模糊数学2运算分解定理

Question. 对于0<λ≤1, 求Aλ.
38
λ截集的性质1
性质1. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，若A⊆B，则 Aλ⊆Bλ
证明： x ∈ Aλ ⇔ μA(x)≥λ A⊆B⇔∀x∈X, μB(x) ≥μA(x) ⇒μB(x)≥λ⇔ x ∈ Bλ
39
λ截集的性质2
性质2. 设A，B为论域X上的模糊集，
,当u A
0,当u A
46
1-5. 分解定理
47
三大定理
分解定理 表现定理 扩张原理
48
1-5 分解定理
分解定理是把模糊集合论的问题化 为经典集合论的问题来求解
模糊集合 水平截集
经典集合
49
分解定理Ⅰ
分解定理Ⅰ：设A为论域X上的模糊子 集， Aλ是A的λ截集，λ ∈[0，1]，则 如下分解式成立：
[0,1]
A U H () [0,1]
54
分解定理Ⅲ的证明（2）
2)1 2 H (1) H (2 ) 证明：H (1) A1 A2 H (2 )
A1 A2是截集的性质
55
分解定理Ⅲ的证明（3）
3) A I H ( ) ( 0), A U H ( ) ( 1)
24
课内作业1-2
设X={a,b,c,d,e,f,g} A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/f B=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/g C=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g 求A∩B, A∪B, (A∪B)c ∩C, (A
故上式 [ ] [ 0] A(x)
[0, A( x)]
( A( x),1]
51
分解定理Ⅱ
设A=F(X)，则
A U A [0,1]
52
分解定理Ⅲ
设A∈F(X) ，令
H :[0,1] P( X ), a H ()
满足A H () A ( [0,1])，则
1)A U H () [0,1]
[奴隶社会]0.5 = ？
34
λ水平截集的定义
定义：设A∈F(X) （ F(X)是指X上的所有模 糊子集构成的集合），对任意实数λ∈[0,1]， 称经典集合 Aλ= { x| x ∈X， μA(x) ≥ λ}
为A的λ水平截集，或λ-截集，称 Aλ= { x| x ∈X， μA(x) > λ}为A的λ-强截集
3 2 3
2
2
31
1-4. λ水平截集
32
模糊集合与经典集合的关系
模糊集合是经典集合的扩充 模糊集合可以用经典集合来表示
33
[奴隶社会]
范例
= 1/夏 + 1/商 + 0.9/西周 + 0.7/春秋+ 0.5/战国+0.4/秦+0.3/西汉+0.1/东汉
如果将隶属度≥0.5 的朝代看作真正的 奴隶社会，将模糊集合[奴隶社会]转 化为经典集合[奴隶社会]0.5 ，则
Question. 模糊集合运算中， “排 中律”是否成立？
21
排中律不成立
排中律不成立表明：模糊集不再具 有“非彼即此”的特点，这正是模 糊性带来的本质特征
22
课内作业
5道课内作业 当堂完成，时间25分钟。 上交，算一次成绩。
23
课内作业1-1（共5道）
证明性质5（分配律） (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C)
8
模糊集合的余集
定义6：模糊集合A的余集Ac的隶属函数 定义为
AC (x) 1 A (x)
9
模糊集合的余集
若论域X表示商品集合，模糊集合A表示 商品质量好，模糊集合B表示商品质量 坏
Ac表示什么？ Ac = B ? 商品质量不好，并不代表商品质量坏。
模糊集合能够很好的表现这些概念的差 异。
∩ B)c∪C, (A∩Ac)∪A, (A∩Ac)∪C
25
课内作业1-3
论域X={1,2,…,10}，定义X上的两个 模糊集合：
[大]=A=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8 +1/9+1/10
[小]=B=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 求C=[不大], D=[不小], E=[或大或
10
Example 1
论域X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} A,B是论域X上的两个模糊子集， A = 0.5/x1+ 0.3/x2 + 0.4/x3 + 0.2/x4 B = 0.2/x1+ 0.6/x4 + 1/x5 请计算A,B的余集：A∩B，A∪B
