上海历年中考数学压轴题复习(试题附)

上海历年中考数学压轴题复习
2001 年上海市数学中考
27．已知在梯形ABCD中， AD∥ BC， AD＜ BC，且 AD＝5， AB＝ DC＝2．
（1）如图 8，P为AD上的一点，知足∠BPC＝∠
A．图 8
①求证；△ ABP∽△ DPC
②求 AP 的长．
（2）假如点P在AD边上挪动（点P与点A、D不重合），且知足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同
时交直线 DC于点 Q，那么
①当点 Q 在线段 DC的延伸线上时，设AP＝ x， CQ＝ y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域；
②当 CE＝1时，写出 AP 的长（不用写出解题过程）．
27．（1）①证明：
∵ ∠ ABP＝180°－∠ A－∠ APB，∠ DPC＝180°－∠ BPC－∠ APB，∠ BPC＝∠ A，∴∠ ABP＝∠DPC．∵在梯形 ABCD 中， AD∥ BC， AB＝ CD，∴∠ A＝∠ D．∴ △ ABP∽△ DPC．
②解：设 AP＝ x，则 DP＝5－x，由△ ABP∽△ DPC，得AB
PD，即2
5 x
，解得 x1＝1，x2＝4，AP DC x 2
则 AP的长为1或4．
（ 2）①解：近似（ 1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴AB AP
．即
2 x
，得 y
1
x 2
5
2 ，PD DQ x 2 2
x
5 y 2
1＜x＜ 4．
AP AP
5
②＝ 2 或＝ 3－．
（题 27 是一道波及动量与变量的考题，此中（1）可看作（ 2）的特例，故（ 2）的推测与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模拟到创建的过程，模拟即借鉴、套用，创建即灵巧变化，这是中学生学数学应具备的一种基
本素质，世上的万事万物总有着千头万绪的联系，也有着质的差别，模拟的重点是发现联系，创建的重点是发
现差别，并找到对付新问题的门路．）
上海市 2002 年中等学校高中阶段招生文化考试
27．操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形ABCD P
在对角线
AC
上滑动，直角的上，并使它的直角极点
一边一直经过点B，另一边与射线DC订交于点 Q．
图567 研究：设 A、 P 两点间的距离为x．
（ 1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有如何的大小关系？试证明你察看获得结论；
（ 2）当点 Q
在边 CD
上时，设四边形
PBCQ
y ，求 y 与 x
之间的函数分析式，并写出函数的定义
的面积为 域；
（ 3）当点 P
在线段 AC
上滑动时，△ PCQ
PCQ
能否可能成为等腰三角形？假如可能，指出全部能使△
成为
等腰三角形的点
Q 的地点，并求出相应的 x 的值；假如不行能，试说明原因．
（图 5、图 6 、图 7 的形状大小同样，图 5 供操作、实验用，图 6和图 7备用）
五、（本大题只有 1 题，满分 12 分，（ 1）、（ 2）、（ 3）题均为 4 分）
27．
图 1 图 2
图 3
??（ 1）解： PQ ＝ PB
（
1 分）
证明以下：过点 P 作 MN ∥ BC
AB 于点 M ，交 CD N
AMND
和四边形 BCNM
，分别交
于点 ，那么四边形
都是矩形，△ AMP
和△ CNP
1）．
都是等腰直角三角形（如图
∴
NP NC MB
．
（
1 分）
＝
＝
∵ ∠ BPQ ＝90°，∴ ∠ QPN ＋∠ BPM ＝ 90°．
?而∠ BPM
PBM
QPN PBM
（
1 分）
＋∠
＝ 90°，∴ ∠ ＝∠ ．
又∵ ∠ QNP ＝∠ PMB ＝ 90°，∴ △ QNP ≌△ PMB ．
（ 1 分）
∴
PQ ＝ PB ．
（ 2）解法一
由（ 1）△ QNP ≌△ PMB ．得 NQ ＝ MP ．
AP x
，∴ AM ＝ MP NQ DN
x ， BM PN CN
2 x
，
∵＝
＝
＝
＝
2
＝＝＝1－
2
2
∴
CQ ＝CD － DQ ＝1－ 2· 2
x ＝ 1－ 2x ．
2
得
＝ 1 BC · BM
1 × ×（ －
2
x ）＝ 1 －
2 （ 1 分）
S
△ PBC
2 ＝
1
1
2
2
4 x ．
2
S △
＝
1
CQ ·PN ＝ 1 ×（ 1－ 2 x ）（ 1－ 2 x ）＝ 1
－
3 2
x ＋ 1
x 2
（1 分）
PCQ
2
2
2
2
4
2
S
四边形
PBCQ ＝
S △
＋S △
1
2
＝
x － 2 x ＋1．
PBC
PCQ 2
y
1 x 2
2x ＋ x
2
）．
1 分，1 分）
即 ＝ －
（
1（0≤ ＜
2
2
解法二
作 PT ⊥ BC ， T 为垂足（如图 2），那么四边形 PTCN 为正方形．
∴ PT ＝ CB ＝ PN ．
又∠ PNQ
PTB PB PQ PBT
PQN
＝∠ ＝90°，
＝
，∴△ ≌△
．
S
＝ S
＋ S
＝S
＋ S
＝ S
正方形 PTCN （ 2 分）
四边形 PBCQ △ 四边形 PBT 四边形 PTCQ 四边形 PTCQ △
PQN
2
2
2
1
2
2 x ＋ 1
????＝CN ＝（ 1－
2 x ） ＝ 2 x －
y
1 x
－ 2x ＋ 1 0 x
2 ）．
（
1
3
PCQ
∴＝
2 （ ≤ ＜
分）（ ）△
可能成为
2
2
等腰三角形
①当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 D 重合，这时 PQ ＝ QC ，△ PCQ 是等腰三角形，
?此时 x
（ 1 分）
＝ 0
②当点 Q 在边 DC 的延伸线上，且 CP CQ 时，△ PCQ 3）
＝
是等腰三角形（如图
（ 1 分）
解法一
此时， QN ＝ PM ＝
2 x ， CP ＝ 2 － x ，CN ＝ 2 ＝ 1－ 2 ．
2 2 CP x
2
CQ QN
CN
2
x －（ 1－
2
x ）＝ 2x － 1．
∴＝
－ ＝
2
2
当
2 x
2 x －1 时，得
x
（
1 分）
－ ＝ ＝ 1．
解法二 此时∠ CPQ
∠ PCN
APB
°＝ 67.5 °，
＝
1
＝22.5 °，∠
＝90°－ 22.5
2
∠ABP ＝180°－（ 45°＋ 67.5 °）＝ 67.5 °，得∠ APB ＝∠ ABP ，
∴
AP ＝ AB ＝ 1，∴ x ＝ 1．
（ 1 分）
上海市 2003 年初中毕业高中招生一致考试
27.如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝ 1 ，弧 AC 是点 B 为圆心， AB 长为半径的圆的一段弧。

