九年级数学《切线长定理》课件
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∴AC－AE＝AB－AF,
∴CE＝BF,即BF＝CE.
7.(创新题)如图,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与 AB,AC分别交于点D,E.求证:BD＋CE＝DE.
证明:∵☉O是△ABC的内切圆, ∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴∠OBC＝∠OBD,∠ECO＝∠BCO. ∵DE∥BC,∴∠DBO＝∠OBC＝∠DOB, ∠ECO＝∠BCO＝∠EOC, ∴BD＝DO,EC＝EO,∴BD＋CE＝DE.
10.如图,☉O是△ABC的外接圆,BC为☉O的直径,点E为 △ABC的内心,连接AE并延长交☉O于点D,连接BD并延长至 F,使得BD＝DF,连接CF,BE. (1)求证:DB＝DE; (2)求证:直线CF为☉O的切线.
证明:(1)∵E是△ABC的内心, ∴∠BAE＝∠CAE,∠EBA＝∠EBC, ∵∠DBC＝∠CAE, ∴∠DBC＝∠BAE, ∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA,∠DBE＝∠EBC＋∠DBC, ∴∠DBE＝∠BED,∴DB＝DE.
9.如图,☉O的直径AB为10 cm,点E是圆内接△ABC的内心,CE 的延长线交☉O于点D.
(1)求AD的长; (2)求DE的长.
解:(1)如图,连接 BD,
∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB＝∠ADB＝90°,
∵点 E 是圆内接△ABC 的内心,
∴CE 平分∠ACB,∴∠1＝45°,∴∠DBA＝∠1＝45°, 答案图
(2)解:设OA＝r.∵OB＝OC,∴∠OBC＝∠OCB, ∵OB∥QD,∴∠QDC＝∠B, ∵∠OCB＝∠QCD,∴∠QCD＝∠QDC,∴QC＝QD＝6, ∵QO＝QP,∴OC＝DP＝r, ∵PC是☉O的切线,∴OC⊥PC, ∴∠OCP＝∠PCQ＝90°, 在Rt△PCQ中,∵PQ2＝PC2＋QC2, 又PC＝PA＝AB＝2r, ∴(6＋r)2＝(2r)2＋62,解得r＝4或0(不合题意,舍去),
11.(几何直观、推理能力、模型思想)如图,AB为☉O的直 径,PA,PC分别与☉O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线 于点Q.
(1)求证:OQ＝PQ; (2)连接BC并延长交PQ于点D,PA＝AB,且CQ＝6,求BD的长.
(1)证明:连接OP. ∵PA,PC分别与☉O相切,∴PA＝PC,OA⊥PA, ∵OA＝OC,OP＝OP, ∴△OPA≌△OPC(SSS),∴∠AOP＝∠POC, ∵QP⊥PA,∴QP∥BA,∴∠QPO＝∠AOP, ∴∠QOP＝∠QPO,∴OQ＝PQ.
8.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,AC＝6. (1)求作△ABC的内切圆☉O; (2)求∠BOA的度数; (3)求☉O的半径.
解:(1)如图,☉O就是所求的圆.
答案图
(2)∵在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,
∴∠ABC＋∠BAC＝90°,
由(1)知,OB 平分∠ABC,OA 平分∠BAC,
(2)连接 CD.∵DA 平分∠BAC, ∴∠DAB＝∠DAC,∴BD＝CD,∴BD＝CD, ∵BD＝DF,∴CD＝DB＝DF, ∴∠DBC＝∠DCB,∠F＝∠DCF, ∴2∠DBC＋2∠F＝180°,∴∠DBC＋∠F＝90°, ∴∠BCF＝90°,∴BC⊥CF, 又 BC 是☉O 的直径,∴CF 是☉O 的切线.
5.如图,PA,PB与☉O相切于点A,B,∠APB＝90°,PA＝1, 连接AO,BO.
(1)四边形OAPB是 正方 形; (2)☉O的半径长为 1 .
