二次函数的图像及性质

与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，对于开口向上的函数，顶点为最低点；对于开口向 下的函数，顶点为最高点。
二次函数的开口方向
单调性
二次函数的对称轴
二次函数的顶点坐标
二次函数的单调区间
最值点
二次函数的最值点是其顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
与坐标轴的交点
交点个数：二次函数与x轴最多有两个交点，与y轴有一个交点 交点位置：与x轴的交点可以通过求解二次方程得到，与y轴的交点为(0,c) 交点性质：与x轴的交点是函数的零点，与y轴的交点是函数的顶点 交点与函数值：在交点处，函数的值可能为零或最大或最小值
开口大小
二次项系数a的正负决定了开口方向 a的绝对值大小决定了开口的大小 a的值越小，开口越小 a的值越大，开口越大
制定经济政策和评估经济 效果
形式变换
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c 完全平方形式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点 平方差形式：y=(x-a)^2-(a^2-b)/4a，其中a>0，b>0 顶点式与一般式的转换：通过配方或因式分解实现
参数变化对图像的影响
参数a的变化：影响抛物线的开口方向和大小 参数b的变化：影响抛物线的对称轴位置 参数c的变化：影响抛物线的截距 参数abc的变化规律：a同号，b异号，开口向上；a异号，b同号，开口向下
解决实际问题
二次函数在经济学中的应用，如计算成本、收益和利润等。 二次函数在物理学中的应用，如计算物体运动轨迹、抛物线等。 二次函数在日常生活中的应用，如解决最优化问题、找到最大值和最小值等。 二次函数在数学竞赛中的应用，如解决几何、代数等问题。
在数学竞赛中的应用
二次函数在几何 题中的应用
二次函数在代数 题中的应用
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汇报人：
目录
开口方向
向上开口：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上 向下开口：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下 判断方法：根据二次项系数的正负来判断抛物线的开口方向 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=0（y轴）
顶点坐标
顶点公式：$\frac{b}{2a}$
二次函数在数论 题中的应用
二次函数在概率 统计题中的应用
二次函数在抛物线运动中的应用
在物理中的应用
二次函数在单摆运动中的应用
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二次函数在弹簧振荡中的应用
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二次函数在碰撞问题中的应用
在经济学中的应用
二次函数用于描述经济现 象和规律
计算经济指标和预测市场 趋势
优化资源配置和提高经济 效益
图像的平移和旋转
二次函数图像的 平移规律：上加 下减，左加右减
二次函数图像的 旋转规律：顺时 针旋转角度，系 数符号相反；逆 时针旋转角度， 系数符号相同
平移和旋转对二 次函数性质的影 响：平移不改变 开口方向和开口 大小，旋转不改 变开口大小，但 改变开口方向
二次函数图像的 对称性：平移和 旋转后的图像仍 保持对称性
顶点形式： $(h,k)$
顶点与对称轴： 对称轴为直线 $x=h$，顶点为 $(h,k)$
顶点与最值：开 口向上的抛物线 顶点为最低点， 开口向下的抛物 线顶点为最高点
对称轴
二次函数的图像关 于对称轴对称
对称轴的方程为 x=-b/2a
பைடு நூலகம்
通过对称轴可以快 速找到函数的最大 值或最小值
对称轴是二次函数 图像的一个重要特 征
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图像形状：二次函数的图像是抛物 线，一次函数的图像是直线
顶点位置：二次函数的顶点位置由 a、b、c的系数决定，一次函数的 顶点是原点(0,0)
与反比例函数的比较
表达式：二次函数的一 般形式为 y=ax^2+bx+c，反比 例函数的一般形式为 y=k/x。
图像：二次函数的图 像是一个抛物线，反 比例函数的图像是两 条双曲线。