函数的极值与最大(小)值 高中数学人教A版2019选择性必修第二册

极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极

小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，

所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，

f(x)有最小值f(-2)=− .
所以，关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数由如下结论：


当a<−时，解为0个；当a=− 或a≥0时，解为1个；
x
x
x
x x -1
令s( x ) = 2 = 0，解得x = 1.
x
当x变化时，s′(x), s(x)的变化情况如下表：
x
s′(x)
s(x)
(0, 1)
−
单调递减
1
0
0
(1, +∞)
+
单调递增
∴当x=1时, s(x)取得最小值, 所以 s( x ) s(1) = 0, 即
1
1
- 1 + lnx 0 所以，当x > 0时，1 - lnx.
数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处
的导数值是多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负性
有什么规律？
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
以x=a，b两点为例，可以发现：
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他
点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧, f′(x)<0,
在区间[0, 3]上的图像得到直观验证.
一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小
值的步骤如下：
(1) 求函数y=f(x)在区间(a, b)上的极值；
(2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a) , f(b)
比较 , 其中最大的一个是最大值 , 最小的一个是最小值.
f′(x), f(x)的变化情况如下表所示.
∴ f(x)在区间(-∞, -2)上单调递减，在区间(-2, +∞)上单
调递增.

当x=-2时， f(x)有极小值f(-2)=− .
例7 给定函数f(x)=(x+1)ex.
(2)画出函数f(x)的大致图像；
解: (2) 令f(x)=0，解得x=−1.
以求出函数的最大值和最小值.
1 3
例 6 求函数f x = x - 4 x + 4 在 0, 3 上的最大值与最小值.
23
解 : 因为f x = x - 4 = x - 2 x + 2 .
令 f x = 0, 得 x = 2, 或 x = - 2 .
令f′(x)=0，解得x=−2.
f′(x), f(x)的变化情况如下表所示.
x
f′(x)
f(x)
(-∞, -2)
−
单调递减
−2
0
-


(-2, +∞)
+
单调递增
例7 给定函数f(x)=(x+1)ex.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
(2)画出函数f(x)的大致图像；
解：(1) f′(x)=(x+2)ex(x∈R).
根据以上信息，我们画出f(x)的大致图像如图所示.
例7 给定函数f(x)=(x+1)ex.
(2)画出函数f(x)的大致图像；
解: (2) 令f(x)=0，解得x=−1.
当x<-1时f(x)<0 , 当x>-1时，f(x)>0.

∴f(x)的图像经过点A(-2, −), B(-1, 0), C(0, 1). y
y
小值分别是什么？ y
y f x
y f x
a
o
x
b
o
a x1 x2 x3
x4
x5 b
x
一般地，如果在区间[a, b]上函数y=f (x)的图像是一条
连续曲线 , 它必有最大值和最小值.
结合上图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要
把函数y=f (x)的所有极值连同端点的函数值进行比较, 就可
x +1
当x -, f ( x ) = -x 0；
f ( x ) = ( x + 1)e x
e
当x→+∞时， f(x)→+∞，
1
f′(x) →+∞.
-2 -1
x
O 1
根据以上信息，我们画出
1
(-2, - 2 ) -1
f(x)的大致图像如图所示.
e
例7 给定函数f(x)=(x+1)ex.
(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性
质，而不是函数在整个定义域内的性质.
也就是说，如果x0是f(x)的极大(小)值点，那么在点x0
附近找不到比f(x0)更大(或更小)的值.
但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往
更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.
如果x0是f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于f(x)
右侧f′(x)>0.
探究！观察下图，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函
数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处
的导数值是多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负性
有什么规律？
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
类似的，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b
2
0
(－2,2)
－
单调递减↘
-
4
3
(2, +∞)
+
单调递增↗
1 3
例：求函数 f x = x - 4 x + 4 的极值.
3
当x变化时，f’ (x) , f(x)的变化情况如下表：
因此, 当x=-2时, f(x)有极大值, 并且极

大值为f(-2) = .
因此, 当x=2时 , f(x)有极小值, 并且
O
a
b
单调递减
h( t ) < 0
t
这就是说，在t=a附近，函数值先增(t<a, h′(t)>0 )后减
(t>a, h′(t)<0 ).
这样，当t在a的附近从小到大经过a时, h′(t)先正后负,
且h′(t)连续变化, 于是有h′(a)=0 .
对于一般函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢？
探究！观察下图，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函