点
E 是边 AD 上的任
意一点（点
E 与点 A 、 D 不重合），过 E 作弧 AC 所在圆的切线，交边 D C 于点
F ，
G 为切点：
（ 1）当∠ DEF ＝ 45o 时，求证：点 G 为线段 EF 的中点；
（ 2）设 AE ＝ x ， FC ＝ y ，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域；
（ 3）将△ DEF 沿直线 EF 翻折后得△ D 1 EF ，如图，当 EF ＝ 5
时，议论△ AD 1 D 与△ ED 1 F 能否相像， 假如相像，
6
请加以证明；假如不相像，只需求写出结论，不要求写出原因。

2004 年上海市中考数学试卷
页眉内容
27、（ 2004?上海）数学课上，老师提出：
如图，在平面直角坐标系中，
O 为坐标原点， A 点的坐标为（ 1，0），点 B 在 x 轴上，且在点 A 的右边， AB=OA ，
过点 A 和 B 作 x 轴的垂线，分别交二次函数
y=x 2
的图象于点 C 和 D ，直线 OC 交 BD 于点 M ，直线 CD 交 y 轴于 点 H ，记点 C 、 D 的的横坐标分别为 x C 、 x D ，点 H 的纵坐标为 y H ． 同学发现两个结论：
①S
： S 梯形 ABMC =2： 3 ② 数值相等关系： x ?x =﹣ y
H
△CMD
C D
（ 1）请你考证结论 ① 和结论 ② 建立；
（ 2）请你研究：假如上述框中的条件
“A 的坐标（ 1， 0）”改为 “A 的坐标（ t ，0）（ t ＞0） ”，其余条件不变，结论
① 能否仍建立（请说明原因） ；
2
（ 3）进一步研究：假如上述框中的条件
“A 的坐标（ 1， 0） ”改为 “A 的坐标（ t ，0）（ t ＞ 0） ”，又将条件 “y=x ”
改
2
为 “y=ax （ a ＞ 0） ”，其余条件不变，那么 x C 、 x D 与 y H 有如何的数值关系？（写出结果并说明原因）考点 ：
二次函数综合题。

