高考数学专题01经典母题30题(理)-高考数学走出题海之黄金30题系列(解析板).docx

一、选择题
1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )． A ．¬p ：∃x0∈R ，sin x0≥1 B ．¬p ：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ．¬p ：∃x0∈R ，sin x0>1 D ．¬p ：∀x ∈R ，sin x>1 【答案】C
【解析】命题p 是全称命题，全称命题的否定是特称命题． 【考点定位】全称命题与全称命题.
2．已知集合A={y|y=lg(x-3)},B={a|a 2
-a+3>0},则“x>4”是“A B ”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知复数2
1i z i
=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
4．已知3log 4.12a =，3log 2.7
2b =，3log 0.1
12c ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
则( )
A ．a>b>c
B ．b>a>c
C ．a>c>b
D ．c>a>b
【答案】D
【考点定位】指对数比较大小
5．函数()323922y x x x x =---<<有( )
A ．极大值5，极小值27-
B ．极大值5，极小值11-
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值27-，无极大值 【答案】C
6．函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
的图象大致是( )
【答案】A
【解析】因为()()sin()sin sin ln ln ln sin()sin sin x x x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫----+-⎛⎫⎛⎫
-====
⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,
7．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C
【解析】由题意，知函数()f x 的定义域为0+∞（，）．由函数零点的定义， ()f x 在0+∞（，）
内的零点即是方程2ln 0x x --=的根．令12y x =-，2ln 0y x x =>（），在一个坐标系中画出两个函数的图象，如图
所示．
由图知两个函数图象有两个学科网交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点，故选C ． 【考点定位】1、函数的零点；2、函数的图象．zxxk 学 科 网
8．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（ ）
A ．
)32sin(2π
+
=x y B ．
)322sin(2π+
=x y
C
)32sin(2π-=x y D ．)
32sin(2π
-=x y 【答案】B
9．在ABC ∆中，3,1,cos cos c a a B b A ===，则AC CB ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．
21 B ．23 C ．21
- D ．2
3- 【答案】A
【考点定位】正余弦定理，向量的数量积运算．
10．已知等差数列{a n }，且3（a 3+a 5）+2(a 7+a 10+a 13)=48,则数列{a n }的前13项之和为（ ） A.24 B.39 C.104 D.52 【答案】D
【考点】等差数列的性质和前n 项和.
11．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）
A ．若a b >，则2
2
ac bc > B ．若0a b <<，则2
2
a a
b b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b
> 【答案】B
【考点定位】不等式的基本性质.
12．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是 ( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C
【考点定位】直线与平面的位置关系. zxxk 学 科 网
13．一个正三棱柱的三视图如图所示，这个三棱柱的侧(左)视图的面积为36则这个三棱柱的体积为 ( )
A．12 B．16 C．8 3 D．12 3 【答案】D
【考点定位】1三视图；2柱体的体积。

14．已知双曲线
22
22
1
x y
a b
-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：
2的两部分，则双曲线的离心率为（）
A. 3
B. 23
C. 5
D.
5
【答案】B
【考点定位】点到直线距离，双曲线的渐近线
15．执行如图所示的程序框图，若输入n=10,则输出的S= ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点定位】程序框图.
16．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）
A. 计算数列{2n-1}的前10项和
B. 计算数列{2n-1
}的前9项和 C. 计算数列{2n
-1}的前10项和 D. 计算数列{2n
-1}的前9项和 【答案】A 【解析】
【考点定位】程序框图. zxxk 学 科 网 二、填空题
17．已知0,0x y >>，
1221
x y +=+，则2x y +的最小值为 .
【答案】
3
且仅当
41
1
12
2
1
x
y
y x
x y
+
⎧
=
⎪+
⎪
⎨
⎪+=
⎪+
⎩
即
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
时等号成立）.
【考点定位】基本不等式及其应用.
18．点(,)
M x y是不等式组
03
3
3
x
y
x y
⎧≤≤
⎪
≤
⎨
⎪
≤
⎩
表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20
x y m
-+≥总成立，
则m的取值范围是________________.
【答案】3
m≥
【考点定位】简单的线性规划和转化思想.
19．在三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC-中侧棱垂直于底面，ο
90
=
∠ACB，ο
30
=
∠BAC，1
=
BC，且三棱柱1
1
1
C
B
A
ABC-的体积为3，则三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC-的外接球的表面积为．
【答案】16π
【考点定位】直三棱柱的几何特征，球的表面积.
