人教版八年级上册《11.1三角形的中线、高线、角平分线》同步测试(含答案解析)
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试(人教版含答案解析)
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试（人教版含答案解析）三角形的中线、高线、角平分线时间：60分钟总分： 100 题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列说法错误的是( )A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点 C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点 D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( ) A. B. C. D. 如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC 边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个如图，AD⊥BE于D，以AD为高的三角形有( )个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有( ) ①AD是△ABE 的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三个角的角平分线的交点C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB=3，AC=5，DE=2，那么点D到AB的距离是( )A. 10/3B. 5/3C. 6/5D. 2 已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是( ) A. 2<x<5 B. 4<x<10 C.3<x<7 D. 无法确定如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，则∠EOD的度数为( )A. 〖20〗^∘B. 〖30〗^∘C. 〖10〗^∘D. 〖15〗^∘一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在( ) A.三角形内部 B. 三角形的一边上 C. 三角形外部 D. 三角形的某个顶点上二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，则∠BFE=______．平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=〖50〗^∘，则∠BOC= ______ ．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S_(△ADE)=1，则S_(△ABC)= ______ ．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=______cm．在画三角形的三条重要线段(角平分线、中线和高线)时，不一定画在三角形内部的是______ ．如图，已知△ABC中，∠B=〖65〗^∘，∠C=〖45〗^∘，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE= ______ ．如图，在△ABC中，∠A=α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，得∠A_1；∠A_1 BC与∠A_1 CD的平分线相交于点A_2，得∠A_2；…；∠A_2011 BC与∠A_2011 CD的平分线相交于点A_2012，得∠A_2012，则∠A_2012= ______ ．如图，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差= ______ ．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD与BF相交于点H，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，则∠AHB= ______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，求∠DAE的度数．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．如图所示：△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，求∠CAD，∠BOA的度数是多少？如图△ABC中，∠A=〖20〗^∘，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE 是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：(1)∵AE是△ABC的中线，∴BE= ______ =1/2 ______ ；(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD= ______ =1/2 ______ ；(3)∵AF是△ABC的高，∴∠AFB= ______ =〖90〗^∘；(4)∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，又∵S_(△ABE)=1/2 ______ ，S_(△AEC)=1/2 ______ ，∴S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 ______ ．已知，如图，AE是∠BAC的平分线，∠1=∠D．求证：∠1=∠2．答案和解析【答案】 1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8.A 9. A 10. A 11. 〖64〗^∘ 12. 32或34 13. 〖115〗^∘ 14. 4 15.10 16. 高线 17. 〖10〗^∘ 18. α/2^2012 19. 3 20. 〖120〗^∘ 21. 解：∵∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，∴∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖80〗^∘，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1/2∠BAC=〖40〗^∘，∴∠AEC=∠B+∠BAE=〖80〗^∘，∵AD⊥BC，∴∠ADE=〖90〗^∘，∴∠DAE=〖180〗^∘-∠ADE-∠AED=〖10〗^∘．答：∠DAE的度数是〖10〗^∘． 22. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{■(AD=DE@∠ADB=∠EDC@BD=DC)┤，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC^2=AE^2+CE^2，∴∠E=〖90〗^∘，由勾股定理得：CD=√(DE^2+CE^2 )=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61． 23. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=〖90〗^∘，∵∠C=〖70〗^∘，∴∠CAD=〖180〗^∘-〖90〗^∘-〖70〗^∘=〖20〗^∘；∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，∵BF 是∠ABC的角平分线，∴∠ABO=〖25〗^∘，∴∠BOA=〖180〗^∘-∠BAO-∠ABO=〖180〗^∘-〖30〗^∘-〖25〗^∘=〖125〗^∘．故∠CAD，∠BOA的度数分别是〖20〗^∘，〖125〗^∘． 24. 解：∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=〖90〗^∘，∵∠A=〖20〗^∘，∴∠EDA=〖90〗^∘-〖20〗^∘=〖70〗^∘，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=〖180〗^∘-〖70〗^∘×2=〖40〗^∘，在Rt△CDE中，∠DCE=〖90〗^∘-〖40〗^∘=〖50〗^∘，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×〖50〗^∘=〖100〗^∘，在△ABC中，∠B=〖180〗^∘-∠BCA-∠A=〖180〗^∘-〖100〗^∘-〖20〗^∘=〖60〗^∘．故答案为：〖60〗^∘． 25. CE；BC；∠CAD；∠BAC；∠AFC；S_(△ABC)；S_(△ABC)；S_(△ABC) 26. 证明：∵∠1=∠D，∴AE//DC(同位角相等，两直线平行)，∴∠EAC=∠2(两直线平行，内错角相等)，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠1=∠EAC，∴∠1=∠2．【解析】 1. 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质，熟记概念与性质是解题的关键.根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A.三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项说法不正确； B.三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确； C.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项说法正确；D.三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项说法正确．故选A． 2. 解：线段BD是△ABC的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为△ABC的高．故选A．根据三角形高的定义进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 3. 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，∴AD是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC的高．故选C．根据三角形高的定义可知，三角形的高可以在三角形内部，可以是三角形的边，还可以在三角形外部，结合图形即可求解．本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 4. 解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于AD⊥BC 于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 5. 解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键． 6. 解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条(边垂直平分线)的交点．故选：A．用线段垂直平分线性质判断即可．此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键． 7. 解：∵AC=5，DE=2，∴△ADC的面积为1/2×5×2=5，∵AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积为5，∴点D到AB的距离是2×5÷3=10/3．故选A．根据三角形的面积得出△ADC的面积为5，再利用中线的性质得出△ABD的面积为5，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积为5． 8. 解：7-3<2x<7+3，即2<x<5．故选A．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.倍长中线，构造一个新的三角形.根据三角形的三边关系就可以求解．本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线． 9. 解：∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，∴∠B=〖40〗^∘．又∵AD 是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1/2∠BAC=〖30〗^∘，∴∠ADE=〖70〗^∘，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=〖20〗^∘．故选A．首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义． 10. 解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．故选A．根据三角形的高的性质即可判断．本题考查了三角形的高线，锐角三角形的三高线交于三角形内部一点，直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角的三条高所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部． 11. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解.由角平分线的定义可得，∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，而∠AFD 与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．【解答】解：∵AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，∴∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，∵DB是△ABC的高，∴∠AFD=〖90〗^∘-∠FAD=〖90〗^∘-〖26〗^∘=〖64〗^∘，∴∠BFE=∠AFD=〖64〗^∘．故答案为〖64〗^∘． 12. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE， (1)当AE=5时，AB=5，平行四边形ABCD的周长是2×(5+5+6)=32； (2)当AE=6时，AB=6，平行四边形ABCD的周长是2×(5+6+6)=34；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况(1)当AE=5时，求出AB的长；(2)当AE=6时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB.用的数学思想是分类讨论思想． 13. 解；∵∠A=〖50〗^∘，∴∠ABC+∠ACB=〖180〗^∘-〖50〗^∘=〖130〗^∘，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=1/2×〖130〗^∘=〖65〗^∘，∴∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)=〖115〗^∘，故答案为：〖115〗^∘．求出∠ABC+∠ACB=〖130〗^∘，根据角平分线定义得出∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=〖65〗^∘，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数． 14. 解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半，△ADE的面积等于△ACD的面积的一半，∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，又∵S_(△ADE)=1，∴S_(△ABC)=4．故答案为：4．先根据D是BC的中点，E是AC的中点，得出△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，再根据S_(△ADE)=1，得到S_(△ABC)=4．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 15. 解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE=BE，又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC-AB=2cm，即AC-8=2cm，∴AC=10cm，故答案为：10；依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 16. 解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故答案为：高线．根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 17. 解：在△ABC中，∵∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖70〗^∘，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=〖35〗^∘．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=〖90〗^∘，∵在△ABD中∠BAD=〖90〗^∘-∠B=〖25〗^∘，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．由三角形的内角和定理，可求∠BAC=〖70〗^∘，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=〖35〗^∘，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=〖90〗^∘，可求∠BAD=〖25〗^∘，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键． 18. 解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，∴∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，∴∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1+1/2∠ABC=1/2(∠A+∠ABC)，整理得，∠A_1=1/2∠A=α/2，同理可得，∠A_2=1/2∠A_1=1/2×α/2=α/2^2 ，…，∠A_2012=α/2^2012 ．