人教版数学九年级上册《24.1.3 弧、弦、圆心角》课件精品

圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB.
B
任意给圆心角，对应出现三个量：
O
A
弧
圆心角
弦
想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？
二 圆心角、弧、弦之间的关系 合作探究 观察：1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的 图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
180° A
重合，
圆是中心对称图形
2. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆 重合吗？
在同圆或等圆中
关系结构图
温馨提示：一条弦对 应两条弧，由弦相等 得到弧相等时需要区 分优弧和劣弧.
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件
“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OCA
辨一辨 判断正误： (1) 等弦所对的弧相等.
（× ）
B
O·
D
C
（4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那
么 OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF. 理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE 1 AB，CF 1 CD.
2
2
∵ AB = CD，∴ AE = CF.
∵ OA = OC，
A
E
B
Байду номын сангаасO·
D
F C
A
O·
B ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
例2 如图，在☉O 中，AB =AC ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
证明：∵ AB = AC ，
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
O
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.B
D A
∴ AB=CD.
变式1 如图，在⊙O 中，AD = BC．求证：DC = AB．
证明：∵ AD = BC，∴ AD BC.
AC
∴ AD AC BC AC.
∴劣弧CD 劣弧AB. ∴ DC = AB．
O
D
B
变式2 如上图，在⊙O 中，DC = AB．求证：AD = BC. 证明：∵ DC = AB，∴劣弧CD 劣弧AB.
( (
（1）如果 AB = CD，那么_A_B__=__C_D__，∠__A_O__B__=_∠__COD__；
(
(
（2）如果 AB = CD ，那么_A_B__=__C_D__，∠AOB =∠COD ；
（3）如果∠AOB =∠COD，
(
(
那么_A_B__=__C_D__，_A_B__=__C_D_； A
O·
A
从而 AB CD，AB = CD.
在等圆中探究
问题2 如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB ＝∠CO′D，
你发现的等量关系是否依然成立？
A
B
归纳 通过平移
C
D 和旋转将两个等
圆变成同一个圆
·
O·′
，我们发现：如 果∠AOB
O
=∠COAB′D，C那D 么
，弦 AB = 弦
CD.
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
且 BD∥OC．求证：AC CD．
证明：∵ OB = OD，
A
∴∠D =∠B. ∵ BD∥OC， ∴∠D =∠COD，∠AOC =∠B. ∴∠AOC =∠COD.
C
O
D
B
∴ AC CD.
∴ Rt△AOE≌Rt△COF (HL). ∴ OE = OF.
4. 已知：如图，A、B、C、D 在⊙O 上，AB = CD． 求证：∠AOC =∠BOD．
证明：∵ AB = CD， ∴∠AOB =∠COD.
A
O
D
∴∠AOB－∠BOC =∠COD－∠BOC，
即∠AOC =∠BOD．
C
B
5. 如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，
导入新课
情境引入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块， 你会分吗？
讲授新课
一 圆心角的定义 观察在⊙O 中，这些角有什么共同特点？
A
O·
O
B
A
B
顶点在圆心上
定义：顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB .
练一练
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB .
人教版数学九年级上册教学课件
第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
学习目标
1. 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转 不变性； 2. 探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解 决相关问题；（重点） 3. 理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆 或等圆”条件的意义.（难点）
α
·
O
重合.圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
在同圆中探究
问题1 在⊙O 中，如果圆心角∠AOB =∠COD，那么 AB
与 CD，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？
因为将圆绕圆心旋转任一角度都能
与自身重合，所以可将 ⊙O 绕圆心
旋转，使点 A 与点 C 重合.
D
C B
由于∠AOB =∠COD， 因此，点 B 与点 D 重合.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
CB
D
O
A ①∠AOB = ∠COD
② AB CD ③ AB = CD
类比探究可得 弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们 所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
C
∴∠AOB =∠BOC =∠AOC.
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化
是解决圆相关问题的重要法宝.
例3 如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条弦，AD BC .
求证：AB = CD. 证明：∵ AD BC ， ∴ AD BD BC BD.
∴劣弧AB 劣弧CD.
C B
. O
∴CD AC AB AC.
∴ AD BC. ∴ AD = BC.
当堂练习
1. 如果两个圆心角相等，那么 A．这两个圆心角所对的弦相等
( D)
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦和弧分别相等
D．以上说法都不对
2. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
3. 如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦．
(2) 等弧所对的弦相等.
（√ ）
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ × ）
三 圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用
典例精析 例1 如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE，
∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
ED 解： ∵ BC=CD=DE，
C
∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°.