三、解答题
20．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
且1
cos
22
A C +=． （1）若3a =，7b =
，求c 的值；
（2）若()(
)
sin 3cos sin f A A
A A =-，求()f A 的取值范围．
【答案】(1)1c =或2c =；（2）31,22⎛⎤
- ⎥⎝⎦
． 【解析】
1()sin(2)62f A A π=+-，接下来我们只要把26
A π
+作为一个整体，求学科网出它的范围，就可借助于正
弦函数求出()f A 的取值范围了．
试题解析：（1）在△ABC 中，A B C π++=． 所以cos
cos 22A C B π+-=1sin 22B ==．26B π=，所以3
B π=． 3分
【考点定位】（1）余弦定理；（2）二倍角公式与降幂公式，三角函数的取值范围
21．已知向量1
(cos ,1),(3sin ,)2
m x n x =-=-u r r ,设函数()()f x m n m =+⋅u r r u r .
(1).求函数f(x)的最小正周期;
(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,3c =，且()f A 恰是函数f(x)在
[0,]
2π
上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.
【答案】（1）π；（2）6
A π
=，1=b 或2=b ，34S =
或3
2
S =. 【解析】
试题解析：（1）=)(x f m n m ⋅+)(2
3
2sin 2322cos 123cos sin 3cos 2
+++=+
+=x x x x x
262sin 22sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=
πx x x 4分 因为2=ω，所以最小正周期ππ
==2
2T . 6分 （2）由（1）知262sin )(+⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=πx x f ，当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时，67626πππ≤
+≤x .
【考点定位】平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积. 22．寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”. （I ）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；
（II ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望.
【答案】(1)121140 (2)9
4
【解析】 试题分析：
试题解析：
(3)p ξ=3327
()464
==
，……………10分 所以ξ的分布列为：
E ξ=
19272714490+1+2+3==64646464644
⨯⨯⨯⨯……………12分 23．为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下： ①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；
ξ 0
1
2
3
P
1
64
964
2764
2764
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；
④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算）
已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用
时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5 ，租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3.
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ
（Ⅱ）据题意ξ的可能取值为：0,1,2,3,4 其中0ξ=表示甲乙的付车费均为0元，即事件11A B 发生；
1ξ=表示甲乙共付1元车费，即甲付1元乙付0元或甲付0元乙付1元，即事件1221A B A B + 2ξ=表示甲乙共付2元车费，即甲付1元乙付1元或甲付0元乙付2元或甲付2元乙付0元，
即事件221331A B A B A B ++
3ξ=表示甲乙共付3元车费，学科网即甲付1元乙付2元或甲付2元乙付1元，即事件2332A B A B + 4ξ=表示甲乙共付4元车费，即甲付2元乙付2元，即事件33A B
由此可求出随机变量ξ 的分布列，并由公式求出E ξ . 试题解析：
ξ 0 1 2 3 4 P
0.2
0.37
0.28
0.13
0.02
ξ的数学期望00.210.3720.2830.1340.02 1.4E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,………………………11分 答：甲、乙两人所付租车费相同的概率为0.37，ξ的数学期望E ξ=1.4. …………12分 考点：1、互斥事件、独立事件、和事件；2、离散型随机变量的分布列与数学期望. 24．已知数列{}n a 是首项和公比均为
14的等比数列，设()
*
14
23log ,n n b a n N +=∈. {}n n n n c c a b =⋅数列满足
（1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析(2)2321()334
n
n n S +=-⨯ 【解析】 试题分析：
试题解析：
（1）由题意知，
1
()(*) 4
n
n
a n
=∈Ν， 2分
11
44
1
3log23log()232,
4
n
n n
b a n
∴=-=-=-
2321
()(*)
334
n
n
n
S n
+
∴=-⨯∈Ν. 12分
【考点定位】错位相减法等差数列等比数列
25．如图，在三棱锥ABC
P-中，直线⊥
PA平面ABC，且
︒
=
∠90
ABC，又点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，且点K是线段MN上的动点.
(1)证明：直线//QK 平面PAC ；
(2)若BC AB PA ==，求二面角Q AN M --的平面角的余弦值. 【答案】(1)参考解析；
(2)6 【解析】
则tan θ=
5QM
MH
=COS θ=66即为所求。

···········14分 方法2：以B 为原点，以BC 、BA 所在直线为x 轴y 轴建空间直角坐标系，设2PA AB BC === 则A （0,2,0），M （0,1，0），N （1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),
AQ uuu r =(0,-1,1),(1,2,0)AN =-u u u r
记(,,)n x y z AQN =r 为平面的一个法向量，则0200
n AQ y z
x y n AN ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩r u u u r
u u r u u u r
取12y z x ===则(2,1,1)n =r
又平面ANM 的一个法向量(0,0,1)m =u r ，所以cos θ=26
211
m n m n ⋅=
=⋅++u r r
u r r 即为所求。

14分
【考点定位】1.线面平行.2.面面平行.3.二面角的知识.
26．四棱锥P ABCD -底面是菱形，PA ABCD 平面⊥，60ABC ︒
∠=,,E F 分别是,BC PC 的中点.
（1）求证:平面AEF⊥平面PAD；
（2）H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45︒，求二面角E AF C
--的正切值.
