高考数学真题分项汇编专题05 导数选择、填空(理科)(解析版)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编
导数选择、填空
目录
题型一：导数的概念及其几何意义 ..................................... 1 题型二：导数与函数的单调性 ......................................... 8 题型三：导数与函数的极值、最值 ..................................... 9 题型四：导数与函数的零点 .......................................... 14 题型五：导数的综合应用 ............................................ 16 题型六：定积分 (20)
题型一：导数的概念及其几何意义
一、选择题
1．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则
( )
A ．e b a <
B ．e a b <
C ．0e b a <<
D ．0e a b <<
【答案】D
解析:在曲线x y e =上任取一点(),t
P t e ，对函数x y e =求导得e x y ′=，
所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t −=−，即()1t t
y e x t e +−， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e +−上，可得()()11t t
t b ae t e a t e =+−=
+−，
令()()1t f t a t e =
+−，则()()t f t a t e ′=−．
当t a <时，()0f t ′>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t ′<，此时函数()f t 单调递减，
所以，()()max a f t f a e =
=， 由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a b f t e <=
， 当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：
由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点,故选D ．
2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)函数43()2f x
x x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为
( )
A ．21y x =
−− B ．21y x =
−+ C ．23y x =− D ．21y x =
+ 【答案】B
【解析】()4
3
2f x x x =− ，()3
2
46f x x x ′∴=−，()11f ∴=−，()12f ′=−， 因此，所求切线的方程为()121y x +=
−−，即21y x =−+． 故选：B ．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)若直线l 与曲线y
x 2+y 2=
1
5
都相切，则l 的方程为
( )
A ．y =2x +1
B ．y =2x +
12
C ．y =
1
2
x +1 D ．y =
12x +12
【答案】D
解析：设直线l
在曲线y =
(0x ，则00x >，
函数y =
的导数为y ′=
，则直线l
的斜率k =
，
设直线l
的方程为)0y x x −−
，即00x x −+=， 由于直线l 与圆2
2
15
x y +=
=， 两边平方并整理得2
005410x x −−=
，解得01x =，01
5
x =−(舍)， 则直线l 的方程为210x y −+=
，即11
22
y x =+． 故选：D ．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．
4．(2019·全国Ⅲ·理·第6题)已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =
+，则
( )
A ．,1a e b ==−
B ．,1a e b ==
C ．1
,1a e b −==
D ．1,1a e b −==−
【答案】D
【解析】由/ln 1x y ae x =++，根据导数的几何意义易得/
1|12x y ae ==+=，解得1a e −=，从而得到
切点坐标为(1,1)，将其代入切线方程2y x b =+，得21b +=，解得1b =−，故选D ．
【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。

5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第5题)设函数()3
2
()1=+−+f x x a x ax ，若()f x 为奇函数，
则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 ( ) A ．2y x =−
B ．y x =−
C ．2y x =
D ．y x =
【答案】D
解析：函数()3
2
()1f x x a x ax =+−+，若()f x 为奇函数，可得1a =，所以函数3()f x x x =+，可得'
2
()31f x x =+，曲线()y f x =在点()0,0处的切线的斜率为：1，则曲线()y f x =在点()0,0处的
切线方程为：y x =，故选D ．
6．(2014高考数学课标2理科·第8题)设曲线y =ax -ln (x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】D
解析：因为1
'1
y a x =-
+，所以切线的斜率为12a -=
，解得3a =，选D 7．(2014高考数学大纲理科·第7题)曲线1x y xe −=在点(1,1)处切线的斜率等于 ( )
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1 【答案】C
解析：因为1x y xe −=，所以111(1)x x x y e xe e x −−−′=+=+，根据导数的几何意义可知曲线1x y xe −=在
点(1,1)处切线的斜率111
|(11)2x k y e −=′==+=，故选C ． 8．(2016高考数学四川理科·第9题)设分别是函数ln ,(01
()ln ,(1)
x x f x x x −<< =
> 图像上的点12,P P 处的切线，
1l 与2l 互相垂直并相交于点P ，且12,l l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围为
( )
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(0,)+∞
