【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第一册：课时作业5-5-1+第1课时 两角差的余弦公式
2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册课时作业：1
课时作业(九) 全称量词命题与存在量词命题的否定[练基础]1．命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( )A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤12．命题“对任意x ∈R ，都有x 2－x >0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2－x ≤0B ．存在x 0∈R ，使得x 20－x 0≤0C ．存在x 0∈R ，使得x 20－x 0>0D ．不存在x 0∈R ，使得x 20－x 0≤03．已知命题p ：∃x >1，x 2－4<0，则綈p 是( )A ．∃x >1，x 2－4≥0B ．∃x ≤1，x 2－4<0C ．∀x ≤1，x 2－4≥0D ．∀x >1，x 2－4≥04．下列命题的否定为假命题的是 ( )A ．∃x ∈Z,1<4x <3B ．∃x ∈Z,5x ＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∃x ∈R ，x 2＋3x ＋2＝05．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则 ( )A ．命题p ，q 都是假命题B ．命题p ，q 都是真命题C ．命题p ，綈q 都是真命题D ．命题p ，綈q 都是假命题6．(多选)已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )A ．命题綈p 是假命题B ．命题p 是存在量词命题C ．命题p 是全称量词命题D ．命题p 既不是全称量词命题也不是存在量词命题7．命题“∃x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是________．8．命题“存在实数x ，y ，使得x ＋y >1”，此命题的否定是________________，是________(填“真”或“假”)命题．9．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.10．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？[提能力]11．(多选)设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝Q ，且P ≠Q ，则下列选项中错误的是( )A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∃x ∈P ，使得x ∉QC ．∃x ∈Q ，使得x ∉PD ．∀x ∉Q ，有x ∉P12．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．1≤a ≤3B ．－1≤a ≤3C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤113．已知命题“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围为________．14．命题“对于任意三个正数a ，b ，c ，三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2”的否定是________．15．已知命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”是假命题，求实数a 的取值范围．[培优生]16．已知集合A ＝{x |0≤x ≤a }，集合B ＝{x |m 2＋3≤x ≤m 2＋4}，如果命题“∃m ∈R ，使得A ∩B ≠∅”为假命题，求实数a 的取值范围．课时作业(九) 全称量词命题与存在量词命题的否定1．解析：“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C.答案：C2．解析：命题“对任意x ∈R ，都有x 2－x >0”是全称量词命题，则命题的否定是：存在x 0∈R ，使得x 20－x 0≤0.故选B.答案：B3．解析：命题p ：∃x >1，x 2－4<0的否定是：∀x >1，x 2－4≥0.故选D.答案：D4．解析：命题的否定为假命题等价于原命题是真命题，由1<4x <3得14<x <34，这样的整数x 不存在，故A 为假命题，其否定为真命题；5x ＋1＝0，x ＝－15∉Z ，故B 为假命题，其否定为真命题；当x ＝0时，x 2－1≠0，故C 为假命题，其否定为真命题；存在实数x ＝－1或x ＝－2，有x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)＝0，故D 为真命题，从而D 的否定是假命题．故选D.答案：D5．解析：当x ＝9时，9－2>9＝3，∴p 为真命题．∵∀x ∈R ，x 2≥0，∴q 是假命题，綈q 是真命题．故选C.答案：C6．解析：命题p ：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p 是假命题，命题p 是全称量词命题．故选AC.答案：AC7．解析：含存在性量词的否定就是将“∃”改成“∀”，将x 2－x ＞0改成x 2－x ≤0. 答案：∀x ∈R ，x 2－x ≤08．解析：此命题用符号表示为∃x ，y ∈R ，x ＋y >1，此命题的否定是∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1， 原命题为真命题，所以它的否定为假命题．答案：∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1 假9．解析：(1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题． ∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，是真命题．∴綈p 是假命题． (2)綈q ：有的正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0，∴綈r 是真命题．10．解析：(1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b >0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x －b >0的解集不为空集， 通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b <a .11．解析：因为P ∩Q ＝Q ，且P ≠Q ，所以Q 是P 的真子集，所以∀x ∈Q ，有x ∈P ，∃x ∈P ，使得x ∉Q ，CD 错误．故选CD.答案：CD12．解析：由题得，原命题的否命题是“∀x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1≥0”，即Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3.故选B.答案：B13．解析：∵命题“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1>0”是假命题，∴∃x ∈R ，x 2＋ax ＋1≤0是真命题，即∃x ∈R 使不等式x 2＋ax ＋1≤0有解；所以Δ＝a 2－4≥0，解得：a ≤－2或a ≥2.∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ≥2}．答案：{a |a ≤－2或a ≥2}14．解析：该命题的否定：存在三个正数a ，b ，c ，三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a全小于2.答案：存在三个正数a ，b ，c ，三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a全小于2 15．解析：因为命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”的否定为“对于任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，事实上，当a ＝0时，对于任意x ∈R ，不等式－3≤0恒成立；当a ≠0时，借助二次函数的图象(图略)，易知不等式ax 2－2ax －3≤0恒成立的等价条件是a <0且最大值小于等于0，即－a －3≤0，即－3≤a <0.综上，实数a 的取值范围是{a |－3≤a ≤0}．16．解析：命题“∃m ∈R ，使得A ∩B ≠∅”为假命题，则其否定“∀m ∈R ，A ∩B ＝∅”为真命题当a <0时，集合A ＝{x |0≤x ≤a }＝∅，符合A ∩B ＝∅当a ≥0时，因为m 2＋3>0，所以∀m ∈R ，A ∩B ＝∅得a <m 2＋3对于∀m ∈R 恒成立所以a <(m 2＋3)min ＝3，则0≤a <3综上，实数a 的取值范围为a <3.。
高中数学课时作业(人教A版必修第一册)课时作业 13
课时作业13 基本不等式的实际应用基础强化1.在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a ，宽为b ，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为( )A ．⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2B ．a 2C ．b 2D ．ab2．某商场春节前t 天年糕销售总量f (t )＝t 2＋12t ＋16(0<t ≤30)，则该商场前t 天的年糕平均销售量最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．163．某公司计划建造一间体积为600 m 3的长方体实验室，该实验室高为3 m ，地面每平方米的造价为120元，天花板每平方米的造价为240元，四面墙壁每平方米的造价为160元，则该实验室造价的最小值约为(参考数据：2 ≈)( )万元 B ．万元C ．万元D ．万元4.校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225平方米的矩形(小矩形)场地用来展示校友的书画作品．它的左、右两侧都留有宽为2米的自由活动区域，顶部和底部都留有宽为2米的自由活动区域，则整个书画展区域(大矩形)面积的最小值是( )A ．360平方米B ．384平方米C ．361平方米D ．400平方米5．(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次．已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是( )A ．当x ＝40时，y 取得最小值B ．当x ＝45时，y 取得最小值C ．y min ＝320D ．y min ＝3606．(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则( )A ．0<a ≤1B ．0<ab ≤1C ．a 2＋b 2≥2D ．0<b <27．已知某产品总成本C (单位：元)与年产量Q (单位：件)之间的关系为C ＝40Q 2＋16 000.设年产量为Q 时的平均成本为f (Q )(单位：元/件)，那么f (Q )的最小值是________．8．已知直角三角形的面积等于50 cm 2，则该三角形的周长的最小值为________ cm. 9.如图，欲在山林一侧建一矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道与苗圃之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积为1 250 m 2，求栅栏总长的最小值；(2)若栅栏总长为200 m ，如何设计可使苗圃面积最大？10.如图，长为6米，宽为4米的长方形(ABCD )草坪，截去一个三角形(DEF )区域，得到一个五边形(ABCFE )区域．设DE ＝a 米，DF ＝b 米．(1)用a ，b 表示△DEF 的周长L ，并写出a ，b 的取值范围；(2)当△DEF 的周长L ＝4＋22 米时，求五边形ABCFE 的面积S 的最小值，并求此时a ，b 的值． 能力提升11.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则( )A ．a ＋b 2 ＝GB ．a ＋b 2<G C ．a ＋b 2>G D ．ab <G 12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后水池中该药品的浓度C (单位：mg/L)随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝30t t 2＋9，则当水池中药品的浓度达到最大时，t ＝( )h B ．3 h C ．5 h D ．6 h13．白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤(a ≠b )，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定14．(多选)《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”．若一小城，如图所示，出东门1 200步有树，出南门750步恰能见到此树(注：1里≈300步)，则该小城的周长可能为( )A ．410 里B ．610 里C ．910 里D ．1010 里15.一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.16.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH ＝2EF )，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm 2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm ，设EF ＝x cm.(1)当x ＝100 cm 时，求海报纸的面积；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)?。
