高一数学竞赛试卷

高一数学竞赛试卷
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.已知点 ， ，则与向量同方向的单位向量为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2.已知，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.（2015秋•凉山州期末）已知cos （θ+）=﹣，θ∈（0，），求
sin （2θ﹣）的值． 4.已知函数
与
分别由下表给出：
若2时，则=（ ）
A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ．1 5.已知函数
在上是增函数，则实数的取值范围是
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6.有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为 （ ） A ．2,4,6, 8 B ．2,6,10,14
C ．5,8,11,14
D ．5,10,15,20 7.函数
的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
8.要得到函数的图像，只要把函数y="3sin2x" 图像
A．向右平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
9.对实数和，定义运算“”：设函数
若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．10.设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
1
=﹣11，a
4
+a
6
=﹣6，则a3等于（）
A．16 B．37 C．-7 D．9
11.如果幂函数的图象经过点,则的值等于（）
A． B． C． D．
12.把化成的形式是（）
A．
B．
C．
D．
13.在数列{}中，若，则（）
A．1 B． C．2 D．1.5
14.已知数列满足，则的最小值为（）
A． B． C． D．
15.设等差数列的前项和为，若则中最大的( )
....
16.下列各项中，不能组成集合的是（）
A．所有的正数
B．所有的老人
C．不等于0的实数
D．我国古代四大发明
17.已知，，以下结论中成立的是（）
A．
B．
C．
D．
18.函数的零点一定位于的区间是( )
A． B． C． D．
19.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为()
A．2
B．3C．0或3
D．0或2或3
20.已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是（）
A． B． C． D．
二、填空题
21.
已知数列｛a
n
｝的前n项和=，那么它的通项公式为
a
n
=_________.
22.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。

如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。

有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满；
其中正确的序号是：
23.设全集，，，
则
= 。

24.已知，则函数，R 的最大值= ．
25.已知函数，若在区间上是减函数，则实数的取值范围是▲ .
26.（2011年苏州B1）已知集合A = { x | x< 2 }，B= { x | x > 1 }，则A∩B=（_________）
27.在等差数列中，若则28.在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取容量为20的样本，则三级品被抽到的可能性为________．
29.下列条件能判断△ABC一定为钝角三角形的是．
①sinA + cosA=
②·＞0
③ b=3， c=3， B=300
④tanA+ tanB+ tanC＞0
30.安排六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，安排方法共有___________．
三、解答题
31.已知向量满足且.
（1）求向量；
（2）若点在线段的垂直平分线上，求的值.
32.二次函数的最小值为1，且.
(1)求的解析式；
(2)若在区间上不单调，求的取值范围．
33.已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
34.已知集合
（1）若时，求实数a的取值范围；
（2）若时，求实数a的取值范围.
35.（12分）在锐角三角形中,分别是角所对的边，且
．
（1）确定角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．
参考答案
1 .A
【解析】由点的坐标可得：，向量单位化可得：
与向量同方向的单位向量为 .
本题选择A选项.
点睛：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
2 .D
【解析】略
3 .
【解析】
试题分析：由二倍角公式和同角三角函数基本关系可得cos2θ和sin2θ，代入sin（2θ﹣）=sin2θ﹣cos2θ，计算可得．
解：∵cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），
∴sin（θ+）==，
∴sin（2θ+）=2sin（θ+）cos（θ+）=﹣，由诱导公式可得cos2θ=s in（2θ+）=﹣，
同理可得sin2θ=﹣cos（2θ+）
=sin2（θ+）﹣cos2（θ+）=
∴sin（2θ﹣）=sin2θ﹣cos2θ
=﹣=
考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
4 .A
【解析】
试题分析：
考点：函数求值
5 .D
【解析】当时，函数单调递增，则：，解得，指数函数单调递增，则，
且当时，应该有，解得，
则a的值范围是.
本题选择D选项.
点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．
6 .D
【解析】
试题分析：根据四个选项中，四个数据的特征，只有选项B中的数据具有系统性，即后面的数比前一个数大10．
考点：全面调查与抽样调查
7 .D
【解析】
试题分析：因为，，令，则，，
所以，时, 函数的最大值为7,故选D。

考点:三角函数同角公式，二次函数的图象和性质。

点评:简单题，利用“换元法”，将问题转化成二次函数在闭区间的最值问题。

要特别注意换元后变量的范围。

8 .D
【解析】略
9 .C
【解析】
试题分析：根据题意可得
，函数与轴恰有两个公共点，即函数与的图像有两个交点，如图所示：
由图像可知
考点：分段函数；数形结合思想；
10 .C
【解析】解：由等差数列的性质可知：
.
本题选择C选项.
11 .B
【解析】
试题分析：设幂函数的表达式为，由题意得，，则，
所以幂函数的表达式为有。