11
Example 2
[不大也不小] Ac I Bc
＝0 0.2 0.4 0.8 0.6 0.6 0.8 0.4 0.2 0 0 0
12 3
4
5
6 7 8 9 10
＝0 0.2 0.4 0.6 0.6 0.4 0.2 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
29
1-4答案
28
1-3答案
[大] A 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1 4 5 6 7 8 9 10
[小] B 1 0.8 0.6 0.4 0.2 12 3 4 5
求[不大],[不小],[或大或小],[不大也不小]
[不大] C Ac 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0 4 5 6 7 8 9 10
2)1 2 H (1) H (2 )
3)A I H ( ) ( 0), A U H ( ) ( 1)
53
分解定理Ⅲ的证明（1）
1)A U H () [0,1]
证明：A H () A A H () A
A U A U H () U A A
[0,1]
[0,1]
证明： x ∈ (A∪B)λ⇔ μA∪B (x)≥λ
又因为μA∪B (x)= max{μA(x),μB(x) } ⇔ μA (x)≥λ 或μB (x)≥λ ⇔ x ∈Aλ或x ∈Bλ ⇔ x ∈ Aλ ∪ Bλ
42
λ水平截集
由性质2（若λ≤μ，则Aλ⊇ Aμ)可知：
λ越大，则Aλ越小，或者说Aλ包含 的元素越少。
回顾
L.A.Zadeh的研究领域是什么？ “拂晓”、“中午”、“晚上”
1
L. A. Zadeh (1921～ ) 美国自动控制专家，美国工程科学
院院士。1921年2月生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。 现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与 计算机科学系教授。因发展模糊集理论 的先驱性工作而获电气与电子工程师学 会(IEEE)的教育勋章。
Question. 什么时候Aλ最小？
43
模糊集的核与支集
λ“=核1时”，，A若λ最Aλ小=1非，空称，截则集称AλA=1为为正模规糊模集糊A的集 模糊集A的支集
suppA={ x| x∈X , μA(x) >0 } 核 属 后与 于 扩A支张，集为随A的着的关λ支系值集：的s核u下pA降pλA=，1中A的λ逐元渐素扩完张全，隶最
小], F=[不大也不小]
26
课内作业1-4
设论域X=[0,1]，A是X上的模糊集 合，其隶属函数为μA(x)=x，试求 A∩Ac和A∪Ac的隶属函数，并做出 解释。
27
课内作业1-5
设论域X R（实数集）, 对x R,
A
(
x)
exp{(
x
2
1)2},
B
(
x)
exp{(
x
2
2
)2}
求Ac , A U B, A I B的隶属函数,并画图
设X [0,1], A(x） x, 求(A U Ac )(x), (A I Ac )(x),并解释
(AU Ac )(x)＝1x, xx, x[0.5[0,1,]0.5]
(A I Ac )(x)＝1x, xx, x[0,0[0.5.5],1]
30
1-5答案
设U R（实数集）, 对x R, A(x) exp{( x 1)2}, B(x) exp{( x 2)2}
[不小] D Bc 0 0.2 0.4 0.6 0.8 12 3 4 5
[或大或小] A U B
1 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 0.2 0.6 0.8 1 1 1
12 3
4
5
6 7 8 9 10
1 0.8 0.6 0.4 0.4 0.6 0.8 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
1-3 模糊集的运算
3
模糊集合的运算
经典集合有哪些运算？ 将经典集合的运算推广至模糊集合 逐点对隶度作相应的运算
4
空模糊集合&相等模糊集合
设A、B为论域X上的模糊集 定义1：若对任何 x∈X，有μA(x) = 0，则
称模糊集A为空集，记为A=φ；
定义2：若对任何 x∈X ， μA(x) = μB(x) ， 则称模糊集A和B相等，记为 A = B ；
性质6.
A∪Φ＝?, A∩Φ＝?
A,
Φ
U∪A=?, U∩A=?
