定积分微积分基本公式
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T1
T2
一般地，若 F ( x ) f ( x )
b
a
? F (b) F (a ) f ( x )dx
在解决这个问题之前，先讨论原函数存在问题.
设函数f ( x )在[a, b]上连续,当x取[a , b]上任一定值时,
a
x
f ( t )dt 有唯一确定值与 x对应 , 因此a f ( t )dt 在
n 1 dx 1 1 1 1 xi lim lim n n 1 0 1 x n2 2n n i 0 1 i
小结
1 . 变上限定积分 F ( x ) a f ( t )dt 2. 变上限定积分的导数 F ' ( x ) f ( x ) 3. 牛顿—莱布尼兹公式
又
a
(x)
a
x
f ( t ) dt 也 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ,
F ( x ) ( x ) C , x [a , b ] 令
x a F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 C F (a ) . F ( x ) ( x ) F (a ) .
即任何一个连续函数必存在原函数。
如
x
a
sin t sin x dt 是 的一个原函数 t x
例1.计算( x )
0
x
sin t 2dt在x 0处的导数
d x d x 2 2 f (t )dt f ( x ) sin x 解 ( x ) sin t dt a dx dx 0
2
1 2
0 (1 cos x ) dx
1 ( 0 dx 0 cos x dx ) 2 1 x 0 sin x 0 2
2
x4 例4 计算 0 dx. 2 1 x
1
解
x4 0 1 x 2 dx
1
0
1x
11 dx 2 1 x
4
1 x 1 dx 2 0 1 x 1 2 1 1 1 0 x dx 0 dx 0 dx 2 1 x 1 31 1 1 x 0 arctan x 0 x 3 0 2 3 4
2
1
例5 计算 1 4 4 x x 2 dx.
再令
即
x b F (b) (b) F (a ) (b) F (b) F (a ).
b
a f ( t )dt F (b) F (a )
故
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
b
(0) sin 0 2 0
例2. 计算F ( x ) sin t dt 的导数。
0
x2
解：令u x ,
2
则F ( x ) G(u) sin t dt,
0
u
由复合函数求导法则，
F' ( x ) G' (u) u' ( x ) sin u
u x 2
2 x 2 x sin x
2
3
3 x , 0 x 2 4 f ( x ) 求 0 f ( x )dx. 例6 设 2 2 x4 x ,
解
0
4
f ( x )dx 0 f ( x )dx 2 f ( x )dx 0 3 xdx x 2dx 2
2
4
2
4
1 3 3 2 2 x x 24 3 2 0 3 2
x
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数 之间的关系．
牛顿（1642. 12. 25—1727. 3. 20）生平简介
牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。 牛顿的幼年是不幸的，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有3 磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小的可怜的头 脑里孕育着非凡的才智，他的思想影响了人类数百年。 牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基础，被益为“有史以来 最伟大的科学家”。在60 多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著12本 ，其中科学著作6本，年代学2本，宗教著作4本。作为数学家，牛 顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何， 有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面， 都有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说：“在从世界开始到牛顿 生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。” 牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内，参加吊唁的法国大文 豪伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其他国家纪念国王一样 隆重。牛顿墓碑上的拉丁碑铭的最后一句是：“他是人类的真正骄 傲，让我们为之欢呼吧！”
x a
(1) f ( t )dt拓 展 了 函 数 的 形 式 ， 是 它不 同 于 初 等 函 数 的 另 外 一 种 新 的 函 数式 形。
( 2)定 理 说 明 了 当 f ( x ) C[a , b]时 ， f (t )dt正 是f ( x )
a
x
在[a , b]上 的 一 个 原 函 数 ，
其中一般地若时间间隔若已知路程函数的路程也可表示为在解决这个问题之前先讨论原函数存在问题则在时间间隔内经过记为对应有唯一确定值与的函数上确定了一个的另外一种新的函数形是不同于初等函数拓展了函数的形式它即任何一个连续函数必存在原函数
一、变上限的定积分
则在 时间间隔 设物体作直线运动， 其速度 v v ( t ) ，
x 0
二、牛顿—莱布尼兹公式
牛顿：英国数学家 莱布尼兹： 德国数学家
[a , b]上的 定理2 如果F ( x )是连续函数f ( x )在区间 b 任一原函数 ， 则 a f ( x )dx F (b) F (a )
证
已 知 F ( x )是 f ( x )的 一 个 原 函 数 ，
牛顿
莱布尼兹公式
说明： 使用时, F ( x )在[a , b]上的改变量F (b) F (a )
通常记为F ( x ) a 或[ F ( x )]b a .
