【精品】2016年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期期中数学试卷带解析答案

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江苏省泰兴中学2015-2016学年高二10月阶段检测数学试题 含答案(1)

江苏省泰兴中学2015-2016学年高二10月阶段检测数学试题 含答案(1)

江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一.填空题(共14题,每题5分,共70分;请将答案写在答题纸指定区域)1.命题“2,80x Q x∃∈-=”的否定是.2。

椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7,则点P 到右焦点的距离为。

3.双曲线22221124x y m m-=+-的焦距为 .4.抛物线2y x =的准线方程为 。

5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写)6。

已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±,则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24xy =上一点M 到焦点的距离为3,则点M 到x 轴的距离为 。

8.在平面直角坐标系xOy 中,已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点,△ABC的顶点C 在双曲线的右支上,则sin sin sin A B C-的值是____________.9.已知0,1a a >≠,命题p :函数log (1)ay x =+在(0,+∞)上单调递减,命题q :曲线2(23)1y xa x =+-+与x 轴交于不同的两点,若p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,则实数a 的取值范围是 .10。

已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点,若直线2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为____ __。

11。

已知点(0,2)A ,抛物线22,(0)ypx p =>的焦点为F ,准线为l ,线段FA 交抛物线于点B ,过B 作l 的垂线,垂足为M ,若AM MF ⊥,则p =__________.12。

已知椭圆E :22142x y +=,直线l 交椭圆于,A B 两点,若AB 的中点坐标为1(1,)2-,则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ,且2AB =,动点P 在抛物线22yx =上,则PAB ∆面积的最小值是。

