江西省九江市第一中学高三数学上学期第一次月考试题

九江一中2016届高三月考试题
文 科 数 学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1． 已知U ＝{y |y ＝log 3x ，x >1}， ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
>=
=3,1|x x y y M ，则∁U M ＝( ) A. )31,0( B. ()0，＋∞ C. ),31+∞⎢⎣⎡ D.(]－∞，0∪),3
1
+∞⎢⎣⎡
2．已知a 为实数，若复数2
(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2015
1a i i
++的值为( )
A ．1
B ．-1
C ．i
D ．
i -
3．已知在等比数列}{n a 中，4
5,106431=+=+a a a a ，则等比数列}{n a 的公比q 的值为（ ） A ．
41 B ．2
1
C ．2
D ．8
4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则52f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
＝( ) A ．－14 B ．－12 C.14 D.12
5．．已知平面向量n m ，
的夹角为,6
π
且2,3
==n m ，在ABC ∆中，n m AB 22+=，n m AC 62-=，D 为BC 边的中点，则
AD = A.2 B.4 C.6 D.8 ( )
6．校运会前夕，通过随机询问我校高中部110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d 算得，K 2
＝110×40×30－20×202
60×50×60×50
≈7.8.
附表：
P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 7. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是
一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ） A 433533 C ．23 D 833
8.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决
更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，
日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.
A ．12
B ．815
C ．1631
D ．1629
9．当输入的实数[]30,2∈x 时，执行如图所示的程序框图， 则输出的x 不小于103的概率是 ( )
A ．528
B ．629
C ．914
D ．1929
10．设正项等比数列
{}n a 的前
n 项之积为n T ，且12814=T ，则
8
71
1a a +的最小值是 ( ) A ．2 B ．3 C ．22 D ．23
11设F 1，F 2是双曲线124
2
2
=-y x 的两个焦点，P 是双曲线 上的一点，且||4||321PF PF =，则21F PF ∆的面积等于（ ）
A ． 24
B ．38
C ．24
D ．48 12. 已知函数,)(),(ln 2)1
()(x
m
x g R m x x x m x f -=∈--=，若至少存在一个],1[0e x ∈，使得)()(00x g x f <成立，则实数m 的范围为
A ．⎥⎦⎤ ⎝
⎛∞-e 2, B ．⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∞-e
2, C ． (]0,∞- D ．()0,∞-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）
13．若向量()cos ,1a α=r
，()1,2tan b α=r ，且//a b r r ，则sin α= ．
14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,2
2
2
a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为 ．
15．点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界），则
(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为_____________．
16．已知定义域为0+∞（，）的函数()f x 满足：（1）对任意0x ∈+∞（，），恒有()()f 2x =2f x 成立；（2）当]x ∈（1,2时，()2f x x =-.给出如下结论：①对任意m Z ∈，有()
2m f =0；②函数()f x 的值域为[0+∞，）
；③存在Z n ∈，使得()
n 2+1=9f ；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”.其中所有正确结
论的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数31
()sin πcos π22
f x x x =
+, x ∈R ． （１）求函数()f x 的最大值和最小值；
（２）设函数()f x 在[1,1]-上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点
为P,求PM u u u u r 与PN u u u
r 的夹角的余弦．
18．（本小题满分12分）某中学的高二(1)班女同学有45名，男同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（１）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（２）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名男同学的概率；
（３）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
19. （本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱
1AA ⊥底面ABC ，4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 中点．
(１)求证：直线//AF 平面1BEC ； （２）求点C 到平面1BEC 的距离．
20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的方程是122
22=+b
y a x )0(>>b a ，点B A ,分别是椭圆
的长轴的左、右端点，左焦点坐标为)0,4(-，且过点)32
5
,23(
P ． （１）求椭圆C 的方程； （２）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ,试问:过P 点能否引圆M 的切线，若能，求出这条切线与x 轴及圆M
能，说明理由．
C
1A
1C
1B
A
B
E F
21．（本小题满分12分）已知函数2
()(1)ln ,.f x a x x a R =-+∈
（1）当1
4
a =-时，求函数()y f x =的单调区间； （2）12a =
时，令1
()()3ln 2
h x f x x x =-+-.求()h x 在[1,]e 上的最大值和最小值； (3)若函数()1f x x ≤-对∀),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程是2
2
x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数），⊙C
的极坐标方程为
)4
π
ρθ=+．
（1）求圆心C 的直角坐标；
（2）试判断直线l 与⊙C 的位置关系． 23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式|x －3|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，记m 的最小值为t ． （1）求t ；
（2）已知a ＞0，b ＞0，c ＝max{1a
，22
a b tb +}，求证：c ≥1．
注：maxA 表示数集A 中的最大数．
月考数学答案
1. C. 2． B 3． B 4. B5．A
6． C 【解析】由附表可得知当K 2
≥6.635时，有P ＝1－P ＝0.99，当K 2
≥10.828时，有P ＝1－P ＝0.999，而此时的K 2
≈7.8显然有0.99<P <0.999，故可以得到有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.
