高中数学第一章-空间向量与立体几何单元测试(基础卷)(解析版)

第一章空间向量与立体几何单元过关基础A 版
解析版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5-- D ．()2,3,5-
【答案】A 【解析】 【分析】
关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数． 【详解】
关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ． 【点睛】
本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．
2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DA B C D A B C -中放一个单位正方体礼盒1111DABC D A B C -，现以点D 为坐标原点，2DA 、2DC 、3DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则正确的是（ ）
A ．1D 的坐标为(1,0,0)
B ．1D 的坐标为(0,1,0)
C ．13B B 293
D ．13B B 14【答案】D
【分析】
根据坐标系写出各点的坐标分析即可. 【详解】
由所建坐标系可得：1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B ，3(2,3,4)B ，
13B B ==.
故选：D. 【点睛】
本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.
3．空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3345A B 、，，，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．()234，
， B ．()134，， C ．()235，， D ．()245，
， 【答案】A 【解析】
点()()1,2,3345A B 、，
，， 由中点坐标公式得中得为：132435,,222+++⎛⎫
⎪⎝⎭
，即()234，，. 故选A.
4．已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量
B ．AB 的单位向量是⎫
⎪⎪⎝⎭
C ．AB 与BC
D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)- 【答案】D 【分析】
根据向量的相关性质判断. 【详解】
对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；
对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB
的单位向量为55⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，所以B 项错误； 对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-
，所以cos ,11
AB BC AB BC AB BC
⋅==-
⋅，所以C 项错误；
对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以
00
n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则20
20x y x y z +=⎧⎨
-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确. 故选:D. 【点睛】
本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.
5．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，且两平面的一个法向量
()1,0,1n =-，则两平面间的距离是
(
)
A ．
3
2
B
C D ．【答案】B 【解析】
两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，()2,1,1OA =，且两平面的一个法向量()1,0,1,n =-∴
两平面间的距离22
n OA n
⋅-+=
=
=
，故选B. 6．下图是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块的直观图，其中,,P Q F 分别是11D C ，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（ ）
A ．43
B ．33
C ．23
D 3
【答案】A 【分析】
先根据题意平面α可以平移至平面11A BC ，即木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形'
'
'
111A A BC C D ，最后根据正六边形面积公式可求出投影的面积． 【详解】
解：根据题意可知平面α过点D 且平行于平面PQF ， 则平面α可以平移至平面11A BC ，
木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影， 根据投影的性质可得投影为正六边形'
'
'111A A BC C D 如图所示， 因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2， 所以221222A B =+=
则投影面内正六边形的边长为：'1226
cos303
A A =
=
根据正六边形面积公式可得投影的面积为：
'''
1
11
2
33264323A A BC C D S ⎛=⨯= ⎝⎭
故投影面积为：43故选：A
【点睛】
本题主要考查空间几何体和正投影得概念，考查面积公式是计算，考查空间想象力和推导能力，属于难题．
7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段
PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．13
【答案】D 【分析】
建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得
222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可
求得2
HP 的范围. 【详解】
根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：
作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥
作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离. 设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤ ∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 ∴PN PF =
由两点间距离公式可得()()
22
12x x z =
-+-化简得()2
212x z -=-,则210x -≥解不等式可得
1
2
x ≥
综上可得
1
32
x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中
2
2
2
HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()22
3321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
所以213HP ≥（当时2x = 取等） 故选:D 【点睛】
本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题. 8．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上
其余的八个点，则集合{}
,1
238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】A 【分析】
本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2
i
AB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i AB
BP 即可得出结果.
【详解】
由图像可知，i i AP AB BP =+，
则()
2
i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+， 因为棱长为1，i AB
BP ，
所以0i AB BP ⋅=，2
101
i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{}
,1
238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1， 故选：A . 【点睛】
本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.
二、多选题
9．给出下列命题，其中正确的有（ ） A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底
B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底
C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ，BM ，BN 不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，
N 共面
D ．已知{,,}a b c 是空间向量的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间一组基底 【答案】BCD 【分析】
选项A 、B 中，根据空间基底的概念，可判断；选项C 中，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，由此可判断；选项D 中：基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，由此可判断． 【详解】
选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；
选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；
选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；
选项D 中：由{}
,,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选：BCD.
10．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A ．1n ∥2n ⇔α∥β B ．1n ⊥2n ⇔α⊥β C ．v ∥1n ⇔l ∥α D ．v ⊥1n ⇔l ∥α
【答案】AB 【分析】
根据线面直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】
解：v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， 则1n ∥2n ⇔α∥β，1n ⊥2n ⇔α⊥β，v ∥1n ⇔l ⊥α，v ⊥1n ⇔l ∥α或l ⊂α. 因此AB 正确.
故选：AB.