故答案为：α/2^2012 ．根据角平分线的定义可得∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，然后整理即可得到∠A_1与∠A的关系，同理得到∠A_2与∠A_1的关系并依次找出变化规律，从而得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 19. 解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=1/2 BC，∴△ABD与△ACD的周长之差 =(AB+BD+AD)-(AC+DC+AD) =AB-AC =13-10=3．则△ABD与△ACD的周长之差=3．故答案为3．根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法． 20. 解：∵在△ABC中，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠ABC=〖60〗^∘，∵在△AB C中，AD是高，AE，BF是角平线，∴∠EAD=〖90〗^∘-(〖25〗^∘+〖60〗^∘)=5^∘，∴∠AGH=〖25〗^∘+〖30〗^∘=〖55〗^∘，∴∠AHB=〖180〗^∘-〖55〗^∘-5^∘=〖120〗^∘．故答案为：〖120〗^∘．根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘，再利用角平分线的定义和高的定义解答即可．此题考查三角形的内角和问题，关键是根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘． 21. 根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据三角形的外角性质得到∠AEC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 22. 延长AD到E 使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=〖90〗^∘，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好． 23. 因为AD是高，所以∠ADC=〖90〗^∘，又因为∠C=〖70〗^∘，所以∠CAD度数可求；因为∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，所以∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=〖25〗^∘，故∠BOA的度数可求．本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义.关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO，再运用三角形内角和定理求出∠AOB． 24. 根据直角三角形两锐角互余求出∠EDA的度数，再根据平角的定义求出∠CDE的度数，再次利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE的度数，从而得到∠BCA的度数，最后利用三角形内角和等于〖180〗^∘计算即可．本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的高以及三角形的内角和定理，稍微复杂，但仔细分析图形也不难解决． 25. 解：(1)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE=1/2 BC； (2)根据AD是△ABC 的角平分线，可得∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC； (3)根据AF是△ABC的高，可得∠AFB=∠AFC=〖90〗^∘； (4)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE，所以S_(△ABE)=1/2 S_(△ABC)，S_(△AEC)=1/2 S_(△ABC)，即S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 S_(△ABC)．故答案为：(1)CE，BC；(2)∠CAD，∠BAC；(3)∠AFC；(4)S_(△ABC)，S_(△ABC)，S_(△ABC)． (1)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线； (2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线； (3)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高； (4)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．本题主要考查了三角形的中线、高线以及角平分线的概念的运用，解题时注意：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 26. 由∠1=∠D，根据同位角相等，两直线平行可证AE//DC，根据两直线平行，内错角相等可证∠EAC=∠2，再根据角平分线的性质即可求解．本题考查了平行线的判定与性质和三角形的角平分线的性质，有一定的综合性，但难度不大．。
人教版八年级数学上11.1.2三角形的高、中线、角平分线同步练习题(解析版)
人教版八年级数学上11.1.2三角形的高、中线、角平分线同步练习题一．选择题1、下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A. B.C. D.答案：D分析：本题考查了三角形的高线．解答：△ABC中AC边上的高是过点B且垂直于AC边（或AC边延长线）的线段，只有D 选项正确．选D．2、下列说法正确的是（）A. 三角形三条高都在三角形内B. 三角形三条中线相交于一点C. 三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D. 三角形的角平分线是射线答案：B分析：本题考查了三角形的高线、中线、角平分线．解答：∵钝角三角形的三条高有2条在三角形的外部，∴A错误；∵三角形三条中线相交于一点，∴B正确；∵三角形的三条角平分线都在在三角形内，∴C错误；∵三角形的角平分线、高、中线都是线段，∴D错误；选：B．3、如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是（）A. DE是△BCD的中线B. BD是△ABC的中线C. AD=DC，BE=ECD. AD=EC，DC=BE答案：D分析：本题考查了三角形的中线．解答：∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，∴DE是△BCD的中线，BD是△ABC的中线，AD=DC，BE=EC．但不能得到AD=EC和DC=BE．选D．4、三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（）A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形答案：B分析：本题考查了三角形的中线．解答：三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的三角形．选B．5、如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC=80°，则∠EAD 的度数是（）A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°答案：A分析：本题考查了三角形的角平分线．解答：∵AD△ABC的角平分线，∠BAC=80°，∴∠BAD=12∠BAC=40°．又∵AE是△ABD的角平分线，∴∠EAD=12∠BAD=20°．选A．6、在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；①∠ABE=∠CBE；①BD=DC；①AE=EC. 正确的是（）A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③答案：D分析：本题考查了三角形的中线、角平分线．解答：如下图，∵AD是△ABC的中线，BE是△ABC的角平分线，∴BD=CD，∠ABE=∠CBE，∴上述结论中正确的是①①．选D.7、三角形的高线是（）A. 直线B. 线段C. 射线D. 三种情况都可能答案：B分析：本题考查了三角形的高线．解答：由三角形高的定义：“过三角形的一个顶点向对边或对边所在的直线引垂线，顶点到垂足之间的线段叫三角形的高线”可知：三角形的高线是线段．选B．8、如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；①BO 是△ABD的中线；①DE是△ADC的中线；①ED是△EBC的角平分线．4个结论中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：B分析：本题考查了三角形的高线、中线、角平分线．解答：（1）∵AD是△ABC的角平分线，可得∠BAO=∠CAO，∴①“AO是△ABE的角平分线”这种说法是正确的；（2）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，但不能确定AO=DO，∴①“BO是△ABD的中线”这种说法是错误的；（3）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，∴①“DE是△ADC的中线”这种说法是正确的；（4）∵由题中条件不能得到∠ADE=∠CDE，∴①“ED是△EBC的角平分线”这种说法是错误的；即上述说法中正确的个数为：2．二、填空题9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；①点A到直线CD的距离是线段AD的长；①线段CD是△ABC边AB上的高；①线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为______个答案：4分析：本题考查了三角形的高线、点到直线的距离．解答：（1）根据“连接两点的线段的长度叫做两点间的距离”可知：①中的说法是正确的；（2）根据“直线为一点到直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离”可知：①中的说法正确；（3）根据三角形高的定义：“过三角形的一个顶点向对边或对边所在的直线引垂线，顶点到垂足之间的线段叫三角形的高线”可知：①中的说法正确；（4）根据三角形高的定义：“过三角形的一个顶点向对边或对边所在的直线引垂线，顶点到垂足之间的线段叫三角形的高线”可知：①中的说法正确；即上述说法中正确的个数为4．10、如图所示，CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长差是______cm．答案：6分析：由三角形一边上的中线把三角形分成的两个新三角形的周长差等于原三角形中另外两边的差．解答：∵CD是△ABC的中线，∴AD=BD．∵C△ACD=AC+AD+CD，C△BCD=BC+BD+CD，∴C△ACD-C△BCD=（AC+AD+CD-（BC+BD+CD）=AC+AD+CD-BC-BD-CD=AC-BC=9-3=6（cm）．11、已知，AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝______．答案：95°或35°．分析：本题考查了三角形的高线．解答：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形的外部，要分两种情况讨论：①当AD 在三角形的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=65°+30°=95°； 当AD在三角形的外部时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=65°-30°=35°．12、如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有______个直角三角形．答案：3分析：本题考查了直角三角形的判定．解答：∵在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，∴△ABC、△ADC、△BDC都是直角三角形．即图中共有3个直角三角形．13、如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC=24cm，则AE=______cm，若∠ABC=72°，则∠ABD=______度．答案：12 36分析：本题考查了三角形的角平分线、中线．解答：∵在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，∴AE=12AC=12（cm），∠ABD=12∠ABC=36°．14、如图所示．在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=8cm2，则S阴影等于______cm2．答案：1分析：根据三角形的面积公式，知△BCE的面积是△ABC的面积的一半，进一步求得阴影部分的面积是△BEC的面积的一半．解答：解：∵点E是AD的中点，∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．∵点F是CE的中点，∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．三、解答题15、如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA=∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．答案：见解答．分析：由DE∥AC交AB于点E可得∠CAD=∠EDA，结合∠EDA=∠EAD，可得∠CAD=∠EAD，即可得到结论．解答：∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD．∵∠EDA=∠EAD，∴∠CAD=∠EAD．∴AD是△ABC的角平分线．16、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC=12，AC=8，AD=6，BE的长为多少？答案：9分析：由已知易得：S△ABC=12AC⋅BE=12BC⋅AD，代入BC=12，AC=8，AD=6即可解得BE的长．解答：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC=12，AC=8，AD=6，∴S△ABC=12BC⋅AD=11262⨯⨯=36，又∵S△ABC=12 AC·BE，∴12×8×BE=36，解得：BE=9．17、如图，在3×2的正方形网格中，小正方形的边长为1，以图中A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形中，面积为1的三角形有哪些?答案：△ABC，△ADE，△BCE，△ACD．分析：根据不在同一直线上的三个点可构成一个三角形分析可知，以A、B、C、D、E中的三点为顶点的三角形共有9个，再根据题目中的已知条件计算每个三角形的面积可得答案．解答：以A、B、C、D、E中的三点为顶点的三角形有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，共9个；再根据小正方形的边长为1，计算可得其中面积为1的三角形有：△ABC，△ADE，△BCE，△ACD．18、如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝5cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2cm，求AC的长．答案：3cm分析：由AD是△ABC的中线可得CD=BD，从而可得C△ABD-C△ACD=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC=2，由AB=5，可解得AC=3（cm）．解答：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD．∵△ACD的周长比△ABD的周长少2cm，∴（AB+BD+AD）-（AC+AD+CD）=AB-AC=2cm，∴AC=AB-2=5-2=3（cm）．19、张大爷的四个儿子都长大成人了，也该分家了，于是张大爷准备把如图所示的一块三角形的田地平均分给四个儿子，四个儿子要求田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．答案：见解答．分析：此题答案不唯一，（1）可根据等底、等高的三角形面积相等，把其中一边均分成4份，连接分点和对角的顶点即可；（2）根据三角形一边的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，作一边上的中线，再作由这条中线分成的两个三角形的中线即可．解答：答案不唯一，第一种方案：如图1，四等分一条边构成的四个三角形；第二种方案：如图2，作△ABC的一条中线，再作由中线分出的两个三角形的中线就可分成四个面积相等的三角形．20、如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．答案：是，理由见解答分析：由DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDA=∠DAF，∠FDA=∠EAD，再结合∠EAD=∠F AD，就可得∠EDA=∠FDA，从而得到DO平分∠EDF．解答：DO是∠EDF的角平分线，理由如下：∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠EAD=∠F AD．∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA=∠F AD，∠FDA=∠EAD．∴∠EDA=∠FDA，∴DO是∠EDF的角平分线．。
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》同步测试题及答案