D ．(1,)+∞
【答案】A
【解析】由题设知：不妨设12,P P 点的坐标分别为：()()111222,,,P
x y P x y ，其中1201x x <<<，
则由于12,l l 分别是点12,P P 处的切线，直线12,l l 的斜率分别为12,k k 而()1
,01'1,1x x
f x x x
−<< =
> ， 得：1l 的斜率1k 为11x −
，2l 的斜率2k 为2
1
x ；又1l 与2l 垂直，且120x x <<， 由题意易知121212
11
111k k x x x x =−⇒−
⋅=−⇒= 11111
1
:+ln ()(0,1ln )l y x x x A x x =−−⇒−，222221:ln ()(0,ln 1)l y x x x B x x −=−⇒− 则1212||2ln ln 2ln 2AB x x x x =−−=−= 直线联立12,l l 的方程可得121
1
22
11P
x x x x x ==<++
当且仅当01x <<即11x =时等号成立 而01x <<，所以1||2
PAB P P S AB x x ∆=××= 所以PAB ∆的面积的取值范围(0,1)．
9．(2017年高考数学浙江文理科·第7题)函数的导函数的图象如图所示,则函数
的图象可能是
()y f x =()y f x ′=()y f x =
(第7题图)
A B
【答案】 D 【解析】(定义法)导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图象和原函数图象．故选D ．
(特例法)取导函数,勾画原函数图象．故选D ． 二、填空题 1．(2021年高考全国甲卷理科·第0题)曲线21
2
x y x −=
+在点()1,3−−处的切线方程为__________． 【答案】520x y −+=
解析：由题，当1x =−时，3y =−，故点在曲线上．
求导得：()()()
()
2
2
22215
22x x y x x +−−==++′
，所以1|5x y =−=′．
故切线方程为520x y −+=． 故答案为：520x y −+=
． 2．(2022新高考全国II 卷·第14题)曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，
()(2)(1)(4)f x x x x ′=+−−()f x x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
____________． 【答案】①． 1e y x =
②． 1e
y x =− 解析： 因为ln y x =，
当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1
y x
′=
，所以001|x x y x =′=，所以切线方程为
()000
1
ln y x x x x −=
−， 又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x −=
−，解得0e x =，所以切线方程为()1
1e e
y x −=−，即1e y x =； 当0x <时()ln y x =−，设切点为()()
11,ln x x −，由1
y x
′=，所以111|x x y x =′=，所以切线方程为
()()111
1
ln y x x x x −−=
−， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x −−=−，解得1e x =−，所以切线方程为()1
1e e
y x −=+−，即1
e
y x =−
； 故答案为：1e y x =
；1e
y x =− 3．(2022新高考全国I 卷·第15题)若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
________________． 【答案】()(),40,∞∞−−∪+
解析：∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a ′++，
设切点为()00,x y ,则()0
00e x
y x a =
+,切线斜率()0
01e x
k x a =
++,
切线方程为：()()()00
000e 1e x
x y x a x a x x −+=++−, ∵切线过原点，∴()()()00
000e 1e x
x x a x a x −+=
++−,
整理得：2
000x ax a +−=
, ∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a <-或0a >, ∴a 的取值范围是()(),40,−∞−+∞ , 故答案为：()(),40,−∞−+∞
4．(2019·全国Ⅰ·理·第13题)曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 ．
【答案】答案：3y x =
解析：222()3(),()3(21)3()3(31),(0)3x x x x f x x x e f x x e x x e x x e f ′′=+=+++=++=， 所以曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =．
5．(2019·江苏·第11题)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经
过点()e 1−−，
(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是______. 【答案】(,1)e
【解析】设切点00(,ln )A x x ，因为1'(ln )'y x x ==，所以切线的斜率0
1
k x =， 又切线过点(,1)e －－，所以000
ln 11
x k x e x =
+=+，即00ln x x e =，解得0x e =，则点A 的坐标是(,1)e . 6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题)曲线
()1x y ax e =+在点()0,1处的切线的斜率为2−，则
a = ．
【答案】3− 解析：记()()1x f x ax e =
+，则(
)()1x f x e ax a ′=++
依题意有()()01
02
f f =
′=− ，即()001112e e a ⋅= +=− ，解得3a =−． 7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第13题)曲线2ln(1)y
x +在点(0,0)处的切线方程为__________．
【答案】20x y −=
解析：因为2
1
y x ′=
+，所以2k =，切线方程为2y x =，即20x y −=
． 8．(2014高考数学江西理科·第14题)若曲线上点处的切线平行于直线,则点的
坐标是________． 【答案】
分析:设切点,则由得:,所以点的坐标是．
9．(2014高考数学广东理科·第10题)曲线52x y e −=+在点(0,3)处的切线方程为
