：由矩阵特征多项式得
2
(1)(5)0x x λλ---+=一个解为2-，因此3x =，再根据矩阵运算得
264514M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 试题解析：解：2λ=-代入
21
2
(1)(5)0
5
2x x x
λλλλ+-=---+=--，得3x =
矩阵
12532M -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦ ∴
264514M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 考点：特征多项式 15．
1201A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦ 【来源】2016届江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线:1l x y +=上任意一
点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''，则有x mx ny
y y '=+⎧⎨
'=⎩ ，因为1x y ''-=所以()1mx ny y +-=与1=+y x l ：重合，因此1
11m n =⎧⎨
-=⎩．
试题解析：解：设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点
(,)M x y ''' ．
由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx ny y y
'=+⎧⎨'=⎩
又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=
依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨
=⎩，
1201A ⎡⎤
∴=⎢⎥⎣⎦ 考点：矩阵变换
16．属于特征值12λ=的一个特征向量
121
α⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦属于特征值23λ=的一个特征向量
211
α⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
【来源】2016届江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：由特征多项式为
()21
2
5614
f λλλλλ--=
=--+=0解得两个特征值12λ=，
23λ=．再代入得对应特征方程组，因此属于特征值12λ=的一个特征向量
121
α⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦，属于
特征值23λ=的一个特征向量
211
α⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦． 试题解析：矩阵A 的特征多项式为()21
2
561
4
f λλλλλ--=
=--+，
由
()0
f λ=，解得12λ=，23λ=．
当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=⎧⎨
-=⎩
故属于特征值12λ=的一个特征向量
121
α⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦；
当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=⎧⎨
-=⎩
故属于特征值23λ=的一个特征向量211
α⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦．
考点：特征值及特征向量
17．1436-⎡⎤⎢⎥
-⎣
⎦ 【来源】2016届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：列方程组
1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡
⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解得
1,4,3,a b c d =-==-=
试题解析：解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,则1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,故3,3a b c d =⎧⎨=⎩++． 19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦,故29,215a b c d -=⎧⎨-=⎩++．
联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=,故M =1436-⎡⎤⎢⎥
-⎣
⎦． 考点：矩阵特征值及特征向量
18．
22
841x xy y ++= 【来源】2016届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：实质利用转移法求轨迹方程：先确定矩阵M ，由矩阵M 有一个特征值为2，得矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--有一个解2，所以2a =．再设曲线C 在矩阵M
变换下点(,)x y 变换为点(,)x y ''，由 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得22x x
y x y '=⎧⎨'=+⎩，代入
221x y ''+=得22841x xy y ++=
试题解析：由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--， 因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =．
所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦，即22x x y x y '=⎧⎨'=+⎩， 代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为
22
841x xy y ++=．…10分
考点：矩阵特征值
19．A ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤
3 3 2 4， A 的逆矩阵是
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 23 －12
－13 1
2 ．
【来源】【百强校】2016届江苏省扬州中学高三12月月考数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：由矩阵特征值的特征向量定义知
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 3－2，
解得关于,c d 方程组，联立即可．
试题解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11可得，
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝6⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
11，
即c ＋d ＝6；
由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2，可得
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
3－2，
即3c －2d ＝－2．
解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
23 －12
－13 1
2 ．
考点：矩阵的运算．
20．（1）1232⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
（2）x 2＋y 2＝2． 【来源】【百强校】2016届江苏省苏州中学高三上学期初考试数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：（1）由特征值与对应特征向量关系得：12b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝812⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2＋3b ＝8,2c ＋6＝12，b ＝2，c ＝3，所以M ＝1232⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．（2）由转移法求轨迹得，先设曲线上任一点P （x ，y ）在M 作用下对应点P′（x′，y′），则 x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝1232⎡⎤⎢⎥⎣⎦
x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解之得2
34
y x x x y y ''-⎧
=⎪⎪⎨''
-⎪=⎪⎩代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1得x′2＋y′2＝2，即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2＝2．
试题解析：解：（1）由已知12b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝812⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，即2＋3b ＝8,2c ＋6＝12，b ＝2，c ＝3， 所以M ＝1232⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．（4分） （2）设曲线上任一点P （x ，y ），P 在M 作用下对应点P′（x′，y′），则x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝1232⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 解之得2
34
y x x x y y ''-⎧
=⎪⎪⎨''-⎪=⎪⎩代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1得x′2＋y′2＝2，
即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2＝2．（10分） 考点：特征值，特征向量，矩阵变换 21．点(0，5)
【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修4－2第1课时练习卷（带解析） 【解析】设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵0011⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
的作用下点变换成(x ′，y ′)，则0011⎡⎤⎢
⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以'0
'x y x y =⎧⎨=+⎩
.因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y ′＝x ＋y ＝5，故得到的图形是点(0，5)． 22．1020⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修4－2第1课时练习卷（带解析） 【解析】将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用变换为(x ，2x)，则有00a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝2x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解得12.a b ⎧⎨⎩＝，＝∴T ＝1020⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
. 23．A ′(2，0)
【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修4－2第1课时练习卷（带解析）
【解析】矩阵1002⎡⎤
⎢
⎥
-⎣⎦
表示横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A ′(2，0)
24．1001-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
【来源】2014年高考数学全程总复习课时提升作业七十五选修4-2第二节练习卷（带解析） 【解析】N 2=0110-⎛⎫
⎪⎝⎭0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭=1001-⎛⎫
⎪-⎝⎭
25．（1）MN ＝1234⎡⎤⎢
⎥⎣⎦0113-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝2549⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；（2）P(5
2， 1). 【来源】2014届江苏南京金陵中学高三第一学期期中考试理科数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用2549⎡⎤⎢
⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦＝01⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，转化为关于,x y 的二元一次方程，解出,x y ，即点P 的坐标；法二，求出MN 的逆矩阵，直接计算,x y .
试题解析：（1）MN ＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦0113-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝2549⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
； 5分
（2）设P(x ，y)，则 解法一：
2549⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝01⎡⎤⎢⎥
⎣⎦，即250
491
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得521x y ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩
即P(52， 1)． 10分
解法二：
因为12549-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
＝952221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦．所以x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝9
52221⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦01⎡⎤⎢⎥⎣⎦
＝521⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
． 即P(
5
2
， 1)． 10分 考点：矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.
26．11 2225⎡⎤-
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
【来源】2014届江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：先用待定系数法求出1
A
-，再求出1
-A B .
试题解析：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2010 0101a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 1
分 即2210 01a b c d ⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 4分 故1,0,0,12
a b c d ====，从而A 的逆矩阵为1
1
0 210A -⎡⎤⎢=⎥⎢⎦⎣． 7分
所以1
11
1011 222125025A B -⎡⎡⎤--⎤⎡⎤⎢⎢⎥==⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎣⎦
． 10分
考点：矩阵的乘法、逆矩阵. 27． 10-⎡⎢⎣
23-⎤
⎥⎦ 【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析） 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a c ⎡⎢⎣
b d ⎤⎥⎦，则1
0-⎡⎢⎣ 02⎤
⎥⎦a c ⎡⎢⎣ b d ⎤=⎥⎦10⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦，即2a c -⎡⎢⎣ 1
20b d -⎤⎡=⎥⎢⎦⎣
01⎤⎥⎦
， ∴1a =，0b =，0c =，12
d =，从而，A 的逆矩阵为1
10A --⎡⎢=⎢⎢⎣ 012⎤
⎥⎥⎦， ∴1
10A B --⎡⎢=⎢
⎢⎣
012⎤
⎥⎥⎦10⎡⎢⎣26⎤=⎥⎦10-⎡⎢⎣
23-⎤
⎥⎦.
【考点定位】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力. 28．1235M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
【来源】2012届江苏省涟水中学高三上学期期中考试数学试题（带解析） 【解析】
试题分析：解：设m n M p q ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，则由 2 4 2 03 50 1M ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
22m n p q ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（5分）
则222435m n p q =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩12
3
5
m n p q =⎧⎪=⎪
⇒⎨=⎪⎪=⎩，即1235M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦. （10分） 考点：矩阵
点评：主要是考查了矩阵的求解的运用，属于基础题。

