人教A版高中数学选修2-2课件：1.1.1变化率问题(共23张PPT)

f (x2) f (x1) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率 y f (x2) f (x1)
x
x2 x1
3.思想方法：特殊到一般，无限逼近(极限)的思想．
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小结：
求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
y f(x2) f (x1)
x
x2 x1
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问题２ 高台跳水
某运动员的教练在观看了十米跳水后，收集 数据整理后得到他学生跳水的高度h(单位：米)与 时间t （单位：秒）的函数关系是： h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
S=πr2
“割之弥细，所失弥少，割 之又割，以至于不可割， 则与圆合体，而无所失 矣”． ——“割圆术”．6
17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的 研究，牛顿和莱布尼茨在前人的探索与研究的基础上, 几 乎同时创立了微积分,使它成为数学的一个重要分支.
莱
牛
布
顿
尼
茨
它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率．
y f (x2) f (x1)
x
x2 x1
f(x1x)f(x1) x
注意:式子中△x 、△y的值可正、可负，但△x值不能为0， △y的值可以为0.
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• 观察函数f(x)的图象
平y均变f化(x率2) f (x1)
x
x2 x1
表示什么?
y
y=f(x)
第３类:求曲线y=x2-lnx+1在区间[0.5,2] 上的最值.
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微积分主要与四类问题的 处理相关:
• 四、求积问题．求曲线的弧长，曲线所围图形 的面积，曲面所围立体的体积，物体的重心．
我国三国时期的刘徽，他
运用无限逼近(极限)思想 证明圆面积公式.
刘徽认为当圆内接正多边 形边数逐步增加时，其面 积无限逼近圆圆面积．
请分别计算下列不同时间段内的平均速度 v
(1)0≤t≤1;(2)0.5≤t≤1.5;(3) 0 t 65 49
v 1 .6 v 3.3 v 0
探究:(1)在上述时间段里的平均速度分别为正数、负 数或0的时候，你知道其运动状态是怎样的吗？
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问题２ 高台跳水
某运动员的教练在观看了十米跳水后，收集 数据整理后得到他学生跳水的高度h(单位：米)与 时间t （单位：秒）的函数关系是： h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
变化率问题
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பைடு நூலகம்
问题:
已知运动物体的位移s与时间t的关系式为:
s(t)=－4.9t2+6.5t+10
求:(1)在0≤t≤1时间段内的平均速度. (2)t=1时的速度v.
微积分
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微积分主要与四类问题的 处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
第1类：已知s(t)=－4.9t2+6.5t+10, 求当t=1秒时速度v与加速度a.
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒） 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
你能求出t=1秒时的瞬时速度吗?
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课堂练习:
如果质点A按规律 s t 3
求：（１）在1≤t≤3内的平均速度. (2)在t=3时的瞬时速度.
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小结：
•
y 1.函数的平均变化率 x
请分别计算下列不同时间段内的平均速度 v h
(1)0≤t≤1;(2)0.5≤t≤1.5;(3) 0 t 65
49
(4)t1≤t≤t2(落水之前) v h(t2)h(t1)
t2 t1
o
t
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问题1 气球膨胀率
r(V ) 3 3V
4
V1
增加到
V2
时,气球的平均膨胀率是
r
(V2 ) V2
r (V1 V1
请分别计算下列不同时间段内的平均速度 v
(1)0≤t≤1;(2)0.5≤t≤1.5;(3) 0 t 65 物体在某49一时刻的速
v 1 .6 v 3.3 v 度称0为瞬时速度
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 平均速度不能准确刻画运动员在某一时刻运动的状态．
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问题２ 高台跳水
3
微积分主要与四类问题的 处理相关:
• 二、求曲线的切线．这是一个纯几何的问题， 但对于科学应用具有重大意义．例如在光学中， 透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知 识．在运动中也遇到曲线的切线问题．
第2类:已知曲线y=f(x), 求点A处的切线方程.
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微积分主要与四类问题的 处理相关:
• 三、求函数的最大值和最小值问题．在弹道 学中这涉及到炮弹的射程问题．在天文学中 涉及到行星和太阳的最近和最远距离．
r(V2) r(V1) V2 V1
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问题２ 高台跳水
北京时间2010年11月26日下午，在奥体游泳馆进 行的广州亚运会跳水男子10米跳台决赛中，中国选 手曹缘以总分557.15分的成绩夺得金牌.
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问题２ 高台跳水
某运动员的教练在观看了十米跳水后，收集 数据整理后得到他学生跳水的高度h(单位：米)与 时间t （单位：秒）的函数关系是： h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
)
问题２ 高台跳水 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
是 h(t2 ) h(t1 ) t2 t1
思考：如果把这两个函数推广到一般函 数y=f(x)，平均膨胀率与平均速度统称 为平均变化率，你会描述f(x)在[x1,x2]的 平均变化率吗？
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平均变化率定义：
式子
f
(x2 ) x2
f (x1) x1
时代意义的伟大创造,是数学史上的里程碑,是人类
智慧最伟大的成就之一.
如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是
树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主
要部分就是微积分．
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导数是微积分的核心概念之一.它是 研究函数增减、变化快慢、最大（小） 值等问题最一般、最有效的工具．
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• 问题1 气球膨胀率
表示的是连接两点
f(x2)
B
A (x 1,f(x 1)B )(x ,2,f(x2))
△y
直线的斜率．
f(x1)
A △x
O
x1 x2 x
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练习：
已知函数f(x)=－x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及
临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 ＝（ D） y x
A．3 B．3Δx-(Δx)2 C．3-(Δx)2 D．3-Δx
大家都玩过气球，吹过气球，我们都会有这 个一样感受：“气球越来越难吹”．（假如我们每
次吹气的频率与气量是一样的且气球是标准的球体）
你能否从数学角度来解释呢？
当吹进去的气体相同时，气球膨胀越来越慢． 即:气球半径的增加量越来越小.
气球膨胀率是刻画气球变化快慢 气球膨胀图 的重要指标．
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思考：当空气容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率是多少?