高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数

4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.
解析：y′＝9x2－9.令 y′＝0，得 x＝±1.
状元随笔
先求导数，由条件得方程组，解得 a，b，代入 f(x)＝0，求极 小值．
类型三 利用极值判断方程根的个数 例 3 已知函数 f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
解析：(1)由题意知 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝x－x 1＋ln x－1＝ln x－1x.
[小试身手]
1．设函数 f(x)＝xex，则( ) A．x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点 D．x＝－1 为 f(x)的极小值点
解析：求导得 f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令 f′(x)＝ex(x＋1)＝ 0，解得 x＝－1，易知 x＝－1 是函数 f(x)的极小值点．
状元随笔
(1)先利用导数的运算法则求得 f′(x)，然后研究 f′(x)在(0， ＋∞)上的单调性，再根据零点存在性定理确定 f′(x)在(0，＋∞) 上有唯一零点，从而得到 f′(x)存在唯一的极值点；(2)借助(1)的结 论与零点存在性定理即可得出结论．
方法归纳
(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一 般地，方程 f(x)＝0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标， 方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)的图象的交点的横坐标．
知识点一 函数的极值定义
设函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义，如果对 x0 附近的所有点， 都有_f(_x_)≤ __f_(_x_0)，则称 f(x0)是函数 f(x)的一个_极__大__值___，记作 y ＝ 极大值 f(x0)；如果对 x0 附近的所有点都有f_(_x)_≥__f_(x_0_)，则称 f(x0)是函数 f(x) 的一个_极__小__值___，记作 y ：D
2．下列四个函数中，能在 x＝0 处取得极值的函数是( ) ①y＝x3 ②y＝x2＋1 ③y＝cos x－1 ④y＝2x A．①② B．②③ C．③④ D．①③
解析：①④为单调函数，不存在极值． 答案：B
3．函数 f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1 处有极值－2，则 a，b 的值分别 为( )
跟踪训练 1 求下列函数的极值． (1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝x22＋x 1－2.
解析：(1)函数的定义域为 R，
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，
令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
没有极小值点．
(2)函数 f(x)＝x2e－x 的定义域为 R，且 f′(x)＝2xe－x－x2e－x，
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减
0 单调递增
当 x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y 单调递增 11 单调递减 －1 单调递增
从上表可以看出，当 x＝－1 时，函数 y 有极大值 3×(－1)3－
9×(－1)＋5＝11.
答案：11
类型一 求函数的极值 例 1 求下列函数的极值． (1)f(x)＝lnx x；(2)f(x)＝x2e－x.
3.3.2 函数的极值与导数
知识导图
学法指导 1．极值的概念可以通过图象来直观感知，明确极值点附近导 数的符号特征． 2．通过图象感知极大值与极小值的差异，并明确它们的关系； 通过导函数方程的解进一步了解极值与单调区间的关系． 3．通过二次函数与三次函数感受极值的特征与函数图象的关 系．
高考导航 利用导数研究函数的极值是高考的高频考点，常见题型有： (1)根据函数的极值与导数的关系确定函数图象，常以选择题的 形式出现，分值 5 分； (2)函数极值的求解及应用，常以选择题或解答题的形式出现， 涉及方程、不等式、切线方程等，综合性较强，分值 5～9 分.
