四川省成都市树德中学高三数学上学期阶段性考试题 理

四川省成都市树德中学2017-2018学年高三数学上学期阶
段性考试题 理
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

1. 已知集合
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=0)21ln(|,2221|x x B x A x , 则
)(B C A R ⋃=( ）
A 。

∅ B. )23
,(-∞ C 。

⎥⎦
⎤ ⎝
⎛
∞-2
3, D 。

(1,1]-
2.已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，若29z z i +=-，则z =（ ) A ．1i +
B ．1i -
C ．3i +
D ．3i -
3。

命题“若b a >,则c b c a +>+"的否命题是（ ）
A 。

若b a ≤，则c b c a +≤+
B 。

若c b c a +≤+，则b a ≤
C 。

若c b c a +>+，则b a > D.若b a >,则c b c a +≤+ 4. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入
,n x 的值分别为3,3。

则输出v 的值为（ ）
A. 15
B. 16 C 。

47 D 。

48
5.4
2()(1)x x x
+-的展开式中x 的系数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．12
6。

已知ABC ∆中，tan (sin sin )cos cos A C B B C -=-,则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形
B ．60A ∠=︒的三角形
C ．等腰三角形或60A ∠=︒的三角形
D ．等腰直角三角形
7。

P 是双曲线2
2:12
x C y -=右支上一点， 直线l 是双曲线C 的一条渐近线. P 在l 上的射影为Q ，
1F 是双曲线C 的左焦点, 则1||||PF PQ +的最小值为（ ）
A 。

1
B 。

1525+ C. 1545
+ D. 221+
8。

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱
锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A ．83 B ．
163 C ．323
D ．16
9. 已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++(1ω>，||2
π
ϕ≤),其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若
()1f x >对于任意的(,)123
x ππ
∈-
恒成立,则ϕ的取值范围是（ )
A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(,]62
ππ
10。

设0a >,若关于x ，y
的不等式组20,
20,20,ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨
⎪-≤⎩
表示的可行域与圆
22
(2)9x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为（ )
A ．[]8,10
B ．(6,)+∞
C ．(6,8]
D ．[8,)+∞
11。

高斯是德国著名数学家, 享有“数学王子”之称. 以他名字“高斯"命名的成果达110个.设x R ∈，
用[]x 表示不超过x 的最大整数， 并用{}[]x x x =-， 表示x 的非负纯小数, 则[]y x =称为高斯函数。

已知数学{}n a 满足13a =， {}
11
[](*)n n n a a n N a +=+∈, 则2017a =（ )
A. 33034+ B 。

3024+ C 。

3034+ D
3024+
12.已知函数2ln 2,0,()3
,02
x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩ 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1
(,1)2
B ．13(,)24
C ．1(,1)3
D ．1(,2)2
二、填空题(每题5分,满分20分）
13. 已知1,2==a b ，且a ()⊥-a b ，则向量a 与向量b 的夹角
是 。

14。

甲，乙，丙，丁四人站成一排，则甲乙相邻，甲丙不相邻有___________种排法.
15。

过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准
线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =,则线段AB 的长为_____________［。

16。

函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处切线的斜率分别是
A k ，
B k ，规定||
(,)||
A B k k A B AB ϕ-=
（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线
()y f x =在点A 与B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(,)3A B ϕ>； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点A ,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；
④设曲线x y e =(e 是自然对数的底数)上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=,若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞． 其中真命题的序号为 （将所有真命题的序号都填上）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分）
17。

（12分) 如图，在ABC ∆中，3B π∠=，D 为边BC
上的点,E 为AD 上的点，且8AE =,410AC =，4
CED π
∠=．
（1)求CE 的长; （2)若5CD =，求cos DAB ∠的值．
18.（12分) 如图所示,的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证:BD ⊥平面ADG ；（Ⅱ）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值．
19．（12分） 团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在A 市开展了团购业务， A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如图所示.
（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；
（2）从所调查的50家商家中任取两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列和数学期望；
20.（12分） 已知动圆P 经过点()1,0N ，并且与圆()2
2
:116M x y ++=相
切.
（1)求点P 的轨迹C 的方程；（2）设(),0G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A B 、两点，当k 为何值时？
22||GA GB ω=+是与m 无关的定值，并求出该值定值。

21。

（12分）设函数()(1)ln(1)f x mx x =-+。

（1）若当01x <<时, 函数()f x 的图象恒在直线y x =的上方， 求实数m 的取值范围；
（2）求证： 1000.4
1001()1000
e >。

选做题（10分）:请在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分。

21.(本小题满分10分）
在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a t
t y t =⎧⎨=⎩
为参数，0a >）。

以坐原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 224πρθ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭。

(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当23a =时，求点P 到直线l 的距离的最大值；
（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.
22.（本小题满分10分）
已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *
，且()4f x <恒成立。