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》同步测试题及答案班级：姓名：一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（）A．AD是∠BAC的平分线B．AD=BDC．AD=2CD D．2S△ABD =3S△ACD2．如图是一块不规则的四边形地皮ABCO，各顶点坐标分别为A(−2,6)，B(−5,4)，C(−7,0)，O(0,0)（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（）m2．A．25 B．250 C．2500 D．22003．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC面积相等的是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°， CD 是AB边上的高，若 AC=3， AB=5则CD=( )A．2 B．2.4 C．3 D．√155．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于△ABC的面积与△BCD 的面积的大小说法正确的是（）A．S△ABC>S△BCD B．S△ABC=S△BCDC．S△ABC<S△BCD D．无法比较6．如图，在四边形ABCD中∠A=90°，AD=2，BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，已知∠ACB=90°，BC=8，AC=6，AB=10，点D在线段AB上运动，线段CD的最短距离是（）A．4.8 B．4 C．5.8 D．5 8．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为()A．14B．√3−14C．18D．2√3−189．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等10．下列说法中，正确的个数为（）①三角形的高、中线、角平分线都是线段②三角形的外角大于任意一个内角③△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形④若a、b、c均大于0，且满足a+b＞c，则长为a、b、c的三条线段一定能组成三角形A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2，AC=4则△ADC 的面积为．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,−1)，B(1,3)，C(2,−3)，则三角形ABC的面积为．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足3S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为.14．已知一次函数y=32x+m和y=−12x+n的图象都经过点A(−2,0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积为．15．已知a b=35，则b+2ab−2a=．16．如图△ABC中AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°求∠DAC，∠AOB．17．三角形ABC在直角坐标系中，且A(0,4)，B(−2,0)，C(3,−5)，将三角形ABC向下平移2个单位，再向左平移4个单位得到三角形A1B1C1，求三角形A1B1C1的面积．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.（1）则∠BAE＝；（2）求∠DAE的度数.参考答案1．答案D2．答案C3．答案A4．答案B5．答案B6．答案B7．答案A8．答案B9．答案C10．答案A11．答案412．答案1413．答案√4114．答案415．答案−1116．答案∠DAC=20°17．答案1518．答案（1）40°（2）解：∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠DAC＝90°-∠C＝60°∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝20°.。
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》测试题及答案
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》测试题及答案班级：姓名：一、选择题1．下列说法：①三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；②三角形中最小的锐角不能大于60°；③三角形任意两个内角的和大于第三个内角；④三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边；⑤直角三角形只有一条高．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．BEAC=√5−12D．S△AECS△BEC=√5+123．如图，△ABC中∠ACB=75°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC．若点D恰好落在AB边上，且AD=CD，则∠E的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°4．在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，取AB边上的中点E，连接DE，则∠ADE=（）°．A．18 B．36 C．54 D．725．下列命题中，真命题的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三角形的三个顶点距离相等C．同旁内角互补D．若a1，a2，a3都是正数，且a1+a2+a3=1，那么这三个数中至少有一个大于或等于136．如图，把等腰直角三角形ABC的直角顶点和另外一个顶点分别放在矩形纸片的两条对边上，已知∠1=20°，则∠2的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．75°7．如图，直线a∥b，若∠1=24°，∠A=42°，则∠2等于（）A．66°B．70°C．42°D．30°8．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+12∠C；②当∠C=60°时AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b则S△ABC=2ab．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①②③D．①③9．如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线DE∥BC，交AB于E,∠A=60°,∠BDC=95°，则∠BED的度数是（）A．95°B．100°C．105°D．110°10．等腰三角形一个外角为100°，则它的顶角为（）A．40°B．80°C．100°D．80°或20°二、填空题11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=72°则∠E 的度数为.12．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，F在射线AD上，FE⊥BC于E，∠C=80°，∠B=36°则∠F=度．13．如图，在△ABC中，BAC=108°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点D恰好落在BC边上，且DC=DA，则∠E的度数为°．14．如图把三角形ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处∠1=24°，∠2=80°，则∠B′=度．15．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B 的度数是．16．如图，在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BC=CD=AD，则∠A=．三、解答题17．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼合得到的：（1）如图1，请你计算出的∠ABC的度数．（2）如图2，若AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．18．如图，D是△ABC的BC边上一点∠B=∠BAD，∠ADC=70∘，∠BAC=80∘．求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．19．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；（2）如图2，∠B<∠C由(1)的计算结果，你能发现△DAE与∠C−∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明；（3）如图3，∠B=30°，∠C=70°延长AB到点G，∠BAD和∠CBG的角平分线交于点F、请直接写出∠F的度数______．20．如图，△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A=35°，求∠BPC的度数（2）若AB=5cm，BC=3cm，求△PBC的周长？21．陕西省的地势南北高、中间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形．某工程队现需穿过某座大山修一条隧道AB，如图，为了测量隧道AB的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点C，在隧道BA的延长线上取了点D，测量得知∠CAD−∠C=90°，AC=500米，BC=140米，请你求出隧道AB的长．22．如图，在△ABC中∠1=∠B,∠2=∠C,∠DAC=40°，求∠B的度数．参考答案1．答案A2．答案C3．答案D4．答案C5．答案D6．答案C7．答案A8．答案A9．答案D10．答案D11．答案34°12．答案2213．答案2714．答案2815．答案30°16．答案36°17．答案（1）∠ABC＝75°（2）∠AFD＝75°18．答案（1）35°（2）65°19．答案（1）∠DAE=10°（2）∠DAE=12(∠C−∠B)（3）55°20．答案（1）∠BPC=70°（2）周长为8cm21．答案隧道AB的长为480米22．答案35°。
八年级数学上册 《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》同步练习题(含答案)
初中数学·人教版·八年级上册——第11章三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性同步练习题测试时间:30分钟一、选择题1.一定在三角形内部的线段是( )A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C.任意三角形的一条中线、两条角平分线、三条高D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线答案 A A项,锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在三角形内部,故本选项正确;B项,钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部,故本选项错误;C项,任意三角形的一条中线、两条角平分线都在三角形内部,但三条高不一定都在三角形内部,故本选项错误;D项,直角三角形的三条高有两条是直角边,不在三角形内部,故本选项错误.故选A.2.如图,△ABC中,点E是BC上的一点,EC=2BE,BD是边AC上的中线,若S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=( )A.1B.2C.3D.4答案 B ∵S△ABC=12,EC=2BE,点D是AC的中点,∴S△ABE=S△ABC=4,S△ABD=S△ABC=6,∴S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2.故选B.二、填空题3.空调外机安装在墙壁上时,一般都会按如图所示的方法固定在墙壁上,这种方法应用的数学知识是三角形的.答案稳定性解析题中方法应用的数学知识是三角形的稳定性.4.如图所示,∠BAD=45°,AE=4 cm.(1)如果AD是△ABC的角平分线,那么∠DAC=;(2)如果AE=CE,那么线段BE是△ABC的,AC的长为;(3)如果AF是△ABC的高,那么图中以AF为高的三角形有个.答案(1)45°(2)中线;8 cm (3)6解析(1)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAC=∠BAD=45°.(2)∵AE=CE,∴线段BE是△ABC的中线,AC=2AE=2×4=8(cm).(3)以AF为高的三角形有△ABD、△ABF、△ABC、△ADF、△ADC、△AFC,共6个.5.如图,在△ABC中,AD是△ABC边BC上的中线,CE是△ACD边AD上的中线,F是EC的中点.若S△BFC=1,则S△ABC= .答案 4解析如图,连接BE.∵点D、E分别为BC、AD的中点,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC,S△BDE=S△ABD=S△ABC,S△CDE=S△ACD=S△ABC,∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABC+S△ABC=S△ABC,∵点F是CE的中点,∴S△BEF=S△BFC=S△BCE=×S△ABC=S△ABC,∵S△BFC=1,∴S△ABC=4.三、解答题6.如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=9 cm,AC=12 cm,BC=15 cm,∠BAC=90°.试求:(1)△ABE的面积;(2)AD的长度;(3)△ACE与△ABE的周长的差.解析(1)∵△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=9 cm,AC=12 cm,∴S△ABC=AB·AC=×9×12=54(cm2).∵AE是边BC上的中线,∴BE=EC,∴BE·AD=EC·AD,即S△ABE=S△AEC,∴S△ABE=S△ABC=27 cm2.∴△ABE的面积是27 cm2.(2)∵∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∴AB·AC=BC·AD,∴AD=·==(cm),即AD的长度为 cm.(3)∵AE为BC边上的中线,∴BE=CE,∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),即△ACE与△ABE的周长的差是3 cm.7.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24和18两部分,求三角形的三边长.解析如图,设AB=AC=a,BC=b,则有,或,,解得,或,,这时三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18,它们都能构成三角形.所以三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18.。
人教版2024-2025学年八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线(培优卷)(附答案)
人教版2024-2025学年八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线（培优卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列不是利用三角形的稳定性的是（）A．伸缩晾衣架B．三角形房架C．自行车的三角形车架D．矩形门框的斜拉条2．下列图形中，不具有稳定性的是（）A．B．C．D．3．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒4．用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是（）．A．三角形具有稳定性．B．两直线平行,内错角相等．C．两点之间,线段最短．D．垂线段最短．6．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A．屋顶支撑架B．自行车脚架C．伸缩门D．旧门钉木条7．下列图形不具有稳定性的是（）A．（A）B．（B）C．（C）D．（D）8．如图所示，具有稳定性的有（）A．只有（1），（2）B．只有（3），（4）C．只有（2），（3），（4）D．（1），（2），（3）9．我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）A．11根B．10根C．9根D．8根10．小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。