专题 ：压轴题。

剖析：（ 1）可先依据 AB=OA 得出 B 点的坐标，而后依据抛物线的分析式和 A ， B 的坐标得出 C ， D 两点的坐标，
再依照 C 点的坐标求出直线 OC 的分析式．从而可求出
M 点的坐标，而后依据
C 、
D 两点的坐标求出直线 CD 的
分析式从而求出 D 点的坐标，而后可依据这些点的坐标进行求解即可；
（ 2）（ 3）的解法同（
1）完整同样．
解答： 解：（ 1）由已知可得点 B 的坐标为（ 2 ，0），点 C 坐标为（ 1， 1），点 D 的坐标为（ 2， 4），
由点 C 坐标为（ 1， 1）易得直线 OC 的函数分析式为 y=x ，
故点 M 的坐标为（ 2， 2），
因此 S △CMD =1， S 梯形 ABMC = 因此 S △CMD ： S 梯形 ABMC =2： 3，
即结论 ① 建立．
设直线 CD 的函数分析式为
y=kx+b ，
则
，
解得
因此直线 CD 的函数分析式为 y=3x ﹣ 2．
由上述可得，点
H 的坐标为（ 0，﹣ 2）， y H =﹣ 2
因为 x C ?x D =2， 因此 x C ?x D =﹣ y H ， 即结论 ② 建立； （ 2）（ 1）的结论仍旧建立．
原因：当 A 的坐标（ t ，0）（ t ＞ 0）时，点 B 的坐标为（ 2t ，0），点 C 坐标为（ t ，t2），点 D 的坐标为（ 2t ，
4t2 ），由点 C 坐标为（ t ， t2）易得直线 OC 的函数分析式为 y=tx ，故点 M 的坐标为（ 2t ， 2t2 ），
因此 S △CMD =t3， S 梯形 ABMC = t3． 因此 S △CMD ： S 梯形 ABMC =2： 3，
即结论 ① 建立． 设直线 CD 的函数分析式为
y=kx+b ，
则
，
解得
因此直线 CD 的函数分析式为 y=3tx ﹣2t 2
；
2
由上述可得，点
H 的坐标为（ 0 ，﹣ 2t2 ）， y H =﹣ 2t
2
因为 x C ?x D =2t ，
因此 x C ?x D =﹣ y H ， 即结论 ② 建立；
（ 3）由题意，当二次函数的分析式为y=ax 2
（a ＞ 0），且点 A 坐标为（ t ， 0）（ t ＞ 0）时，点 C 坐标为（ t ，
at 2），点 D 坐标为（ 2t ， 4at 2
），
设直线 CD 的分析式为 y=kx+b ，
则：
，
解得
因此直线 CD 的函数分析式为 y=3atx ﹣2at 2，则点 H 的坐标为（ 0，﹣ 2at 2）， y H
=﹣ 2at 2
．
因为 x C ?x D =2t 2，
因此 x C ?x D =﹣ y H ．
评论： 此题主要考察了二次函数的应用、一次函数分析式确实定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．
2005 年上海市初中毕业生一致学业考试数学试卷
1、 （此题满分 12 分，每题满分各为 4 分）
在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90°， AB ＝4，BC ＝ 3，O 是边 AC 上的一个动点，以点
O 为圆心作半圆，与边 AB 相切
于点
D ，交线段 O C 于点
E ，作 EP ⊥ ED ，交射线
AB 于点 P ，交射线 CB 于点 F 。

（ 1） 如图 8，求证：△ ADE ∽△ AEP ；
（ 2） 设 OA ＝ x ，AP ＝y ，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出它的定义域；
（3）
当 BF ＝ 1 时，求线段 AP 的长 .
J
2006 年上海市初中毕业生一致学业考试数学试卷
25（此题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）小题满分
7 分，第（ 3）小题满分 3 分）
已知点 P 在线段 AB 上，点 O 在线段 AB 的延伸线上。