这样，牛顿
莱布尼兹公式又可写成
b F ( x) a
a
解
b
f ( x )dx
1
或
a
b
Hale Waihona Puke f ( x )dx [ F ( x )]b a
f ( x ) 2e 2 x 即 f ( x ) 2e 2 x
例4 求极限
lim
x 0
2x
0
cos2 tdt x
0 （ 型） 0
解
lim
x 0
2x
0
cos tdt x
2
2
l im
x 0
( cos2 tdt )
0
2x
x
lim 2 cos 2 x 2
2
4
例7
1 1 1 计 算 lim n n 1 n2 2n
解： 将和式改写为
1 1 1 1 1 1 1 n n 1 n 2 2n n 1 1 1 2 1 n n n
1 1 这相当于在 [0,1]中 对 函 数 f ( x) 作x i 1 x n 的 等 距 分 割 后 在小区间 ， [ xi 1 , xi ]上取 i xi
例3 已知 f (t )dt e 2 x e，求 f ( x ).
x
a
解
d a d x ( x f ( t )dt ) ( a f ( t )dt ) dx dx d x ( a f ( t )dt ) f ( x ) dx
(e 2 x e ) 2e 2 x
莱布尼兹（1646. 7. 1—1716. 11. 14）生平简介
莱布尼兹是德国数学家、哲学家，莱布尼兹出身于书香门第， 父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母 亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼兹从小就十分好学， 并有很高的天赋。不幸的是，父亲在他六岁时去世，却给他留下了 比金钱更宝贵的丰富藏书。从此，知书达理的母亲担负起儿子的幼 年教育。1661年，15岁的莱布尼兹入莱比锡大学学法律，1663年5 月获学士学位；1664年1月获哲学硕士学位；1667年2月，获法学博 士学位。 莱布尼兹是一位百科全书式的杰出学者，他的研究领域及成果 遍及数学、物理学、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解 剖学、哲学、历史和外交，等等。其中以数学和哲学最为著名。 莱布尼兹一生没有结婚，没有在大学当过教授。但他的工作领 域是广泛的，他的业余活动的范围是庞大的。1716年他无声无息的 死去。直到1793年，汉诺威人才为他建了一座纪念碑；1883年，在 莱比锡的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕象。
31 0
2 例1 计算： x 0 dx
例2 计算： sinxdx
0
x x dx C 3
2
3
x 0 x dx 3
1 2
1 3
解
0
cos cos 0 2 sin xdx ( cos x ) 0
x 例3 计算 0 cos dx. 2 1 cos x 2 x dx 解 0 cos dx 0 2 2
a x
x [a, b]
(1) F ( x ) 是 [a, b] 上的连续函数 ;
(2)若 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则 F ( x) 在 [a, b] 上可微，且
F '( x) f ( x)
即
x a f ( t )dt ' f ( x )
关于定理的说明：
x
[a , b]上确定了一个x的函数.
称它为变上限定积分所确定的函数, (变上限定积分)
记为 F ( x )
x
a
f ( t )dt .
y
y f ( x)
x [a , b]
F ( x)
o
a
x x x b x
定理1 设函数 f ( x ) 在 [a, b] 上可积， 则
F ( x ) f (t )dt ,
[T1 , T2 ] 内所经过的路程为 T v ( t )dt
1
T2
若已知路程函数 s( t ) , 则在 时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过 的路程也可表示为 s(T2 ) s(T1 )
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ).
3
解
1
2
3
4 4 x x dx
2 3
1 2 x dx
3
1 ( 2 x ) dx
2 2
2 ( x 2) dx
3 3
1 2 dx 1 x dx 2 x dx 22 dx
2 1
2x
5
1 2 1 2 3 x x 2x 2 2 1 2 2
1 1 1 1 1 1 1 n n 1 n 2 2n n 1 1 1 2 1 n n n
(i 1,2,, n)的Riemann和
f ( )x
于是
i 0 i
n
i
ln(1 x ) 1 ln 2 0
T2
一般地，若 F ( x ) f ( x )
b
a
? F (b) F (a ) f ( x )dx
在解决这个问题之前，先讨论原函数存在问题.