29．（1）A =⎪⎭
⎫
⎝⎛3122.（2）20x y ++= 【来源】2013届福建省福建师大附中高三5月高考三轮模拟理科数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：(Ⅰ)由已知得⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1211212b a ，所以⎩⎨⎧-=-=-，，12222b a 2分
解得⎩⎨
⎧==，
，32b a 故A =⎪⎭⎫
⎝⎛3122. ……………………………………………………3分
(Ⅱ) BA =⎪⎭⎫
⎝⎛-1011⎪⎭⎫ ⎝⎛3122=1113-⎛⎫
⎪⎝⎭
，
因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线10x y ++=上的两点（0，1），（-1，2）， 4分
11011313-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11011311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，由得：
（0，1），（-1，2）在矩阵A 所对应的线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） 6分
从而直线10x y ++=在矩阵BA 所对应的线性变换下的像的方程为20x y ++=. 7分 考点：矩阵的概念和变换
点评：主要是考查了矩阵的计算以及变换的运用，属于基础题。

30．（1）()22 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥
--⎣⎦
. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，.
【来源】2013届福建省高三高考压轴理科数学试题（带解析） 【解析】
试题分析：（1）解:∵1-A A =E ,∴()11--A =A . ∵1
13441122-⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦A ,∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A . ∴矩阵A 的特征多项式为()2
2 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1
=4λλ-，. 考点：本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵特征值的概念。

点评：简单题，作为选考内容，难度不大，关键是掌握基本的概念及计算方法。