知识点二 函数极值的判定
当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判断 f(x0)是否存在极大(小)值 的方法是：
(1)如果在 x0 附近的左侧_f′__(_x_)_＞__0，右侧f_′__(_x_)＜__0_，那么 f(x0) 是极大值；
(2)如果在 x0 附近的左侧_f′__(_x_)_＜__0，右侧f_′__(_x_)＞__0_，那么 f(x0) 是极小值；
(3)如果 f′(x)在点 x0 的左右两侧符号不变，则 f(x0)__不__是____函 数 f(x)的极值．
知识点三 求可导函数极值的步骤
一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函数 y＝f(x)的极值 点：
(1)求出导数_f_′__(_x)___； (2)解方程_f′__(_x_)_＝__0； (3)对于方程 f′(x)＝0 的每一个解 x0，分析 f′(x)在 x0 左、右 两侧的符号[即 f(x)的单调性]，确定__极__值____： ①若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”，则 x0 为_极__大__值__点_； ②若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”，则 x0 为_极__小__值__点_； ③若 f′(x)在 x0 两侧的符号相同，则 x0__不__是____极值点．
方法归纳
1．求极值的步骤 (1)求方程 f′(x)＝0 在函数定义域内的所有根； (2)用 f′(x)＝0 的根将定义域分成若干小区间，列表； (3)由 f′(x)在各个小区间内的符号，判断 f′(x)＝0 的根处的极 值情况． 2．表格给出了当 x 变化时 y′，y 的变化情况，表格直观清楚， 容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最 后得出函数的极大值、极小值．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2，当 x＝1 时，有极大值
3. (1)求 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的极小值．
解析：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx. ∵当 x＝1 时，函数有极大值 3.
∴ff′1＝1＝3. 0， ∴3aa＋＋b2＝b＝ 3. 0， 解之得 a＝－6，b＝9.经过验证满足条件． (2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)． 当 f′(x)＝0 时，x＝0 或 x＝1. 当 f′(x)＞0 时，0＜x＜1； 当 f′(x)＜0 时，x＜0 或 x＞1. ∴函数 f(x)＝－6x3＋9x2 的极小值为 f(0)＝0.
解析：f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令 f′(x)＝0，解得 x1＝－1，x2＝3. 列表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
状元随笔 1.对极值概念的理解
(1)函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的 函数值比较是最大的或是最小的．
(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能不 存在极值，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．极值与极值点辨析 (1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是 点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应 点的纵坐标． (2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．
(2)由(1)知 f(x0)<f(1)＝－2， 又 f(e2)＝e2－3>0， 所以 f(x)＝0 在(x0，＋∞)内存在唯一实根 x＝α. 由 α>x0>1 得α1<1<x0.
又 fα1＝α1－1ln α1－α1－1＝fαα＝0， 故1α是 f(x)＝0 在(0，x0)上的唯一实根． 综上，f(x)＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
状元随笔 求导 → 令导数为0 → 求方程的解 → 得极值
类型二 已知函数极值求参数 例 2 已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋2bx 在点 x＝1 处的极小值为－ 1，试确定 a，b 的值，并求 f(x)的单调区间．
解析：由已知 f′(x)＝3x2－6ax＋2b， ∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0，① 又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1，② 由①②解得 a＝13，b＝－12，∴这时 f(x)＝x3－x2－x. 由此得 f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)， 令 f′(x)＞0，得 x＜－13或 x＞1， 令 f′(x)＜0，得－13＜x＜1， ∴f(x)在 x＝1 的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0， 即 f(x)在 x＝1 处取极小值， 故 a＝13，b＝－12，且 f(x)＝x3－x2－x.
解析：(1)函数 f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝1－xl2n x，
令 f′(x)＝0，得 x＝e.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e) e (e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
1 单调递减 e
因此，x＝e 是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(e)＝1e，函数 f(x)
它的单调递增区间是－∞，－13和(1，＋∞)； 单调递减区间是－13，1.
状元随笔 求导数f′x → f ′1＝0，f1＝－1 → 求a，b → f ′x＞0＜0
方法归纳
已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点 (1)根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证充分性．
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情 况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象 与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的 个数问题提供了方便．
跟踪训练 3 已知曲线 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a 与 x 轴只有一个 交点，求实数 a 的取值范围．
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1 (1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减
极小值 －3
单调递增
极大值 －1
单调递减
由上表可以看出，当 x＝－1 时，函数有极小值 f(－1)＝－22－2
＝－3，当 x＝1 时，函数有极大值 f(1)＝22－2＝－1.