【答案】答案：53y x =
−+． 解析：'
5'05,|5x x y e y −==
−=−，故切线方程为53y x =−+．本题易错点在符合函数求导忘记乘以5−． 10．(2014高考数学江苏·第11题)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x
b
ax y +
=2(a ，b 为常数)过点)5,2(−P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ．
【答案】3−
解析：曲线2b
y ax x
=+
过点(2,5)P −，则452b a +=−①，
又22b y ax x ′=−，所以7
442b a −=−②，由①、②解得1,2.a b =− =−
所以3a b +=−． x
y e −=P 210x y ++=P (ln 2,2)−P (,)a b x
y e −′=−2,2,ln 2,2a a a k e e a b e −−−=
−=−==−==P (ln 2,2)−
11．(2015高考数学陕西理科·第15题)设曲线x y e =在点(0,1)处的切线与曲线1
(0)y
x x
=>上点Ρ处的切线垂直，则Ρ的坐标为 ． 【答案】()1,1
解析：因为x y e =，所以x y e ′=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率0
10
1x k y e =′===，设
Ρ的坐标为()00,x y (00x >)，则00
1
y x =
，因为1y x =，所以21y x ′=−，所以曲线1y x =在点Ρ处的
切线的斜率0
220
1x x k y x =′
==−，因为121k k ⋅=−，所以2011x −=−，即2
1x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即Ρ的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．
12．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题)已知()f x 为偶函数,当0x <时,()ln()3f x x x =−+,,则曲线
()y f x =在点(1,3)−处的切线方程是_______________.
【答案】21y x =−−
【解析】当0x >时,0x −<,则()ln 3f x x x −=−.又因为()f x 是偶函数,所以
()()ln 3f x f x x x =−=−,所以1
()3f x x
′=−,则切线斜率为(1)2f ′=−,所以切线方程为32(1)y x +=−−,即21y x =
−−. 13．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+
的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．
【答案】1ln 2b =-
【解析】设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+的切点为(,)m mk b + ，与曲线ln(1)y x =+的切点为
()n nk b +， 则ln 21ln(1)11mk b m k m nk b n k n ì+=+ïïïïï=ïïïí
ï+=+ïïïïï=ï+ïî ，所以1+ln 21ln b k b k k ì=-+ïïíï+-=-ïî 所以1+ln 21ln b k b k k ì=-+ïïíï+-=-ïî，所以21ln 2k b ì=ïïí
ï=-ïî
，所以1ln 2b =-． 题型二：导数与函数的单调性
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第6题)已知函数()e ln x
f x a x =
−在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为 ( )．
A ．2e
B ．e
C ．1e −
D ．2e −
【答案】C
解析：依题可知，()1
e 0x
f x a x
′=−
≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a ≥，
设()()e ,1,2x
g x x x =∈，所以()()1e 0x
g x x =+>′，所以()g x 在()1,2上单调递增，
()()1e g x g >=，故1e a ≥
，即11
e e
a −≥=
，即a 的最小值为1e −． 故选：C ．
2．(2015高考数学福建理科·第10题)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =−，其导函数()f x ′满足
()1f x k ′>>，则下列结论中一定错误的是 ( )
A ．11
f k k
< B ．111
f k k
>
− C ．1111f k k
<
−−
D ．111k f k k
>
−−
【答案】C
解析：由已知条件，构造函数()()g x f x kx =−，则''()()0g x f x k =
−>，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >−，故1()(0)1g g k >−，所以1()111k f k k −>−−−，11
()11
f k k >
−−，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =−，
则''()()10h x f x =−>，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以1()(0)h h k >，即11()1f k k
−>−，11
()1f k k >−，选项A ,B 无法判
断，故选C ．
3．(2014高考数学大纲理科·第16题)若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(
,)62
ππ
是减函数，则a 的取
值范围是 ． 【答案】(],2−∞
解析：因为()2sin 2cos 4sin cos cos cos (4sin )f x x a x x x a x x x a ′=−+=−+=−+，
而(,)62
x ππ
∈时，函数()f x 单调递减，所以()0f x ′<在(
,)62
x ππ
∈恒成立，即cos (4sin )0x x a −+<恒成立，因为cos 0x >，所以4sin 0x a −+<即4sin a x <在(,)62
x ππ
∈恒成立，
从而min (4sin )a x <，因为4sin (
)6
2
y
x x π
π
<<
的值域为(4sin
,4sin )62
π
π
即(2,4)，所以2a ≤．
题型三：导数与函数的极值、最值
1．(2021年高考全国乙卷理科·第0题)设0a ≠，若x a =为函数()()()2
f x a x a x b =−−的极大值点，
则
( )
A a b <
B ．a b >
C ．2ab a <
D ．2ab a > 【答案】D
.