（1)求实数m 的值； （2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ
+≥。

高2015级高三上期12月阶段性测试数学试题（理) 试卷答案
一、选择题：BDADC CDBCD BA 二、填空题 13．
4π 14。

8 15. 3
16
16. ②③。

17.解:（1)因为34
4
AEC π
π
π∠=-
=
，在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以21606482CE CE =++，
所以282960CE CE +-=，所以42CE =．
（2）在CDE ∆中，由正弦定理得
sin sin CE CD
CDE CED
=∠∠，所以
2
5sin 422
CDE ∠=⨯
,所以4sin 5CDE ∠=．因为点D 在边BC 上，所以
3
CDE B π
∠>∠=
，而
43
5<，所以CDE ∠只能为钝角,所以3cos 5CDE ∠=-，所
以cos cos()cos cos sin sin 3
3
3
DAB CDE CDE CDE πππ∠=∠-=∠+∠
3143433525-=-⨯+⨯=．
18.(Ⅰ)证明：在△BAD 中,∵AB=2AD=2，∠BAD=60°． 由余弦定理BD 2=AD 2+AB 2﹣2AB •ADcos60°，
，∵AB 2=AD 2+DB 2，∴AD ⊥DB ，
在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD,∴GD ⊥DB ， 又AD ∩GD=D ，∴BD ⊥平面ADG ．
（Ⅱ）解:如图以D 为原点建立空间直角坐标系D ﹣xyz ， ∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2， ∴A(1,0,0），
，
，G(0，0，1），
,
,
，
设平面AEFG 的法向量，令x=1,得，z=
∴，设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，
∴，
所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为．
19.
（2）由题,知ξ的可能取值分别为0，1，2[
()222
525202
5020
049
C C C P C ξ++===，
()111152520252
5025149
C C C C P C ξ+===，()115202504
249
C C P C ξ===
从而ξ的分布列为 ξ
1
2
P
2049 2549 449
()202543301249494949
E ξ=⨯
+⨯+⨯=。

20.
()()()12121226243
mk
y y k x m k x m k x x km k ∴+=-+-=+-=
+.
()()()()
222
2
2
2
2
1212121223443
k m y y k
x m x m k
x x k m x x k m k -⋅=--=-++=
+.
()()222222
1122||GA GB x m y x m y ∴+=-++-+()()()22
21212121212
2222x x x x m x x m y y y y =+--++++-(
)
()(
)(
)
222
2
2
26432431
43
m k k k k --++=++
22||GA GB ω=+的值与m 无关, 2430k ∴-=，解得3
k = 22||7GA GB ω=+=.
21: ()(1)(1)n f x mx l x =-+
解:（1）令F()()(1)(1)n x f x x mx l x x =-=-+-
1F'()(1)1,(0,1)1n mx
x ml x x x
-=-++
-∈+ ①当1
2
m ≤-时，由于(0,1)x ∈,有F''()0x ≥
于是F'()x 在(0,1)x ∈上单调递增，从而F'()F'(0)0x >=
F()0x ∴>
②102m -
<<时,令21min 1,o m x m +⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
,当(]0,o x x ∈时，F''()0x <，于是F'()x 在(]0,o x x ∈上单调递减，F'()F'(0)0x <=
F()x 在(]0,o x 上单减，F()F(0)0x <=，且仅有F(0)0=,故舍去
③0m ≥时，(0,1)x ∈，F''()0x <.在F'()x (0,1)x ∈上单减，则F'()F'(0)0x <=，
F()F(0)0x ∴<= ∴舍去 1,2m ⎛
⎤∴∈-∞- ⎥⎝
⎦
（2）原不等式等价于210005
1
(1)1000
e +
+
< 不等式等价于211(1)(1)05n l n n n
++-< 25m =- 1
2
o x =-
由（1）F()x 在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦上单减，F()F(0)0x <=，令1
(2)x n n =≥
则211
(1)(1)05n l n n n
+
+-<成立，令1000n =得证 22。

解:（1)
由cos 4πρθ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
)cos sin 2
ρθρθ-=-化成直角
坐标方程，得
)2
x y -=-l 的方程为40x y -+=
，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l
的距离
6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当
26t k ππ+
=,即2,6
t k k Z π
π=-∈
时，max d ==,故点P 到直线l 的距离的最大
值为
(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，
cos 2sin 40-+>a t t 恒成立,
()4t ϕ+-(其中2
tan a
ϕ=)恒
成立，4<,又0a >，
解得0a <<故a
取值范围为(。

23. 解：（1)222x m x x m x m --≤--=,要使24x m x --<恒成
立，则2m <，解得22m -<<。

又m ∈N *
，1∴=m 。

（2）
()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-=，即
()141414,2252518
2βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛
⎫+=∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
,当且仅当
4β
αα
β
=
,即11,36αβ==时取等号，故41
18αβ+≥。