以点
O 为圆心， OP 为半径作圆，点 C 是圆 O 上的一点。

（ 1） 如图 9，假如 AP=2PB ， PB=BO 。

求证：△ CAO ∽△ BCO ；
（ 2） 假如 AP=m （m 是常数，且 m 〉1），BP=1，OP 是 OA 、OB 的比率中项。

当点
C 在圆 O 上运动时，求
AC ：BC 的值（结果用含 m 的式子表示）；
（ 3） 在（ 2）的条件下，议论以 BC 为半径的圆 B 和以 CA 为半径的圆 C 的地点关系，并写出相应
m 的取
值范围。

C
A
P B O
图 9
25．（ 1）证明：
AP 2PB PB BO PO ，
AO 2PO ． AO PO
·（2分） PO
2 ．
BO
PO CO ，
·（1分） AO
CO
∠COA ∠BOC ， △CAO ∽△ BCO ．
·（1分）
CO
．
BO
x OB x 1 OA x m OP OA
OB
（ 2）解：设 OP
，则 ， 是 ， 的比率中项，
，
x 2
x 1 x m ，
·（1分） 得 x
m 1 ，即 OP m ．
·（1分）
m
m 1 OB 1 ．
·（1分）
m
1
OP 是 OA ， OB 的比率中项，即
OA OP
，
OP
OB
OA
OC
OP OC ．
·（1分）
，
OB
OC
设圆 O 与线段 AB 的延伸线订交于点 Q ，当点 C 与点 P ，点 Q 不重合时，
∠AOC ∠COB ， △CAO ∽△ BCO ．
·（1分） AC
OC
·（1分）
BC
．
OB
AC OC OP m ；当点 C 与点 P 或点 Q 重合时，可得 AC m ，
BC OB
OB
BC 当点 C 在圆 O 上运动时， AC : BC m ；
·（1分）
（ 3）解：由（ 2）得， AC
BC ，且 AC BC m 1 BC m 1 ，
AC BC m 1 BC ，圆 B 和圆 C 的圆心距 d
BC ，
明显 BC
m 1 BC ， 圆 B 和圆 C 的地点关系只可能订交、内切或内含．
当圆 B 与圆 C 订交时，
m 1 BC BC
m 1 BC ，得0
m 2 ，
m 1 ， 1 m
2 ；
·（1分） 当圆 B 与圆 C 内切时， m 1 BC BC ，得 m 2 ；
·（1分）
当圆 B 与圆C内含时，BC m 1 BC ，得 m 2 ．（1分）
2007 年上海市初中毕业生一致学业考试
25．（此题满分14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2），（ 3）小题满分各 5 分）
已知：∠ MAN 60 ，点 B 在射线 AM 上， AB 4 （如图10）． P 为直线AN上一动点，以BP 为边作等边三角形 BPQ （点 B，P，Q 按顺时针摆列），O是△ BPQ 的外心．
（ 1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O 在∠MAN 的均分线上；
（2）当点P在射线AN上运动（点P 与点 A 不重合）时，AO 与BP交于点 C ，设 AP x ，AC AO y ，
求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域；
（ 3）若点D在射线AN上，AD 2 ，圆 I 为△ABD的内切圆．当△ BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请
直接写出点 A 与点 O 的距离．
25．（ 1）证明：如图4，连结OB，OP，
O 是等边三角形BPQ 的外心，OB OP ，·1分
圆心角
360
120 ．BOP
3
图 10 备用图
AN ，垂足分别为H，T ．当 OB 不垂直于 AM 时，作 OH AM ， OT
由HOT A AHO ATO 360 ，且 A 60 ，
AHO ATO 90 ，HOT 120 ．
BOHPOT ．·1 分Rt△BOH ≌ Rt△POT ．·1 分OH OT．点O在MAN 的均分线上．·1 分当 OB AM 时，APO 360 A BOP OBA 90 ．
即 OP AN ，点 O 在MAN 的均分线上．
综上所述，当点P 在射线 AN 上运动时，点 O 在MAN 的均分线上．
图 4 图 5
（ 2）解：如图5，
AO 均分MAN ，且MAN 60 ，
BAO PAO 30 ．·1 分由（ 1）知，OB OP ，BOP 120 ，
CBO 30 ，CBO PAC ．
BCO PCA ，AOB APC ．·1 分
△ABO ∽△ ACP ．
AB AO ．
AC AO AB AP ．y 4x ．· 分
AC AP
1 定义域为： x 0 ．·1 分（ 3）解：①如图6，当BP与圆I相切时，AO
2
3 ；·2 分
②如图 7，当BP 与圆I 相切时，
4
AO 3 ；· 分
1 3
③如图 8，当BQ与圆I相切时，AO 0 ．·2 分
图6图7图8
2008 年上海市中考数学试卷
25．（此题满分 14 分，第（ 1）小题满分 5 分，第（ 2）小题满分 4 分，第（ 3）小题满分5 分）
已知 AB 2， AD 4 ，DAB 90 ，AD∥BC（如图13）． E 是射线BC上的动点（点 E 与点 B 不重合），
M 是线段 DE 的中点．
（1）设BE x ，△ ABM 的面积为y，求y对于x的函数分析式，并写出函数的定义域；
（ 2）假如以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；
（3）联络BD，交线段AM于点N，假如以A，N，D为极点的三角形与△BME相像，求线段BE的长．
A
D D
25．解：（ 1）取A AB中点H，联络MH，
M
MH∥BE，MH
1
（ 1 分）M 为 DE 的中点，(BE AD ) ．·········
B AB BE MH E AB
C B 2 C
又，（ 1 分）
．·····················
S△ABM 图 13
1 x
备用图
1
AB MH ，得 y 2( x 0) ；···········（2 分）（1 分）2 2
（ 2）由已知得DE (x 4) 2 22 ．··················（ 1 分）以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，
MH
1 AB 1DE ，即 1
( x 4) 1 2 (4 x) 2 2
2 ． ······· （2 分）
2 2 2 2
解得 x
4
，即线段 BE 的长为 4
；
· ··················· （1 分） 3 3
（ 3）由已知，以
A ，N ，D 为极点的三角形与 △BME 相像，
又易证得
DAM
EBM ． ······················ （1 分）
由此可知，另一对对应角相等有两种状况：① ADN BEM ；②
ADB BME ． ①当 ADN
BEM 时， AD ∥BE ， ADN DBE ． DBE BEM ． DB DE ，易得 BE 2AD ．得 BE 8 ； ··············· （2 分）
②当 ADB BME 时， AD ∥BE ，
ADB DBE ．
DBE BME ．又 BED MEB ， △BED ∽ △MEB ．
DE BE ，即 BE 2 EM DE ，得 x 2
1 2
2 ( x 4) 2 22 ( x 4) 2 ．
BE EM
2
解得 x 1
2 ， x 2
10 （舍去）．即线段 BE 的长为 2． ··········· （2 分）
综上所述，所求线段
BE 的长为 8 或 2．
2009 年上海市初中毕业一致学业考试
25．（此题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）小题满分 5 分，第（ 3）小题满分 5 分）
已知
ABC 90°，AB 2，BC 3， AD ∥ BC ，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且知足
PQ
AD
（如图 8 所示）．
PC
AB
（1）当 AD 2 ，且点 Q 与点 B 重合时（如图 9 所示），求线段 PC 的长；
（ 2）在图 8 中，联络 AP ．当 AD
3 Q 在线段 AB 上时，设点 B 、 Q 之间的距离为 x ，
S
△ APQ
y ，
，且点 S
△ PBC
2
此中 △
表示 △ APQ
的面积， S △
表示 △PBC
的面积，求
y 对于 x 的函数分析式，并写出函数定义域；
S APQ
PBC
（ 3）当 AD AB ，且点 Q 在线段 AB 的延伸线上时（如图 10 所示），求 QPC 的大小．
（ 2009 年上海 25 题分析） 解：（ 1） AD=2，且 Q 点与 B 点重合，依据题意，∠ DPBC=∠ PDA ，因为∠ A=90。