解析：若a b =，则()()3
f x a x a =−为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹．
()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的．依
题意，
为函数
的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的．
当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：
由图可知b a <，0a <，故2ab a >．
当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：
由图可知b a >，0a >，故2ab a >． 综上所述，2ab a >成立． 故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答． 2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第6题)当1x =时，函数()ln b
f
x a x x
=+取得最大值2−，则(2)f ′= ( )
A 1−
B ．12
− C ．1
2 D ．1
.
【答案】B
【解析】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =−，()10f ′=，而()2a b
f x x x
′=
−，所以2,0b a b =−−=，即2,2a b =−=−，所以()222
f x x x
′=−+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()
1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()11
2122
f ′=−+=−． 故选：B ．
3．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)若是函数的极值点，则的极小值为
( )
A ．
B ．
C ．
D ．1
【答案】A
【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运 算求解能力．
【解析】解法一：常规解法 ∵ ∴ 导函数
∵ ∴ ∴ 导函数
令，∴ ，
当变化时，，随变化情况如下表：
+ 0
-
+
极小值从上表可知：极小值为． 二、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第11题)若函数()()2ln 0b c
f x a x a x x
=+
+≠既有极大值也有极小值，则
( )．
A ．0bc >
B ．0ab >
C ．280b ac +>
D ．0ac <
【答案】BCD
解析：函数2()ln b c f x a x x x =++的定义域为(0,)+∞，求导得2233
22()a b c ax bx c
f x x x x x
−−′=−−=， 2x =−2
1`
()(1)x f x x ax e
−=+−()
f x 1−3
2e −−3
5e −()()2
11x f x x
ax e −=
+−()()2
121x f x x a x a e −′ =+++− ()20f ′−=1a =−()()2
12x f x x
x e −′=
+−()0f x ′=12x =−11x =x ()f x ()f x ′x (),2−∞−2−()2,1−1()1,+∞()f x ′()f x ()11f =−
因为函数()f x 既有极大值也有极小值，则函数()f x ′在(0,)+∞上有两个变号零点，而0a ≠， 因此方程220ax bx c −−=有两个不等的正根12,x x ，
于是212
12Δ80020b ac b x x a c x x a
=+>
+=>
=−>
，即有280b ac +>，0ab >，0ac <，显然20a bc <，即0bc <，A 错误，BCD 正确． 故选：BCD 三、填空题
1．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第16题)已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−(0a >且
1a ≠)的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．
【答案】1,1e
解析：()2ln 2e x
f x a a x ′=
⋅−， 因为12,x x 分别是函数()2
2e x
f x a x =
−的极小值点和极大值点， 所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，
所以当()()12,,x x x ∈−∞∪+∞时，()0f x ′<，当()12,x x x ∈时，()0f x ′>， 若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x ′>，与前面矛盾， 故1a >不符合题意，
若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅−=的两个根为12,x x ， 即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，
即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， ∵01a <<,∴函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，
又∵ln 0a <,∴ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：
设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x
x a a ⋅，
则切线的斜率为()02
0ln x
g x a a ′=
⋅， 故切线方程为()00
2
0ln ln x x y a a a a x x −⋅=⋅−，
则有0
020ln ln x x a a
x a a −⋅=−⋅，解得01
ln x a
=
， 则切线的斜率为1
22ln ln eln a a a a ⋅=，
