高中数学人教B版选修1-1课件：3.1.1 函数的平均变化率 (2)

解:∵Δ x＝－1－(－3)＝2,
Δ y＝f(－1)－f(－3)
＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6,
∴Δ Δ
xy＝62＝3,即
f(x)在－3
到－1
之间的平均
变化率为 3.
∵Δ y＝f(1＋Δ x)－f(1)＝[3×(1＋Δ x)＋1]－
(3×1＋1)＝3·Δ x,∴ΔΔ xy＝3·ΔΔx x＝3,即 f(x)
的数值时,函数的平均变化率也是不同的.需
特别注意,当函数 f(x)为常数函数时,Δ y＝0,则
Δ Δ
xy＝0.
失误防范 注意公式中分子与分母形式上的对应关系,以 防代入数值时出错.
再见
为0,Δy的值可以为0.
2.平均变化率的计算步骤
(1)求自变量的改变量__Δ_x_＝__(_x_0_＋__Δ_x_)_－_x_0___;
(2)求函数值的改变量__Δ_y_＝__f(_x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0)_;
(3)求ΔΔ
y＝f（x0＋Δ x
x）－ Δx
f（x0）.
做一做
2.函数f(x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之间的平均变 化率为( )
A.2x0－1 C.2x0Δx＋(Δx)2
B.2x0＋Δx D.(Δx)2－Δx＋1
解析:选 B.Δ y＝f(x0＋Δ x)－f(x0)＝(x0＋Δ x)2 －x20＝2x0Δ x＋(Δ x)2,∴ΔΔ xy＝2x0＋Δ x.
题型一 求平均变化率 例1 求 y＝f(x)＝2x2＋1 在区间[x0,x0＋Δ x]
上的平均变化率,并求当 x0＝1,Δ x＝12时平均 变化率的值.
解：函数 f(x)＝2x2＋1 在区间[x0,x0＋Δ x]上的
平均变化率为:ΔΔ
y＝f（x0＋Δ x
x）－f（x0） Δx
＝[2（x0＋Δ x）2Δ＋x1]－（2x20＋1）＝4x0＋2Δ x.
当 x0＝1,Δ x＝12时,
平均变化率为 4×1＋2×12＝5.
变式训练 2.函数f(x)＝2x2＋1在x＝1附近的平均变化率 ________在x＝3附近的变化率(填“大于”“小于 ”“等于”).
【解析】先求在 x＝3 附近的平均变化率,
k1＝ΔΔ
y＝f（3＋Δ x
Δx）x－f（3）＝
2（3＋Δ x）Δ2＋x1－2×32－1＝2Δ x＋12;
再求在
x＝1
附近的平均变化率可得
(3)注意自变量与函数值的对应关系,公式中若 Δx＝x－x0,则Δy＝f(x)－f(x0);若Δx＝x0－x,则 Δy＝f(x0)－f(x).
(4)在公式
wenku.baidu.com
Δ Δ
xy＝f（x）x－ －xf（0 x0）f（x0＋Δ
x）－f（x0） Δx
中,当 x0 取定值,Δ x 取不同的数值时,函数的
平均变化率是不同的;当Δ x 取定值,x0 取不同
第三章 导数及其应用
3.1 导数
3.1.1 函数的平均变化率
1.函数的平均变化率的定义
已知函数 y＝f(x)在点 x＝x0 及其附近有定义,
令Δ x＝x－x0;Δ y＝y－y0＝_f_(_x)_－__f_(x_0_)___
＝__f(_x_0＋___Δ_x_)－__f_(_x_0)____,则当Δ x≠0 时,比值
当 x0＝2,Δ x＝13时,平均变化率的值为－133,(8 分)
当 x0＝3,Δ x＝13时,平均变化名率师的微值博为－139,
(10
分)∵－73>－133>－139,
负数大小的比较容易 出错噢！
∴函数 f(x)＝3－x2 在 x0＝1 附近的平均变化率
最大.(12 分)
【名师点评】 函数的平均变化率反映的是 函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度,此题 中“函数在x＝3附近平均变化率的绝对值最大 ”说明在x＝1,2,3这三点中,在x＝3附近函数的 图象最为“陡峭”.
k2＝ΔΔ
y x
＝2Δ x＋4;因为 k1－k2＝2Δ x＋12－2Δ x－4 ＝8>0,所以填“小于”.
【答案】小于
方法技巧
关于函数的平均变化率,应注意以下几点: (1)函数f(x)在x0及其附近处有定义. (2)Δx是变量x在x0处的改变量,且x是x0附近的 任意一点,即Δx＝x－x0≠0,但Δx可以为正,也可 以为负.
解：函数 f(x)＝3－x2 在 x0 到 x0＋Δ x 之间的 平均变化率为
f（x0＋Δ x）－f（x0）＝ Δx
[3－（x0＋Δ x）2]－（3－x20）＝ 名师微博
Δx
代数式的化简是关键.
－2x0·Δ x－（Δ x）2
Δx
＝－2x0－Δ x,(4 分)
当 x0＝1,Δ x＝13时,平均变化率的值为－73,(6 分)
在 1 到 1＋Δ x 之间的平均变化率为 3.
题型二 平均变化率的比较 例2 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝3－x2,
计算当 x0＝1,2,3,Δ x＝13时,平均变化率的值, 并比较函数 f(x)＝3－x2 在哪一点附近的平均 变化率最大?
【思路点拨】 先求f(x)在x0到x0＋Δx之间的 平均变化率,再求各点附近的平均变化率,最后 比较得结论.
__f（__x_0_＋__Δ__xΔ_）_x_－__f_（__x_0）___＝ΔΔ
y叫做函数 x
y＝
f(x)在 x0 到 x0＋Δ x 之间的平均变化率.
想一想
1.平均变化率ΔΔ
y＝f（x0＋Δ x
xΔ）x－f（x0）中,
Δ x、Δ y 的值是否可为任意实数?
提示:Δx、Δy的值可正、可负,但Δx的值不能
【名师点评】 求函数平均变化率的注意点:
(1)求函数平均变化率时注意Δ x、Δ y 两者都
可正、可负,但Δ x 的值不能为零,Δ y 的值可
以为零.若函数 y＝f(x)为常数函数,则Δ y＝0.
(2)求点 x0 附近的平均变化率,
要用f（x0＋Δ
x）－ Δx
f（x0）的形式.
变式训练 1.已知函数f(x)＝3x＋1,计算f(x)在－3到－1之 间和在1到1＋Δx之间的平均变化率.