于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（）A．电动伸缩门B．升降台C．栅栏D．窗户12．下列各图形中，具有稳定性的是A．B．C．D．13．如图是一个活动的衣帽架，它应用了四边形的性14．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，根据三角形的稳定性要使框架稳固且不活动，至少还需要添根木条．15．小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为．16．如图，为了使矩形相框不变形，通常可以相框背后加根木条固定．这种做法体现的数学原理是．17．下列图中哪些具有稳定性？．18．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．19．如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点连接，设计出两种不同的连接方案（用直尺连接）．20．如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；①四边形木架的形状______说明四边形没有______．参考答案：13．不稳定14．315．三角形具有稳定性16．三角形具有稳定性17．(1)(6)18．解：如图所示：19．解：所设计连接方案画图形如下所示：20．图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；①四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线复习试题(含答案) (17)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)一、单选题1．如图所示，△ABC中AB边上的高线是（）A．线段AG B．线段BD C．线段BE D．线段CF【答案】D【解析】【分析】根据三角形高的定义进行判断即可得.【详解】根据三角形高线的定义可知，△ABC中AB边上高线应该是过点C向AB所在直线所作的垂线段，所以△ABC中AB边上的高线是线段CF，故选D.【点睛】本题考查了三角形的高线，正确理解三角形的高线的定义是解题的关键.2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm【答案】C【解析】∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∵C△DBC=CD+CB+DB=35∴CD+CB+DA=35，∴CA+CB=35，∵AC=20，∴BC=15.故选C.点睛：熟练运用垂直平分线的性质.3．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°【答案】A【分析】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC 与∠ACB 的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB 的度数，进而求出∠BDC 的度数．【详解】∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE 、CF 是△ABC 的角平分线， ∴1122EBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()1652EBC FCB ABC ACB ∠+∠=⨯∠+∠=︒， ∴∠BDC=180°﹣65°=115°，故选：A ．【点睛】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.4．如图，AE 平分△ABC 外角△CAD ，且AE △BC ，给出下列结论：①△DAE=△CAE ；②△DAE=△B ；③△CAE=△C ；④△B=△C ；⑤△C+△BAE=180°，其中正确的个数有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解析】【分析】利用角平分线的性质结合平行线的性质分别得出∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，∠B+∠BAE=180°，进而分别求得答案．【详解】∵AE平分∠CAD,∴∠DAE=∠CAE，故①正确，∵AE∥BC，∴∠DAE=∠B,∠CAE=∠C,∠B+∠BAE=180︒，故②③正确，由∠得：∠B=∠C,∠C+∠BAE=180︒，故④⑤正确；故答案选：A.【点睛】本题考查的知识点是三角形的外角性质及平行线的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外角性质及平行线的判定与性质.5．下列说法不正确的是（）A．三角形的重心是指三角形三条中线的交点B．邻边相等的长方形一定是正多边形n3-C．三角形和四边形都具有稳定性D．从n边形一个顶点出发可引()条对角线【解析】【分析】根据三角形的重心的概念、正多边形的概念、三角形的稳定性、多边形的对角线的条数的确定方法解答．【详解】A.三角形的重心是指三角形三条中线的交点，正确；B.邻边相等的长方形一定是正多边形，正确；C.三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，不正确；D.从n边形一个顶点出发可引(n−3)条对角线，正确；故答案选：C.【点睛】本题考查了三角形的知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形的重心与稳定性的定义.6．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB 与AC的差为( )A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选B．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC 是解题的关键．中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）7．在ABCA．B．C． D．【答案】D【解析】【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．解：在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是D．故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的高，关键是要注意高的作法．8．如图，D是ABC的重心，则下列结论正确的是（）A．2AD=DE B．AD=2DEC．3AD=2DE D．AD=3DE【答案】B【解析】【分析】根据三角形的重心的性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍．分析选项，得到正确答案．【详解】解：A. 2AD=DE，应为AD=2DE，故本选项错误；B. AD=2DE，符合三角形的重心的性质，故本选项正确；C. 3AD=2DE，应为3AD=6DE，故本选项错误；D. AD=3DE，应为AE=3DE，故本选项错误.故选B.本题考查了三角形重心的性质，解题的关键是熟练的掌握重心概念及其性质.9．如图，已知D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC于点E，若AE＝4，则AC的长为( )A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】【分析】首先根据D是△ABC的重心，可得BE是AC边的中线，E是AC的中点；然后根据AE=4，求出AC的长度是多少即可．【详解】∵D是△ABC的重心，∴BE是AC边的中线，E是AC的中点；又∵AE=4，∴AC=8．故选B．【点睛】本题考查了三角形的重心的性质和应用，解题的关键是要明确：三角形的重心是三角形三边中线的交点．10．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．周长相等的三角形D．直角三角形【答案】B【解析】【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【详解】三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选B．【点睛】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (42)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，CD ⊥AB 于D ，则CD 长为A ．1B CD 【答案】C【解析】【分析】 根据等面积法（1122S AC BC AB CD =•=• ）求解CD 的长度即可. 【详解】根据直角三角形的等面积法可得：1122S AC BC AB CD =•=•所以111222S CD =⨯⨯=CD 【点睛】本题主要考查直角三角形的高的计算，关键在于等面积法的掌握.12．如图，在ABC ∆中，BC 边上的高是（ ）A ．ECB ．BHC ．CD D ．AF【答案】D【解析】【分析】 根据三角形的高线的定义解答．【详解】根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．故选D．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．13．在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），连接AD，下列表述错误的是（）A．若AD是BC边的中线，则BC＝2CDB．若AD是BC边的高线，则AD＜ACC．岩AD是∠BAC的平分线，则△ABD与△ACD的面积相等D．若AD是∠BAC的平分线又是BC边的中线，则AD为BC边的高线【答案】C【解析】【分析】根据三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积公式即可得到结论．【详解】A、∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，∴BC＝2CD，故A正确；B、∵AD是BC边的高线，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AD＜AC，故B正确；C、∵AD是△BAC的中线，则△ABD与△ACD的面积相等，故C错误；D、∵AD是∠BAC的平分线又是BC边的中线，∴△ABC是等腰三角形，∴AD为BC边的高线，故D正确，故选C．【点睛】本题考查了三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积，熟练掌握各定义是解题的关键．14．如图所示，四边形ABCD中，AC、BD相交于0点．若三角形AOD 的面积是2，三角形COD的面积是1，三角形COB的面积是4，则四边形ABCD 的面积是( )A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【解析】【分析】根据不同底等高的三角形面积比等于底边的比，先求出S三角形AOB，再把四个三角形的面积相加即可得到四边形ABCD的面积【详解】解：∵△AOD的面积是2，△COD的面积是1，∴AO=2CO ，∴S 三角形AOB =2S 三角形BOC =8，∴S 四边形ABCD =1+2+4+8=15．故选：B ．【点睛】本题考查了四边形的面积计算，解题关键是由不同底等高的三角形面积相互间的关系：不同底等高的三角形面积比等于底边的比得出S 三角形AOB ．15．如图，△ABC 的面积为12cm 2，点D 在BC 边上，E 是AD 的中点，则△BCE 的面积是（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．12cm 2【答案】B【解析】【分析】 根据三角形的中线的性质得到11,22BDE ABD DEC ADC SS S S ==，计算即可．【详解】解：∵E 是AD 的中点， 11,22BDE ABD DEC S S S S ADC ∴==∆ ∴△BCE 的面积()1122BDE DEC ABD ADC S S S S ∆=+=⨯+=⨯△ABC 的面积=6， 故选：B【点睛】本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．16．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．13B．710C．35D．1320【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=43x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP 的面积是2y ，△APE 的面积是x ，∵BD ：DC=2：1∴△ABD 的面积是4x+2y∴△ABP 的面积是4x ．∴4x+x=2y+x+y ，解得y=43x ． 又∵△ABC 的面积为3∴4x+x=32， x=310． 则四边形PDCE 的面积为x+y=710 ． 故选B ．【点睛】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．17．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是AC 、BD 、AE 的中点，如果2DEF S1cm =，那么ABC S =( )2cmA ．3B ．4C ．8D ．12【解析】【分析】根据三角形中线的性质即可解答.【详解】∵F 是AE 的中点，2DEF S 1cm ∆=，∴2DEF S =2S 2cm ADE ∆∆=，∵E 是BD 的中点，2S 2cm ADE ∆=，∴2ADE S =2S 4cm ABD ∆∆=，∵D 是AC 的中点，2S 4cm ABD ∆=，∴2ABD S =2S 8cm ABC ∆∆=.故选C.【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解决问题的关键.18．如图中，CD 是△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高.【详解】A.CD是△ACD的高,故不符合题意；B. CD是△ABC的高,符合题意；C. CD不是任何三角形的高,故不符合题意；D. CD是△ACD的高,故不符合题意；故选B.【点睛】本题考查了三角形中线的定义，在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.19．在三角形中，交点一定在三角形内部的有（）①三角形的三条高线②三角形的三条中线③三角形的三条角平分线④三角形的外角平分线．A．①②③④B．①②③C．①④D．②③【答案】D【解析】【分析】根据三角形的角平分线，中线，高线，外角平分线的定义和性质对各小题分析求解．【详解】解：①三角形的三条高线：锐角三角形在三角形内部，直角三角形是直角顶点，钝角三角形在三角形外部，故错误；②三角形的三条中线是连接顶点与对边中点的线段，一定在三角形内部，故正确；③三角形的三条角平分线，是三角形的内角平分线与对边的交点的线段，一定在三角形内部，故正确；④三角形的外角平分线在三角形的外部，所以交点一定不在三角形内部，故错误．综上所述，交点一定在三角形内部的有②③．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，中线，高线以及外角平分线的定义，熟记定义是解题的关键．20．下列各图中，AC边上的高画正确的是（）A． B．C．D．【答案】D【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．据此可得答案．【详解】根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线，垂足为E，∴A、B、C都不符合高线的定义，D符合高线的定义．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案）（66）
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案）（66）人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图1,点O是直线AB上的一点.(1)如图1,当∠AOD是直角,3∠AOC=∠BOD,求∠COD的度数；(2)在(1)中∠COD绕着点O顺时针旋转(OD与OB重合即停止),如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD,则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化?若不变,求出∠EOF的大小；若改变,说明理由；(3)在(1)中线段OC、OD绕着点O顺时针旋转,速度分别为每秒20°和每秒10°(当OD与OB重合时旋转都停止),OM、ON分别平分∠BOC、∠BOD，多少秒时∠COM=∠BON(直接写出答案,不必写出过程).【答案】（1）60°；（2）120°；（3）6秒.【解析】【分析】（1）根据直角的定义求出∠BOD，再根据3∠AOC=∠BOD可得∠AOC 的度数，又因为∠COD与∠AOC 互余即可解答；（2）不变，是120°.根据（1）求出∠COD的度数，从而求得∠AOC+∠BOD 的值，再利用角平分线定义求出∠EOC +∠DOF，最后根据∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD即可解答.(3) 设t秒时，∠COM=∠BON.用含t的式子表示出∠COM、∠BON，从而列出方程求解.【详解】解：（1）因为∠AOD是直角，所以∠AOD= =90°，又因为3∠AOC=∠BOD，所以∠AOC=13∠BOD=30°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-30°=60°；（2）因为∠AOD是直角，∠AOC=30°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-30°=60°，所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=180°- 60°=120°，因为OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，所以∠EOC +∠DOF =12(∠AOC+∠BOD)=×120°=60°，所以∠EOF=∠EOC +∠DOF+∠COD=60°+60°=120°；（3）设t秒时，∠COM=∠BON.t秒时，∠COM=12(180°-∠AOC-20°t)=1 2(180°-30°-20°t)=75°-10°t，∠BON=12∠BOD=12（90°-10°t）=45°-5°t，当∠COM=∠BON时，75°-10°t=45°-5°t，解得：t=6，即6s时，∠COM=∠BON.【点睛】本题考查直角的定义，互余角的关系，角平分线的定义，解题关键是结合图形找出各个角之间的倍数关系.52．已知，如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OD、OE分别是∠AOC 和∠BOC的平分线．(1)求∠COD的度数；(2)求∠DOE的度数；(3)若把本题的条件改成∠AOB=α，∠BOC=β，那么∠DOE的度数是多少？【答案】(1)∠COD =60°；(2)∠DOE=45°；(3)∠DOE=12α．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义可以得到1122COD AOC COE BOC ∠=∠∠=∠，，然后根据∠DOE=∠COD-∠COE 即可求解；（3）根据角平分线的定义可以得到1122COD AOC COE BOC ∠=∠∠=∠，，然后根据∠DOE=∠COD-∠COE 即可求解．【详解】(1)∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=120°，∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD=12∠AOC=60°；(2)∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+3，0°=120° 又∵OD ，OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，∴∠COD=12∠AOC=12×120°=60°，∠COE=12∠BOC=12×30°=15°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°-15°=45°；(2)∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，又∵OD ，OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，∴∠COD=12∠AOC=12(α+β)，∠COE=12∠BOC=12β，∴∠DOE=∠COD-∠COE=12(α+β)-12β=12α+12β-12β=12α．