上海八年级上一元二次方程专题复习

八年级秋季班期末复习讲义二
八、等积变形
例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m ）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.
解 都能.（1）设小路宽为x ，则18x +16x －x 2＝
2
3
×18×15，即x 2－34x +180＝0， 解这个方程，得x ＝
34436
2
，即x ≈6.6. （2）设扇形半径为r ，则3.14r 2＝
23
×18×15，即r 2≈57.32，所以r ≈7.6. 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.
九、动态几何问题
例9 如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm /s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动.
（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？
（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
图1
如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.
图2
Q
P
C B
A 图4
图3
解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7. （2）S 1＝n 2+(12－n )[n 2－(n －1)2]＝－n 2+25n －12.
①当n ＝2时，S 1＝－22+25×2－12＝34，S 2＝12×12－34＝110. 所以S 1∶S 2＝34∶110＝17∶55. ②若S 1＝S 2，则有－n 2+25n －12＝
1
2
×122，即n 2－25n +84＝0， 解这个方程，得n 1＝4，n 2＝21（舍去）. 所以当n ＝4时，S 1＝S 2.所以这样的n 值是存在的.
说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.
十三、探索在在问题
例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. 解（1）设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20－x ）cm .
则根据题意，得24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2
204x -⎛⎫
⎪⎝⎭
＝17，解得x 1＝16，x 2＝4，
当x ＝16时，20－x ＝4，当x ＝4时，20－x ＝16， 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm .
（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm ，则另一段为（20－y ）cm .则由题意得
24y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2
204y -⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝12，整理，得y 2－20y +104＝0，移项并配方，得(y －10)2
＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.
说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b 2－4ac 来判定.若b 2－4ac ≥0，方程有两个实数根，若b 2－4ac ＜0，方程没有实数根，本题中的b 2－4ac ＝－16＜0即无解.
十四、平分几何图形的周长与面积问题
例14 如图7，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10.点E•在下底边BC 上，点F 在腰AB 上.
（1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积； （2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；
图6
（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由.
解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28. 过点F 作FG ⊥BC 于G ，过点A 作AK ⊥BC 于K . 则可得，FG ＝
125
x
×4， 所以S △BEF ＝
12BE ·FG ＝－25x 2+245
x （7≤x ≤10）. （2）存在.由（1）得－
25x 2+24
5
x ＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5（不合题意，舍去）， 所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7. （3）不存在.假设存在，显然有S △BEF ∶S 多边形AFECD ＝1∶2， 即(BE +BF )∶(AF +AD +DC )＝1∶2.则有－
25x 2+165x ＝28
3
， 整理，得3x 2－24x +70＝0，此时的求根公式中的b 2－4ac ＝576－840＜0，
所以不存在这样的实数x .即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分. 说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x 的取值范围；二是在求得x 2＝5时，并不属于7≤x ≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.
十五、利用图形探索规律
例15 在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长 1 3 5 7 … n （奇数） 黑色小正方形个数
…
正方形边长
2 4 6 8 … n （偶数）
F
E D
C B A 图7
K G 图8。