2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人教A版)课时作业 1.4 充分条件与必要条件 Word版含解析
课时作业(五) 充分条件与必要条件[练基础]1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若x ，y ∈R ，则⎩⎨⎧ x >2y >2是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >4xy >4成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“|x －1|<3”是“x <4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x 2－1＝0”是“|x |－1＝0”的________；(2)“x <5”是“x <3”的________________．6．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②当a ≠0时，“b 2－4ac <0”是“方程ax 2＋bx ＋c ＝0有解”的充要条件；③“x ＝1或x ＝－2”是“方程x 2＋x －2＝0”的充要条件．其中正确的序号为________． [提能力]7．(多选)给出四个条件：①xt 2>yt 2；②xt >yt ；③x 2>y 2；④0<1x <1y. 其中能成为x >y 的充分条件的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④8．如果不等式|x －a |<1成立的充分不必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________． 9．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －6x ＋3>0，B ＝{x ∈R | 2x 2－(a ＋10)x ＋5a ≤0}．(1)若B⊆(∁R A)，求实数a的取值范围；(2)从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B⊆∁R A的什么条件(充分必要性)．①{a|－7≤a<12}．②{a|－7<a≤12}．③{a|6<a≤12}．[战疑难]10．求证：“a>－2且a≠0”是“方程ax2＋4x－2＝0有两个不相等的实数根”的充要条件．满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >4xy >4，但是不满足⎩⎨⎧ x >2y >2，所以⎩⎨⎧ x >2y >2是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >4xy >4成立的充分不必要条件．答案：A3．解析：|x －1|<3⇒－3<x －1<3⇒－2<x <4，∴－2<x <4⇒x <4，反之x <4D ⇒/－2<x <4，所以“|x －1|<3”是“x <4”的充分不必要条件．答案：A4．解析：令A ＝{x |x >1或x <－3}，B ＝{x |x >a }，∵q 是p 的充分不必要条件，∴B A ，∴a ≥1.答案：A5．解析：(1)设A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，B ＝{x ||x |－1＝0}＝{－1,1}，所以A ＝B ，即“x 2－1＝0”是“|x |－1＝0”的充要条件．(2)设A ＝{x |x <5}，B ＝{x |x <3}，因为A B ，所以“x <5”是“x <3”的必要不充分条件．答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件6．解析：①x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之不一定成立，如x ＝0，y ＝6，所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件，故①错误；②方程有解的充要条件是b 2－4ac ≥0，故②错误；③当x ＝1或x ＝－2时，方程x 2＋x －2＝0一定成立，反过来，方程x 2＋x －2＝0成立时，x ＝1或x ＝－2，故③正确．答案：③7．解析：①由xt 2>yt 2可知t 2>0，所以x >y ，故xt 2>yt 2⇒x >y ；②当t >0时，x >y ；当t <0时，x <y ，故xt >ytD ⇒/x >y ；③由x 2>y 2，得|x |>|y |，故x 2>y 2D ⇒/x >y ；④由0<1x <1y ⇒x >y .故选AD.答案：AD∴a≠0，且Δ＝b2－4ac＝16＋8a>0，解得a>－2，故必要性成立．所以“a>－2且a≠0”是“方程ax2＋4x－2＝0有两个不相等的实数根”的充要条件．。
2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人教A版)课时练习 5.2.1 三角函数的概念(含解析)
课时作业(二十八) 三角函数的概念[练基础]1．若角α的终边过点P (－4,3)，则2sin α＋cos α的值为( )A ．－25 B.25C ．－25或25D ．1 2．sin(－140°)cos 740°的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定3．若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角4．若点P ⎝⎛⎭⎫2cos π6，－2sin π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－325．sin(－1 380°)＝________.6．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.[提能力]7．(多选)已知x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z ，则函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |－tan x |tan x |的值可能为( ) A ．3 B ．－3C ．1D ．－18．已知角α的终边经过点P (x ，－12)，且cos α＝－513，则tan(8π＋α)＝________. 9．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值．[战疑难]10．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P ，Q 从点A (1,0)出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π6弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π6弧度，则P ，Q 两点在第2 019次相遇时，点P 的坐标为________．课时作业(二十八) 三角函数的概念1．解析：由题意知，sin α＝35，cos α＝－45，则2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.答案：(0,1)。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业5：再练一课(范围：§4.1～§4.2) 练习题
再练一课(范围：§4.1～§4.2)1．函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1 D ．y ＝x 2『答 案』 A『解 析』 函数f (x )过定点为(1,1)，代入选项验证可知A 选项不过A 点． 2．已知a ＝0.70.5，b ＝0.70.8，c ＝(2)0.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c 『答 案』 D『解 析』 ∵函数y ＝0.7x 为R 上的减函数，0.5<0.8， ∴1＝0.70>a ＝0.70.5>b ＝0.70.8，而1＝(2)0<c ＝(2)0.8，∴b <a <c . 3．函数y ＝e 2－e |x |(e 为无理数，且e ≈2.71828…)的图象可能是( )『答 案』 B『解 析』 易知函数y ＝e 2－e |x |是偶函数，排除选项A ； 当x >0时，y ＝e 2－e x 是减函数，所以排除选项D ； 当x ＝0时，y ＝e 2－1>0，排除选项C.4．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)『答 案』 C『解 析』 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，∴2x ＋11－a ·2x ＝2x ＋1a －2x ，∴a＝1，故f (x )＝2x ＋12x －1(x ≠0)，根据题意，令t ＝2x，由f (x )>3可得t ＋1t －1>3⇔t ＋1t －1－3>0⇔t －2t －1<0⇔1<t <2，即1<2x <2，解得x ∈(0,1)．5．(多选)已知函数f (x )＝πx －π－x 2，g (x )＝πx ＋π－x2，则f (x )，g (x )满足( )A ．f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )B ．f (－2)<f (3)C ．f (x )－g (x )＝π－x D ．f (2x )＝2f (x )g (x ) 『答 案』 ABD『解 析』 A 正确，f (－x )＝π－x －πx2＝－f (x )，g (－x )＝π－x ＋πx2＝g (x )，所以f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )；B 正确，因为函数f (x )为增函数，所以f (－2)<f (3)；C 不正确，f (x )－g (x )＝πx －π－x 2－πx ＋π－x 2＝－2π－x2＝－π－x ；D 正确，f (2x )＝π2x －π－2x 2＝2·πx －π－x 2·πx ＋π－x2＝2f (x )g (x )．6．函数y ＝3·a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________． 『答 案』 (2,4)『解 析』 对于函数y ＝3·a x －2＋1(a >0且a ≠1)， 令x －2＝0，求得x ＝2，y ＝4， 可得它的图象经过定点(2,4)．7．函数y ＝12⎛⎪⎝⎭的值域是________，单调递增区间是________．『答 案』 321,12⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎡⎦⎤12，2 『解 析』 令t ＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94， 则0≤t ≤32，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12t ∈321,12⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即函数y ＝12⎛⎪⎝⎭的值域是321,12⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；函数y ＝12⎛ ⎪⎝⎭的定义域为『－1,2』．当0≤t ≤32时，y ＝⎝⎛⎭⎫12t 单调递减， 当12≤x ≤2时，函数t 单调递减， ∴函数y 的增区间为⎣⎡⎦⎤12，2.8．函数f (x )＝－9－x ＋⎝⎛⎭⎫13x －1＋34，x ∈『－1，＋∞)的值域为________． 『答 案』 ⎣⎡⎦⎤34，3『解 析』 f (x )＝－9－x ＋⎝⎛⎭⎫13x －1＋34 ＝－⎝⎛⎭⎫132x＋3×⎝⎛⎭⎫13x ＋34， 令t ＝⎝⎛⎭⎫13x，因为x ∈『－1，＋∞)，所以t ∈(0,3』，原函数的值域等价于函数g (t )＝－t 2＋3t ＋34＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋3(0<t ≤3)的值域， 所以g (t )在⎝⎛⎦⎤0，32上单调递增，⎝⎛⎦⎤32，3上单调递减， g ⎝⎛⎭⎫32＝3，g (3)＝34，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤34，3.9．若f (x )＝2x ＋a2x －1是奇函数．(1)求a 的值；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)都有f (x )≥2m 2－m ，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得，f (x )的定义域为{x |x ≠0}． f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－1－2a ， 因为f (x )＝2x ＋a2x －1是奇函数．所以f (1)＝－f (－1)，得a ＝1；经检验a ＝1满足题意． (2)根据(1)可知f (x )＝2x ＋12x －1，化简可得f (x )＝1＋22x －1，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>1，对任意x ∈(0，＋∞)都有f (x )≥2m 2－m ， 所以1≥2m 2－m ，即－12≤m ≤1.故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 10．