11．在长方体ABCD A B C D ''''-中，2AB =，3AD =，1AA '=，以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A ．(3,2,1)BD '=--
B ．异面直线A D '与BD '
所成角的余弦值为35
C ．平面A C
D ''的一个法向量为(2,3,6)-- D ．二面角C A D D '''--的余弦值为37
【答案】ACD 【分析】
由向量法对每一选项进行逐一计算验证，可得答案. 【详解】
由题意可得()()()3,0,0,3,2,0,0,2,0A B C ,()()()()0,0,1,3,0,1,0,2,1,3,2,1D A C B '''' 选项A: 所以(3,2,1)BD '=--，则A 正确.
选项B:()3,0,1DA '=,(3,2,1)BD '=--,所以,cos ,10DA BD
DA BD DA BD ''''=
=''
⋅=
所以异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为
35
，则B 不正确. 选项C ：设平面A C D ''的一个法向量为(),,n x y z =
由()3,0,1DA '=,()0,2,1DC '=，则0
0n DA n DC ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
'' 所以30
20
x z y z +=⎧⎨
+=⎩ ，取6z =，得()2,3,6n =--，则C 正确.
选项D ：由上可得平面A C D ''的一个法向量为(2,3,6)n =-- 又平面A DD ''的法向量为()0,1,0m = 则3
cos ,17
n m n m n m
⋅-=
=
⨯⋅ 所以二面角C A D D '''--的余弦值为3
7
，则D 正确. 故选：ACD
12．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）
A ．11
B E A B ⊥
B ．平面1//B CE 平面1A BD
C ．三棱锥11C B CE -的体积为8
3
D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π
【答案】CD 【分析】
以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体
1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.
【详解】
以1{,,}
AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，
所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，
因为1140840
B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-
设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则
由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，
不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，
同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，
故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，
故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以11111111118
4223323
三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；
三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，
故外接球的半径222
22462
R ++==，
所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】
本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.
三、填空题
13．若直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，且l α⊥，则m =______． 【答案】2- 【分析】
由已知可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，根据空间向量平行的充要条件可得到一个关于λ和m 的方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】 解：
l α⊥，直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，
∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行.
则存在实数λ使()4,2,m λ=()2,1,1-，
即422m λλλ=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，∴2m =-. 故答案为：2-.
【点睛】
本题考查向量语言表述线面垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行是解本题的关键，属于基础题.
14．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则与同方向的单位向量是________________
【答案】
【解析】 试题分析：，与
同方向的单位向量是
考点：空间向量的坐标运算；
15．如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且
2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为_______．
【答案】23
【分析】
利用基向量表示PD ,结合空间向量基本定理可得. 【详解】
1111111()2323366
PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC =+=
+=+-=++ 所以11,36x y z ===，所以2
3x y z ++=.
【点睛】
本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.
16．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．
334
【分析】
建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标PQ 的表达式，从而可得最小值. 【详解】
以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，
则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D , 设11B Q B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈.
()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-. ()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----, ()()()2
2
2
2
122233QP μλμλλ=+-+--+-
22
2215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛
⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ 长度的最小值为
334
34
. 【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.
四、解答题
17．如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且
1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.
（1）试用,,a b c 表示1
AC ； （2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长.
【答案】（1）1AC a b c =---；（2）29
2
. 【分析】
（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2）由21
||()4
CO a b c =++可计算出. 【详解】
（1）1
1AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；
（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，
11
0,233,23322
a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯
=⋅=⨯⨯=，
111
()22
CO CA a b c ==++，
∴21
||()4
CO a b c =
++ ()
22
212224
a b c a b a c b c =
+++⋅+⋅+⋅， ()
2221
2929
223023234
42
=
⨯++++⨯+⨯==
. 【点睛】
本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.
18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 中点，O 为AC 中点，222AD AB AP ===.
（1）证明：OE //平面PAB ；
（2）异面直线PC 与OE 所成角的余弦值.
【答案】（1）见详解； （2）3
3
【分析】
（1）连接BD ，得到O 为BD 中点，然后利用中位线定理，可得//OE PB ，根据线面平行的判定定理，可得结果.
（2）通过建系，可得,PC OE ，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】
（1）证明：连接BD ，则O 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴OE //PB .
∵PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB ， ∴OE //平面PAB
（2）以A 为原点建立空间直角坐标系， 如图，
则(0,0,1),(1,2,0),(0,2,0)P C D ，
110,1,,,1,022E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴11(1,2,1),,0,22PC OE ⎛⎫
=-=-
⎪⎝
⎭， ∴
3cos ,162
PC OE =
=⋅
即异面直线PC 与OE 3【点睛】
本题考查线面平行的判定定理以及建系通过利用向量的方法解决线线角，将几何问题用代数方法来解决，化繁为简，属基础题.
