计量经济学第二章

∧
∧
∑ 2(Y
i =1
n
i
− β 1 − β 2 X i )( − X i ) = 0
∧
∧
整理方程：
n ∧ ∧ n ∑ ei = ∑ (Yi − β 1 − β 2 X i ) = 0 i =1 i =1 n n ∧ ∧ e X = (Y − β − β X ) X = 0 ∑ ∑ i i i 1 2 i i i =1 i =1
解方程组 得：
ˆ ∑ X i2 ∑ Y i − ∑ X i ∑ X iY i β1 = 2 2 n∑ X i −(∑ X i) n − ∑ ∑ ∑ X Y X Yi i i i ˆ = β 2 2 2 n − ( ) ∑Xi ∑Xi
或用另外一种形式表示为：
ˆ ∑ ( X i − X )(Yi −Y ) ∑ xi yi = β 2 = 2 2 ∑(Xi − X ) ∑ xi ˆ =Y − β ˆ X β 1 2
（周）收益率，建立二者的 一元线性回归方程：
ri = α + β ⋅ rf 其中 ri 为第i种股票的月 （周）收益率，r f 为股指 的月（周）收益率，β 的
值即称为第i种股票的Beta 系数。
Beta系数反映了个股股价走势 对大盘指数的敏感程度及股 市中系统风险的相对大小。 当某种股票的风险情况与整 个股票市场的风险相一致 时，这种股票的Beta系数等于 1；如果某种股票的Beta系数 大于或小于1，则说明该股票 的风险程度高于或低于整个 市场水平。 Beta系数可以取任何值，正 的或负的，但在国外通常取 值在0.25至1.75之间，例如， Beta系数等于1.5表明，
E (Y | X i )
———表示在给定 X 水平下的条件均值
E (Y X i ) = β1 + β 2 X i 称为回归（直线）方程。
例如，收入与消费的关系
三、样本回归模型
对于容量为 Biblioteka Baidu 的一组样本
ˆ +β ˆ X +e Yi = β 1 2 i i
w 称为样本回归模型，其中
( X i , Yi )
var ( ε i ) = σ
2
i = 1, 2, L , n
假设4：解释变量与残差项不相关——解释变量 为非随机变量；
cov ( X ji , ε i ) = 0
j = 2,3,L , n
假设5：误差项为服从正态分布的随机变量 ——正态性假设；
ε i ~ N ( 0, σ
2
)
第二节、参数的最小二乘估计
2 i
所以有：
n 2 e ∂ ∑ i i =1 ∧ ∂ β 1 n ∂ ∑ e i2 i =1 ∧ ∂ β 2
n ∧ ∧ ∂ ( ∑ (Y i − β 1 − β = i =1 ∧ ∂ β 1 n ∧ ∧ ∂ ( ∑ (Y i − β 1 − β = i =1 ∧ ∂ β 2
• 一元线性回归模型的建立：
Yi = β 1 + β
∧ ∧ 2
X i + ei
∧
Yi = β 1 + β 2 X i + u i
即用 β i 估计βi , 用ei 估计ui
针对一元线性回归模型的OLS 准则：
Yi = β 1 + β
n
∧ ∧ 2
X
i
+ ei
n ∧ ∧ 2
OLS 准则：
min e = min Yi − β 1 − β 2 X i ∑ ∑ ∧ ∧ β 1, 2 i =1 β 1, 2 i =1
-2
-1
0 y1
1
2
3
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
-2
-1
0 y1
1
2
3
r=+1
r=-1
r=0
3
2
2
1
y2
y2
1
y2 0 -1 -2 -2 -1 0 y1 1 2 3
-1
0
-2
-2
-1
0 y1
1
2
3
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0 y1
1
2
3
r=+1
r = + .70
r = + .30
n n
相关系数矩阵: 在研究多个指标变量两两之间的相关程度 时，为了清楚方便起见，常常将两两之间的相 关系数排成一个矩阵，这样的矩阵称为相关系 数矩阵，记作：
线性相关 曲线相关
y
y
y
y
正相关
x
负相关
x
曲线相关
x
不相关
x
测定两变量是否线性相关？ 计 算 公 式 总体相关 系数：
ρ
XY
相关程度
Cov ( X , Y ) Var ( X )Var ( Y )
=
相 关 系 数
样本相关 系数：
r XY =
∑ (X ∑ (X −
i
i
− X X
2
)(Y − Y ) ) ∑ (Y − Y )
计量经济学 第二章 简单线性回归模型
第一节 回归分析与回归方程
一、回归分析与相关分析
都是研究变量间关系的方法， 且回归分析是以相关分析为基础。
（一）相关关系：
相关分析
概念
变量之间关系
种类
相关程度
相关关系
因果关系 互为因果关系 共变关系
随机性 依存关 系
函数关系
确定性依存关系
种类
正相关 负相关
一元相关 多元相关
2
X i)2
= 0
2
X i)2
= 0
即
n 2 ∂ ∑ ei i =1 = ∧ ∂β1 n 2 ∂ ∑ ei i =1 = ∧ ∂β 2
∑ 2(Y
i =1
n
i
− β 1 − β 2 X i )( − 1) = 0
（二）回归分析：
|