【点睛】本题考查了角度的计算，正确确定角度的和或差，理解角平分线的定义是关键．53．如图，OM 是AOB ∠的平分线，射线OC 在BOM ∠内部，ON 是BOC ∠的平分线，已知AOC 80∠=，求MON ∠的度数．【答案】40．【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠CON ＝∠BON,∠AOM ＝∠BOM ＝2x ＋y ，根据角的和差即可得到结论．【详解】解：ON 平分BOC ∠CON BON ∴∠=∠设CON BON x ∠=∠=，MOC y ∠= 则2MOB MOC BOC x y ∠=∠+∠=+ 又OM 平分AOB ∠∴ 2AOM BOM x y ∠=∠=+()22AOC AOM MOC x y y x y ∴∠=∠+∠=++=+80AOC ∠=?()2x y 80x y 40∴+=∴+=40MON MOC NOC x y ∴∠=∠+∠=+=?【点睛】本题主要利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等. 54．如图，已知，A 、O 、B 在同一条直线上，∠AOE =∠COD ，∠EOD =30°．（1）若∠AOE =88°30′，求∠BOC 的度数；（2）若射线OC 平分∠EOB ，求∠BOC 的度数．【答案】(1) 33°;(2) ∠BOC =50° 【解析】【分析】(1)先求出∠AOC度数，再利用∠AOC与∠BOC互补关系求解；(2)由∠AOE=∠COD，易得∠AOD=∠COE，再借助角平分线定义分析出∠AOD=∠COE=∠BOC，根据这三个等角加上∠DOE等于180°列方程，从而可求出∠BOC度数．【详解】(1)∵∠AOC=∠AOE+∠DOC-∠DOE =88°30′+88°30′-30°=147°，∴∠BOC=180°-∠AOC =180°-147°=33°；(2)∵∠AOE=∠COD，∴∠AOE-∠DOE=∠COD-∠DOE，即∠AOD=∠COE，∵OC平分∠BOE，∴∠BOC=∠COE，∴∠BOC=∠COE=∠AOD，设∠BOC=∠COE=∠AOD=x°，则3x+30°=180°，解得x=50°，所以∠BOC=50°．【点睛】本题考查了角的和差、角平分线的定义，正确找到角之间的和差倍分关系是解题的关键．55．如图，直线AB，CD，OE⊥AB,过点O画直线MN⊥CD．若点F是直线MN上任意一点(点O除外)，且∠AOC=34°.求∠EOF的度数.【答案】34°或146°【解析】【分析】当F在OM上时，根据垂直定义求出∠EOF=∠BOD，根据对顶角求出∠EOF=∠AOC，即可求出答案；当F在ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB+∠BON即可．【详解】①当点F在射线OM上时,如图，因为OE⊥AB，MN⊥CD,所以∠EOB=∠MOD=90°，所以∠MOE+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD= 90°，所以∠EOF=∠BOD=∠AOC=34°.②当点F在射线ON上时,如图，因为MN⊥CD,所以∠MOC =∠AOC +∠AOM=90°，所以∠AOM= 90°-34°=56°，所以∠BON=∠AOM=56°因为OE⊥AB,所以∠EOB=90°.所以∠EOF=∠EOB+∠BON= 90°+56°=146°.综上，∠EOF的度数是34°或146°.【点睛】本题考查了角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠AOM和∠EOM的度数，注意分类讨论思想的运用．56．如图所示，直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF，且CD⊥EF, ∠AOE=70°.求∠GOF和∠DOG的度数.【答案】∠GOF=35°，∠DOG=55°【解析】【分析】求出∠BOF，根据角平分线求出∠GOF，求出∠EOD，代入∠DOG=180°-∠GOF-∠EOD求出即可．【详解】∵∠AOE=70°，∴∠BOF=∠AOE=70°，又∵OG 平分∠BOF ，∴∠GOF=12∠BOF=35°，又∵CD ⊥EF ，∴∠EOD=90°，∴∠DOG=180°-∠GOF-∠EOD=180°-35°-90°=55°．【点睛】考查了角的计算，关键是掌握对顶角相等，垂直定义，角平分线的性质． 57．如图，O 是直线AB 上一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．()1若AOC 100∠=，则DOE ∠=______；若AOC 120∠=，则DOE ∠=______；()2若AOC α∠=，则DOE ∠=______(用含α的式子表示)，请说明理由； ()3在AOC ∠的内部有一条射线OF ，满足AOC 2BOE 4AOF ∠∠∠-=，试确定AOF ∠与DOE ∠的度数之间的关系，并说明理由．【答案】（1）50，60；（2） 1α2；（3）DOE AOF 45∠∠-=，理由见解析.【解析】【分析】(1)首先利用补角的定义可得出∠BOC ，再利用角平分线的定义可得出∠COE ，易得∠DOE ；(2)同理由(1)可得∠DOE=12∠AOC ； (3)设∠DOE=x ，∠AOF=y ，根据已知和(2)的结论可得出x-y=45°，从而得出结论．【详解】解：()1AOC 100∠=，BOC 18010080∠∴=-=，OE 平分BOC ∠，11COE BOC 804022∠∠∴==?=，COD 90∠=，DOE COD COE 904050∠∠∠∴=-=-=；AOC 120∠=，BOC 18012060∠∴=-=，OE 平分BOC ∠，11COE BOC 603022∠∠∴==?=，COD 90∠=，DOE COD COE 903060∠∠∠∴=-=-=；()12DOE α2∠=；AOC α∠=，BOC 180α∠∴=-，OE 平分BOC ∠，11COE BOC 90α22∠∠∴==-，COD 90∠=，11DOE COD COE 9090αα22∠∠∠?∴=-=--= ??；()3DOE AOF 45∠∠-=．理由：AOC 2BOE 4AOF ∠∠∠-=，AOC 3AOF 2BOE AOF ∠∠∠∠∴-=+，设DOE x ∠=，AOF y ∠=，左边AOC 3AOF 2DOE 3AOF 2x 3y ∠∠∠∠=-=-=-，右边()2BOE AOF 290x y 1802∠∠=+=-+=- x y +，2x 3y 1802∴-=- x y + 即4x 4y 180-=，x y 45∴-=DOE AOF 45∠∠∴-=．故答案为：(1)50°，60°；(2)12α；(3)∠DOE-∠AOF=45°，理由见解析.【点睛】此题考查的知识点是角平分线的性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．58．如图，△ABC 中，∠A =46°，CE 是∠ACB 的平分线，B 、C 、D 在同一直线上，FD ∥EC ，∠D =42°，求证：∠B =50°．【答案】详见解析【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得出∠BCE的度数，再根据角平分线的性质即可得出∠ACB的度数，再根据三角形的内角和定理即可证明．【详解】证明：∵FD∥EC，∠D=42°，∴∠BCE=42°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACB=2∠BCE=84°，∵∠A=46°，∴∠B=180°-84°-46°=50°【点睛】三角形内角和定理，平行线的性质.59．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E 是BC 的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积等于10？【答案】52秒或103秒【解析】【分析】分点P在线段AC上和点P在线段CE上两种情况考虑，根据三角形的面积公式分别列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，∵CE＝12BC＝4cm，当点P在线段AC上，即0＜t≤3时，如图1所示，AP＝2t，∵∵C＝90°，∵S△APE＝12AP?CE＝4t＝10，解得：t＝52；当点P在线段CE上，即3≤t＜5时，如图2所示，AC＝6cm，PE＝（10﹣2t）cm，∵S△APE＝12AC?PE＝3（10﹣2t）＝10，解得：t＝103．综上所述：当t为52秒或103秒时，∵APE的面积等于10．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，以及解一元一次方程，和分类讨论的数学思想，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键60．如图，⊥ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD.已知AF＝6，BC＝10，BG＝5.(1)求⊥ABC的面积；(2)求AC的长；(3)试说明⊥ABD和⊥ACD的面积相等．【答案】(1)30；(2)12；(3)见解析.【解析】【分析】（1）直接利用三角形的面积计算方法计算得出答案即可；（2）利用三角形的面积计算公式建立方程求得答案即可；（3）利用三角形的面积计算公式以及两个三角形底和高的关系得出答案即可．【详解】(1)∵△ABC的边BC上的高为AF，AF＝6，BC＝10，∴△ABC的面积为12BC·AF＝12×10×6＝30.(2)∵AC边上的高为BG，BG＝5，∴△ABC的面积为12AC·BG＝30，即12AC×5＝30，∴AC＝12.(3)∵△ABC的中线为AD，∴BD＝CD.∵△ABD以BD为底，△ACD以CD为底，而且等高，∴S△ABD＝S△ACD.【点睛】本题考查三角形的面积计算公式，掌握三角形的面积=1 ×底×高是解题的关2键．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (85)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COD，∠BOE＝68°，则∠AOC ＝_________．【答案】22°【解析】【分析】由OE平分∠COD，可知∠DOE=90°，由∠BOD与∠AOC为对顶角，即可求得∠AOC的度数．【详解】∵OE平分∠COD，∴∠DOE=90°，∵∠BOE＝68°，∴∠BOD＝∠EOD-∠BOE=90°-68°=22°，∴∠AOC=∠BOD=22°，故答案为：22°【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．42．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE边上的中点，且S△ABC＝16 cm2，则S△BEF＝_________．【答案】4cm2【解析】【分析】根据等底等高的三角形的面积相等用△ABC的面积表示出△BDE和△CDE的面积，从而得到△BCE的面积，再次利用等底等高的三角形的面积相等即可得到△BEF的面积与△ABC的面积的关系，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】∵点D，E分别是BC，AD边上的中点，∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD=14S△ABC，S△CDE=12S△ACD=14S△ABC，∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=14S△ABC+14S△ABC=12S△ABC，∵F是CE边上的中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×12S△ABC=14S△ABC，∵S△ABC=16cm2，∴S△BEF=14×16=4cm2．故答案为：4cm2．【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形面积相等推出△BEF和△ABC的面积的关系是解题的关键，也是本题的难点．43．如图，△ABC中BC边上的高线是_______，△BCE中BC边上的高线是________，以CF为高线的三角形有______________________．【答案】AD；BE；△ABC，△BCF，△AFC.【解析】【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，依据三角形的高线的定义进行判断即可．【详解】如图，△ABC中BC边上的高是AD；△BCE中BC边上的高是BE；△ACD中CD边上的高是AD；以CF为高线的三角形有△ABC，△BCF，△AFC.故答案为AD，BE，△ABC，△BCF，△AFC．【点睛】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．44．如图，若BD＝DE＝1EC，则AD是△______的中线，AE是△_______2的中线．【答案】ABE；ABC.【解析】【分析】根据三角形中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得答案．【详解】∵BD=DE，∴点D是BE边的中点，∴AD是△ABE的中线；∵BD＝DE＝12 EC，∴2BD=EC，即BE=EC，∴点E是BC边的中点，∴AE是△ABC的中线.故答案为ABE，ABC.【点睛】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形中线的定义．45．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，△B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝________．【答案】105°【解析】【分析】利用角平分线的定义求出∠BAD的度数，根据三角形的内角和定理计算∠ADB的度数．【详解】∵AD是△ABC的一条角平分线，∠BAC＝60°，∴∠BAD=30°，∴∠ADB=180°-30°-45°=105°．故答案为105°．【点睛】主要考查了三角形的内角定理，三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．46．在△ABC中，∠A＝60°，CD是△ABC的高线，则∠ACD＝________．【答案】30°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可求出∠ACD．【详解】∵CD是AB边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∵∠A=60°，∴∠ACD=90°-60°=30°.故答案为30°.【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．47．已知AD是△ABC的角平分线，∠BAD＝20°，则∠BAC＝________．【答案】40°【解析】【分析】根据∠BAD=20°，AD是△ABC的角平分线即可求出∠BAC的度数．【详解】∵∠BAD=20°，AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAD=2×20°=40°，故答案为40°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义．得出∠BAC=2∠BAD是解题的关键．48．如图，BD，CE分别是△ABC两个外角的角平分线，DE过点A且DE∥BC．若DE＝14，BC＝7，则△ABC的周长为____．【答案】21【解析】【分析】有角平分线的定义和平行线的性质可证明AB＝AD,AE＝AC,则可求得△ABC的周长.【详解】∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠DBF∴DE∥BC,∴∠ADB＝∠DBF∴∠ADB＝∠ABD,∴AD＝AB同理可得AE＝AC∴AB＋AC＝DA＋AE＝DE=14∴BC＝7,∴AB＋AC＋BC＝14＋7＝21,即△ABC的周长为21.因此，本题正确答案是21.【点睛】熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是本题关键.49．已知△ABC的高为AD，△BAD=70°，△CAD=20°，则△BAC的度数是_______．【答案】90º或50º.【解析】【分析】画出图形可知有两种情况：∠BAC=∠BAD+∠CAD和∠BAC=∠BAD-∠CAD．【详解】如图：∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；或∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．故本题答案为：90°或50°．50．如图△ABC中已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=64cm2，则S阴影的值为_____．【答案】16cm2【解析】【分析】利用三角形的中线的性质即可解决问题；【详解】∵点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=64，∴S△ABD=S△ADC=32，S△BDE=S△DEC=16，∴S△BEC=32，∴S阴=12•S△BEC=16，故答案为：16cm2．【点睛】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (93)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设S 四边形EADF ＝S 1，S △BDF ＝S 2，S △BCF ＝S 3，S △CEF ＝S 4，则S 1S 3与S 2S 4的大小关系是( )A ．不能确定B ．S 1S 3＜S 2S 4C ．S 1S 3＝S 2S 4D ．1S 3＞S 2S 4【答案】D【解析】 分析：连接DE ，设S △DEF ＝S ，用等高的三角形的面积的比等于底的比，判断3SS 与24S S 的大小关系.详解：设S △DEF ＝S ，因为2S EF S FB ＝，又43S EF S FB＝， 所以423S S S S ＝，则324SS S S ＝， 因为1S ＞S ，所以134S S S ＞.故选D .点睛：涉及到三角形的面积的问题，注意同底的三角形的面积的比等于高的比，等高的三角形的面积的比等于底的比.22．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 与CE 交于点O ，若四边形AEOD 的面积记为S 1，S △BEO ＝S 2，S △BOC ＝S 3，S △COD ＝S 4，则S 1•S 3与S 2•S 4的大小关系为（ ）A ．S 1•S 3＜S 2•S 4B ．S 1•S 3＝S 2•S 4C ．S 1•S 3＞S 2•S 4D ．