A D A D A
P
PQ/PC=AD/AB=1,因此：△ PQC 为等腰直角三角形， BC=3，因此： PC=3 /2,
P
（ 2）如图：增添协助线，依据题意，两个三角形的面积能够分别表示成P S1， S2， 高分别是 H ，
h ，
则： S1=（ 2-x ） H/2= （ 2*3/2 ） /2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2
Q S2=3*h/2 因为两 S1/S2=y ，消去 H,h, 得：
B C
B （Q ） 2 B
C Y=-(1/4)*x+(1/2), C
图 8
图 9
定义域：当点 P 运动到与
D 点重合时， X 的取值就是最大值， 当 PC 垂直 BD 时，这时 X=0，连结 DC,作 QD 垂直 DC ，
图 10
由已知条件得：
Q
QDC 相像于三角形 ABD B 、Q 、 D 、C 四点共圆，则由圆周角定理能够推知：三角形
QD/DC=AD/AB=3/4，令 QD=3t,DC=4t, 则： QC=5t ，由勾股定理得：
直角三角形 AQD 中： (3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2
直角三角形 QBC 中： 3^2+x^2=(5t)^2 整理得： 64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8
x2=(43/8)>2(
舍去 ) 因此函数 :
Y=-(1/4)*x+1/2 的定义域为 [0 ，7/8]
页眉内容
(3) 因为： PQ/PC=AD/AB,假定 PQ 不垂直 PC ，则能够作一条直线 PQ ′垂直于 PC ，与 AB 交于 Q ′点，
则： B ， Q ′， P ， C 四点共圆，由圆周角定理，以及相像三角形的性质得：
PQ ′ /PC=AD/AB,
又因为 PQ/PC=AD/AB 因此，点 Q ′与点 Q 重合，因此角∠ 。