6.如图,在△ABC中,AB＝AC,△ABC的内切圆☉O与边 BC,AC,AB分别切于点D,E,F,求证:BF＝CE. 证明:∵AE,AF是☉O的切线, ∴AE＝AF, 又∵AC＝AB,
第二十四章 圆
第10课时 切线长定理
1.如图,在△ABC中,AB<AC<BC.求作:一圆的圆心O,使得O在 BC上,且☉O与AB,AC都相切.下列四种作法中,正确的是( B )
A.作BC的中点O B.作∠A的平分线交BC于O点 C.作AC的中垂线,交BC于O点 D.自A点作一直线垂直于BC,交BC于O点
∴∠ABO＝1∠ABC,∠BAO＝1∠BAC,
ห้องสมุดไป่ตู้
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∴∠BOA＝180°－(∠ABO＋∠BAO)
＝180°－1 (∠ABC＋∠BAC)＝180°－ 1×90°＝135°.
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(3)在 Rt△ABC 中,AB＝10,AC＝6,∴BC＝8.
设☉O 的半径为 r,可得 8－r＋6－r＝10,∴r＝2,
即☉O 的半径为 2.
∴OP＝ 42＋82＝4 5, ∵OB＝PD,OB∥PD, ∴四边形 OBDP 是平行四边形,∴BD＝OP＝4 5.
2.如图,☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,若∠A＝70°,连 接BO,OC,则∠BOC＝ 125° .
3.如图,△ABC的内切圆的三个切点分别为D,E,F,∠A＝ 45°,∠B＝75°,则圆心角∠EOF＝ 120° .
4.如图,PA,PB是☉O的切线,点A,B为切点,AC是☉O的直 径,∠P＝40°,则∠PAB＝ 70 °,∠ACB＝ 70 °.
∴△ADB 为等腰直角三角形,AD＝BD,
∴由 AD2＋BD2＝AB2,得 AD＝ 2 AB＝ 2 ×10＝5 2(cm).
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(2)如图,连接 AE, ∵点 E 是圆内接△ABC 的内心,∴∠2＝∠4, 由(1)可得∠5＝∠ABD,又∠1＝∠ABD, ∴∠1＝∠5,∴∠3＝∠1＋∠2＝∠5＋∠4, 即∠3＝∠DAE,∴DE＝DA＝5 2 cm.
∴CE＝BF,即BF＝CE.
7.(创新题)如图,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与 AB,AC分别交于点D,E.求证:BD＋CE＝DE.
证明:∵☉O是△ABC的内切圆, ∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴∠OBC＝∠OBD,∠ECO＝∠BCO. ∵DE∥BC,∴∠DBO＝∠OBC＝∠DOB, ∠ECO＝∠BCO＝∠EOC, ∴BD＝DO,EC＝EO,∴BD＋CE＝DE.
10.如图,☉O是△ABC的外接圆,BC为☉O的直径,点E为 △ABC的内心,连接AE并延长交☉O于点D,连接BD并延长至 F,使得BD＝DF,连接CF,BE. (1)求证:DB＝DE; (2)求证:直线CF为☉O的切线.
证明:(1)∵E是△ABC的内心, ∴∠BAE＝∠CAE,∠EBA＝∠EBC, ∵∠DBC＝∠CAE, ∴∠DBC＝∠BAE, ∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA,∠DBE＝∠EBC＋∠DBC, ∴∠DBE＝∠BED,∴DB＝DE.
9.如图,☉O的直径AB为10 cm,点E是圆内接△ABC的内心,CE 的延长线交☉O于点D.
(1)求AD的长; (2)求DE的长.
解:(1)如图,连接 BD,
∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB＝∠ADB＝90°,
∵点 E 是圆内接△ABC 的内心,
∴CE 平分∠ACB,∴∠1＝45°,∴∠DBA＝∠1＝45°, 答案图
(2)解:设OA＝r.∵OB＝OC,∴∠OBC＝∠OCB, ∵OB∥QD,∴∠QDC＝∠B, ∵∠OCB＝∠QCD,∴∠QCD＝∠QDC,∴QC＝QD＝6, ∵QO＝QP,∴OC＝DP＝r, ∵PC是☉O的切线,∴OC⊥PC, ∴∠OCP＝∠PCQ＝90°, 在Rt△PCQ中,∵PQ2＝PC2＋QC2, 又PC＝PA＝AB＝2r, ∴(6＋r)2＝(2r)2＋62,解得r＝4或0(不合题意,舍去),
11.(几何直观、推理能力、模型思想)如图,AB为☉O的直 径,PA,PC分别与☉O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线 于点Q.