不能确定【答案】C【解析】【分析】 首先作辅助线：连接DE ，再设S △DEF =S ′1，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：则1423'S S EF S BF S == ，则可证得：S 1′S 3=S 2S 4，即可得到：S 1S 3＞S 2S 4．【详解】解：如图，连接DE ，设S △DEF ＝S ′1，则1423'S S EF S BF S ==，从而有S 1′S 3＝S 2S 4． 因为S 1＞S 1′，所以S 1S 3＞S 2S 4．故选：C ．【点睛】此题考查了有关三角形面积的求解．注意等高三角形的面积比等于对应底的比性质的应用23．如图，△ABC的两条内角平分线BD与CD交于点D，设∠A的度数为x，∠BDC的度数为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】首先根据△ABC的两条内角平分线的性质，可得出∠DBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，进而得出∠BDC＝90°+12A∠，再根据∠A＞0°且180°＞90°+12A∠＞0°，可得其取值范围0°＜∠A＜180°，即可得出函数解析式.【详解】∵△ABC的两条内角平分线BD与CD交于点D∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠DCB ＝12∠ACB ∴∠BDC ＝180°﹣∠DBC ﹣∠DCB ＝180°﹣()12ABC ACB +∠∠＝180°﹣()1801-2A ︒∠＝90°+12A ∠， ∵∠A ＞0°且180°＞90°+12A ∠＞0° ∴解得0°＜∠A ＜180°，即：y ＝90+12x ，0＜x ＜180， 故选：B ．【点睛】此题主要考查三角形内角平分线的性质，关键是列出两角的关系式.24．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，且BE ⊥AC 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）A ．1AF CF 2= B ．13AEF CDF S S = C ．∠DCF ＝∠DFCD．tan CAD 2∠= 【答案】B【解析】【分析】由△AEF ∽△CBF ，可得12AE AF BC FC==，故A 正确，不符合题意；由三角形的中线的性质可得S△AEF＝12S△ADF＝14S△CDF，故B错误，符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝12BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故C正确，不符合题意；由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D正确，不符合题意．【详解】解：A、∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AE AF BC FC，∵点E是矩形ABCD的边AD的中点∴AE＝12AD＝12BC，∴AF＝12FC，故A正确，不符合题意；B、∵AF＝12FC，∴S△AFD ＝12S△CDF，∵AE＝DE∴S△AEF ＝12S△ADF＝14S△CDF，故B错误，符合题意；C 、过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ， ∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DF ＝DC ，∴∠DCF ＝∠DFC ，故C 正确，不符合题意；D 、设AD ＝a ，AB ＝b ，由△BAE ∽△ADC ，有2ab a b=．∴b ＝2a∵tan ∠CAD ＝2CD b AD a ==，故D 正确，不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角形中线的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.⊥于B，交AC于P，过点C作25．如图，在ABC中，过点B作PB BC⊥，交AB延长线于Q，则ABC的高是（）CQ ABA．线段PB B．线段BC C．线段CQ D．线段AQ【答案】C【解析】【分析】以三角形的一边为底，过第三个顶点向底边所作的垂线是三角形的高线，根据定义解答.【详解】由题意得：CQ AB⊥，∴ABC的高是线段CQ，故选：C.【点睛】此题考查三角形的高线的定义，熟记定义，正确区分高线是解题的关键.26．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比为( )A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【答案】A【解析】【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可．【详解】S△ABC＝12AB•CE＝12BC•AD，∵AB＝2，BC＝4，∴12×2•CE＝12×4•AD，∴12 ADCE.故选A．【点睛】本题考查了三角形的高，利用同一个三角形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键．27．用三角板作ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据高线的定义即可得出结论．【详解】B，C，D都不是ABC∆的边BC上的高，故选：A．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．28．如图，在ABC中，点D为BC边的中点，下列说法不正确的是（）A．BD DC=B．12BD BC=C．BAD CAD∠=∠D．BAD CADS S=【答案】C 【解析】【分析】根据中线的性质、三角形面积求法逐项分析即可.【详解】解：∵点D 为BC 边中点，∴BD=CD=12BC ， △BAD 和△CAD 等底同高，∴BAD CAD S S =，而AD 是△ABC 的中线，不能推出BAD CAD ∠=∠，故选C.【点睛】本题考查了中点的性质和三角形面积的求法，利用三角形面积关系，难度不大.29．如图，在△ABC 中，过点B 作PB ⊥BC 于B ，交AC 于P ，过点C 作CQ ⊥AB ，交AB 延长线于Q ，则△ABC 的高是（ ）A ．线段PBB ．线段BC C ．线段CQD ．线段AQ【答案】C【解析】【分析】 根据三角形高线的定义即可解题.【详解】解：当AB为△ABC的底时，过点C向AB所在直线作垂线段即为高,故CQ 是△ABC的高,故选C.【点睛】本题考查了三角形高线的定义,属于简单题,熟悉高线的作法是解题关键.30．如图，BD平分∠ABC，CD∠AB，若∠BCD=70°，则∠CDB的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．30°【答案】A【解析】试题分析：∵CD∵AB，∵∵BCD+CBA=180°，∵∵CBA=180°﹣70°=110°，∵BD平分∵ABC，∵∵ABD=∵CBA=55°，而AB∵CD，∵∵CDB=∵ABD=55°．故选A．考点：平行线的性质二、解答题。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线复习试题(含答案) (47)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)一、单选题1．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A．DE是△ABC的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BE＝ECD．DE是△BCD的中线【答案】A【解析】【分析】根据中线的定义即可解题.【详解】解：∵D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，∴DE是△BDC的中线,A项错误,故选A.【点睛】本题考查了三角形中线的识别,属于简单题,熟悉中线的概念是解题关键.2．已知O 为直线AB 上一点，OC 平分∠AOD ，∠BOD=3∠DOE ，∠COE=m ︒，则∠BOE 的度数是A ．m ︒B ．1802m ︒-︒C ．3604m ︒-︒D ．260m ︒-︒【答案】C【解析】【分析】 设∠DOE=x ，则∠BOD=3x ，根据平角的定义可得∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x ；再根据角平分线的定义可得∠COD=12∠AOD=90°-32x ．根据∠COE=∠COD+∠DOE 可得方程90°-2x =m ，解方程求得x 的值，即可求得∠BOE 的度数.【详解】设∠DOE=x ，则∠BOD=3x ，∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x ．∵OC 平分∠AOD ，∴∠COD=12∠AOD=12（180°-3x ）=90°-32x ． ∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°-32x+x=90°-2x ， 由题意可得，90°-2x =m ，解得x=180°-2m ，即∠DOE=180°-2m ， ∴∠BOE=360°-4m ，故选C ．【点睛】本题主要考查了角的计算，正确运用角的平分线的定义是解答本题的关键．3．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，⊥BOA⊥⊥AOD＝3⊥4，则⊥BOD的度数为( )A．120°B．125°C．150°D．157.5°【答案】C【解析】【分析】直接利用垂直的定义结合∠BOA∶∠AOD＝3∶4求出即可．【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB =90°，∵∠BOA∶∠AOD＝3∶4，∴∠AOD=90°×43=120°，∵OC⊥OD，∴∠DOC=90°，∴∠AOC=∠AOD-∠BOC=120°-90°=30°，∴∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠BOC=360°-90°-30°-90°=150°，故选C．【点睛】此题主要考查了垂线以及角的计算，正确得出∠AOC 的度数是解题关键．4．如图，△ABC 的两条中线AD 、CE 交于点G ，联结BG 并延长，交边AC 于点F ，那么下列结论不正确．．．的是( )A ．AF=FC ；B ．GF=BG ；C ．AG=2GD ；D ．13EG CE =． 【答案】B【解析】【分析】根据三角形重心的定义与性质逐项分析即可.【详解】A.∵△ABC 的两条中线AD 、CE 交于点G ，∴点G 是∴ABC 的重心，∴BF 是的中线，∴AF=FC ，故A 正确；B. ∵点G 是△ABC 的重心，∴2GF=BG ，故B 错误；C. ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG=2GD ，故C 正确；D. ∵点G 是△ABC 的重心， ∴13EG CE =，故D 正确.故选B.【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．5．如图，直线AD，BE 相交于点O，CO⊥AD 于点O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为A．29°B．30°C．31°D．32°【答案】A【解析】【分析】由CO∴AD 于点O，得∴AOC=90︒，由已知∴AOB=32︒可求出∴BOC的度数，利用OF 平分∴BOC可得∴BOF=1BOC∠，即可得∴AOF 的度数.2【详解】∵CO⊥AD 于点O，∴∠AOC=90︒，∵∠AOB=32︒，∴∠BOC=122︒，∵OF 平分∠BOC，∴∠BOF=1BOC612∠=︒，∴∴AOF=∴BOF-∴AOB=61︒-3229︒=︒.故选A.【点睛】本题考查垂线，角平分线的定义.6．三条高的交点一定在三角形内部的是（）A．任意三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．纯角三角形【答案】B【解析】【分析】根据三角形高的定义知，若三角形的两条高都在三角形的内部，则此三角形是锐角三角形．【详解】利用三角形高线的位置关系得出：如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形．故选B．【点睛】此题主要考查了三角形的高线性质，了解不同形状的三角形的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的三条高中，有两条是它的直角边，另一条在内部；钝角三角形的三条高有两条在外部，一条在内部．7．若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（）A．BD＝CD B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD且AD⊥BC【答案】A【解析】【分析】根据中线的性质逐一判断即可.【详解】如下图所示，AD是△ABC的中线则点D为BC中点，BD=CD只有当AB=AC时，有AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC故B，C，D不正确，答案选A【点睛】本题考查三角形的中线.8．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（）A．角平分线B．中线C．高D．以上都可以【答案】B【解析】【分析】根据等底同高的三角形的面积相等解答．【详解】三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，面积相等，所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积，熟记等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．9．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是( )A．20°B．30°C．40°D．60°【答案】B【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACE和∠DCE，再根据角平分线的定义表示出∠DBC和∠DCE，然后整理得到∠D=1 2∠A，代入数据进行计算即可得解．【详解】由三角形外角性质，∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠DBC+∠D，∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，∴12∠A+12∠ABC=12∠ABC+∠D，∴∠D=12∠A，∵∠A=60°，∴∠D=30°．故选B．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并整理得到∠D=12∠A是解题的关键．10．如图，在△ABC中，中线AD、CE相交于点G，AG=6，则AD的长为（）A．18 B．9 C．8 D．3【答案】B【解析】【分析】根据G是△ABC的重心，利用重心的性质求出GD，然后再将AG+GD即可求出AD．【详解】∵G是△ABC的重心，且AD是中线，∴AG＝2GD＝6，即DG＝3，∴AD ＝3+6＝9．故选B．【点睛】本题考查了三角形重心的性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (24)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图，在△ABC 中，BC=8，AD 为BC 边上的高，A 点沿AD 所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当△ABC 的面积为48时，AD 的长为（ ）A ．24B ．12C ．8D ．6【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积公式即可得解.【详解】∵△ABC 的面积=12BC •AD=12×8•AD=48，∴AD=12．故选C ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积公式．32．如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠BOD ＝13∠DOC ，∠BOD ＝12°，则∠AOD 的度数为( )A．70°B．60°C．50°D．48°【答案】B【解析】【分析】根据已知求出∠DOC和∠BOC，根据角平分线定义求出∠AOC，代入∠AOD=∠AOC+∠DOC求出即可．【详解】∵∠BOD＝13∠DOC，∠BOD＝12°，∴∠DOC＝3∠BOD＝36°，∠BOC＝36°﹣12°＝24°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝24°，∴∠AOD＝∠AOC+∠DOC＝24°+36°＝60°．故选：B．【点睛】本题考查角平分线定义的应用，能求出各个角的度数是解此题的关键．33．下列说法中正确的有( )①对顶角的角平分线成一条直线；②相邻二角的角平分线互相垂直；③同旁内角的角平分线互相垂直；④邻补角的角平分线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】本题考查几个类别图形的角平分线的关系，要从两个角的位置及大小上，进行判断．【详解】解：①因为对顶角相等，其角平分线所分得的角也相等，可构成新的对顶角，故对顶角的角平分线成一条直线，正确,②相邻二角互补时角平分线互相垂直，其它情况下就不垂直，错误,③同旁内角互补时角平分线互相垂直，其它情况下就不垂直，错误,④由于邻补角互补，又有位置关系，故邻补角的角平分线互相垂直，正确．故选B．【点睛】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．二、填空题34．在三角形ABC中，AB＝4，AD为△ABC的中线，且AD＝3.则AC 的取值范围是____________【答案】2<AC<10【解析】【分析】先画出图形，利用三角形的边的关系确定BD的取值范围，再确定BC的取值范围，最后再利用三角形的边的关系确定AC的取值范围．【详解】解：延长AD到E 使AD=DE 连BE 易得BE=ACAB=4，AE=6根据两边之和大于第三边两边之差小于第三边得2<BE<10即2<AC<10【点睛】本题主要考查了三角形的边的关系和中线的定义，可见做出辅助线是解答本题的关键．35．在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△ABC=12 cm2，则S△BEF的值为______cm2．【答案】3【解析】【分析】根据中线平分三角形面积的性质即可求解.【详解】∵E是AD中点，∴S△BDE =12S△ABD, S△CDE=12S△ACD∴S△BCE =12S△ABC=6 cm2，又F是EC中点∴S△BEF =12S△BCE=3 cm2.