山西省朔州市怀仁县第一中学2024学年高三第三次调查研究考试数学试题

山西省朔州市怀仁县第一中学2024学年高三第三次调查研究考试数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．由曲线3,y x y x ==
围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．
512 B ．
13
C ．
14
D ．
12
2．已知双曲线C ：22221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22
(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲
线的一条渐近线截得的弦长为22，则双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
3．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．函数()3
2
f x x x x =-+的图象在点()()
1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
5．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A 2
B ．2
C 10
D ．10
6．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '
，当0x ≥时，恒有
())03
(x
f f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．
A ．{|31}x x -<<-
B ．1{|1}3
x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-
D ．{|1x x <-或1}3
x >-
7．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
8．直线1y kx =+与抛物线C ：2
4x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( )
A ．94-
B ．274-
C ．3227
-
D ．6427
-
9．
231+=-i
i
（ ） A ．15i 22
-
+ B ．1522
i -
- C ．
5522
i + D ．
5122
i - 10．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线2
2y px =的焦点重合，且椭圆与
抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
2
B 1
C ．3-
D 1
11．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．
c c a b
> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜
D ．11()()2
2
a
b
<
12．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．64种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，圆()()2
22:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.
14．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则()|P A B 的值为______.
15．已知数列{}n a 满足：点(),n n a 在直线210x y -+=上，若使1a 、4a 、m a 构成等比数列，则m =______
16．若曲线()ln x
f x ae x =-（其中常数0a ≠）在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则a =________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2x m y m
⎧=⎨
=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN
+的值. 18．（12分）以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为
4cos 8sin ρθθ=+，P 是1C 上一动点，2OP OQ =，点Q 的轨迹为2C ．
（1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （2）若点(0,1)M ，直线l 的参数方程cos 1sin x t y t α
α=⎧⎨=+⎩
（t 为参数），直线l 与曲线2C 的交点为A B ，，当MA MB +取
最小值时，求直线l 的普通方程．
19．（12分）已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +->，求a 的取值范围； （2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈-∞-，不等式3(2
)4f x y y a
≤+
++恒成立，求a 的取值范围． 20．（12分）设数列{}n a 是等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知121,4T T ==, (1)求数列{}n a 的首
项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式．
21．（12分）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上
方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交
y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求e 的值.
（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且2
2
k <-，是否存在k 使得2AB AC =成立？如果存在，求出k 的值；
如果不存在，请说明理由.
22．（10分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）.
（Ⅰ）证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；
（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --6
N 点位置；若不存在，说明理由. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解题分析】
先计算出两个图像的交点分别为()()0,0,1,1，再利用定积分算两个图形围成的面积. 【题目详解】 封闭图形的面积为)
1
33
14120
00
215
||3412
x x dx x x =-=⎰.选A. 【题目点拨】
本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取. 2．A 【解题分析】
由已知，圆心M 32
2
3a b
=
+，又222c a b ==+，解方程即可.
【题目详解】
由已知，2c =，渐近线方程为0bx ay ±=，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22， 所以圆心M 到渐近线的距离为22(2)3r -=22
22b b
b c
a b ==
=+，故221a c b =-=， 所以离心率为2c
e a
==. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题. 3．A 【解题分析】
设球心为，三棱柱的上底面
的内切圆的圆心为
，该圆与边
切于点，根据球的几何性质可得
为
直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．
【题目详解】 如图，设三棱柱为，且
，高． 所以底面为斜边是
的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆
与边
切于点，
则圆
的半径为
．
设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，
所以
，
即球的半径为，
所以球的体积为．
故选A ． 【题目点拨】
本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：
（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径
，合理利用中间结论可提高解
题的效率． 4．A 【解题分析】
求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()
1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距. 【题目详解】
()2321f x x x '=-+，故()12f '=，
所以曲线()y f x =在()()
1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-. 令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题. 5．A 【解题分析】
根据复数1z 的几何意义得出复数1z ，进而得出1z ，由122z z ⋅=-得出21
2
z z =-可计算出2z ，由此可计算出2z . 【题目详解】
由于复数1z 对应复平面上的点()1,1--，11z i ∴=--，则11z i =-+，
122z z ⋅=-，()()()
212122
1111i z i i i i z +∴=-
===+--+，因此，222112z =+=故选：A. 【题目点拨】
本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 6．D 【解题分析】
先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33
x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【题目详解】