因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， 所以2eln e a <，解得1
e e
a <<， 又01a <<，所以
1
1e
a <<， 综上所述，a 的范围为1,1e
．
2．(2018年高考数学江苏卷·第11题)若函数32()21()f x x ax a =−+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则
()f x 在[1,1]−上的最大值与最小值的和为 ． 【答案】–3
解析：由()2'620f x x ax =−=得0,3
a
x x ==，因为函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点且(0)1f =，所以
0,()033
a a
f >=，因此322()()1033a a a −+=
，3a =，从而函数()f x 在[1,0]−上，单调递增，在[0,1]上单调递减，所以max ()(0)f x f =，{}min ()min (1),(1)(1)f x f f f =
−=−，最大值与最小值的和为(0)(1)143f f +−=−=−．
3．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第16题)已知函数()2sin sin 2f x x x =+,则()f x 的最小值
是 ．
【答案】 解法一：先求()f x 的最大值，设sin 0,cos 0x x >> ()2sin 2sin cos f x x x x =+≤()22222211112sin 2sin cos sin sin cos a x b x x a x b x x a b a b +≤+++
222211sin cos a b x x a b
=+++
，2
a b =
即22()2sin 2sin cos f x x x x x x =+≤
+=
3x π
=
故根据()()f x f x −=−
奇函数知，min ()f x =解法二：导数法+周期函数
()()2cos 2cos 22(2cos 1)cos 1f x x x x x ′=+=−+
当0,
,()03x f x π
′∈>
；5,
,()033
x f x ππ ′
∈<
；5,2,()03x f x ππ ′∈>
∴min 5()()3f x f π==解法三：均值不等式法
2()sin sin 22sin (1cos )4sin cos 2cos 222
x x x
f x x x x x =+=+=×
()[]32262()64sin cos 641,sin 0,1222x x x f x t t t
==−=∈
()()4
3
3
264643t 11127()6413t 13344t t t f x t t t +−+−+− =−=⋅−≤=
当且仅当14t =时，2max 27
()4
f x =
此时211
sin ,sin 2422
x x ==−
，min ()f x =
题型四：导数与函数的零点
1．(2014高考数学课标1理科·第11题)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,
则的取值范围为 ( )
A ．(2,+∞)
B ．(-∞,-2)
C ．(1,+∞)
D ．(-∞,-1)
【答案】B
解析1:由已知,,令,得或, ()f x 3231ax x −+()f x 0x 0x a 0a ≠2
()36f x ax x ′=
−()0f x ′=0x =2
x a
=
当时,; 且,有小于零的零点,不符合题意． 当时,
要使有唯一的零点且>0,只需,即,．选B
解析2:由已知,=有唯一的正零点,等价于
有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记,,由,,,
,要使有唯一的正零根,只需,选B
2．(2015高考数学新课标2理科·第12题)设函数()f x ′是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f −=，当
0x >时，()()0xf x f x ′−<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 ( )
A ．(,1)(0,1)−∞−
B ．(1,0)(1,)−+∞
C ．(,1)(1,0)−∞−−
D ．(0,1)(1,)+∞
【答案】A
解析：记函数()()f x g x x
=，则''
2
()()()xf x f x g x x −=，因为当0x >时，'()()0xf x f x −<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)−∞单调递减，且(1)(1)0g g −==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <−时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)−∞− ，
故选A ．
3．(2015高考数学新课标1理科·第12题)设函数()(21)x f x e x ax a =−−+,其中1a <，若存在唯一的
整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是 ( )
A ．3[,1)2e −
B ．33[,)24e −
C 33[,)24e ．
D ．3
[,1)2e
【答案】D
解析：设()g x =(21)x
e x −，y ax a =−，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =−的下方．
因为()(21)x g x e x ′=
+，所以当12x <−时，()g x ′＜0，当12x >−时，()g x ′＞0，所以当12
x =−时，max [()]g x =1
2
-2e −，
当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =−恒过(1,0)斜率且a ，故(0)1a g −>=
−，且1(1)3g e a a −−=−≥−−，解得3
2e
≤a ＜1，故选D ．
0a >()22,0,()0;0,
,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ′′′∈−∞>∈<∈+∞>
