浙江省嵊州市高一竞赛数学试卷含答案

2015年嵊州市高一数学竞赛试卷
6月21日上午9：20---11：00
注意：（1）请将答案直接做在试卷装订线内，保持试卷整洁。

（2）第21题嵊州中学和马寅初中学学生做，其他学校一律不做！
一．选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题4分，共40分） 1．函数()
f x =
( )
A ．{|03}x x ≤≤
B ． {|13}x x ≤≤
C ．{|1}x x ≥
D ．{|3}x x ≥
2．已知向量a (1,2)=-，b (3,)m =，若a //（2a +b ），则实数m 的值为 ( ) A ．6- B ．
23 C ．6 D ．2
13 3．若角,αβ的终边互为反向延长线，则 ( ) A.0αβ+= B.αβ-=π C. 2k αβ-=π D.()21k αβ-=+π
4．设3436a b ==，则
21
a b
+= ( ) A.1 B.6log 5 C. 5log 6 D.5
6
5．已知函数()3e e x
x
f x λ-=+为偶函数，则实数λ= ( ) A ．3- B ．3 C ．
13 D ．13
- 6．函数()2cos sin 6f x x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为 ( ) A ．
2
π
B ．π
C ．2π
D ．4π 7．已知向量||||||1==-=a b a b ，则|2|-=b a
( ) A ．
B ．3
C
D ．2
8．函数()1
2
mx f x x +=
+在区间()2,-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ( ) A.2m >- B.12m >- C.1
2
m > D.2m >
9．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知1
sin sin sin 3
A B C -=，32b a =，
2218a ac ≤+≤，设ABC ∆的面积为
S ，p S =-，则p 的最小值为 ( )
A ．
52
9
B ．
729 C ．2 D ．92
8
10．定义()()1f x f x =，()()1()n n f x f f x -=，已知22
1,0,
()log ,0.ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩
则()31y f x =+的零点个数可能为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
二．填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空4分，共28分） 11．已知a R ∈,函数2()2f x x x a =--为偶函数. 则a = . 12．已知角α的终边经过点()3,4-，则cos2α= ．
13．若b x x f a -=log )( 0(>a 且)1≠a 为偶函数，且)42()2(-=-a f b f ，则实数
b a +的值为 ．
14．已知02
,54)6sin(<<--=+
απ
πα，则cos α= ． 15．设()n S 表示集合S 中元素的个数，定义()()()()()().
n A n A n B A B n B n A n B ≥⎧⎪*=⎨
<⎪⎩，，
，已知
{}|1A x x a =-=，{}
2|231B x x x a =--=-，若2A B *=，则实数a 的取值范围
为 .
16．若关于x 的不等式2
3344
a x x
b ≤-+≤的解集恰好是[],a b ，则a b += ． 17．已知a ，b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
c 满足()λc +a =c +b ()λ∈R ，
则|c |的最小值为 ．
三．解答题（本大题共有3小题，共32分。

）
18．(本小题满分10分)
在△ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知m +sin a A sin sin b B c C =+
()m ∈R ，且2
c =
. （Ⅰ）当0m =，且△ABC 的面积2ABC S ∆=时，求边a 的值； （Ⅱ）当sin sin m A B =时，求角A 的值.
19．(本小题满分10分)
已知函数2
2
()1,0,
()()1,0,
x a x f x x b x ⎧--≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 其中0a >，R b ∈.
（Ⅰ）若()f x 为奇函数，求,a b 的值；
（Ⅱ）若()f x 在(1,1)-上单调递减，求b a -的值.
20．(本小题满分12分)
给定正实数a ，对任意的正整数n ，()2a n n f n ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数.
（Ⅰ）若()55f =，求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：（i ）1
2
2
n n -⎡⎤≥
⎢⎥⎣⎦
； （ii ）(
)1f n >.
四．附加题（仅嵊州中学和马寅初中学学生做，其他学校一律不做！） （本小题满分10分)
已知点(),n n P x y 在函数lg y x =图象上，数列{}n b 是以()1q q >为公比的等比数列，
1103
a <≤
． （Ⅰ）设12n n S b b b =++
+，且243,15S S =-=-，求1a 的值；
（Ⅱ）令()12n n n n c a a a ++=-⋅，当3q =时，证明：12201512015
c c c +++<
.
2015高一数学竞赛答案
一． 选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题
干后的括号里，多选．不选．错选均不得分，每题4分，共40分）
BADAB BCCBD 二．填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空4分，共28分） 11. 0a = 12.725-
13. 3 14. 10
433- 15. (]()
,15,-∞+∞
16. 5 17.
22
三．解答题（本大题共有3小题，共32分）
18.（Ⅰ）解：当0m =时，由正弦定理得222a b c =+，
又△ABC 的面积2ABC S ∆=，得4bc =， …………2分
又2c =
，得3
b =
，从而得a =6795 …………………5分
（Ⅱ）解：由正弦定理：222sin a b A b c +=+，
又由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，
故得tan 2A c ==， …………8分
),0(π∈A ∴60A =. ………………10分
19.解：（Ⅰ）因为()f x 为奇函数，所以2
(0)10f a =-=，且0a >得1a =． …2分
1a ，(1)1f =-，则2(1)(1)11f b -=---+=，所以1b =-． ………5分 （Ⅱ）因为()f x 在(1,1)-上为单调递减，则有221,1,11.a b a b ⎧≥⎪
≤-⎨⎪-≤-⎩
即1,
1.
a b =⎧⎨
=-⎩此时2b a -=-． ……… 10分
20.解：（Ⅰ）()55f =得5552a ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，故55a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦或65a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 故2535a ≤<； ……… 4分 （Ⅱ）（i ）1
2
2
n n -⎡⎤≥
⎢⎥⎣⎦
； ……… 8分
（ii ）因为1a a
n n
⎡⎤>-⎢⎥⎣⎦，
所以(
)111112222a a a a n n n n n n n n f n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫++-+--+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥=>>
=-≥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
……… 12分
21.解（Ⅰ）2q =；11b =-；11
10
a =
； ……… 5分 （Ⅱ）∵3
1n n a a +=，11
03a <≤
，
∴2311,,27729a a ≤≤，
当1k ≥时，231729k a a +≤≤
，故()11
729
k k k c a a +≤-， 故()1220151201611111
72972921872015
c c c a a a +++≤
-≤⋅≤
<. … 5分。