构造函数()()33
x f x g x =，
则()()()()()32
2'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33
x f x g x =在0x ≥时为增函数；
由3
x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33
x f x g x =为偶函数；
又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33
()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数
所以|||12|x x <+，解得1x <-或13
x >- 故选：D 【题目点拨】
此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 7．A 【解题分析】
试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++
2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或11
2
d =-
（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质. 8．D 【解题分析】
设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值． 【题目详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，联立21
4y kx x y
=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=
则124x x k +=，()2
1212242y y k x x k +=++=+
则2
1244AB y y p k =++=+
由2
4x y =，得2
4
x y =
12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则
01
2
x k = 02x k ⇒=，20y k =
则点P 到直线1y kx =+的距离1d ≥
从而()
21
212
S AB d k =
⋅=+()()
()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．
令()3
2
24f x x x =- ()()2
681f x x x x ⇒-'=≥
当413
x ≤≤
时，()0f x '<；当4
3x >时，()0f x '>
故()min 464327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，即S AB -的最小值为64
27- 本题正确选项：D 【题目点拨】
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值. 9．A 【解题分析】
分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【题目详解】 解:
23(23)(1)15
1(1)(1)22
i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【题目点拨】
本题考查复数的除法运算,属于基础题. 10．B
根据题意可得易知2p c =，且222222222
4
44p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
，解方程可得22
223412a p b p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，再利用22
2c e a =即可求解. 【题目详解】
易知2p c =
，且222
2222222222
34
4
1442a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=
⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩
故有2
2
23c e a
==-
1e ==
故选：B 【题目点拨】
本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题 11．C 【解题分析】
A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【题目详解】
解：对于,A 实数0a b <<， 11,c c
a b a b
∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．
对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出． 对于.D 指数函数1()2
x
y =单调递减性质，因此不成立． 故选：C ． 【题目点拨】
利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 12．C 【解题分析】
根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①，将4人分成3组，有2
46C =种分法；
②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，
将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有2
2
2A =种情况， 此时有224⨯=种情况，
则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
． 【解题分析】 设1l ：0kx
y ，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子
r =⎪=⎪⎩
，求出k 的值即可. 【题目详解】
解：由圆()()2
22:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .
设直线1l ：0kx y ，则2l ：0x ky +=，
圆心(),0C m 到直线1l
，
OD =
AB OD =
∴AB =.
圆心(),0C m 到直线2l
r =，
并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩
，
解得k =.
故答案为：. 【题目点拨】
本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.
14．29
【解题分析】
根据条件概率的求法，分别求得()(),P B P AB ，再代入条件概率公式求解.
【题目详解】
根据题意得()()333443276,42564256
A P
B P AB ==== 所以()()()2|9P AB P A B P B =
= 故答案为：
29 【题目点拨】
本题主要考查条件概率的求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
15．13
【解题分析】
根据点在直线上可求得n a ，由等比中项的定义可构造方程求得结果.
【题目详解】
(),n n a 在210x y -+=上，21n a n ∴=+，
14,,m a a a 成等比数列，241m a a a ∴=，即()81321m =+，解得：13m =.
故答案为：13.
【题目点拨】
本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题.
16．2e
【解题分析】
利用导数的几何意义，由'(1)1f =解方程即可.
【题目详解】 由已知，'1()e x f x a x
=-，所以'1(1)e 11f a =-=，解得2e a =. 故答案为：2e
. 【题目点拨】
本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为10x y --=；曲线C 的普通方程为24y x =；（Ⅱ）
47
. 【解题分析】
（I ）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（II
）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得121214t t t t +==-，而根据直线参数方程的几何意义，知
212221112
11111t t t PM PN t t t t t t t ++=+===-，代入即可解决.
【题目详解】 ()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ==
可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --=
由曲线C 的参数方程，消去参数,m
可得曲线C 的普通方程为2
4y x =. ()II 易知点()2,1
P 在直线l 上，直线l
的参数方程为2212
x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).
将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，并整理得2140t --=.
设
12,t t 是方程2140t
--=的两根，则有121214t t t t +==-.
21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-
47
==
【题目点拨】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.
18．（1）2cos 4sin ρθθ=+，()()22125x y -+-=；（2）10x y +-=.
【解题分析】
（1）设点,P Q 极坐标分别为()0,ρθ,(),ρθ，由2OP OQ =可得012cos 4sin 2ρρθθ=
=+,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程；
（2）设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则1=MA t ，2=MB t ，将直线l 的参数方程代入2C 的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得()122cos sin t t αα+=+，123t t =-
，则1212MA MB t t t t -+=+==MA MB +取最小值时α符合的条件,进而求得直线l 的普通方程.