U,
A
18
模糊集合运算性质（还原律）
性质7. (Ac)c = ? (Ac)c = A
19
模糊集合运算性质（对偶律）
性质8. (A∪B)c= ？
Ac∩Bc
(A∩B)c= ？
Ac∪Bc
20
经典集合的其他性质
经典集合的运算中，还有“排中律” Ac∪A= U, A∩Ac = Φ
2
2
求Ac , A U B, A I B,并画图
Ac (x) 1 exp{( x 1)2} 2
exp{( x 1)2} exp{( x 2)2} x 3
2
2
2
A
U
B
exp{( exp{(
x x
1)2}, x 2 2)2}, x 2
3 2 3 2
A
U
B
exp{( exp{(
x x
2)2}, x 2 1)2}, x
λ,μ ∈[0,1]，若λ≤μ，则
Aλ⊇ Aμ 证明： x ∈ Aμ ⇔ μA(x)≥μ 又已知λ≤μ ⇒ μA(x)≥λ⇔ x ∈Aλ
40
λ截集的性质3
性质3. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，则有
(A∪B)λ= ? Aλ ∪ Bλ
(A∩B)λ= ？ Aλ∩Bλ
41
证明 (A∪B)λ= Aλ ∪ Bλ
5
模糊集合的包含⊆
定义3：若对任何 x∈X， μA(x) ≤μB(x) ，则 称模糊集A包含于模糊集B，记为 A⊆B
6
模糊集合的并集
定义4：两个模糊集合的并集A ∪ B 的 隶属函数定义为 μA ∪ B (x) =μA (x) ∨μB (x)
7
模糊集合的交集
定义5：两个模糊集合的交集A ∩ B的隶 属函数定义为 μ A ∩ B (x) = μA (x) ∧μB (x)
A=∪λ∈[0,1]λAλ
图形解释
50
分解定理Ⅰ的证明
A U A A(x) ( U A )(x)
[0,1]
[0,1]
U 证明：( [0,1]
A
)( x)
(
[0,1]
A
)(x)
[ [0, A(
x
(
)]
A
)(
x)]
[ (
A( x
(
),1]
A
)(
x)]
因为
A
(
x)
0,
,
A( x) A( x)
性质3. (A∪B)∪C=A∪(B ∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
15
模糊集合运算性质（吸收律）
性质4.
A∩(A∪B)= ? A
A∪(A∩B)=？ A
16
模糊集合运算性质（分配律）
性质5. (A∪B)∩C=？
( A∩C)∪(B∩C)
(A∩B)∪C= ？ ( A∪C)∩(B∪C)
17
模糊集合运算性质（0-1律）
模糊集合“年轻”记为Y 模糊集合“年老”记为O
请大致给出模糊集合Y∩O，Y∪O 的隶属函数曲线
12
模糊集合运算性质（幂等律）
A∪A＝? , A∩A=? 性质1. 幂等律： A∪A=A，A∩A=A
13
模糊集合运算性质（交换律）
性质2.
A∪B=B∪A A∩B=B∩A
14
模糊集合运算性质（结合律）
35
Question.
模糊集合A的λ-截集Aλ是什么集合？ Aλ的特征函数是什么？
36
λ-截集的特征函数
一个模糊集A的水平截集是普通集合， 其特征函数为：
C
A
(
x)
10,,当当AA((xx))
时 时
Aλ的图例
37
λ－截集（例）
设模糊集合A为正态模糊集，即隶 属函数为正态函数
A(x) =exp{-(x-a)2/σ2} ,x∈R, 其中 a∈R,σ>0
44
模糊集与λ的乘积运算
A是X上的模糊子集，定义λA仍然 表示X上的模糊子集，称为λ与A的 “乘积”，其隶属函数规定为：
A (x) A (x)
45
水平截集Aλ与λ的乘积运算
Aλ是U的经典子集，定义λAλ表 示U上的模糊子集，称为λ与Aλ 的“乘积”，其隶属函数规定 为：
A
(u)
CA
(u)