当− <a<0时，解为2个；

由例7可见，函数 f(x)的图像直观地反映了函数 f(x)的
性质. 通常，可以按如下步骤画出函数 f(x)的大致图像:
探究！进一步，你能找出函数y=f (x)在区间[a, b]上的
最大值、最小值吗?
从图中可以看出，函数y=f (x)在区间[a, b]上的最小值
是f(x3)，最大值是f(a).
在下图中，观察[a, b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，
它们在[a, b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最
5.3.2函数的极值与最值
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数
的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为
0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
1.函数的极值
观察图, 我们发现, t=a时，高台跳水运动员距水面高度
最大．那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的
图像有什么特点？相应地= x - 4 x + 4 在 0, 3 上的最大值与最小值.
3


在区间[0, 3]上，函数f(x)有极小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，
函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，

最小值- .
3
上述结论可以从函数f(x)=x -4x+4
是极大值．
极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数
的极大值未必大于极小值.
1 3
例 求函数 f x = x - 4 x + 4 的极值.
1 33
解 : 因为f x = x - 4 x + 4 , 所以
3
2
f x = x - 4 = x - 2 x + 2 . 令 f x = 0, 得 x = 2, 或x = -2 .
(1) 如果在x0附近的左侧 f ′(x) >0, 右侧f ′(x) <0, 那
么, f(x0)是极大值;
(2) 如果在x0附近的左侧f ′(x) <0, 右侧f ′(x) >0, 那么,
f(x0)是极小值.
(3) 如果在x0附近的左侧与右侧的导数f ′(x)不变号
那么, x0不是函数的极值点.
2.函数的最大(小)值
h(a ) = 0
h
单调递增
h( t ) > 0
O
a
b
t
单调递减
h( t ) < 0
放大t=a附近函数h(t)的图像，可以看出，h′(a)=0；
在t=a的附近，当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0；
当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0.
h(a ) = 0
h
单调递增
h( t ) > 0
观察例4中的图，我们发现，当x>0时，有
1
1 - lnx
x
怎样证明这个结论呢?
1
我们将上述不等式转化为： - 1 + lnx 0
x
1
我们将上述不等式转化为： - 1 + lnx 0
x
1 1 x -1
1
设s( x ) = - 1 + lnx，那么 s( x ) = - 2 + = 2 ，
x
x
3.导数应用
下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关
的问题.
例7 给定函数f(x)=(x+1)ex.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
(2)画出函数f(x)的大致图像；
(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.
解：(1)函数的定义域为R.
f′(x)=(x+1)′ex+(x+1)(ex)′ =ex+(x+1)ex =(x+2)ex.
虽然f′(0)=0, 但由于无论x>0还是x<0, 恒有f′(x)>0;
即函数f(x)=x3是单调递增的, 所以x=0不是函数f(x)=x3
的极值点 .
一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)
在这点取极值的必要条件，而非充分条件 .
一般地，可按如下方法求函数y=f(x)极值：
求导数f ′(x)，解方程f ′(x) =0 . 当f ′(x0) =0时：
2

极小值为f(2) =3.
2 o
1 3
函数 f x = x - 4 x + 4 的图像如右图所示.
3
1 3
y f x = x - 4x + 4
3
x
思考？导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
可导函数的极值点一定使它的导数为零，反之，导
数值为零的点，不一定是该函数的极值点.
例如，函数f(x)=x3，我们有f′(x)=3x2.
下面分两种情况讨论 :
1 当f x > 0, 即x > 2, 或 x < -2 时 ;
2 当f x < 0, 即 2 < x < 2 时 ;
当x变化时，f’ (x), f(x)的变化情况如下表：
x
f (x)
(－∞, －2) －2
+
0
f (x)
单调递增↗
28
3
当x<-1时f(x)<0 , 当x>-1时，f(x)>0.

∴f(x)的图像经过特殊点A(-2, −), B(-1, 0), C(0, 1).
当x→−∞时，与一次函数相比，指数函数y=e-x呈爆
炸性增长；
x +1
x
从而f ( x ) = ( x + 1)e = -x 0；
e
当x→+∞时， f(x)→+∞，f′(x) →+∞.
在相应区间上的所有函数值.
下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图像，你能找出它的极
y
大值、极小值吗？
y=f(x)
O
a x1x2x3 x4 x5
x6
b x
观察图像，我们发现，f(x1)、f(x3)、f(x5)是函数y=f(x)
极小值，f(x2)、f(x4)、f(x6)是函数y=f(x)的极大值.