【题目详解】
（1）设点,P Q 极坐标分别为()0,ρθ，(),ρθ，
因为2OP OQ =,则012cos 4sin 2
ρρθθ==+， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，
两边同乘ρ,得2
2cos 4s in ρρθρθ=+， 所以2C 的直角坐标方程为2224x y x y +=+,即()()22
125x y -+-=. （2）设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则1=MA t ,2=MB t ，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩
（t 参数），代入2C 的直角坐标方程()()22125x y -+-=中，整理得()2
2cos sin 30t t αα-+-=. 由韦达定理得()122cos sin t t αα+=+，123t t =-，
所以
1212MA MB t t t t +=+===-=≥当sin 21α=-时，等号成立，则tan 1α=-，
所以当MA MB +取得最小值时，直线l 的普通方程为10x y +-=.
【题目点拨】
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系．
19．（1）12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）[)3,0-.
【解题分析】
（1）分类讨论1a ≤-，11a -<<，1a ≥，即可得出结果；
（2）先由题意，将问题转化为3))42((max min f x y a y ≤+
++即可，再求出()max f x ，423a y y +++的最小值，解不等式即可得出结果.
【题目详解】
（1）由()()111f f +->得111a a +-->，
若1a ≤-，则111a a --+->，显然不成立；
若11a -<<，则111a a ++->，12
a >，即112a ＜＜； 若1a ≥，则111a a +-+>，即21>，显然成立，
综上所述，a 的取值范围是12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，
． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42((max min f x y a y ≤+
++， 当(,]x a ∈-∞-时，()()f x x x a =-+，所以2()24
max a a f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 因为22
3344a y y a +++≥-， 所以23442
a a ≤-，解得31a -≤≤，结合0a <， 所以a 的取值范围是[)3,0-．
【题目点拨】
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
20． (1)11{2
a q ==（2）122n n T n +=-- 【解题分析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握． （1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q+q 2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求a n =a 1•q n-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和
解：（1）112121{24T a T a a ===+=121{2
a a =⇒=2q ⇒=11{2a q =∴= （2）12n n a ，
2211(1)2(2)22212n n n T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++⋅+⋅
23122(1)2(2)22212n n n T n n n -=⋅+-⋅+-⋅+
+⋅+⋅ 两式相减：122n n T n +=--
21．（1）12
e =；（2）不存在，理由见解析 【解题分析】
（1）写出2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率； （2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，利用等
AB AC =即可得解.
【题目详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D . 点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB k k =-，2221310b b b a a a a c c a
--⋅=--- 化简得：22230c ac a -+=，
即22310e e -+=，解得12
e =或1e =（舍去），
所以12
e =； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=， 由（1
）可得1,,:22A AB y kx k ⎛
=-+ ⎝⎭
，2k <-
联立2212
2x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
2222212210k k x x k k +-+--=， 设B 的横坐标B x
，根据韦达定理1B x ⨯=，
即222112B k x k --=+
，2
k <-，
所以1B A B ==-，
同理可得212121k AC k ⎫-+⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭+若存在k
AB AC =成立，
则=，
20k ++=，∆<0，此方程无解，
所以不存在k
AC =成立.
【题目点拨】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.
22．（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）存在，此时N 为BC 的中点.
【解题分析】
（Ⅰ）证明PE ⊥平面EBCD ，得到平面PEB ⊥平面EBCD ，故平面PBC ⊥平面PEB ，EM ⊥平面PBC ，得到答案.
（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，设2PE EB BC ===，
BN x =，计算得到答案.
【题目详解】
（Ⅰ）∵PE EB ⊥，PE ED ⊥，EB ED E =，∴PE ⊥平面EBCD .
又PE ⊂平面PEB ，∴平面PEB ⊥平面EBCD ，
而BC ⊂平面EBCD ，BC EB ⊥，∴平面PBC ⊥平面PEB ，
由PE EB =，PM AB =知EM PB ⊥，可知EM ⊥平面PBC ，
又EM ⊂平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面PBC .
（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，由PE EB ⊥知//PE MQ ，
易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，
过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理），
即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，
不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，
在Rt EBN ∆中，设BN x =（02x <<），由Rt ~Rt EBN ERQ ∆∆得，BN EN RQ EQ = 即2221x x RQ +=，得222x RQ x =+，∴24tan MQ x MRQ RQ
x +∠==， 依题意知6cos 6
MRQ ∠=，即24tan 5x MRQ x +∠==，解得1(0,2)x =∈， 此时N 为BC 的中点.
综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66
，此时N 为BC 的中点.
【题目点拨】
本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.。