设函数f ( x )在[a, b]上连续,当x取[a , b]上任一定值时,
a
x
f ( t )dt 有唯一确定值与 x对应 , 因此a f ( t )dt 在
n 1 dx 1 1 1 1 xi lim lim n n 1 0 1 x n2 2n n i 0 1 i
小结
1 . 变上限定积分 F ( x ) a f ( t )dt 2. 变上限定积分的导数 F ' ( x ) f ( x ) 3. 牛顿—莱布尼兹公式
又
a
(x)
a
x
f ( t ) dt 也 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ,
F ( x ) ( x ) C , x [a , b ] 令
x a F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 C F (a ) . F ( x ) ( x ) F (a ) .
即任何一个连续函数必存在原函数。
如
x
a
sin t sin x dt 是 的一个原函数 t x
例1.计算( x )
0
x
sin t 2dt在x 0处的导数
d x d x 2 2 f (t )dt f ( x ) sin x 解 ( x ) sin t dt a dx dx 0
2
1 2
0 (1 cos x ) dx
1 ( 0 dx 0 cos x dx ) 2 1 x 0 sin x 0 2
2
x4 例4 计算 0 dx. 2 1 x
1
解
x4 0 1 x 2 dx
1
0
1x
11 dx 2 1 x
4
1 x 1 dx 2 0 1 x 1 2 1 1 1 0 x dx 0 dx 0 dx 2 1 x 1 31 1 1 x 0 arctan x 0 x 3 0 2 3 4
2
1
例5 计算 1 4 4 x x 2 dx.
再令
即
x b F (b) (b) F (a ) (b) F (b) F (a ).
b
a f ( t )dt F (b) F (a )
故
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
b
(0) sin 0 2 0
例2. 计算F ( x ) sin t dt 的导数。
0
x2
解：令u x ,
2
则F ( x ) G(u) sin t dt,
0
u
由复合函数求导法则，
F' ( x ) G' (u) u' ( x ) sin u
u x 2
2 x 2 x sin x
2
3
3 x , 0 x 2 4 f ( x ) 求 0 f ( x )dx. 例6 设 2 2 x4 x ,
解
0
4
f ( x )dx 0 f ( x )dx 2 f ( x )dx 0 3 xdx x 2dx 2
2
4
2
4
1 3 3 2 2 x x 24 3 2 0 3 2
x
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数 之间的关系．
牛顿（1642. 12. 25—1727. 3. 20）生平简介
牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。 牛顿的幼年是不幸的，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有3 磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小的可怜的头 脑里孕育着非凡的才智，他的思想影响了人类数百年。 牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基础，被益为“有史以来 最伟大的科学家”。在60 多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著12本 ，其中科学著作6本，年代学2本，宗教著作4本。作为数学家，牛 顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何， 有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面， 都有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说：“在从世界开始到牛顿 生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。” 牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内，参加吊唁的法国大文 豪伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其他国家纪念国王一样 隆重。牛顿墓碑上的拉丁碑铭的最后一句是：“他是人类的真正骄 傲，让我们为之欢呼吧！”
x a
(1) f ( t )dt拓 展 了 函 数 的 形 式 ， 是 它不 同 于 初 等 函 数 的 另 外 一 种 新 的 函 数式 形。
( 2)定 理 说 明 了 当 f ( x ) C[a , b]时 ， f (t )dt正 是f ( x )
a
x
在[a , b]上 的 一 个 原 函 数 ，
其中一般地若时间间隔若已知路程函数的路程也可表示为在解决这个问题之前先讨论原函数存在问题则在时间间隔内经过记为对应有唯一确定值与的函数上确定了一个的另外一种新的函数形是不同于初等函数拓展了函数的形式它即任何一个连续函数必存在原函数
一、变上限的定积分
则在 时间间隔 设物体作直线运动， 其速度 v v ( t ) ，
x 0
二、牛顿—莱布尼兹公式
牛顿：英国数学家 莱布尼兹： 德国数学家
[a , b]上的 定理2 如果F ( x )是连续函数f ( x )在区间 b 任一原函数 ， 则 a f ( x )dx F (b) F (a )
证
已 知 F ( x )是 f ( x )的 一 个 原 函 数 ，
牛顿
莱布尼兹公式
说明： 使用时, F ( x )在[a , b]上的改变量F (b) F (a )
通常记为F ( x ) a 或[ F ( x )]b a .
