2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五课件：第3章 3.2 基本不等式与最大(小)值 第1课时

∴lg x·lg y≤4,当且仅当lg x=lg y=2时,等号成立. ∴lg x·lg y的最大值是4.
答案:A
12345
4若a+2b-1=0,则y=2a+4b的最小值是
.
解析:∵a+2b-1=0,∴a+2b=1.
∴y=2a+4b≥2 2������ ·4������ = 2 2������+2������ = 2 2,
+
1 -������
≤-2
(-������)·-1������=-2.
故 x+���1���有最大值-2.
答案大 -2
12345
1
若
x>0,则
4x+
1 ������
的最小值为(
).
A.2B.4C.2 2D. 8
解析:∵x>0,∴4x+
1 ������
≥
2
4������·1������
=
4,
当且仅当4x=
B.25
C.5
D.2 10
解析:a+b≥2 ������������ = 2 10, 当且仅当a=b= 10时,等号成立.
答案:D
题型一 题型二 题型三
题型一 求代数式的最值
【例 1】
(1)已知
x>0,y>0,且
1 ������
+
9 ������
= 1, 则������ + ������的最小值是
������ ������
������ ������
= 6 + 10 = 16,
当且仅当 ������ = 9������ , 且 1 + 9 = 1,
������ ������
������ ������
即 x=4,y=12 时,等号成立,此时(x+y)min=16.
(2)xy= 16·2x·3y≤16
,
∴
1
−
3������
>
0.
∴y=x(1-3x)= 1 × 3������(1 − 3������) ≤ 1 3������+(1-3������) 2 = 1 ,
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3
3
2
12
当且仅当
3x=1-3x,即
x=
1 6
时,等号成立.
∴当
x=
1 6
时,函数取得最大值
1.
12
题型一 题型二 题型三
反思利用基本不等式求最值,关键是把握基本不等式成立的三个 条件,即“一正、二定、三相等”.在利用基本不等式求某些函数的最 值时,必须注意函数的解析式或变形式能否符合使用基本不等式的 前提.
−
4≤-2-4=-6,当且仅当
x-4=
1 ������-4
,
即x=5 时,等号成立.
答案:A
12345
3已知x>1,y>1且lg x+lg y=4,则lg x·lg y的最大值是( )
A.4
B.2
C.1
D. 1
4
解析:∵x>1,y>1,∴lg x>0,lg y>0.
∴lg x+lg y=4≥2 lg������·lg������,
故当 x=5,y=2 时,umax=1.
题型一 题型二 题型三
(2)由已知得 xy=100,且 x>0,y>0, 5x+2y≥2 10������������ = 2 103 = 20 10. 当且仅当 5x=2y=10 10, 即 x=2 10, ������ = 5 10时,等号成立. 所以 5x+2y 的最小值为 20 10.
当且仅当
a=
1 2
,
������
=
1 4
时,等号成立.
∴y=2a+4b 的最小值为 2 2.
答案:2 2
12345
5(1)已知 x>-1,求 y=x+������+11的最小值; (2)已知 x>0,y>0,且 5x+7y=20,求 xy 的最大值.
解:(1)∵x>-1,∴x+1>0.
∴y=x+������+11=x+1+������+11-1≥2 (������ + 1)·������+11-1=2-1=1,
+ 4.
∵5-4x+
1 5-4������
≥
2
(5-4������)·5-14������ = 2,
∴y≤-2+4=2,当且仅当
5-4x=
1 5-4������
,
即x=1
时,等号成立.
∴当 x=1 时,函数取得最大值 2.
题型一 题型二 题型三
题型三 易错辨析
易错点:忽视不等式成立的条件而致误
【例 3】 若 x<0,则 x+1有最
2������ +3������ 2
2 =1×1= 1,
6 4 24
当且仅当 2x=3y,且 答案:(1)16 (2) 1
2x+3y=1,即
x=
1 4
,
������
=
1 6
时,等号成立.
24
题型一 题型二 题型三
反思由 x+y≥2 ������������(������ > 0, ������ > 0)知,和为定值时,积有最大值;积为 定值时,和有最小值.
.
(2)已知x>0,y>0,且2x+3y=1,则xy的最大值为
.
解析:(1)∵x>0,y>0, 1 + 9 = 1,
������ ������
∴x+y= 1 + 9 ������ + ������ = ������ + 9������ + 10 ≥ 2 ������ ·9������ + 10
������ ������
∴xy 的最大值为270.
题型一 题型二 题型三
题型二 求函数的最值
【例 2】
已知
0<x<
1 3
,
求函数������
=
������(1
−
3������)的最大值.
分析:利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应
对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等
方法创设应用基本不等式的条件.
解:∵0<x<
1 3
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 已知x>0,y>0.
(1)若2x+5y=20,求u=lg x+lg y的最大值;
(2)若lg x+lg y=2,求5x+2y的最小值.
解:(1)∵x>0,y>0,
∴2x+5y≥2 2������·5������ = 2 10 · ������������.
又 2x+5y=20,∴20≥2 10 · ������������,
值,是
.
������
错解∵x+���1���≥2 ������·���1���=2,∴x+���1���有最小值 2.
答案小 2
错因分析不等式 a+b≥2 ������������成立的条件是 a>0,b>0.错解中忽 视了这个条件,导致出错.
正解∵x<0,
∴x+���1���=-
(-������)
第1课时 利用基本不等式求最值
1.熟练掌握基本不等式的用法. 2.能够利用基本不等式求最大(小)值.
已知 x,y 都是正数,则 (1)若 x+y=s(和为定值),则当且仅当 x=y 时, 积 xy 取得最大值 ������2 ;
4
(2)若 xy=p(积为定值),则当且仅当 x=y 时,
和 x+y 取得最小值2 ������.
当且仅当 x+1=������+11,即 x=0 时,等号成立.
∴y=x+������+11的最小值为 1. (2)∵x>0,y>0,5x+7y=20,
∴xy=315×(5x·7y)≤315 ×
5������+7������ 2
2=315 ×
20 2
2 = 270,
当且仅当 5x=7y=10,即 x=2,y=170时,等号成立.
【做一做1】 设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是
( ).
A.400 B.100 C.40 D.20
解析:xy≤
������ +������
2
= 400, 当且仅当x=y=20 时,等号成立.
2
答案:A
【做一做2】 已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值是( ).
A.10
1 ������
,
即x=
1 2
时,等号
成立.
答案:B
12345
2 若 x>4,则函数 y=-x+ 1 ( ).
4-������
A.有最大值-6 B.有最小值6
C.有最大值-2 D.有最小值2
解析:∵x>4,∴x-4>0.
∴y=-x+
1 4-������
=
−
(������-4)
+
1 ������-4
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】
已知 x<
5 , 求函数������
4
=
4������ − 1 + 1 的最大值.
4������-5
解:∵x< 5 , ∴ 4������ − 5 < 0, ∴ 5 − 4������ > 0.
4
∴y=4x-1+
1 4������-5
=
−
5-4������
+
1 5-4������
∴ ������������ ≤ 10, ∴ ������������≤10,
当且仅当 2x=5y 时,等号成立.
由
2������ 2������
= +
5������, 5������ =
20,
解得
������ = 5, ������ = 2.
所以,当 x=5,y=2 时,xy 有最大值 10.
又 u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1,