(0)10f =>()f x 0a <()22,
,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ′′′∈−∞<∈>∈+∞<
()f x 0x 0x 2
()0f a
>24a >2a <−0a ≠()f x 3231ax x −+311
3a x x
=− 1
t x
=33a t t =−+y a =33y t t =
−+3()3f t t t =
−+2()33f t t ′=−+()0f t ′=1t =±()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ′′∈−∞−<∈−>()1,,()0t f t ′∈+∞<33a t t =−+(1)2a f <−=
−
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 4．(2015高考数学安徽理科·第15题)设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次
方程仅有一个实根的是 ．(写出所有正确条件的编号) ①3,3a b =−=−；②3,2a b =−=；③3,2a b =−>；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==． 【答案】①③④⑤
解析：令3()f x x ax b =++，求导得2'()3f x x a =+，当0a ≥时，'()0f x ≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以3()f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =−，则
2'()333(1)(1)f x x x x =−=+−，
易知，()f x 在(,1),(1,)−∞−+∞上单调递增，在[1,1]−上单调递减，所以()=(1)132f x f b b −=−++=+极大，
()=(1)132f x f b b =−+=−极小，要使方程仅有一根，则()=(1)1320f x f b b −=−++=+<极大或者 ()=(1)1320f x f b b =−+=−>极小，解得2b <−或2b >，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个
实 根的是①③④⑤．
题型五：导数的综合应用
1．(2014高考数学辽宁理科·第11题)当[2,1]x ∈−时，不等式32430ax x x −++≥恒成立，则实数a 的
取值范围是 ( )
A ．[5,3]−−
B ．9[6,]8
−− C ．[6,2]−− D ．[4,3]−−
【答案】C 解析:
当0≤x ≤1时，ax 3-x 2+4x +3≥0可化为32341a x x x
≥−
−+， 令()32341f x x x x =−−+，则()432981
f x x x x
′=+−，
当0≤x ≤1时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，1]上单调递增，f (x )max =f (1)=-6，∴a ≥-6； 当-2≤x ＜0时，ax 3-x 2+4x +3≥0可化为32341
a x x x
≤−
−+， 当-2≤x ＜-1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，
当-1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，f (x )min =f (-1)=-2，∴a ≤-2；
综上所述，实数a 的取值范围是-6≤a ≤-2，即实数a 的取值范围是[-6，-2]．
2．(2016高考数学山东理科·第10题)若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的
切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 ( )
A ．sin y x =
B ．ln y x =
C ．e x y =
D ．3y x = 【答案】A
【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的积
为1−．当sin y x =时，cos y x ′=,有cos 0cos 1π⋅=
−,所以在函数sin y x =图像存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数
3ln ,,x
y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A ．
二、多选题
25．(2022新高考全国I 卷·第10题)已知函数3()1f x x x =−+，则
( )
A ．()f x 有两个极值点
B ．()f x 有三个零点
C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心
D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线
【答案】AC
解析: 由题，()2
31f x x ′=
−，令()0f x ′>得x >x <
令()0f x ′<得x <<
所以()f x 在(上单调递减，在(,−∞，)+∞上单调递增，
所以x =是极值点，故A 正确；
因(10f =+>，10f −>，()250f −=−<，
所以，函数()f x 在, −∞ 上有一个零点，
当x ≥()0f x f ≥>，即函数()f x 在 ∞
上无零点， 综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；
令3()h x x x =−，该函数的定义域为R ，()()()()3
3h x x x x x h x −=−−−=
−+=−， 则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；
令()
2
312f x x ′=−=，可得1x =±，又()(1)11f f =−=， 当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =
−，当切点为(1,1)−时，切线方程为23y x =+，
故D 错误 故选：AC ． 三、填空题