已知g (x )＝x 2－2ax ＋1在区间『1,3』 上的值域为『0,4』． (1)求实数a 的值；(2)若不等式g (2x )－k ·4x ≥0在当x ∈『1，＋∞)上恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)g (x )＝(x －a )2＋1－a 2， 当a <1时，g (x )在『1,3』上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2－2a ＝0，即a ＝1，与a <1矛盾．故舍去． 当1≤a ≤3时，g (x )min ＝g (a )＝1－a 2＝0，即a ＝±1，故a ＝1， 此时g (x )＝(x －1)2，满足x ∈『1,3』时其函数值域为『0,4』． 当a >3时，g (x )在『1,3』上单调递减， g (x )min ＝g (3)＝10－6a ＝0，即a ＝53，舍去．综上所述a ＝1.(2)由已知得(2x )2－2×2x ＋1－k ·4x ≥0在x ∈『1，＋∞)上恒成立，即k ≤⎝⎛⎭⎫12x 2－2⎝⎛⎭⎫12x ＋1在x ∈『1，＋∞)上恒成立，令t ＝12x ，且t ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则上式可化为k ≤t 2－2t ＋1，t ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立．记h (t )＝t 2－2t ＋1， ∵t ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，h (t )单调递减， ∴h (t )min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝14，故k ≤14， ∴k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14.11．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)> f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 『答 案』 C『解 析』 由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，可知f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，∴由f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.12．已知实数a >0且a ≠1，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6－x ，x ≤2，a x ，x >2的值域为『4，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2』 D ．『2，＋∞)『答 案』 D『解 析』 实数a >0且a ≠1，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6－x ，x ≤2，a x，x >2的值域为『4，＋∞)，当0<a <1时，当x >2时，f (x )的取值范围为(0，a 2)，与值域为『4，＋∞)矛盾，所以0<a <1不成立，当a >1时，对于函数f (x )＝6－x ，x ≤2，函数的值域为『4，＋∞)．所以只需当x >2时f (x )的取值范围为『4，＋∞)的子集即可．即a 2≥4，解得a ≥2(舍去a ≤－2)， 综上可知a 的取值范围为『2，＋∞)．13．关于x 的不等式a ·9x ＋2·3x －1<0对任意x >0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－2 B ．a ≤－1 C ．a ≤－2 D ．a <－1『答 案』 B『解 析』 ∵a ·9x ＋2·3x －1<0对任意x >0恒成立， ∴a <－2·3x ＋1(3x )2＝1(3x )2－2·13x ，令t ＝13x ∈(0,1)， ∴a ·9x ＋2·3x －1<0对任意x >0恒成立等价于a <t 2－2t 对任意t ∈(0,1)恒成立， ∵t 2－2t ＝(t －1)2－1>－1，∴a ≤－1.14．已知函数f (x )＝2019x －2019－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为________． 『答 案』 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 『解 析』 设g (x )＝f (x )－1＝2 019x －2 019－x ，则g (－x )＝2 019－x －2 019x ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，易知g (x )＝2 019x －2 019－x 是R 上的增函数．由f (2x －1)＋f (2x )>2得f (2x －1)－1＋f (2x )－1>0，即g (2x －1)＋g (2x )>0， ∴g (2x －1)>g (－2x )，即2x －1>－2x ，解得x >14.15．已知f (x )是定义在『－2,2』上的奇函数，当x ∈(0,2』时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，如果对于任意x 1∈『－2,2』，存在x 2∈『－2,2』，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－5，－2) C ．『－5，－2』 D ．(－∞，－2』『答 案』 C『解 析』 ∵f (x )是定义在『－2,2』上的奇函数，∴f (0)＝0，当x ∈(0,2』时，f (x )＝2x －1∈(0,3』， 则当x ∈『－2,2』时，f (x )∈『－3,3』， 若对于∀x 1∈『－2,2』，∃x 2∈『－2,2』， 使得g (x 2)＝f (x 1)，则等价为g (x )max ≥3且g (x )min ≤－3，∵g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1，x ∈『－2,2』， ∴g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，g (x )min ＝g (1)＝m －1， 则满足8＋m ≥3且m －1≤－3， 解得m ≥－5且m ≤－2，故－5≤m ≤－2. 16．已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫⎪⎝⎭.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最大值为3，求实数a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝24313x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，令g (x )＝x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上为减函数，所以f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 即函数f (x )的单调递减区间是(2，＋∞)，单调递增区间是(－∞，2)． (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )， 因为f (x )的最大值为3，所以h (x )的最小值为－1， 当a ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－4x ＋3，无最大值； 当a ≠0时，有⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，所以当f(x)的最大值为3时，实数a的值为1.(3)由指数函数的性质知，要使f(x)＝24313ax x-+⎛⎫⎪⎝⎭的值域为(0，＋∞)，应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R.当a＝0时，h(x)＝－4x＋3，值域为R，符合题意；当a≠0时，h(x)为二次函数，其值域不为R，不符合题意．故当f(x)的值域是(0，＋∞)时，实数a的值为0.。
(人教A版)高中数学必修一(全册)课时同步练习汇总
（人教A版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总[课时作业][A组基础巩固]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．1解析：由题设可知3≠4，∴m＋1＝4，∴m＝3.答案：B2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．答案：A3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，∴x<5，又∵x∈N＋，∴x＝1,2,3,4.答案：B4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：利用集合中元素的互异性确定集合．当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.答案：C5．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：确定集合中元素的个数，应从集合中元素的互异性入手考虑．若是相同的元素，则在集合中只能出现一次．因为x2＝|x|，－3x3＝－x，所以当x＝0时，这几个数均为0.当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x.当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，－x.均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多有2个．故选A. 答案：A6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.解析：由题设知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以ba＝－1，∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.答案：27．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：28．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11. ∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素．答案：89．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解析：(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根．只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．解析：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.[B组能力提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集．其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对解析：0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|4＜x＜5}是无限集；只有②正确．答案：B2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P解析：(1)a>0，b>0时，x＝a|a|＋b|b|＝1＋1＝2；(2)a<0，b<0时，x＝a|a|＋b|b|＝－1－1＝－2；(3)a，b异号时，x＝0.答案：A3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________.解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，a∈N所以a＝4,3,2.答案：{4,3,2}4．当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________．解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．故填{5}．答案：{5}5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．(1)若1∈A，求a的值；(2)若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；(3)若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．解析：(1)因为1∈A，所以a×12＋2×1＋1＝0，所以a＝－3.(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，解得x＝－12，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，即Δ＝22－4a＝0，所以a＝1.故当集合A只有一个元素时，实数a组成的集合是{0,1}．(3)由集合A中含有两个元素知，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，即a≠0且Δ＝22－4a>0，所以a≠0且a<1.故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}．6．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.请解答下列问题：(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若a∈S，且a≠0，则1－1a∈S.解析：(1)∵2∈S,2≠1，∴11－2＝－1∈S.∵－1∈S，－1≠1，∴11－(－1)＝12∈S.