天津市南开中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

天津市南开中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
C ．()0,2
D ．()()
2,02,-+¥U
且()()67,225g g -=--=，
若()y g x =与y a =有三个不同的交点，则725a -<<，
所以整数a 的个数为31.
故答案为：31.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．
17．20,12
-【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而确定最值.
【详解】由题意可得：()[]2123,3,3f x x x Î-¢=-，
令()0f x ¢>，解得22x -<<；令()0f x ¢<，解得32x -£<-或23x <£；
则函数()f x 在()2,2-上单调递增，在[)(]3,2,2,3--上单调递减，
且()()()()35,212,220,313f f f f -=--=-==，
因为()()()()32,23f f f f -<-<，
所以当2x =时，()f x 取到最大值20，当2x =-时，()f x 取到最小值12-.
18．答案见详解
【分析】求导，讨论m 的正负以及ln m -与0的大小，利用导数判断原函数的单调性与极值.
【详解】由题意可得：()()2e 22e 1x x f x mx x x m ¢=-=-，
（i ）当0m £时，则e 10x m -<，
令()0f x ¢>，解得0x <；令()0f x ¢<，解得0x >；
可得()f x 的单调递增区间为(),0¥-，单调递减区间为(),0¥-，()f x 有极大值()022f m =-，无极小值；
（ⅱ）当0m >时，令()0f x ¢=，解得0x =或ln x m =-，
①当ln 0m ->，即01m <<时，令()0f x ¢>，解得0x <或ln x m >-；令()0f x ¢<，解得0ln x m <<-；
可得()f x 的单调递增区间为()(),0,ln ,m -¥-+¥，单调递减区间为()0,ln m -，()f x 有极大值()022f m =-，极小值()2ln ln 2ln f m m m -=--；
②当ln 0m -=，即1m =时，则()()2e 10x f x x ¢=-³，
可得()f x 的单调递增区间为(),-¥+¥，无极值；
③当ln 0m -<，即1m >时，令()0f x ¢>，解得0x >或ln x m <-；令()0f x ¢<，解得
（2）构造新的函数h(x)；
（3）利用导数研究h(x)的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。