1．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第16题)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边
三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得
重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为
__________．
【答案】
【解析】如下图,设正三角形的边长为x ,则．
,
三棱锥的体积 ． 令,则, 令, ,
．
.O 5
cm ABC ,,,
O D E F O
DBC ∆ECA ∆FAB ∆,,BC CA AB ,,BC CA AB
DBC ∆ECA ∆FAB ∆,,D E F ABC ∆3cm 13OG x =
=∴5FG SG x ==−SO h =∴1133ABC V S h ∆=
⋅=()455b x x x =()34
'20n x x x =()'0n x =3
40x =x =max 48V =
2．(2016高考数学北京理科·第14题)设函数33,()2,x x x a
f x x x a
−≤= −> ．
①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________． 【答案】2，1a <−．
解析：由(
)323330x x x ′
−=−=，得1x =±
如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．
⑴ ()()max 12f x f =−=；
⑵ 当1a −≥时，()f x 有最大值()12f −=
； 当1a <−时，2x −在x a >时无最大值，且(
)
3
max
23a x x
−>−，所以，1a <−．
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第16题)已知函数12()1,0,0x
f x e x x <=>−，函数()f x 的图象在点
()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则
||
||
AM BN 取值范围是_______． 【答案】()0,1
解析:由题意，()10
11,0,x
x x
e x
f x e e x <= −−−≥ =
，则()0,,0x x x f x e e x − =<> ′ ，
所以点()11,1x A x e −和点()
22,1x
B x e −，12,x x AM BN k e k e =−=,所以12121,0x x e e x x −⋅=−+=，所以()()111111,0:,11x x x x e e x x e AM e y M x −+=−−−+，所以
AM =
同理B N =
所以
()10,1x e N
AM
B =∈=．故答案为()0,1．
题型六：定积分
1．(2014高考数学陕西理科·第3题)定积分1
0(2)x x e dx +∫的值为
( )
A ．2e +
B ．1e +
C ．e
D ．1e −
【答案】C
解析: 10
(2)=x x e dx +∫212120
0[]|(1)(0)x x e e e e +=+−+=，故选C ．
2．(2014高考数学山东理科·第6题)直线4y x =与曲线3
y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为
( )
A
． B
． C ．2
D ．4
【答案】D
解析：由题意知2
3242
00
1(4)(2)|44
S x x dx x x =−=−
=∫
． 3．(2014
高考数学江西理科·第
8
题)若则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．1
【答案】 B 分析:设
,则因此
4．(2014高考数学湖北理科·第6题)若函数)(x f 、)(x g 满足
∫
−=1
1
0)()(dx x g x f ，则称)(x f 、)(x g 在
区间]1,1[−上的一组正交函数，给出三组函数：①x x f sin 2
1
)(=
，x x g cos 21)(=；②1)(+=x x f ，
1)(−=x x g ；③x x f =)(，2)(x x g =．其中为区间]1,1[−上的正交函数的组数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 解析：对于①，
1111
111111sin cos sin sin 2222x xdx xdx xdx −−−⋅==∫∫∫
＝11
11(cos ){cos 1[cos(1)]}22x −−=−−−− ＝1
(cos1cos1)2
−+ ＝0．
1
2
()2(),f x
x f x dx =+∫
1
()f x dx =
∫
1−1
3
−13
1
()f x dx m =∫
2()2,f x x m =+1
31
1
2
00
1()(2)(2)2,33x m f x dx x m dx mx m ==+=+=+∫∫1.3
m =−
故①为一组正交函数；
对于②，
11211(1)(1)(1)x x dx x dx −−+−=−∫∫ ＝31111111333x x − −=−−−+ ＝242=033
−≠， 故②不是一组正交函数； 对于③，1
213
411111()04
x x dx x dx x −−−⋅===∫∫． 故③为一组正交函数，故选C ． 二、填空题 1．(2015高考数学天津理科·第11题)曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积
为 ． 【答案】 解析：在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，
由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积
2．(2015高考数学湖南理科·第11题)20(1)x dx ∫−=
． 【答案】0．
分析：0)21()1(222
00=−=−∫x x dx x ． 考点：定积分的计算．
【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解． 2y x =y x =16
2
y x y x
= = (0,0),(1,1)。