又∵12∈S，12≠1，∴11－12＝2∈S.∴集合S中另外两个数为－1和12.(2)由a∈S，则11－a∈S，可得11－11－a∈S，即11－11－a＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.∴若a∈S，且a≠0，则1－1a∈S.[课时作业][A组基础巩固]1．已知M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则有()A．M⊆N B．N MC．N∈M D．M＝N解析：由子集的概念可知N M.答案：B2．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝() A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．0或1或 3解析：(1)m＝3，此时A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足B⊆A.(2)m＝m，即m＝0或m＝1.①m＝0时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，满足B⊆A；②m＝1时，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不满足互异性，舍去．答案：B3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( ) A ．1B ．－1C ．－1或0或1D ．0或1解析：由题设可知集合A 中只有一个元素，(1)a ＝0时，原方程等价转化为2x ＝0，即x ＝0，满足题设； (2)⎩⎨⎧a ≠0Δ＝4－4a 2＝0得a ＝±1. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z}，集合B ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z}，则A 与B 的关系为( ) A ．A B B ．BAC ．A ＝BD ．以上答案都不对解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系． 集合A 中：x ＝k 2＋14＝2k ＋14； 集合B 中：x ＝k 4＋12＝k ＋24；而{2k ＋1}表示奇数集，{k ＋2}表示整数集， ∴A B . 答案：A5．满足{x |x 2＋1＝0}A ⊆{x |x 2－1＝0}的集合A 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：{x |x 2＋1＝0}＝∅，{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A 是集合{－1,1}的非空子集，所以A 的个数为22－1＝3.故选C. 答案：C6．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，且xy ＞0}，集合P ＝{(x ，y )|x ＜0，且y ＜0}，那么集合M 与P 之间的关系是________． 解析：M 中的元素满足{ x ＋y ＜0xy ＞0，即{ x ＜0y ＜0，∴M ＝P .答案：M＝P7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－2.答案：a≤－28．已知集合A{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A 中有0个奇数时，集合A＝∅，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得{m≥2m＋1≥－2，2m－1≤5解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.[B组能力提升]1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．不确定解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k ＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N.答案：C2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B 的子集个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．答案：D3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}．∴N M.答案：N M4．定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A*B中的最大元素为________，集合A*B的所有子集的个数为________．解析：当x1＝1时，x1＋x2的值为2,3；当x1＝2时，x1＋x2的值为3,4；当x1＝3时，x1＋x2的值为4,5；∴A*B＝{2,3,4,5}．故A*B中的最大元素为5，所有子集的个数为24＝16.答案：5165．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－12＝0}，B⊆A，求实数a的取值集合．解析：A＝{－2,4}，因为B⊆A，所以B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．若B ＝∅，则a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，解得a >4或a <－4.若B ＝{－2}，则(－2)2－2a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，解得a ＝4. 若B ＝{4}，则42＋4a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0， 此时a 无解；若B ＝{－2,4}，则⎩⎨⎧－a ＝4－2，a 2－12＝－2×4.所以a ＝－2.综上知，所求实数a 的集合为{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}． 6．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m －6>2m －1，即m <－5，此时满足B ⊆A ； ②若B ≠∅，则⎩⎨⎧m －6≤2m －1，－2≤m －6，2m －1≤5，解得－5≤m ≤3.由①②可得，m <－5或－5≤m ≤3. (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎨⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎨⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.(3)若A ＝B ，则必有⎩⎨⎧m －6＝－2，2m －1＝5，此方程组无解，即不存在m 的值使得A ＝B .[课时作业] [A 组 基础巩固]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1, 2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}． 答案：C2．设S ＝{x |2x ＋1>0}，T ＝{x |3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A ．∅ B ．{x |x <－12} C ．{x |x >53}D ．{x |－12<x <53}解析：S ＝{x |2x ＋1>0}＝{x |x >－12}，T ＝{x |3x －5<0}＝{x |x <53}，则S ∩T ＝{x |－12＜x ＜53}． 答案：D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝0，x ，y ∈R}，则集合A ∩B 的元素个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.∴A ∩B ＝{(0,0)}．答案：B4．设集合M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}，则M ∪N 中元素的个数为( ) A ．11 B ．10 C ．16D ．15 解析：先用列举法分别把集合M ，N 中的元素列举出来，再根据并集的定义写出M ∪N .∵M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴M ∪N ＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．∴M ∪N 中元素的个数为16. 答案：C5．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4. 答案：D6．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________. 解析：由M ＝{0,1,2}，知N ＝{0,2,4}， M ∩N ＝{0,2}． 答案：{0,2}7．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －18．若集合A ＝{1,3，x }，集合B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 值的个数为________．解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2∈A . 令x 2＝3，得x ＝±3，符合要求． 令x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性． ∴x ＝±3或x ＝0. 答案：39．设A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∪B ，A ∩B . 解析：如图所示：A ∪B ＝{x |－1＜x ＜2}∪{x |1<x <3}＝{x |－1<x <3}． A ∩B ＝{x |－1<x <2}∩{x |1<x <3}＝{x |1<x <2}．10．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：由x 2＋x －6＝0，得A ＝{－3, 2}，∵B ⊆A ，且B 中元素至多一个， ∴B ＝{－3}，或B ＝{2}，或B ＝∅.(1)当B ＝{－3}时，由(－3)m ＋1＝0，得m ＝13； (2)当B ＝{2}时，由2m ＋1＝0，得m ＝－12； (3)当B ＝∅时，由mx ＋1＝0无解，得m ＝0. ∴m ＝13或m ＝－12或m ＝0.[B 组 能力提升]1．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B ＝( ) A ．{4,8} B ．{1,2,6,10} C ．{2,6,10}D ．{1}解析：由题设信息知A －B ＝{2,6,10}． 答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32.∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <3. 故选D. 答案：D3．已知集合A ＝{x ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x |m ＜x ＜2}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ||x ＋2|<3}＝{x |－5＜x ＜1}，由图形直观性可知m ＝－1，n ＝1. 答案：－1 14．已知A ＝{x |－2＜x ＜a ＋1}，B ＝{x |x ≤－a 或x ≥2－a }，A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：本题给出了两个待定的集合，且已知A ∪B ＝R ，结合数轴表示可求出参数a 的取值范围．如图所示，因为A ∪B ＝R ，所以应满足⎩⎨⎧－a ≥－2，2－a ≤a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥12，所以12≤a ≤2.答案：⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤a ≤25．设方程x 2＋px －12＝0的解集为A ，方程x 2＋qx ＋r ＝0的解集为B ，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求p ，q ，r 的值． 解析：∵A ∩B ＝{－3}， ∴－3∈A ，代入x 2＋px －12＝0得p ＝－1， ∴A ＝{－3,4}∵A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}， ∴B ＝{－3} 即方程x 2＋qx ＋r ＝0 有两个相等的根x ＝－3， ∴q ＝6，r ＝9.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 、m 的值或范围． 解析：x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或2，故A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，B 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}． ∵x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]∴必有1∈B ，因而a －1＝1或a －1＝2，解得a ＝2或a ＝3.又∵A ∩C ＝C ，∴C ⊆A .故C 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}． ①若C ＝∅，则方程x 2－mx ＋2＝0(※)的判别式 Δ＝m 2－8<0，得－22<m <22；②若C ＝{1}，则方程(※)有两个等根为1， ∴⎩⎨⎧1＋1＝m 1×1＝2不成立；③若C ＝{2}，同上②也不成立； ④若C ＝{1,2}，则⎩⎨⎧1＋2＝m ，1×2＝2.