回归分析最早由著名的英国生 物学家、统计学家道尔顿 （F.Gallton）——达尔文的表弟 所创。 | 早年，道尔顿致力于化学和遗 传学领域的研究。 | 他研究父亲们的身高与儿子们 的身高之间的关系时，建立了 回归分析法。
父亲 们的 身高 与儿 子们 的身 高之 间 关系 的研 究
i i
2
|r|=0 不存在线性关系； |r|＝1 完全线性相关 值： 0<|r|<1不同程度线性相关(0~0.3 微弱；0.3~0.5 低度； 0.5~0.8 显著；0.8~1 高度) 符号：r>0 正相关；r<0 负相关
3
2
2
1
1
y2
y2
0
y2 -2 -1 0 y1 1 2 3
-1
-1
-2
-2
-3
|
|
|
1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson 收集了上千个家庭的身高、臂长和腿 长的记录 企图寻找出儿子们身高与父亲们身高 之间关系的具体表现形式 下图是根据1078个家庭的调查所作的 散点图
儿子们身高向着平均身高“回归”，以保持种族的稳定
185
180
175 Y
170
y x
150 160 170 X 180 190 200
进一步：
n n n ∧ ∧ n 2 − − =0 ( X )( Y ) n X β β ( X ) ∑ i i 1 2 ∑ ∑ i ∑ i i =1 i =1 i =1 i =1 n n n ∧ ∧ n X Y − β n X − β n X 2 = 0 ∑ i i i i 1 ∑ 2 ∑ i =1 i =1 i =1
在股票市场上，Beta系数 是风险估量或计量的主要方 法。股票价格由于各种原因 经常波动，令人难以捉摸， 因而时常使投资者因价格涨 落频繁而产生一种有损失利 益的危险感，即存在着风 险。股票市场的风险按性质 不同可分为系统性风险和非 系统性风险两类，系统性风 险是指因某种带有广泛影响 的因素发生变化，从而导
r11 r R = 21 L rk1 r12 L r1k 1 r12 r r22 L r2 k r 1 21 = L L L L L rk 2 L rkk rk1 rk 2
ij
L r1k L r2 k L L L 1
其中， rij 表示第i个变量与第j个变量的相关系数。 可以看出，相关矩阵是一个对称矩阵。
165
160 140
再如：
植物的生长 量
8 6 4 2
0
60
120
180
施氮量(kg N/ha)
二、一元线性回归总体（理论）模型
Yi = β 1 + β 2 X i + u i
或
E (Y | X i ) = β1 + β 2 X i
Y
————被解释变量；
µ
β 1、 β 2
X
————解释变量； ————随机误差项； ————回归系数
回归分析：已知一组样本数据 ( X i , Yi ) ，找到样本回归模 型，并用它推断总体回归模型。
Y
i
= β
∧ 1
+ β
∧ 2
X
i
+ ei
∧
Yi = β 1 + β 2 X i + u i
即用 β i 估计 β i , 用 e i 估计 u i
四、随机误差项
1、忽略掉的影响因素造成的误差； 2、模型关系不准确造成的误差； 3、变量观测值的计量误差； 4、随机误差。
当股市收益率上涨（下跌）1 ％时，该股票的收益率上涨 （下跌）1.5％，其波动比市 场大0.5％；相反，当Beta系 数等于0.7时，表示股市收益 率上涨（下跌）1％时，该股 票的收益率只上涨（下跌） 0.7％，其波动比市场小0.3 ％。一般来说，Beta系数越 小，该股票对应的系统风险 就越小。
i = 1,2,L , n
ˆ +β ˆ X) ˆi = Y i − ( β e i = Yi − Y 1 2 w 称为残差，它是误差项的估计值。
w w
ˆ 分别是 β1、 β 2 的估计值。 ˆ 、 β β 2 1
ˆ +β ˆ X 称为样本的回归方程。 ˆ =β Y i 1 2 i
ˆ 为 Y 的预测值或估计值。 Y i i
五、线性回归模型的主要假设： 假设1：误差项无偏性假设——残差项零均值；
E (ε i ) = 0
i = 1, 2, L , n
假设2：残差项间相互独立——序列无关假设；
cov ( ε i , ε j ) = E ( ε i ⋅ ε j ) = 0 i , j = 1, 2, L , n i≠ j
假设3：残差项与i无关——同方差假设；
等价表达形式为：
ˆ COV ( X ,Y ) β 2 = Var ( X ) ˆ =Y − β ˆ X β 2 1
称为最小二乘估计量
举例：一元回归分析 在投资风险分析中的应用
致整个大市上升或下跌，如政 策风险；非系统性风险则是属 于微观层面上的风险，如经营 管理风险，对此投资者可以通 过制定投资组合将这种风险分 散或转移。我国证券市场的风 险主要是系统性风险。Beta系 数就是反映系统风险的一个指 标，它的计算方法是，观察某 种股票的月（周）收益率相对 应的整个市场的股票指数（如 沪、深综指、标准普洱等）的 月
——称之为正规方程
若记：
X Y x y
i i
1 = n 1 = n = X = Y
i
∑ ∑
i n
n
X Y
i
i=1
i
i=1
− X − Y
化简得：
n ∧ ∧ n ∑ Yi − n β 1 − β 2 ∑ X i = 0 i =1 i =1 n n n ∧ ∧ 2 X Y −β − β X X ∑ i i 1∑ i i = 0 2 ∑ i =1 i =1 i =1