高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4

题型一
题型二
题型三
题型四来自百度文库
【变式训练2】 设三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5交于一点, 求k的值. ������-2������ = 1, 解:解方程组 2������ + ������������ = 3,
得
������ = ������ +4 , ������ =
1 , ������+4 ������+6 1 , ������+4 ������+4
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题型四
解 :方法一: 解方程组 ������-2������ + 4 = 0, 得 P(0,2). ������ + ������-2 = 0,
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因为 l⊥l3 且 l3 的斜率为 , 所以直线 l 的斜率为- . 所以 l 的方程为 y=- x+2,即 4x+3y-6= 0.
������ +6
即前两条直线的交点坐标为 所以有 3k · + ������+4=5. ������ +4 解得 k=1 或 k=- 3 .
16 ������ +6 4
.
因为三条直线交于一点, 所以第三条直线必过此交点,
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对称问题
【例3】 求直线x-2y-1=0关于直线x+y-1=0的对称直线方程. 分析:本题主要考查轴对称问题,关键是把直线的对称转化为点 的对称.
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方法三: 很显然直线l不为直线l2,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0, 由题意,知3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, 解得λ=11,则直线l的方程为4x+3y-6=0. 反思本题的三种方法是从三个不同的角度来考虑的.方法一是从 垂直直线的斜率关系来考虑,求出直线l的斜率和一定点坐标;方法 二是从直线l与直线l3垂直来考虑,利用垂直直线系设出方程;方法三 是从直线l过直线l1和l2的交点来考虑,利用过两条直线交点的直线 系设出方程.
1.4
两条直线的交点
1.了解两直线的交点的概念,会求两直线的交点坐标. 2.理解两直线交点个数与位置关系的联系,会综合判断两直线的 位置关系. 3.应用直线相交解决有关问题.
两条直线的交点 (1)求法:用代数方法求两条直线的交点坐标,两直线方程联立方 程组,此方程组的解就是这两条直线的交点坐标,因此解方程组即 可. (2)应用:可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系. 一般地,将直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0的方程
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方法二 : 设直线 l 的方程为 4x+3y+m=0. 因为它过两条直线 l1 与 l2 的交点 P, ������-2������ + 4 = 0, 解方程组 得 P(0,2), ������ + ������-2 = 0, 所以 4×0+3×2+m=0, 解得 m=-6. 所以直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.
【做一做1】 直线x+y+1=0与直线x-y+1=0的交点坐标 是 . 答案:(-1,0) 【做一做2】 判断直线l1:x-y-1=0和直线l2:2x+y+4=0的位置关系, 如果相交,求出交点坐标. ������-������-1 = 0, 解:解方程组 2������ + ������ + 4 = 0,
������ = -1, 得 所以直线 l1 和 l2 相交,交点坐标是(-1,-2). ������ = -2,
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判断两条直线的位置关系
【例 1】 判断直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:2x-2y+3=0 的位置关系. 如果相交, 求出交点坐标.
������ = -2, ������-2������ + 1 = 0, 解:解方程组 得 1 所以直线 l1 与 l2 相交, 交 2������-2������ + 3 = 0, ������ = - , 点坐标是 -2,- 2 .
联立,得方程组
������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0, ������2 ������ + ������2 ������ + ������2 = 0.
当方程组有唯一解时,l1和l2相交,方程组的解就是交点的坐标. 当方程组无解时,l1与l2平行. 当方程组有无数组解时,l1与l2重合.
所以直线 l1 与 l2 相交, 交点坐标为(3, -1). 2������-6������ + 4 = 0, (2)方程组 有无数组解, 因此, l1 与 l2 重合. 4������-12������ + 8 = 0,
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题型二
求直线方程
【例2】 求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与 直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. 分析:方法一,解方程组得点P的坐标,又直线l与l3垂直,可得直线l 的斜率,然后按点斜式写出方程;方法二,根据直线l与l3垂直,设出直 线方程,再由点P的坐标解得;方法三,由过两条直线交点的直线系设 出直线方程,再根据直线l与l3垂直来求解.
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反思可以利用两直线方程组成的方程组的解的个数来判断两条 直线的位置关系.当方程组无解时,两条直线平行;当方程组仅有一 组解时,两条直线相交;当方程组有无数组解时,两条直线重合.
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【变式训练1】 判断下列两直线是否相交,若相交,求出它们的交 点坐标. (1)l1:2x-y=7,l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0,l2:4x-12y+8=0. 2������-������ = 7, 解:(1)解方程组 3������ + 2������-7 = 0, ������ = 3, 得 ������ = -1,
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题型四
������-2������-1 = 0, 解 :方法一 :由 得两直线的交点为 A(1,0). ������ + ������-1 = 0, 在 x-2y-1=0 上取点 B