得m ＝3.综上所述，有a ＝2或a ＝3；m ＝3或－22<m <2 2.[课时作业][A组基础巩固]1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅，(∁U M)∪(∁U N)＝{1,2,3,4,5,6}，(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}，故选D.答案：D2．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B ＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1, 3,5}解析：如图所以B＝{1,3,5}．答案：D3．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又因(∁U A)∩B≠∅，则a>3.答案：A4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝()A．M B．NC．I D．∅解析：因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M，则M∪N＝M，选A.答案：A5.已知集合I，M，N的关系如图所示，则I，M，N的关系为()A．(∁I M)⊇(∁I N)B．M⊆(∁I N)C．(∁I M)⊆(∁I N)D．M⊇(∁I N)解析：由题图知M⊇N，∴(∁I M)⊆(∁I N)．答案：C6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．∴A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴0＋3＝－m，即m＝－3.答案：－38．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解析：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A ＝{x |1＜x ≤4}，∁U B ＝{x |3＜x ≤4或－1≤x ≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B )∩A ＝{x |－1≤x ≤0}．9．设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．解析：(1)由交集的概念易得，2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{}－5，2.(2)由并集的概念易得，U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2. 由补集的概念易得，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， {－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 10．设全集U ＝{a 2－2,2, 1}，A ＝{a,1}，求∁U A . 解析：由补集的定义可知A ⊆U .若a ＝2；则a 2－2＝2，集合U 中的元素不满足互异性，所以a ≠2. 若a 2－2＝a ，则a ＝2或a ＝－1， 因为a ≠2，所以a ＝－1.此时，U ＝{－1,2,1}，A ＝{－1,1}，所以∁U A ＝{2}．[B 组 能力提升]1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 是非空集合，则A ∩B 的元素个数为( ) A ．mn B ．m ＋n C ．n －mD ．m －n解析：画出Venn 图，如图．∵U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：D2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝()A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U ZC．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z解析：依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁U X)∪(∁U Y)，(X*Y)*Z＝∁U[ (X*Y)∩Z]＝∁U[∁(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁U Z)＝(X∩Y)∪(∁U Z)．U答案：B3．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}∴A∪B＝{1,3,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}4．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________. 解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|－4≤y≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R，且x≠0}．答案：{x|x∈R，且x≠0}5．某班共有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．解析：设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示：设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10－x，则有(15－x)＋x＋(10－x)＋8＝30，解得x＝3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x＝15－3＝12.6．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}， A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a 、b 的值．解析：因为(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A,4∈A ，但4∉B . 将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合的方程中得 ⎩⎨⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎨⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．0或1个D ．无数个解析：当x ＝1在函数f (x )的定义域内时，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1有一个公共点(1，f (1))；当x ＝1不在定义域内时，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1没有公共点． 答案：C2．已知四组函数：①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2；②f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；③f (n )＝2n －1， g (n )＝2n ＋1(n ∈N)；④f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1. 其中是同一函数的为( ) A ．没有 B ．仅有② C ．②④D ．②③④解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同；对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．故选C. 答案：C3．y ＝x 2(－1≤x ≤2)的值域是( ) A ．[1,4]B ．[0,1]C．[0,4] D．[0,2]解析：由图可知f(x)＝x2(－1≤x≤2)的值域是[0,4]．答案：C4．函数y＝2－xx－1的定义域为()A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(－∞，1)∪(1,2) D．(－∞，1)∪(1,2]解析：要使函数y＝2－xx－1有意义，则{2－x≥0，x－1≠0，解得x≤2且x≠1，所以所求函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2]．答案：D5．图中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象的是()解析：根据函数的定义，在定义域[0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对应，同样，对于值域[0,1]中的任意一个函数值，在定义域内也一定有自变量和它对应．A中函数值域不是[0,1]，B中函数定义域不是[0,1]，故可排除A，B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意一个x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.故选C.答案：C6．下列说法正确的有________．(只填序号)①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；④对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；⑤f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，这是一个常量．解析：函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f(x)＝1，x＝1的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确的．根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．④是错误的．当x不同时，函数值y的值可能相同，如函数y＝x2，当x＝1和－1时，y都为1.⑤是正确的．f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值是一个常量．故填①③⑤.答案：①③⑤7．已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，若f (x )的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：由已知得2x 2－mx ＋3≥0对x ∈R 恒成立，即Δ＝m 2－24≤0，∴－26≤m ≤2 6.答案：[－26，26]8．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围为________．解析：由区间的定义知 ⎩⎨⎧2a －1<a ＋1a ＋3<4a ⇒1<a <2.答案：(1,2)9．若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域．解析：由f (x )的定义域为[－3,5]，得φ(x )的定义域需满足⎩⎨⎧－3≤－x ≤5，－3≤x ≤5即⎩⎨⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5解得－3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]． 10．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1； (3)f (x )＝5x ＋4x －1； (4)f (x )＝x －x ＋1.解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}． (2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}． (4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥－54. [B 组 能力提升]1．函数y ＝5＋4x －x 2的值域为( ) A ．(－∞，3) B ．[3，＋∞) C ．[0,9]D ．[0,3]解析：由函数性质可得5＋4x －x 2≥0的值域开方即是．结合函数图象(图略)可得y ∈[0,3]，故选D. 答案：D2．已知f (x )的定义域是[0，＋∞)，则函数(x －2)0＋f (x －1)的定义域是( ) A ．[0,2)∪(2，＋∞) B ．[1,2)∪(2，＋∞) C ．[－1,2)∪(2，＋∞) D ．[1，＋∞)解析：{ x －2≠0x －1≥0得1≤x 且x ≠2.答案：B3．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：x 123 f (x )1 31x 1 2 3 g (x )321则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________． 解析：g (1)＝3，f (g (1))＝f (3)＝1； f (g (1))＝1，f (g (2))＝3， f (g (3))＝1，g (f (1))＝3， g (f (2))＝1，g (f (3))＝3，∴满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 值为x ＝2. 答案：1 24．