19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．
（1）求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M CDE -的体积； （2）求证：DM ⊥平面ACE ．
【答案】（1）M 到平面DEC 的距离为3，23
3
M CDE V -=；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设AC
BD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面
ABCD 垂直的直线为z 轴，
建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M 到平面DEC 的距离，计算出CDE △的面积，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥M CDE -的体积；
（2）利用向量法证明出0AC DM ⋅=，0AE DM ⋅=，可得出DM AC ⊥，DM AE ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得DM ⊥平面ACE . 【详解】 （1）设AC
BD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面
ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
易知z 轴在平面BDEF 内，且////BF DE z 轴，则()
0,3,0C 、()1,0,0D -、()1,0,2E -、
()1,0,1M ，
()0,0,2DE ∴=，()1,3,0DC =，()2,0,1DM =，
设平面DEC 的一个法向量(),,n x y z =，
则2030
n DE z n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =，得(
)
3,1,0n =-，
M ∴到平面DEC 的距离23
331
DM n h n
⋅=
=
=+， 又11
22222
DEC
S
DE DC =
⨯⨯=⨯⨯=， 因此，三棱锥M CDE -的体积1123
23333
M CDE DEC V S h -=
⨯⨯=⨯⨯=
△； （2）证明：由（1）易知()
0,3,0A -，则()0,23,0AC =，()
1,3,2AE =-，
02230010AC DM ⋅=⨯+⨯+⨯=，1230210AE DM ⋅=-⨯+⨯+⨯=，
DM AC ∴⊥，DM AE ⊥，AC
AE A =，DM ∴⊥平面ACE .
【点睛】
本题考查利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥体积的计算，同时也考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点．
（1）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【答案】（16（26
【分析】
取CD 的中点O ，连接PO ，证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系.
（1）写出PA 、DE 的坐标，利用空间向量法可求得异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求得平面ABCD 的一个法向量，并写出PA ，利用空间向量法可求得直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【详解】
取DC 的中点O ，连接PO ，
PDC △为正三角形，O 为DC 的中点，则PO DC ⊥．
又
平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC
平面ABCD DC =，PO ⊂平面PDC ，
PO ∴⊥平面ABCD ．
以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系
O xyz -，
则30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭、,,02a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、0,,02a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭、0,,02a D ⎛
⎫- ⎪⎝⎭.
（1）设异面直线PA 与DE 所成的角为θ，
E 为PC 的中点，30,4a E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，330,4DE a ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，3,,2a PA a ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 233330244a a PA DE a a ∴⋅=⨯-⨯=-，2PA a =，3
2
DE =，
2
364cos cos ,4
322
a PA DE PA DE PA DE
a a θ⋅=<>=
=
=
⋅⨯
， 因此，异面直线PA 与DE 6 （2）设直线AP 与平面ABCD 所成的角为α，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，
362cos ,421a
PA n PA n a PA n
-
⋅<>===-
⨯⋅. 因此，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为6
4
. 【点睛】
本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值以及线面角的正弦值，考查计算能力，属于中等题.
21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 、底面ABCD 为菱形，E 为PD 的中点.
（1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设1,120PA BAD ︒
=∠=，菱形ABCD 的面积为23D AE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1
4
. 【分析】
（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//PB OE ，利用线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据题意，求得菱形ABCD 的边长，取BC 中点M ，可证AM BC ⊥，如图建系，求得点坐标及,AE AC 坐标，即可求得平面ACE 的法向量，根据AM ⊥平面P AD ，可求得面ADE 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】
（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，
则O 、E 分别为,AB ACAM PAD AE AC =⊥、PD 的中点，所以//PB OE ， 又OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE
（2）由菱形ABCD 的面积为23，120BAD ︒∠=，易得菱形边长为2， 取BC 中点M ，连接AM ，因为AB AC =，所以AM BC ⊥，
以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.
则()())
10,2,0,0,0,0,0,1,,3,1,02D A E C
⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以(
)
10,1,
,3,1,02AE AC ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
设平面ACE 的法向量()1,,n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥
得10230y z x y ⎧+=⎪
⎪+=⎩
，令3x =3,6y z =-= 所以一个法向量(
)
13,3,6n =
-，
因为AM AD ⊥，AM PA ⊥，所以AM ⊥平面P AD ， 所以平面ADE 的一个法向量()21,0,0n = 所以121212
31
cos ,4
3936n n n n n n ⋅<>=
=
=++，
又二面角D AE C --为锐二面角，所以二面角D AE C --的余弦值为
14
【点睛】
解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.
22．如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，
122
AD DC AB ==
=，平面BCM ⊥平面ABCD .
（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；
（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4
π？若存在，求出AE
AM 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23
AE AM
=
【分析】
（1）由线面平行判定定理证明即可；
（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面
BCM ；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】
证明：（1）因为AB CD ∥，
AB 平面ABM ，
CD ⊄平面ABM ，
所以CD ∥平面ABM .
（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===
CN AB ⊥.
在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ， 且平面BCM
平面ABCD BC =，
所以AC ⊥平面BCM .
（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.
如图建立空间直角坐标系O xyz -，
则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，
()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.
易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.
假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为
4
π.
不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，
则0,
0,
n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩
令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.
从而2cos ,2
m n m n
m n ⋅=
=
⋅.
解得2
3
λ=
或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23
λ=
. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.
所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4
π， 此时
23
AE AM
=
.
【点睛】
本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的
步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范
第一：认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜
其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。