7．B 8.D 9．C 10． A11． C .12．A 13． 21
14 3 15． 5【解析】由(,)f a b =22
244a ab b a b -++-()()b a b a -+-=42，又点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界）得13a b ≤-≤，根据二次函数知(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为5．
16．①②④． 17．解：
（１）1π
()πcos πsin(π)26
f x x x x =
+=+，
∵x ∈R ，∴π
1sin(π)16
x -≤+≤，
∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，－1．
（２）解法1：令π()sin(π)06f x x =+=得π
ππ,6
x k k +=∈Z ．
∵[1,1]x ∈-，∴16x =-或56x =，∴15
(,0),(,0).66
M N -
由πsin(π)16x +=，且[1,1]x ∈-得13x =，∴ 1
(,1),3
P
∴11
(,1),(,1),22
PM PN =--=-u u u u r u u u r
∴cos ,||||PM PN
PM PN PM PN ⋅=⋅u u u u r u u u r
u u u u r u u u r u u u u
r u u u r 35
=． 解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =
由三角函数的性质知1
||12
MN T ==
, ||||PM PN ===
, 由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-=⋅u u u u r u u u r =5
213
45524
⨯-=⨯．
解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =
由三角函数的性质知1||12
MN T ==
,
||||PM PN ===．
在Rt PAM ∆
中，||cos ||PA MPA PM ∠===
． ∵PA 平分MPN ∠，∴2
cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-
23215
=⨯-=．
18．解：（１）416015
n P m =
==，∴某同学被抽到的概率为1
15．
设有x 名男同学，则45604
x
=，3x ∴=，∴男，女同学的人数分别为3,1.
（2）把3名同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有
()()()()()()()()()()()()121312123231323123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
a a a a a
b a a a a a b a a a a a b b a b a b a 共12种，其中有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
61122
P =
=. （3）1268707172746970707274
71,71,55x x ++++++++====
()()()()2
222
221
168717471697174714, 3.2,55
s s -++--++-=
==
=L L
所以第二名同学的实验更稳定.
19．解：（1）取1BC 的中点为R ，连结RF RE ,， 则1//CC RF ，1//CC AE ，且
RF AE =，所以四边形AFRE 为平行四边形，则RE AF //，所以//AF 平面1BEC ．
（2）由等体积法得1
1
BCC E BEC C V V --=，则RE S h S BCC BEC ⋅=⋅∆∆113
131，得554
=h ．
20.解：（1）∵椭圆C 的方程为12222=+b
y a x （0>>b a ）， ∴ 162
2+=b a ，
即椭圆的方程为11622
2
2=++b
y b x , ∵ 点)325
,23(在椭圆上,∴ 1475)16(492
2=++b
b ， 解得 202
=b 或152
-=b （舍），由此得362
=a ，
所以，所求椭圆C 的标准方程为
120
362
2=+y x . （２）由（１）知)0,6(-A ,)0,4(F ,又)32
5
,
23(P ，则得
15(,2AP =u u u r
,5(,2FP =-u u u r ，
所以0AP FP ⋅=u u u r u u u r ，即90APF ∠=o
, △APF 是直角三角形，
所以，以AF 为直径的圆M 必过点P ，因此，过P 点能引出该圆M 的切线． 设切线为PQ ,交x 轴于Q 点， 又AF 的中点为)0,1(-M ，则显然PM PQ ⊥,
而 3)1(2
30
325
=---=PM k , 所以PQ 的斜率为33-，
因此,过P 点引圆M 的切线方程为
)2
3(33235--=-x y ，即093=-+y x ． 令0=y ，则9=x ，)0,9(Q ∴,又)0,1(-M ，
所以11sin 510sin 6022PQM S PM MQ PMQ ∆=
⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=o 1π25π
55236
MPF S =⨯⨯⨯=
扇形，因此，所求的图形面积是 S =PQM S ∆-MPF S
扇形25π25π
266
-=-=． 21.解：（Ⅰ）41-=a ,x x x f ln )1(4
1
)(2+--=,(x>0) …………………… 1分
f ＇(x)x
x x x x x x x 2)
1)(2(22121212+--=++-=++-=，……………………2分
① 当0< x < 2时，f ＇(x )>0，f(x )在（0,2）单调递增；
② 当x >2时，f ＇(x )<0，f(x )在),2(+∞单调递减； 所以函数的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是),2(+∞.……………………4分 （Ⅱ）2
()h x x x '=-
，令()h x '=0
得x =……………………5分
当
x ⎡∈⎣时()h x '<0
，当x ⎤∈⎦
时()h x '>0，
故x =()h x 在[]1，e 上唯一的极小值点，……………………6分
故min ()1ln 2h x h ==- 又1(1)2h =
, 211
()222
h e e =->, 所以max ()h x =2
122e -=242e -.…………………… 7分 注：列表也可。

( III )由题意得1ln )1(2
-≤+-x x x a 对),1[+∞∈x 恒成立，……………………8分
设=)(x g 1ln )1(2
+-+-x x x a ，),1[+∞∈x ，则0)(max ≤x g ，),1[+∞∈x
求导得22ax (21)1(21)(1)
'()a x ax x g x x x
-++--==，…………………………9分
① 当0≤a 时，若1>x ，则0)('<x g ，所以)(x g 在),1[+∞单调递减
00)1()(max ≤==g x g 成立，得0≤a ；………………………………………………10分
② 当21≥a 时，121
≤=a
x ,)(x g 在),1[+∞单调递增，
所以存在1>x ，使0)1()(=>g x g ，则不成立；……………………………………11分
③ 当210<<a 时，121>=a x ，则)(x f 在]21,1[a 上单调递减，),21
[+∞a
单调递增，
则存在),21[1+∞∈a a ，有01ln 111ln )11()1(2>-+-=+-+-=a a a
a a a a g ，
所以不成立， …………………………………………………………………………12分 综上得0≤a .………………………………………………………………………………14分 （22）（本小题满分10分）（I ）由⊙C 的极坐标方程为22cos()4
π
ρθ=+
，
展开化为2
22cos()2(cos sin )4
π
ρρθρθθ=+
=-，
即2222x y x y +=-，化为22
(1)(1)2x y -++=∴圆心C (1,1)-．………..5分
（II ）由直线l 的参数方程
（t 是参数），消去参数t 可得x ﹣y-4
=0，
∴圆心C 到直线的距离2424222
d -==->，因此直线l 与圆相离．…….10分。