这样，牛顿
莱布尼兹公式又可写成
b F ( x) a
a
解
b
f ( x )dx
1
或
a
b
Hale Waihona Puke f ( x )dx [ F ( x )]b a
f ( x ) 2e 2 x 即 f ( x ) 2e 2 x
例4 求极限
lim
x 0
2x
0
cos2 tdt x
0 （ 型） 0
解
lim
x 0
2x
0
cos tdt x
2
2
l im
x 0
( cos2 tdt )
0
2x
x
lim 2 cos 2 x 2
2
4
例7
1 1 1 计 算 lim n n 1 n2 2n
解： 将和式改写为
1 1 1 1 1 1 1 n n 1 n 2 2n n 1 1 1 2 1 n n n
1 1 这相当于在 [0,1]中 对 函 数 f ( x) 作x i 1 x n 的 等 距 分 割 后 在小区间 ， [ xi 1 , xi ]上取 i xi
例3 已知 f (t )dt e 2 x e，求 f ( x ).
x
a
解
d a d x ( x f ( t )dt ) ( a f ( t )dt ) dx dx d x ( a f ( t )dt ) f ( x ) dx
(e 2 x e ) 2e 2 x
莱布尼兹（1646. 7. 1—1716. 11. 14）生平简介
莱布尼兹是德国数学家、哲学家，莱布尼兹出身于书香门第， 父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母 亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼兹从小就十分好学， 并有很高的天赋。不幸的是，父亲在他六岁时去世，却给他留下了 比金钱更宝贵的丰富藏书。从此，知书达理的母亲担负起儿子的幼 年教育。1661年，15岁的莱布尼兹入莱比锡大学学法律，1663年5 月获学士学位；1664年1月获哲学硕士学位；1667年2月，获法学博 士学位。 莱布尼兹是一位百科全书式的杰出学者，他的研究领域及成果 遍及数学、物理学、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解 剖学、哲学、历史和外交，等等。其中以数学和哲学最为著名。 莱布尼兹一生没有结婚，没有在大学当过教授。但他的工作领 域是广泛的，他的业余活动的范围是庞大的。1716年他无声无息的 死去。直到1793年，汉诺威人才为他建了一座纪念碑；1883年，在 莱比锡的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕象。
31 0
2 例1 计算： x 0 dx
例2 计算： sinxdx
0
x x dx C 3
2
3
x 0 x dx 3
1 2
1 3
解
0
cos cos 0 2 sin xdx ( cos x ) 0
x 例3 计算 0 cos dx. 2 1 cos x 2 x dx 解 0 cos dx 0 2 2
a x
x [a, b]
(1) F ( x ) 是 [a, b] 上的连续函数 ;
(2)若 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则 F ( x) 在 [a, b] 上可微，且
F '( x) f ( x)
即
x a f ( t )dt ' f ( x )
关于定理的说明：
x
[a , b]上确定了一个x的函数.
称它为变上限定积分所确定的函数, (变上限定积分)
记为 F ( x )
x
a
f ( t )dt .
y
y f ( x)
x [a , b]
F ( x)
o
a
x x x b x
定理1 设函数 f ( x ) 在 [a, b] 上可积， 则
F ( x ) f (t )dt ,
[T1 , T2 ] 内所经过的路程为 T v ( t )dt
1
T2
若已知路程函数 s( t ) , 则在 时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过 的路程也可表示为 s(T2 ) s(T1 )
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ).
3
解
1
2
3
4 4 x x dx
2 3
1 2 x dx
3
1 ( 2 x ) dx
2 2
2 ( x 2) dx
3 3
1 2 dx 1 x dx 2 x dx 22 dx
2 1
2x
5
1 2 1 2 3 x x 2x 2 2 1 2 2
1 1 1 1 1 1 1 n n 1 n 2 2n n 1 1 1 2 1 n n n
(i 1,2,, n)的Riemann和
f ( )x
于是
i 0 i
n
i
ln(1 x ) 1 ln 2 0