【点睛】此题主要考查中线的性质，解题的关键是熟知中线的性质.36．在同一平面内，∠BOC=50°，OA⊥OB，OD平分∠AOC，则∠BOD 的度数是______．【答案】20°或70°【分析】根据题意画出图形，要分两种情况，一种为OC在∠AOB内，一种为OC 在∠AOB外，由垂直定义可得∠AOB=90°，根据角平分线定义可得∠COD=12∠COA，然后再计算出∠BOD的度数即可．【详解】解：∵OA⊥OB∴∠AOB=90°，如图1，∵∠BOC=50°，∴∠AOC=90°-∠BOC=40°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠COA=20°，∴∠BOD=50°+20°=70°；如图2，∵∠BOC=50°，∴∠AOC=90°+∠BOC=140°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠COA=70°，∴∠BOD=70°-50°=20°．故答案为：20°或70°．本题主要考查垂线，以及角的计算，解题的关键是正确画出图形，考虑全面，分情况讨论．37．如图，点G 为ABC ∆的重心，若23BGD S cm ∆=，则ABC S ∆=__________2cm .【答案】18【解析】【分析】根据题意，画出图形，三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式求解．【详解】∵G 为△ABC 的重心,∴AG:GD=2:1，∴S △ABG=2S △BGD ，∴S △ABD 的面积=3S △BGD=29cm∴S △ABC 的面积=2 S △ABD 的面积=218cm故答案为18.利用重心概念，结合面积的求法，进行求解.38．如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5，GC=4，GB=3，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，则△EBC的面积=_____．【答案】12【解析】【分析】根据点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5，GC=4，GB=3，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，得出DG=DE=2，以及BE=5，即可得出△EBG的面积，进而得出答案．【详解】解：∵点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GC=4，∴DE=2，∵将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，∴DG=DE=2，AG=BE=5，∵BG=3，∴△BGE是直角三角形，∴△BGE的面积为：12×3×4=6，∵∠BGE=90°，∴∠BGC=90°，∴△BGC的面积为：12×3×4=6，∴△EBC的面积为：12．故答案为12．【点睛】此题主要考查了重心的性质以及勾股定理的应用，根据已知得出△BGE是直角三角形是解题关键．39．三角形三条中线交于一点，这个点叫做三角形的_____．【答案】重心【解析】【分析】重心：三角形三条中线交于一点，且重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1【详解】解：三角形三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，故答案为：重心．【点睛】本题考查的是三角形重心的概念，掌握即可解题.40．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是20cm，则AE+CD+BF＝____cm．【答案】10【解析】【分析】由于AD、BE、CF是△ABC的三条中线，根据中线的性质可以得到AE+CD+BF=12（AC+BC+AB），利用这个结论即可求解．【详解】解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，∴AE=12AC，CD=12CB，BF=12AB，∴AE+CD+BF=12（AC+BC+AB），而△ABC的周长是20cm，∴AE+CD+BF=202=10cm．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了三角形中线的性质，也利用了三角形的周长计算公式，比较简单．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线复习试题(含答案) (37)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)一、单选题1．如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AD的中点,且S△ABC=4,则S阴影为( )A．2 B．1 C．12D．14【答案】B 【解析】解：∵D、E分别为BC，AD的中点，且S△ABC=4，∴S阴影=12×S△ADC=12×1 2S△ABC=14×4=1．故选B．2．如图，在ABC△中，6BC ，AD为BC边上的高，A点沿AD所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当ABC△的面积为48时，AD的长为（）．A ．8B ．16C ．4D ．24【答案】B【解析】 在△ABC 中，BC=6，AD 为BC 边上的高，A 点沿AD 所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当△ABC 的面积为48时，1482BC AD ⋅=,即12×6·AD=48，∴AD=16，故选B.3．如图，直线EO ⊥CD ，垂足为点O ，AB 平分⊥EOD ，则⊥BOD 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．135°D ．140°【答案】C【解析】 试题分析：根据直线EO ⊥CD ，可知⊥EOD=90°，根据AB 平分⊥EOD ，可知⊥AOD=45°，再根据邻补角的定义即可求出⊥⊥BOD=180°-45°=135°考点：垂线、角平分线的性质、邻补角定义．4．在数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.故选D.5．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（）A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定【答案】C【解析】a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．∴a，b，c是三角形的三边．∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．∴a2-2ab+b2-c2＜0．故选C．6．画△ABC中AC上的高，下列四个画法中正确的是（）A．B．C．D．【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．【详解】过点B作直线AC的垂线段，即画AC边上的高BD，所以画法正确的是C.故选C.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握作图法则.7．下列说法正确的是（）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】D【解析】【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．①三角形的角平分线是线段，说法错误；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．故选D．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．8．如图，E是△ABC中BC边上的一点，且BE=13BC；点D是AC上一点，且AD=14AC，S24ABC∆=，则BEF ADFS S∆∆-=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】∵AD=14AC ，24ABC S ∆=, ∴1124644ABD ABC S S ∆∆==⨯=， ∵BE=13BC ， ∴BE=2EG ， ∴1124833ABE ABC S S ∆∆==⨯=， ∵S △ABE ﹣S △ABD =（S △ABF +S △BEF ）﹣（S △ADF +S △ABF ）=S △BEF ﹣S △ADF ， 即S △BEF ﹣S △ADF =S △ABE ﹣S △ABD =8﹣6=2．故选B.9．如图，在ABC △中，AD 、CH 分别是高线和角平分线，交点为E ，已知4CA =，1DE =，则ACE △的面积等于（ ）．A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】 试题解析：过E 作EF ⊥AC 于F ，∵AD 是BC 边上的高线，CH 平分∠ACB ，DE=1，∴EF=DE=1，∴△ACE的面积S=12×AC×EF=12×4×1＝2，故选D．10．如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO=CO，若∠BOC=100°，那么∠BAO 等于（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】试题解析：在△OBC中，∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-100°=80°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=2×80°=160°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-160°=20°．∴∠BAO=12∠A=120102⨯︒=︒.故选A.。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (70)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图, BD 和 DE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，若△ABC 的面积为 16cm ²，则△EBD 的面积为 ________ cm ².【答案】4【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△EBD 的面积．【详解】∵BD 是△ABC 的中线 1116822S ABD S CBD S ABC ∴===⨯= 又ED 是△ABD 的中位线∴ 118422S EBD S EAD S ABD ===⨯= 故答案为4.【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．92．如图，△ABC 的角平分线AD ，中线BE 相交于点O ，有下列结论：①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED是△EBC的角平分线．其中正确结论的序号是________．【答案】①①【解析】【分析】由已知条件易得①BAD=①CAD，AE=CE，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可．【详解】∵△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，∴∠BAD=∠CAD，AE=CE，①在△ABE中，∠BAD=∠CAD，∴AO是△ABE的角平分线，故①正确；①AO≠OD，所以BO不是△ABD的中线，故①错误；①在△ADC中，AE=CE，DE是△ADC的中线，故①正确；①∠ADE不一定等于∠EDC，那么ED不一定是△EBC的角平分线，故①错误；①正确的有2个选项①③.【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线性质，熟练掌握性质是解题的关键93．如图，在ABC中，AD是中线，E是AD的中点，连接BE，CE，若ABC 的面积是6，则BEC的面积是______．【答案】3【解析】【分析】利用两个三角形等底等高,面积相等这一性质，可求出BEC 的面积是.【详解】由等底等高的两个三角形面积相等得，BED 113242CED ABD ABC S SS S ====， 所以BED BEC CED S S S =+=3.【点睛】本题考查了三角形的面积公式，利用等底等高面积相等这一性质即可解题.94．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点O ，OF △BC ，且AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，OF ＝1.4，则四边形ADOE 的面积是________．【答案】3.5【解析】【分析】 根据三角形中线的性质可得S △BCD =S △ACE =12S △ABC ，即可得S 四边形ADOE+S△COD=S△BOC+S△COD，所以S四边形ADOE=S△BOC，由此即可求得四边形ADOE的面积.【详解】∵BD、CE均是△ABC的中线，∴S△BCD=S△ACE=12S△ABC，∴S四边形ADOE+S△COD=S△BOC+S△COD，∴S四边形ADOE=S△BOC=12BC OF=5×1.4÷2=3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解决问题的关键．95．已知OC是∠AOB的平分线．有下列结论：①∠AOB=12∠BOC；②∠AOC=12∠AOB；③∠AOC=∠BOC；④∠AOB=2∠AOC．其中正确结论的个数是______.【答案】3.【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据角平分线的定义即可得出结论．【详解】解：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，∴①错误，②、③、④正确，故答案是：3．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线是这个角的平分线．96．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝6 cm，AC＝4 cm，则△ABD和△ACD的周长之差为________．【答案】2 cm【解析】【分析】利用中线的定义可知BD=CD，可知△ABD和△ACD的周长之差即为AB和AC的差，可求得答案．【详解】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵△ABD周长=AB+AD+BD，△ACD周长=AC+CD+AD，∵△ACD周长-△ABD周长=（AC+CD+AD）-（AB+BD+AD）=AC-AB=8-6=2，即△BCD和△ACD的周长之差是2cm.故答案是：2cm.【点睛】考查三角形中线的性质，由条件得出两三角形的周长之差即为AB 和AC 的差是解题的关键．97．如图所示，D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点，若 S △ADE ＝1，则 S △ABC ＝__________【答案】4【解析】【分析】先根据 D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点，得出△ADE 的面积等于△ABC 的面积的四分之一，再根据 1ADE S =，得到 4ABC S =△． 【详解】解：∵D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点，∴△ADC 的面积等于△ABC 的面积的一半，△ADE 的面积等于△ACD 的面积的一半，∴△ADE 的面积等于△ABC 的面积的四分之一，又∵1ADE S =，∴4ABC S =△．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．98．如图所示，点D．E.F分别在△ABC的三条边上，D为BC中点，CE=2AE，AD,BE,CF交于一点G，若S△BGD=9，S△AGE=3，则S△ABC=_______【答案】36【解析】【分析】由于CE=2AE，结合三角形面积公式可得S△CGE=2S△AGE，由D是BC中点，可得到S△BGD=S△CGD，于是可得求S△ADC，根据S△ABC=2S△ADC可求得S△ABC．【详解】∵CE=2AE，=2S△AGE=6，∴S△CGE∵D是BC中点，=S△CGD=9，S△ABC=2S△ADC∴S△BGD=2S△ADC=2（S△CGD+ S△CGE+ S△AGE）=2（9+6+3）=36.∴S△ABC故答案为：36【点睛】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．等底等高的三角形面积相等；面积相等、同高的三角形底相等．99．如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，2CD BD =,E F 、分别是线段AD CE 、的中点，若ABC ∆的面积为8，则BEF ∆的面积为 __________.【答案】2【解析】【分析】求得BEC ∆的面积，然后根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可求得△BEF 的面积．【详解】解：∵1184,22ABD ACD ABC SS S ===⨯= ∵1142,22BDE ABD SS ==⨯= 1142,22CDE ACD S S ==⨯= ∴224BCE BDE DCE S S S =+=+=，∵点F 是CE 的中点， ∴21142(cm ).22BEF BCE S S ==⨯= 故答案为2.【点睛】考查三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.100．如图,BD 和DE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，若△ABC 的面积为216cm，则△EBD的面积为_________ 2cm.【答案】4【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积．【详解】∵BD是AC上的中线，∴S△ABD=S△CBD=12S△ABC，∵DE是△ABD中AB边上的中线，∴S△EBD=S△AED=12S△ABD，∴S△EBD=14S△ABC，∵△ABC的面积是16，∴S△EBD=14×16=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (96)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图，△ABC 中，AD 是中线，∠BAD=∠B+∠C ，tan ∠ABC=1110，则tan ∠BAD=________． 