(1)求证:OQ＝PQ; (2)连接BC并延长交PQ于点D,PA＝AB,且CQ＝6,求BD的长.
(1)证明:连接OP. ∵PA,PC分别与☉O相切,∴PA＝PC,OA⊥PA, ∵OA＝OC,OP＝OP, ∴△OPA≌△OPC(SSS),∴∠AOP＝∠POC, ∵QP⊥PA,∴QP∥BA,∴∠QPO＝∠AOP, ∴∠QOP＝∠QPO,∴OQ＝PQ.
8.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,AC＝6. (1)求作△ABC的内切圆☉O; (2)求∠BOA的度数; (3)求☉O的半径.
解:(1)如图,☉O就是所求的圆.
答案图
(2)∵在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,
∴∠ABC＋∠BAC＝90°,
由(1)知,OB 平分∠ABC,OA 平分∠BAC,
(2)连接 CD.∵DA 平分∠BAC, ∴∠DAB＝∠DAC,∴BD＝CD,∴BD＝CD, ∵BD＝DF,∴CD＝DB＝DF, ∴∠DBC＝∠DCB,∠F＝∠DCF, ∴2∠DBC＋2∠F＝180°,∴∠DBC＋∠F＝90°, ∴∠BCF＝90°,∴BC⊥CF, 又 BC 是☉O 的直径,∴CF 是☉O 的切线.
5.如图,PA,PB与☉O相切于点A,B,∠APB＝90°,PA＝1, 连接AO,BO.
(1)四边形OAPB是 正方 形; (2)☉O的半径长为 1 .
6.如图,在△ABC中,AB＝AC,△ABC的内切圆☉O与边 BC,AC,AB分别切于点D,E,F,求证:BF＝CE. 证明:∵AE,AF是☉O的切线, ∴AE＝AF, 又∵AC＝AB,
第二十四章 圆
第10课时 切线长定理
1.如图,在△ABC中,AB<AC<BC.求作:一圆的圆心O,使得O在 BC上,且☉O与AB,AC都相切.下列四种作法中,正确的是( B )
A.作BC的中点O B.作∠A的平分线交BC于O点 C.作AC的中垂线,交BC于O点 D.自A点作一直线垂直于BC,交BC于O点
∴∠ABO＝1∠ABC,∠BAO＝1∠BAC,
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∴∠BOA＝180°－(∠ABO＋∠BAO)
＝180°－1 (∠ABC＋∠BAC)＝180°－ 1×90°＝135°.
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(3)在 Rt△ABC 中,AB＝10,AC＝6,∴BC＝8.
设☉O 的半径为 r,可得 8－r＋6－r＝10,∴r＝2,
即☉O 的半径为 2.
∴OP＝ 42＋82＝4 5, ∵OB＝PD,OB∥PD, ∴四边形 OBDP 是平行四边形,∴BD＝OP＝4 5.
2.如图,☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,若∠A＝70°,连 接BO,OC,则∠BOC＝ 125° .
3.如图,△ABC的内切圆的三个切点分别为D,E,F,∠A＝ 45°,∠B＝75°,则圆心角∠EOF＝ 120° .
4.如图,PA,PB是☉O的切线,点A,B为切点,AC是☉O的直 径,∠P＝40°,则∠PAB＝ 70 °,∠ACB＝ 70 °.
∴△ADB 为等腰直角三角形,AD＝BD,
∴由 AD2＋BD2＝AB2,得 AD＝ 2 AB＝ 2 ×10＝5 2(cm).
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(2)如图,连接 AE, ∵点 E 是圆内接△ABC 的内心,∴∠2＝∠4, 由(1)可得∠5＝∠ABD,又∠1＝∠ABD, ∴∠1＝∠5,∴∠3＝∠1＋∠2＝∠5＋∠4, 即∠3＝∠DAE,∴DE＝DA＝5 2 cm.