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )－(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈[－2，1]x 2－2，x ∈(1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )＝－1； 当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,2]． ∴当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－1,2]． 答案：[－1,2]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．解析：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0＜h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0＜h ＜1. 8)求得． 由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0＜A＜6.84.故值域为{A|0＜A＜6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．6．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．(1)求证：A⊆B；(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.解析：(1)若A＝∅，则A⊆B显然成立．若A ≠∅，设t ∈A ， 则f (t )＝t ，f (f (t ))＝t ，t ∈B ， 从而A ⊆B ，故A ⊆B 成立． (2)∵A ＝{－1,3}， ∴f (－1)＝－1，且f (3)＝3. 即⎩⎨⎧(－1)2－a ＋b ＝－132＋3a ＋b ＝3，∴⎩⎨⎧a －b ＝23a ＋b ＝－6，∴⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－3，∴f (x )＝x 2－x －3.∵B ＝{x |f (f (x ))＝x }，∴(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3＝x ， ∴(x 2－x －3)2－x 2＝0， 即(x 2－3)(x 2－2x －3)＝0， ∴(x 2－3)(x ＋1)(x －3)＝0， ∴x ＝±3或x ＝－1或x ＝3. ∴B ＝{－3，－1，3，3}．[课时作业]单 [A 组 基础巩固]1．函数y ＝ax 2＋a 与y ＝ax (a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )解析：当a>0时，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于(0，a)点，在y轴上方，反比例函数的图象在第一、三象限，没有满足此条件的图象；当a<0时，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于(0，a)点，在y轴下方，反比例函数的图象在第二、四象限；综合来看，只有选项D满足条件．答案：D2．已知f(x－1)＝x2－2，则f(2)＝()A．6 B．2C．7 D．9解析：f(2)＝f(3－1)＝32－2＝9－2＝7.答案：C3．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝－3x B．f(x)＝3xC．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x解析：设f(x)＝kx(k≠0)，∵f(－3)＝k－3＝－1，∴k＝3，∴f(x)＝3 x.答案：B4．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(2)＝()A ．－163B ．－203 C.163D.203解析：因为2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，① 所以2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2，② ①×2－②得f (x )＝3x ＋23. 所以f (2)＝3×2＋23＝203. 答案：D5．已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x ＋1x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0) C ．f (x )＝x 2(x ≠0) D ．f (x )＝(x －1x )2(x ≠0)解析： f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)． 答案：B6．已知函数f (x )对任意实数a ，b 都满足：f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝3，则f (3)＝________.解析：∵f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)＝3， ∴f (1)＝32，∴f (3)＝3f (1)＝3×32＝92或f (3)＝f (2)＋f (1)＝92. 答案：927．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，则a ＝73. 答案：738．已知f (x )＝x ＋2，则f (x )＝________. 解析：令x ＝t ，则x ＝t 2且t ≥0. ∴f (t )＝t 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2 (x ≥0) 答案：f (x )＝x 2＋2 (x ≥0)9．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )的解析式． 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3. ∴⎩⎨⎧ a 2＝4，ab ＋b ＝3.∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3.∴f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.10．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意，得⎩⎨⎧c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝14，2a －2b ＋c ＝8＋52，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝3，b ＝－5.所以f (x )＝3x 2－5x ＋2.[B 组 能力提升]1．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为(a ，b )⊗(c ，d )＝ (ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )＝( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：由题设可知：⎩⎨⎧ p －2q ＝5.2p ＋q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝1，q ＝－2， ∴(1,2)⊕(p ，q )＝(1＋p,2＋q )＝(2,0)． 答案：B2．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝6x ＋9 D ．f (x )＝2x ＋3解析：用3－x 代替原方程中的x 得f (3－x )＋2f [3－(3－x )]＝f (3－x )＋2f (x )＝ (3－x )2＝x 2－6x ＋9，∴⎩⎨⎧f (x )＋2f (3－x )＝x 2 ①f (3－x )＋2f (x )＝x 2－6x ＋9 ②①－②×2得－3f (x )＝－x 2＋12x －18， ∴f (x )＝13x 2－4x ＋6. 答案：B 3．设f (3x )＝9x ＋52，则f (1)＝________.解析：令3x ＝1，则x ＝13.∴f (1)＝9×13＋52＝4＝2.答案：24．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数， 则方程f (ax ＋b )＝0的解集为________．解析：f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2，∴⎩⎨⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，∴f(ax＋b)＝f(2x－3)＝4x2－8x＋5.∵Δ＝64－4×4×5＝－16<0，∴方程f(ax＋b)＝0的解集为∅.答案：∅5．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)且方程f(x)＝2x有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m,4n ]．如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)与方程f (x )＝2x 有等根，即方程ax 2＋bx －2x ＝0有等根， ∴Δ＝(b －2)2＝0，得b ＝2.由f (x －1)＝f (3－x )，知此函数图象的对称轴方程为x ＝－b2a ＝1，得a ＝－1， 故f (x )＝－x 2＋2x .(2)∵f (x )＝－(x －1)2＋1≤1， ∴4n ≤1，即n ≤14.而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1， ∴若满足题设条件的m ，n 存在，则{ f (m )＝4m ，f (n )＝4n ， 即⎩⎨⎧－m 2＋2m ＝4m ，－n 2＋2n ＝4n⇒⎩⎨⎧m ＝0或m ＝－2，n ＝0或n ＝－2，又m <n ≤14，∴m ＝－2，n ＝0，这时，定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]． 由以上知满足条件的m ，n 存在，m ＝－2，n ＝0.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：因为f (1)＝2，所以由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2，所以a 肯定小于0， 则f (a )＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A. 答案：A2．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应． 答案：A3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：f (x )图象大致如下：由图可知值域为[0,2]∪{3}． 答案：B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，x 2，x <0，则f (f (－2))的值是( )A ． 4B ．－4C ．8D ．－8解析：∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f (f (－2))＝f (4)； 又∵4≥0，∴f (4)＝2×4＝8. 答案：C5．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2， x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y 1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：根据映射的定义进行判断．对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D. 答案：D6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2－4，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (0))＝________.解析：∵f (0)＝π，∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4.答案：3π2－47．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：∵43>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83；－43≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；－13≤0，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23； 23>0，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4.答案：48．设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么A 中的元素(－1,2)的象是________，B 中的元素(－1,2)的原象是________． 解析：(－1,2)→(－1－2，－1＋2)＝(－3,1)． 设(－1,2)的原象为(x ，y )，则⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.答案：(－3,1) (12，32)9．作函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|图象，并求出相应的函数值域． 解析：因为函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|，y ＝⎩⎨⎧－2x ＋2 (x ≤－3)，8 (－3<x <5)，2x －2 (x ≥5).所以y ＝|x ＋3|＋|x －5|的图象如图所示：由此可知，y ＝|x ＋3|＋|x －5|的值域为[8，＋∞)． 10．