QPC=90 A
D A
D
A
D
P
2010 年上海市初中毕业一致学业考试数学卷
P
25．如图 9，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° . 半径为 1 的圆 A 与边 AB 订交于点
D ，与边 AC 订交于点
E ，
P
Q
B
（ 1）当∠
C 图 8
连结 DE 并延伸，与线段 BC 的延伸线交于
点
P.
B
CE 的长； C
B ＝ 30°时，连结 AP ，若△ AEP 与△ BDP 相像，求
B （ Q ）
C
图 9
图 10
（ 2）若 CE=2， BD=BC ，求∠ BPD 的正切值；
Q
（
3）若
tan BPD
1
，设 CE=x ，△ ABC 的周长为 y ，求 y 对于 x 的函数关系式 .
3
图 9
图 10( 备用)
图 11( 备用)
2011 年上海市初中毕业一致学业考试数学卷
2011 年上海市初中毕业一致学业考试数学卷
25．（此题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）、（ 3）小题满分各 5 分）
在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， BC ＝ 30， AB ＝ 50．点 P 是 AB 边上随意一点，直线 PE ⊥AB ，与边 AC 或 BC
订交于 E ．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上， EM ＝ EN ， sin EMP 12 ．
13
（ 1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长；
（ 2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A 、 C 重合，设 AP ＝ x ， BN ＝ y ，求 y 对于 x 的函数关系式，并
写出函数的定义域；
（ 3）若△ AME ∽△ ENB （△ AME 的极点 A 、 M 、 E 分别与△ ENB 的极点 E 、 N 、 B 对应），求 AP 的长．
图 1
图 2
备用图
25. (此题满分 14 分，第 (1)小题满分 4 分，第 (2)、 (3)小题满分各 5 分 ) [解 ] (1) 由 AE=40， BC=30， AB=50， CP=24，又 sin EMP=
12
CM=26。

13
(2) 在 Rt △AEP 与 Rt △ ABC 中，∵
EAP= BAC ，∴ Rt △ AEP ~ Rt △ ABC ，
∴ EP
BC ，即 EP 30
，∴ EP= 3
x ，
AP AC
x 40
4
12
12
= EP 12 3 x 5
又 sin EMP= tg EMP= =4
，∴ MP= x=PN ，
13
5 MP
5
MP
16
5
x=50
21 BN=AB AP PN=50 x
x (0<x<32)。

16
16
(3)当 E 在线段 AC 上时，由 (2)知，
EM
13 ，即 EM 13
， EM=
13
x=EN ，
EP 12 3
12
16
x
4
页眉内容
又 AM =AP MP=x 5 x= 11 x ，
16
16
11 x 13
AM
ME
16
x
由题设△ AME ~ △ ENB ，∴ =
16
，解得 x=22=AP 。

EN
NB
，
13
21 50 x
16
x 16
当 E 在线段 BC 上时，由题设△ AME ~ △ENB ，∴
AEM= EBN 。

由外角定理， AEC= EAB EBN= EAB
AEM= EMP ，
AC EP
40
3 x
50
4
， 。

∴ Rt △ ACE ~ Rt △ EPM ，
PM ，即
5
CE=
CE
CE
x
3
16
设 AP=z ，∴ PB=50 z ，
由 Rt △ BEP~ Rt △BAC ，
BE
BA ，即 BE = 50 ， BE=5
(50 z)， PB
BC
50 z 30 3
∴ CE=BC BE=30
5。

(50 z)
3
由 ， ，解
50
=30 5 (50 z)，得 z=42=AP 。

3
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