【答案】（1）参考解析；（2）2 3
【解析】
（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ⊥面PAC，则∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.
过点A作AH⊥PD，连接EH，∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角.
∵∠AHE＝0
45，∴AH＝AE＝3a，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=3a﹒
22
(2)
PA a
+3a 3
,CQ=
1
2
a
33
,tan∠EGQ=
2
3
EQ
GQ
=.
【考点定位】1.面面垂直的判定.2.动点问题.3.二面角问题.
27．已知椭圆
22
22 :
1
x y
C
a b
+=()0
a b
>>
的右焦点F(1,0)，长轴的左、右端点分别为12
,A A
,且12
1
FA FA
⋅=-
u u u r u u u u r
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过焦点F斜率为k（0
>
k）的直线l交椭圆C于,A B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于D点. 试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）
2
21
2
x
y
+=；（2）22
k=
【解析】
所以椭圆C的方程为
2
21
2
x
y
+=.
（2）依题直线l的方程为(1)
y k x
=-.
由
22
(1),
22
y k x
x y
=-
⎧
⎨
+=
⎩
得()
2222
214220
k x k x k
+-+-=.
设
11
(,)
A x y,
22
(,)
B x y,弦AB的中点为
00
(,)
M x y，
则
2
122
4
21
k
x x
k
+=
+
，
2
122
2(1)
21
k
x x
k
-
=
+
，
2
02
2
21
k
x
k
=
+
，
02
21
k
y
k
-
=
+
，
【考点定位】1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.
28．已知椭圆22221x y a b
+=(a>b>0)经过点6，1)，离心率为2
2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点6，0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足2PA PB ⋅=-u u u r u u u r
，试问直线AB 是否恒过定点，
若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．
【答案】(1) 22
184x y += (2) 直线AB 经过定点26⎫⎪⎪⎝⎭
【解析】
试题分析：(1) 椭圆22221x y a b +=(a>b>0)经过点6，1)2261
1a b
⇒+= ,2222c e a =⇒= 且有222
a b c =+ ，通过解方程可得2
2
2
,,a b c 从而得椭圆的标准方程. zxxk 学 科 网
(2) 设()()1122,,,,A x y B x y 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为,y kx m =+
由()2222221428018
4y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+
=⎪⎩⇒ 2
121222428,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++
所以椭圆方程为22
184
x y +=. 4分 (2)解：①当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为,y kx m =+ zxxk 学 科 网
代入22
184
x y +=，消去y 整理得()
222214280k x kmx m +++-= 6分 由0∆>得22
840k m +->（*）
【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、向量的数量积；3、直线与椭圆的位置关系.
29．已知函数R a x
a x f x
∈+-=
ln 1)(
（1）求)(x f 的极值
（2）若()ln 0x
kx -<∞在0，+上恒成立，求k 的取值范围
（3）已知e x x R x x <+∈+
2121,是，求证：2121ln ln ln )(x
x x x +>+
【答案】（1）()f x 有极大值a
e
-（2）1
k e
>
（3）略 【解析】（1）2
ln (),()0x
a a f x f x x e x
-''===Q 令得 x
),0(a e
a e
),(+∞a e
()f x ' + 0 － )(x f
↗
极大值
↘
有极大值)(x f ∴e
（2）当1=a 时由（1）知e
x e x x f x x 1
ln 1ln )(≤=即有最大值 由),0(0ln +∞<-在kx x
恒成立即),0(ln +∞<在k x
x
上恒成立zxxk 学 科 网 e
k 1>∴
（3）由题意得0,0221121>>+>>>+>x x x e x x x e
又由（1）（2）知),0(ln )(e x x
f x
在=上单增 1
21)(1
21ln ln x x x x x x >+∴+ ① 2
21)(2
21ln ln x x x x x x >++ ② 则①×+1x ②×2x 得212121ln ln ln ln 2
1)
(221)(1x x x x x x x x x x x x +>+++++ 即2121ln ln ln )(x x x x +>+
【考点定位】1、导数；2、不等式. zxxk 学 科 网 30．已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++.
（1）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值；
（2）设()(1)g x a x =-，其中01a <<，判断方程()()f x g x =在区间[1,]e 上的解的个数（其中e 为无理数，约等于2.7182L 且有221e e e ->-）.
【答案】（1）1a ≤时，min [()](1)2f x f a ==-，1a e <<时，2min [()]()ln f x f a a a a a ==--+，a e ≥时，
2min [()]()2f x f e e ae e a ==--+；
（2）方程()()f x g x =在区间[1]e ，上存在唯一解.
【解析】
a e ≥时，2min [()]()2f x f e e ae e a ==--+
（2）令()()()h x f x g x =-()22ln x a x a x =-++ ()0x >
由()h x '()22a x a x =-++()222x a x a x -++=()()210x a x x --==，解得;1x =或2
x a =。