已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )， 求：(1)(3,4)的象；(2)(1，－6)的原象． 解析：(1)∵x ＝3，y ＝4，∴x ＋y ＝7，xy ＝12. ∴(3,4)的象为(7,12)．(2)设(1，－6)的原象为(x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2.故(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．[B 组 能力提升]1．若已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，且f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32 C ．±3D. 3解析：由x ＋2＝3，得x ＝1>－1，舍去．由x 2＝3，得x ＝±3，－1＜3＜2，－3＜－1，－3舍去． 由2x ＝3，得x ＝32<2，舍去． 所以x 的值为 3. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥2x 的解集是( )A ．(－∞，23] B ．(－∞，0] C ．(0，23]D ．(－∞，2)解析：(1)当x >0时，f (x )＝－x ＋2≥2x ，得3x ≤2，即0<x ≤23； (2)当x ≤0时，f (x )＝x ＋2≥2x ，得x ≤2，又x ≤0，∴x ≤0； 综上所述，x ≤23. 答案：A3．已知集合A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z}，C ＝R ，且从A 到B 的映射是 f ：x →y ＝2x －1，从B 到C 的映射是f ：x →y ＝13x ＋1，则从A 到C 的映射是________． 解析：根据题意，f ：A →B ，x →y ＝2x －1 f ：B →C ，y →z ＝13y ＋1. 所以，从A 到C 的映射是f ：x →z ＝13(2x －1)＋1＝16x －2，即从A 到C 的映射是f ：x →y ＝16x －2. 答案：f ：x →y ＝16x －24．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－2)，x 2(－2＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (a )＝8，则a ＝________.解析：当a ≤－2时，由a ＋2＝8，得a ＝6.不合题意．当a ≥2时，由2a ＝8，得a ＝4，符合题意． 当－2＜a ＜2时，a 2＝8，a ＝±22，不合题意． 答案：45．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围． 解析：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14a －14<1，解得1<a <54.6．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝4 5°，作直线 MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N .设AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解析：作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝32a ，∠A ＝∠D ＝45°. (1)当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB ， 由于AM ＝x ，∠A ＝45°，∴MN ＝x . ∴y ＝S △AMN ＝12x 2(0≤x ≤a 2)．(2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，AH ＝a 2，BN ＝x －a2， ∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12·a 2[x ＋(x －a 2)]＝12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )． (3)当M 位于点G 的右侧时， 由于AM ＝x ，DM ＝MN ＝2a －x ，∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12·a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2)＝－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a )．综上有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2(0≤x ≤a 2)，12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )，－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a ).[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( ) A ．必是增函数 B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性 答案：D2．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－∞，－3] C ．(－∞，5]D ．[3，＋∞)解析：二次函数开口向上，对称轴为x ＝－2(a －1)2＝1－a ，要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减解析：y ＝|x ＋2|的图象是由y ＝|x |图象向左平移2个单位得来，由图可知y ＝|x ＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增． 答案：C4．函数f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增再减D ．先减再增解析：∵y ＝x 在(0，＋∞)上递增，y ＝－1x 在(0，＋∞)上也递增， ∴f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上递增． 答案：A5．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( )A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝－3x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x 2－4x ＋3解析：∵x 1，x 2∈(0，＋∞)时， f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)是增函数． 答案：C6．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案：－37．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析：y ＝－(x －3)|x | ＝⎩⎨⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，328．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )在[1,2]上单调递减可得a ≤1；由g (x )在[1,2]上单调递减可得a ＞0 ∴a ∈(0,1]． 答案：(0,1]9．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)， 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5. (1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.解析：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数． ∴⎩⎨⎧m －2≥2，m －2>0解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．10．求函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|的单调区间．解析：先作出y ＝x 2－6x ＋8的图象，然后x 轴上方的不变，x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折，得到如图f (x )＝|x 2－6x ＋8|的图象，由图象可知f (x )的增区间为[2,3]，[4，＋∞]；减区间为(－∞，2]，[3,4]．[B 组 能力提升]1．已知f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，则f (－2)，f (2)，f (3)的大小关系为( )A ．f (－2)<f (2)<f (3)B ．f (－2)>f (2)>f (3)C ．f (2)<f (－2)<f (3)D ．f (2)<f (3)<f (－2)解析：∵f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )图象开口向上且关于x ＝1对称，∴f (x )在[1，＋∞)上递增，而f (－2)＝f (1－3)＝f (1＋3)＝f (4)，∴f (2)<f (3)<f (4)＝f (－2)．。
人教A版高中数学必修第一册第三章函数单调性的应用课件
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3.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，则y＝f(|x－3|)的单调
减区间是( B )
A．(－∞，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．[－3，＋∞)
D．(－∞，3]
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[解析] ∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的单调减区间是(－∞，1－a]. ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数． ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合， ∴1－a≥4，解得a≤－3. 故a的取值范围为(－∞，－3].
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已知单调性求参数时，视参数为已知数，依据函数的图 象或单调性的定义确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参 数．
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2.已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)， 则a的值为__6______． 解析：f(x)＝|2x－a|＝2－x－2xa＋，ax，≥xa2<，a2，
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3 ． 设 函 数 f(x) ＝ (1 － 2a)x ＋ b 是 R 上 的 增 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 _(_－__∞__，__12_)_．
解析：由
f(x)＝(1－2a)x＋b
是
R
上的增函数，得
人教A版高中数学必修第一册第三章函数的定义域和值域课件
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求函数的函数值、值域 1．求函数的函数值问题，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，再 _代__入___求值． 2．求函数值域时应先确定相应的_定__义__域__，再根据函数的具体形式及 其运算确定其值域．
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f(2x＋1)中 x 的取值范围(定义域)可由 2x＋1∈(－1，2)求得．
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[解] (1)要使函数有意义，即 x2－2x－3>0，
解不等式得 x<－1 或 x>3， 函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
(2)由题意得x2＋x－1≠3≠00，，
x≠－1， 即x≠32．
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1.集合{x|2≤x<5}用区间表示为__[_2_，__5_) _；集合{x|x≤－1， 或3<x<4}用区间表示为_(_－__∞_，__－__1_]_∪__(3_，__4_)_．
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函数的定义域 函数的定义域是使 函数有意义 的所有 自变量 的集合；若函数的解析
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(3)求函数 y＝x＋ 2x＋1的值域； 解：(3)(换元法)令 2x＋1＝t，t≥0，
t2－1 ∴x＝ 2 ，
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∴y＝t2－2 1＋t＝12t2＋t－12＝12(t＋1)2－1. ∵t≥0，∴y≥－12， ∴函数的值域为[－12，＋∞).