故选.
考点：幂函数的概念及其表达式，待定系数法.
12 .D；
【解析】
试题分析：除以360，商为负整数且比被除数是正角是绝对值大1，商为k，余数为，故选D。

考点：本题主要考查终边相同角的概念及表示。

点评：简单题，注意认识。

中对各种符号的
要求。

13 .D
【解析】
试题分析：根据题意，由于体现了数列的递推式的运用，故选D.
考点：数列的递推式
点评：解决的关键是根据首项，结合递推式得到数列的其余的各项，同
时能结合周期性得到结论，属于基础题。

14 .D
【解析】考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．
专题：计算题．
分析：由累加法求出a=33+n-n，所以= +n-1，设f（n）= +n-1，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
解答：解：a=（a- a）+（a- a）+…+（a-a）+a=2[1+2+…+（n-1）]+33=33+n-n
所以= +n-1
设f（n）=+n-1，令f′（n）=+1＞0，
则f（n）在(，+∞)上是单调递增，在(0，)上是递减的，
因为n∈N，所以当n=5或6时f（n）有最小值．
又因为=，==，
所以的最小值为=
点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．
15 .B
【解析】略
16 .B
【解析】略
17 .D
【解析】
试题分析：令，代入验证，排除A，B，C，故选D.
考点：比较大小.
18 .B
【解析】略
19 .B
【解析】因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B.
20 .A 【解析】
试题分析：∵，∴，即，
∴，即和的夹角是．
考点：平面向量的数量积．
21 .
【解析】
试题分析：由数列中的通项与前n项和之间的关系可知：当时，，当时，，由此
得：.
考点：数列的概念.
22 .BC
【解析】略
23 .。

【解析】
试题分析：因为=，
=，所以=。

考点：本题考查集合的运算：交集。

点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。

24 .m
【解析】，因为，所以。

而，所以当时，取到最大值，即
25 .
【解析】略
26 .
【解析】
27 .6
【解析】
试题分析：设等差数列的首项为，公差为,则
，
又因为所以，故答案为6.
考点：等差数列通项公式的应用.
28 .
【解析】试题分析：简单随机抽样中，每一件样品被抽到的可能性都是一样的且都等于样本空量除以总体空量，所以三级品被抽到的可能性为.
考点：简单随机抽样的特征.
29 .（1）（2）
【解析】
试题分析：①，得到，那么为钝角；
②为锐角，所以为钝角；③根据正弦定理，知道
或，故错；④，得：
，所以都是锐角．
考点：1．正弦定理；2．向量的数量积；3．两角和的正切公式．
30 .42
【解析】
试题分析：6人分组为种，当照顾老人甲时有种，同理义工照顾老人乙也有30种，再加上同时分别照顾老人甲和乙有种，所以共有种．
考点：1．平均分组问题；2．特殊元素优先排序法；3．排除法；
31 .（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）设出向量的坐标根据已知条件列出式子解出
坐标，然后验证是否满足；（2）由点在线段的垂直平
分线上，所以可得，进而可得结果.
试题解析：（1）设可得，结合，可得．
（2）点在线段的垂直平分线上，所以可得，可得.
32 .解:(1)∵为二次函数且，
∴对称轴为x＝1.
又∵最小值为1，∴可设
∵,
即. ……………… 8分
(2)由条件知，∴. ……………… 12分
【解析】略
33 .（1）；（2）
【解析】本试题主要是考查了三角函数的化简和求值问题。

第一问中，
分子和分母同时除以余弦值，就可以用同角关系是得到正切函数的关系式，进而解得。

第二问中，由于是二次多项式，构造分母为1，因此要除以该角的余弦
值的平方，得到关于正切值的平方关系式，代入求解。

解：（1）；………………………………6分（2）．………12分34 .(1) (2)
【解析】试题分析：(1)对分类讨论，明确集合B，由，可知：，从而得到实数a的取值范围；（2）当，讨论a，利用数轴确定实数a的取值范围.
试题解析：
（1）
（2）当
若
综上：
35 .（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是解三角形的综合问题，本题中利用正弦定理化简已知等式，根据不为0求出的值，由为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出的大小．
（2）利用三角函数面积公式列出关系式，将与已知面积代入求出
的值，再利用余弦定理列出关系式，结合完全平方公式进行变形，把与，以及的值代入即可求出的值．
试题解析：（1），由正弦定理
由是锐角三角形，．
（2），
，将代入得到
，
，
．考点：正弦定理。