galerkin有限元法

galerkin有限元法
Galerkin有限元法
一、概述
Galerkin有限元法是一种特殊的空间离散方法，用于计算求解称为“带状”的偏微分方程组。

这种方法可以用来解决不同类型的偏微分方程，包括静态和动态问题，广泛应用于热传导、结构力学、流体力学以及生物医学动力学等领域。

Galerkin有限元法是一种空间离散方法，其使用满足Galerkin 方程的有限基函数系统（一般为有理函数）来近似偏微分方程的解，这种方法可以保证所获得的解与真实解的误差相当小。

二、原理
Galerkin有限元法是一种用于求解偏微分方程的空间离散方法，用于求解偏微分方程的有限基函数系统为：
n∑
i=1a
i(x)Ψ
i(x)=0
其中，ι(x)为有理函数；aι(x)为以空间点x作参数的系数，有限基函数系统的有限元空间可由有理函数ι(x)构成，即:
n∑
i=1Ψ
i(x)=1
Galerkin有限元法是将偏微分方程的空间离散形式化为Galerkin方程的形式：
n∑
i=1b
i(x)Ψ
i(x)∫-∞
+∞f(x,t)dx=0
其中，bι(x)为Galerkin有限元空间中的常数系数，f(x,t)为原偏微分方程的右端函数，而Ψι(x)则为构成Galerkin有限元空间的有理函数。

三、应用
1、Galerkin有限元法在热传导中的应用
Galerkin有限元法用于解决热传导问题时，热传导方程可以写为：
αu
t(x,t)+∫-∞
+∞k(x)αu
x(x,t)dx=f(x,t)
其中，α是热传导系数，u(x,t)表示热温度，k(x)表示热导率，f(x,t)表示外加热量。

应用Galerkin有限元法来求解这个热传导方程，首先用有理函数构成Galerkin有限元空间：
i=1Ψ
i(x)=1
再将热传导方程转化成Galerkin方程：
n∑
i=1b
i(x)Ψ
i(x)∫-∞
+∞f(x,t)dx=0
由此可以计算出热温度u(x,t)在Galerkin有限元空间中的值。

2、Galerkin有限元法在结构力学中的应用
在结构力学中，静态梁可以用下面的方程来描述：
∫
a
b(EIu
xx)dx=∫
a
bf(x)dx
其中， u(x)为梁的横截面弯曲量，EI为梁的弹性模量，f(x)为梁上的力。

应用Galerkin有限元法求解这个方程时，首先构成Galerkin有限元空间：
i=1Ψ
i(x)=1
再将静态梁方程转化成Galerkin方程：
n∑
i=1b
i(x)Ψ
i(x)∫
a
bf(x)dx=0
由此可以计算出梁的横截面弯曲量u(x)在Galerkin有限元空间中的值。