【答案】3310【解析】延长AD 到E ,使AD=DE,CF ,EC CH EC ⊥⊥,在ADB 与ECD ,,BD CD ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以ADE ECD ≅， ,,B DCE BAD CED ∠∠∠∠∴==ACE ∴是等腰三角形，s设EM= x,DE=11,MC=10,DM EM AF EF=, 1110222x x ∴=+,∴x =113, ∴tan ∠BAD =3310. 故答案为3310.点睛：倍长中线法构造全等三角形,如图，AD是中线，令AD=DE,则ADC 全等EBD.52．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝45cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为cm．【答案】90【解析】试题分析：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，∵OD是∵ABC 的中位线，∵AC=2OD=2×45=90cm．故答案为90．考点：三角形中位线定理．53．如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1，点A，B，C均在格点上，则ABCS=_________．【答案】3【解析】【分析】由网格是正方形网格，正方形网格边长为1，可得三角形的AC 的长度为3，而点B 到边AC 的距离为2，根据三角形的面积公式即可算出ABC S的值． 【详解】解：∠ 每个网格是正方形网格，正方形网格边长为1∴3,2AC BD ==∴ABC S 1123322BD AC =⨯⨯=⨯⨯=故填：3．【点睛】本题主要考查高在三角形外部的钝角三角形的面积计算，找准高线，是解答本题的关键．54．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F ，分别为BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC ＝16，则S 阴影＝_____．【答案】4．【解析】【分析】【详解】∵E为AD的中点，∠S△ABC:S△BCE=2:1，同理可得,BCES:EFBS=2:1，∠S △ABC=16，∠S△EFB=14S△ABC=14×16=4.故答案为4.55．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，G是△ABC重心，则S△AGC＝_____．【答案】4【解析】【分析】由题意可得S△ABC＝12•AB•AC＝12，再延长AG交BC于E，由G是△ABC的重心可知AG＝2GE，BE＝EC，于是S△AEC＝12×12＝6，S△AGC＝23×S△AEC＝4，问题得解.【详解】解：如图，延长AG交BC于E．∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，∴S△ABC＝12•AB•AC＝12，∵G是△ABC的重心，∴AG＝2GE，BE＝EC，∴S△AEC＝12×12＝6，∴S△AGC＝23×S△AEC＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了三角形的重心的概念和性质以及三角形的面积变化，延长AG交BC于E，熟知重心的概念和性质是解题的关键.56．如图，在中，点、、分别为、、的中点．若，则．【答案】4【解析】试题分析：如图，连接BE.点、、分别为、、的中点，根据等高的两三角形面积的比等于底边的比得到=S △BEC,S△BEC=S△ABC，所以4×4=4.考点：三角形的面积.57．等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是_____．【答案】2．【解析】【分析】画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可.【详解】如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求.∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴CD＝12AB＝6，∵I是△ABC的重心，∴DI＝13CD＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键.。
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三角形的中线、高线、角平分线时间：60分钟 总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列说法错误的是A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段2. 下面四个图形中，线段BD 是 的高的是A.B.C.D.3. 如图，在 中，若 ，点E 是BC 边上一点，且不与点B 、C 、D 重合，则AD 是几个三角形的高线A. 4个B. 5个C. 6个D. 8个4. 如图， 于D ，以AD 为高的三角形有 个．A. 3B. 4C. 5D. 6 5. 如图，在中， ，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于 为AB 上一点， 于H ，下面判断正确的有是 的角平分线； 是 边AD 上的中线； 是 边AD 上的高； 是 的角平分线和高．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 6. 如图，兔子的三个洞口A 、B 、C 构成 ，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在第2页，共13页A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三个角的角平分线的交点C. 三角形三条高的交点D. 三角形三条中线的交点7. 如图，AD 是 的中线，DE 是 的高线， ， ， ，那么点D 到AB 的距离是A.B.C.D. 28. 已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x 的取值范围是A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，AD 是 的角平分线，点O 在AD 上，且 于点E ， ， ，则 的度数为A. B. C. D.10. 一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在A. 三角形内部B. 三角形的一边上C. 三角形外部D. 三角形的某个顶点上二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 如图，DB 是 的高，AE 是角平分线， ，则 ______．12. 平行四边形ABCD 中， 的角平分线BE 将边AD 分成长度为5cm 和6cm 的两部分，则平行四边形ABCD 的周长为______cm ． 13. 如图，在 中， 和 的平分线交于点O ，若，则 ______ ． 14. 如图所示，D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，若，则 ______ ．15. 如图，已知AE 是 的边BC 上的中线，若 ，的周长比 的周长多2cm ，则 ______cm ．16. 在画三角形的三条重要线段 角平分线、中线和高线 时，不一定画在三角形内部的是______ ．17. 如图，已知 中，， ，AD 是 的高线，AE 是 的平分线，则 ______ ． 18. 如图，在 中， 与 的平分线交于点 ，得 ； 与 的平分线相交于点 ，得 ； ； 与 的平分线相交于点 ，得 ，则 ______ ．19. 如图，在 中， ， ，AD 为中线，则与 的周长之差 ______ ．20. 如图，在 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点G ，AD 与BF相交于点H ， ， ，则 ______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21. 如图， 中， ，AE 平分 ， ，，求 的度数．第4页，共13页22. 如图所示，在 中， ， ，BC 边上的中线 ，求BC 的长．23. 如图所示： 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，， ，求 ， 的度数是多少？24. 如图 中，，CD 是 的平分线， 中，DE 是CA 边上的高，又有 ，求 的大小．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25. 如图，在 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则：是 的中线，____________ ；是 的角平分线， ____________ ； 是 的高， ______ ； 是 的中线， ，又______ ，______ ，______ ．26. 已知，如图，AE 是 的平分线， ．求证： ．答案和解析【答案】1. A2. A3. C4. D5. B6. A7. A8. A9. A10. A11.12. 32或3413.14. 415. 1016. 高线17.18.19. 320.21. 解：，，，平分，，，，，．答：的度数是．22. 解：延长AD到E使，连接CE，在和中，≌ ，，，，在中，，，，，，由勾股定理得：，，答：BC的长是．第6页，共13页23. 解：，，，；，，，，是的角平分线，，．故，的度数分别是，．24. 解：是CA边上的高，，，，，，在中，，是的平分线，，在中，．故答案为：．25. CE；BC；；；；；；26. 证明：，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，是的平分线，，．【解析】1. 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质，熟记概念与性质是解题的关键根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项说法不正确；B.三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确；C.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项说法正确；D.三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项说法正确．故选A．2. 解：线段BD是的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为的高．故选A．根据三角形高的定义进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．3. 解：在中，，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，是，，，，，的高．故选C．根据三角形高的定义可知，三角形的高可以在三角形内部，可以是三角形的边，还可以在三角形外部，结合图形即可求解．本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．4. 解：于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．5. 解：根据三角形的角平分线的概念，知AG是的角平分线，故此说法错误；根据三角形的中线的概念，知BG是的边AD上的中线，故此说法错误；根据三角形的高的概念，知CH为的边AD上的高，故此说法正确；根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段透彻理解定义是解题的关键．6. 解：猎狗到三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在的三条边垂直平分线的交点．故选：A．用线段垂直平分线性质判断即可．此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．7. 解：，，的面积为，是的中线，的面积为5，点D到AB的距离是．第8页，共13页故选A．根据三角形的面积得出的面积为5，再利用中线的性质得出的面积为5，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出的面积为5．8. 解：，即．故选A．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边倍长中线，构造一个新的三角形根据三角形的三边关系就可以求解．本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线．9. 解：，，．又是的角平分线，，，又，．故选A．首先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．10. 解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．故选A．根据三角形的高的性质即可判断．本题考查了三角形的高线，锐角三角形的三高线交于三角形内部一点，直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角的三条高所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．11. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解由角平分线的定义可得，，而与互余，与是对顶角，故可求得的度数．【解答】解：是角平分线，，，是的高，，．故答案为．12. 解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，平分，，，，当时，，平行四边形ABCD的周长是；当时，，平行四边形ABCD的周长是；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出，由已知得到，推出，分两种情况当时，求出AB的长；当时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出用的数学思想是分类讨论思想．13. 解；，，和的平分线交于点O，，，，，故答案为：．求出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点，关键是求出的度数．14. 解：是BC的中点，E是AC的中点，的面积等于的面积的一半，的面积等于的面积的一半，的面积等于的面积的四分之一，又，．故答案为：4．先根据D是BC的中点，E是AC的中点，得出的面积等于的面积的四分之一，再根据，得到．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．15. 解：是的边BC上的中线，，又，的周长比的周长多2cm，，即，，故答案为：10；依据AE是的边BC上的中线，可得，再根据，的周长比第10页，共13页的周长多2cm ，即可得到AC 的长．本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．16. 解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故答案为：高线．根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段 锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．17. 解：在 中，，是 的平分线，．又 是BC 边上的高，，在 中 ，．由三角形的内角和定理，可求 ，又由AE 是 的平分线，可求，再由AD 是BC 边上的高，可知 ，可求 ，所以 ．本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．18. 解： 与 的平分线交于点 ，， ，根据三角形的外角性质， ，，，整理得， ，同理可得， ，，．故答案为： ．根据角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ， ，然后整理即可得到 与 的关系，同理得到 与的关系并依次找出变化规律，从而得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．19. 解：是中BC边上的中线，，与的周长之差．则与的周长之差．故答案为3．根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是AB与AC的差．本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．20. 解：在中，，，，在中，AD是高，AE，BF是角平线，，，．故答案为：．根据三角形的内角和得出，再利用角平分线的定义和高的定义解答即可．此题考查三角形的内角和问题，关键是根据三角形的内角和得出．21. 根据三角形的内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角性质得到的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．22. 延长AD到E使，连接CE，证 ≌ ，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好．23. 因为AD是高，所以，又因为，所以度数可求；因为，，所以，，BF是的角平分线，则，故的度数可求．本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义关键是利用角平分线的性质解出、，再运用三角形内角和定理求出．24. 根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，再次利用直角三角形两锐角互余求出的度数，从而得到的度数，最后利用三角形内角和等于计算即可．本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的高以及三角形的内角和定理，稍微复杂，但仔细分析图形也不难解决．第12页，共13页25. 解：根据AE是的中线，可得；根据AD是的角平分线，可得；根据AF是的高，可得；根据AE是的中线，可得，所以，，即．故答案为：，BC；，；；，，．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．本题主要考查了三角形的中线、高线以及角平分线的概念的运用，解题时注意：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．26. 由，根据同位角相等，两直线平行可证，根据两直线平行，内错角相等可证，再根据角平分线的性质即可求解．本题考查了平行线的判定与性质和三角形的角平分线的性质，有一定的综合性，但难度不大．。