式是由两个或两个以上式子的和、差、积、商构成的，则其定义域是 使每个式子有意义的自变量取值的 公共部分 的集合．
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.1.1 任意角
二、填空题(每小题5分，共15分) 9．已知角α终边所在的位置，请你完成下表：
10.－1 485°角是第 四 象限的角，与其终边相同的角中最 大的负角是 －45° .
解析：因为－1 485°＝－5×360°＋315°， 而315°∈(270°，360°)，所以－1 485°是第四象限角． 又－360°＋315°＝－45°，最大的负角是－45°.
11．终边在直线y＝ 33x上的角的集合S＝
{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}
．
解析：
在0°～360°范围内，终边在直线y＝
3 3
x上的角有两个：30°、
210°(如图)，
所以终边在y＝ 33x上的角的集合是 S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋180°＋2k·180°，k∈Z} ＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．
——基础巩固——
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么α( D )
A．是第三Байду номын сангаас限角
B．是第四象限角
C．是第三或第四象限角 D．不属于任何象限角
解析：因为点P在y轴的负半轴上，即角α的终边落在y轴的非
正半轴上，因此α不属于任何象限角．
2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( B )
解：(1)由k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的 集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°<k·90°＋45°<360°，得－92<k<72. 又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3. 所以在给定的角的集合中在区间(－360°，360°)内的角共有8 个． (3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件课件新人教A版必修第一册
13．(13分)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2，或x<－
1”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说
明理由．
解：存在．由4x＋p<0得x<－p4，如图在
数轴上画出不等式x>2或x<－1，由数轴
可得，当－
p 4
≤－1时，即p≥4时，由x<
－
p 4
≤－1⇒x<－1⇒x>2或x<－1.故当p≥4时，“4x＋p<0”是
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意可知x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/ x>1.故选A.
2．已知x∈R，则x<－1是{x|x>12或x<－1}的( A )
解析：命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化 为∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找 的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知 C符合题意．
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：x>0，y>0⇒x＋y>0；x＋y>0 ⇒/ x>0且y>0，所以“x>0 且y>0”是“x＋y>0”的充分不必要条件，选A.
4．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的
一个充分不必要条件是( C )
高中数学人教版(新教材)必修1课时作业5：1.3 第1课时 并集与交集
1.3 集合的基本运算第1课时并集与交集基础达标练1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1} C．{1,2}D．{0,1,2}2．若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，则集合A∩B等于()A．{x|x≤3或x＞4}B．{x|－1＜x≤3}C．{x|3≤x＜4}D．{x|－2≤x＜－1}3．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()A．{x|x≥－4}B．{x|－2＜x} C．{x|－4≤x≤1}D．{x|－2＜x≤1}4．已知集合A＝{1,3}，B＝{1,2，m}，若A∩B＝{1,3}，则A∪B＝()A．{1,2}B．{1,3} C．{1,2,3}D．{2,3}5．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1B．3C．4D．86．设集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{2}B．{3}C．{－3,2}D．{－2,3}7．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．8．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|－5＜x＜－2，或x＞5}，则M∪N＝________，M∩N ＝________.9．若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系是________．10．已知集合A＝{x|x＋3≤0}，B＝{x|x－a＜0}．(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝B，求a的取值范围．11．已知集合U＝R，A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}．(1)求A∩B，A∪B；(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围．素养提升练1．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,1}B．{－1,0,1} C．{－2,0,1,2}D．{－1,0,1,2}2．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝() A．{－1,1}B．{0,1} C．{－1,0,1}D．{2,3,4}3．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，则A*B等于()A．{x|1≤x＜3} B．{x|1≤x≤3}C．{x|0≤x＜1或x＞3} D．{x|0≤x≤1或x≥3}4．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________. 5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.6．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？——★参*考*答*案★——基础达标练1．C『解析』∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．2．D『解析』直接在数轴上标出A，B的区间，如图所示，取其公共部分即得A∩B＝{x|－2≤x＜－1}．3．D『解析』已知S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，在数轴上表示集合S，T(图略)，可知S ∩T＝{x|－2＜x≤1}．4．C『解析』因为A∩B＝{1,3}，所以m＝3，即B＝{1,2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}．5．C『解析』∵A＝{1,2}，且A∪B＝{1,2,3}，∴B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}．6．A『解析』∵A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．7．5『解析』并集中重复的元素只能取一个，集合A与B重复的元素是2，其他不重复，所以A ∪B＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素．8．{x|x＞－5}{x|－3＜x＜－2}『解析』如图，借助数轴可知，M∪N＝{x|x＞－5}，M∩N＝{x|－3＜x＜－2}．9．A⊆C『解析』因为A∩B＝A，所以A⊆B.因为B∪C＝C，所以B⊆C，所以A⊆C.10．解(1)∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴a＞－3.(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴a≤－3.11．解(1)A∩B＝{x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}＝{x|x≥1}．(2)因为C∪A＝A，所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4.素养提升练1．A『解析』∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，∴A∩B＝{0,1}．2．C『解析』∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．3．C『解析』由题意知，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，则A*B＝{x|0≤x＜1或x＞3}．4．{(0,1)，(－1,2)}『解析』A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．5．0或3『解析』由A∪B＝A得B⊆A.所以有m＝3或m＝m.由m＝m得m＝0或1.经检验，m＝1时，B＝{1,1}矛盾，m＝0或3时符合题意．6．解由已知得M＝{2}．(1)当m＝2时，N＝{1,2}．∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)若M∩N＝M，则M⊆N，∴2∈N，∴4－6＋m＝0.∴m＝2.7．解设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．。
2021年高中数学 第一章 1.2应用举例(一)课时作业 新人教A版必修5
2021年高中数学 第一章 1.2应用举例（一）课时作业 新人教A 版必修5课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°.由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km. 能力提升 13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302.化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．35195 897B 襻@{295597377 獷26796 68AC 梬21522 5412 吒[#440637 9EBD 麽tUn38851 97C3 韃36619 8F0B 輋。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业2：5.1.1 任意角
5.1 任意角和弧度制5.1.1任意角1．－870°角的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限『答案』 C『解析』－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C.2．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}『答案』 C3．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3000°，－840°『答案』 B『解析』因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同．4．下面说法正确的个数为()①第二象限角大于第一象限角；②终边在x轴非负半轴上的角是零角；③钝角是第二象限角．A．0B．1C．2D．3『答案』 B『解析』第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故①错；360°的整数倍的角终边都在x轴非负半轴上，故②错；③中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．5．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角『答案』 C『解析』可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是____．『答案』－1030°『解析』顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1080°.又50°＋(－1080°)＝－1030°，故所得的角为－1030°.7．与－2019°角终边相同的最小正角是________．『答案』141°『解析』因为－2019°＝－6×360°＋141°，所以所求角为141°.8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．『答案』120°，300°『解析』根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°. 9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．11．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限『答案』 A『解析』当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α在第一或第三象限．12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α『答案』 C『解析』特例法，取α＝30°，可知C正确．作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．13．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是____．『答案』{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}『解析』方法一(并集法)在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.所以α∈{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．方法二(旋转法)观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转180°，恰好与另一个区域重合，由此可知α∈{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．14．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________.考点终边相同的角题点终边相同的角、象限角『答案』270°『解析』∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°<α<360°，∴当k＝3时，α＝270°.15．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．『答案』一或三『解析』由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．16．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解由题意可知α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β为锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°，①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.∵α，β为锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°，②由①②得α＝15°，β＝65°.。