2016-2017学年江苏省泰州中学高二上学期期中数学试卷与解析

2016-2017学年江苏省泰州中学高二上学期期中数学试卷与解析

2016-2017学年江苏省泰州中学高二(上)期中数学试卷一、填空题(每题5分,共70分)1.(5分)命题“∃x∈R,cosx≥﹣1”的否定是.2.(5分)双曲线的渐近线方程为.3.(5分)若f(x)=1﹣cosx,则f'(α)等于.4.(5分)函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0,3]上的最大值是.5.(5分)抛物线x2=4y的焦点坐标为.6.(5分)P在曲线上移动,在点P处的切线的斜率为k,则k的取值范围是.7.(5分)“m=3”是“椭圆的焦距为2”的.(填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”)8.(5分)函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值,则a的范围是.9.(5分)若抛物线C:y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4,则点A到坐标原点O的距离为.10.(5分)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为.11.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=1相交,则双曲线C离心率的取值范围是.12.(5分)若函数f(x)=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是.13.(5分)已知椭圆的离心率,分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一点,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,则直线PA的斜率为.14.(5分)设函数y=的图象上存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点),且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是.二、解答题(共90分)15.(14分)根据下列条件,分别写出椭圆的标准方程:(1)与椭圆有公共焦点,且过M(3,﹣2);(2)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点和.16.(14分)已知命题p:函数在区间(m,m+1)上单调递减,命题q:实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆.(1)当p为真命题时,求m的取值范围;(2)若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求m的取值范围.17.(14分)设函数f(x)=x3﹣6x+5,x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)求曲线f(x)过点(1,0)的切线方程.18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的左焦点为F,右顶点为A,动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点),设线段FM交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为,点M的横坐标为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若∠FPA为直角,求P点坐标;(3)设直线PA的斜率为k1,直线MA的斜率为k2,求k1•k2的取值范围.19.(16分)已知左焦点为F(﹣1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.20.(16分)已知函数f(x)=lnx.(1)求函数g(x)=f(x+1)﹣x的最大值;(2)若对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围;(3)若x1>x2>0,求证:>.2016-2017学年江苏省泰州中学高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(每题5分,共70分)1.(5分)命题“∃x∈R,cosx≥﹣1”的否定是∀x∈R,cosx<﹣1.【解答】解:命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,即∀x∈R,cosx<﹣1,故答案为:∀x∈R,cosx<﹣1.2.(5分)双曲线的渐近线方程为.【解答】解:∵双曲线,∴双曲线的渐近线方程为=0,即.故答案为.3.(5分)若f(x)=1﹣cosx,则f'(α)等于sinα.【解答】解:f(x)=1﹣cosx的导数为f′(x)=sinx,则f'(α)=sinα.故答案为:sinα.4.(5分)函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0,3]上的最大值是5.【解答】解:由题意y′=6x2﹣6x﹣12令y′>0,解得x>2或x<﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在(0,2)单调递减,在(2,3)上单调递增,因为f(0)=﹣12,f(2)=﹣15,f(3)=5故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0,3]上最大值是5,故答案为:5.5.(5分)抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1).【解答】解:抛物线x2=4y的焦点在y轴上,开口向上,且2p=4,∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1)故答案为:(0,1)6.(5分)P在曲线上移动,在点P处的切线的斜率为k,则k的取值范围是k≥1.【解答】解:设切点P(x0,y0),在此点的切线的斜率为k.∵,∴f′(x)=3x2+1,∴f′(x0)=3x02+1,(x0∈R).∴斜率k=3x02+1≥1,故答案为:k≥1.7.(5分)“m=3”是“椭圆的焦距为2”的充分不必要条件.(填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”)【解答】解:若m=3,则c2=4﹣3=1,c=1,2c=2,椭圆的焦距是2,是充分条件,若椭圆的焦距是2,则c=1,故m﹣4=1或4﹣m=1,解得:m=5或m=3,不是必要条件,故答案为:充分不必要条件.8.(5分)函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值,则a的范围是{a|a<﹣1或a>2} .【解答】解:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),要使函数f(x)有极大值又有极小值,需f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)=0有两个不等的实数根,所以△=36a2﹣36(a+2)>0,解得a<﹣1或a>2.故答案为:{a|a<﹣1或a>2}9.(5分)若抛物线C:y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4,则点A到坐标原点O的距离为.【解答】解:设A点坐标为(x,y),根据抛物线定义可知x+1=4,解得x=3,代入抛物线方程求得y=±2,∴A点坐标为:(3,±2),∴A到坐标原点的距离为=.故答案为:.10.(5分)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为.【解答】解:设函数y=f(x)﹣g(x)=x2﹣lnx(x>0),则y′=2x﹣=,令y′=0得,x=或x=舍去,所以当时,y′<0,函数在(0,)上为单调减函数,当时,y′>0,函数在(,+∞)上为单调增函数,所以当x=时,函数取得唯一的极小值,即最小值为:=,则所求t的值为,故答案为:.11.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=1相交,则双曲线C离心率的取值范围是.【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3b2<a2,∴c2=a2+b2<a2,∴e=<∵e>1∴1<e<.故答案为:12.(5分)若函数f(x)=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是(﹣∞,2ln2﹣2).【解答】解:∵函数f(x)=x2﹣e x﹣ax,∴f′(x)=2x﹣e x﹣a,∵函数f(x)=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间,∴f′(x)=2x﹣e x﹣a>0,即a<2x﹣e x有解,令g′(x)=2﹣e x,g′(x)=2﹣e x=0,x=ln2,g′(x)=2﹣e x>0,x<ln2,g′(x)=2﹣e x<0,x>ln2∴当x=ln2时,g(x)max=2ln2﹣2,∴a<2ln2﹣2即可.故答案为:(﹣∞,2ln2﹣2)13.(5分)已知椭圆的离心率,分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一点,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,则直线PA的斜率为.【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),B(a,0),P(x,y),椭圆的离心率e====,整理得:a=2b,∴椭圆方程为:,∴y2=,则=﹣,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β,∴k PA=tanα=,k PB=tanβ=,∴tanα•tanβ=•==﹣,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,∴tanα,tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根,解得:x=,∴直线PA的斜率k PA=tanα=,故答案为:.14.(5分)设函数y=的图象上存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点),且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是(0,] .【解答】解:假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在y轴两侧.不妨设P(t,f(t))(t>0),则Q(﹣t,t3+t2),∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,∴•=0,即﹣t2+f(t)(t3+t2)=0(*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.若0<t<e,则f(t)=﹣t3+t2代入(*)式得:﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0即t4﹣t2+1=0,而此方程无解,因此t≥e,此时f(t)=alnt,代入(*)式得:﹣t2+(alnt)(t3+t2)=0,即=(t+1)lnt(**)令h(x)=(x+1)lnx(x≥e),则h′(x)=lnx+1+>0,∴h(x)在[e,+∞)上单调递增,∵t≥e∴h(t)≥h(e)=e+1,∴h(t)的取值范围是[e+1,+∞).∴对于0<a≤,方程(**)总有解,即方程(*)总有解.故答案为:(0,].二、解答题(共90分)15.(14分)根据下列条件,分别写出椭圆的标准方程:(1)与椭圆有公共焦点,且过M(3,﹣2);(2)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点和.【解答】解:(1)椭圆的焦点坐标为(,0),∵椭圆过M(3,﹣2),∴2a=+=2,∴a=,b=,∴椭圆的标准方程为;(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0).∵椭圆经过两点和,∴,∴m=,n=,∴椭圆的标准方程为.16.(14分)已知命题p:函数在区间(m,m+1)上单调递减,命题q:实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆.(1)当p为真命题时,求m的取值范围;(2)若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求m的取值范围.【解答】解:(1)∵∴,当x∈(0,3)时,f′(x)<0,函数为减函数,当p为真命题时,,解得:0≤m≤2…(6分)(2)若q为真命题,则:5﹣m>m﹣1>0,解得:1<m<3…(10分)若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,则命题p,q一真一假,故,或解得:0≤m≤1或2<m<3…(14分)17.(14分)设函数f(x)=x3﹣6x+5,x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)求曲线f(x)过点(1,0)的切线方程.【解答】解:(1)f'(x)=3(x2﹣2),令f'(x)=0,得,∴当或时,f'(x)>0;当时,f'(x)<0,∴f(x)的单调递增区间是和,单调递减区间是;当x=﹣,f(x)有极大值5+4;当x=,f(x)有极小值5﹣4;(2)设切点为(m,n),则切线的斜率为3(m2﹣2),切线的方程为y﹣(m3﹣6m+5)=3(m2﹣2)(x﹣m),代入(1,0),可得﹣(m3﹣6m+5)=3(m2﹣2)(1﹣m),化为(m﹣1)2(2m+1)=0,解得m=1或m=﹣,则斜率为﹣3或﹣,可得切线的方程为y=﹣3x+3或y=﹣x+.18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的左焦点为F,右顶点为A,动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点),设线段FM交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为,点M的横坐标为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若∠FPA为直角,求P点坐标;(3)设直线PA的斜率为k1,直线MA的斜率为k2,求k1•k2的取值范围.【解答】解:(1)由题意可知:离心率e==,准线方程x==,解得:a=3,c=2,由b2=a2﹣c2=5,∴求椭圆C的标准方程为;…(4分)(2)由∠FPA为直角,∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点,设P(x,±),∴圆心为O(,0),半径为,∴丨PO丨=,即=,整理得:4x2﹣9x﹣9=0,解得:x=﹣或x=3(舍去),∴y=±=±,∴P点坐标为:…(8分)(3)设点P(x1,y1)(﹣2<x1<3),点,∵点F,P,M共线,x1≠﹣2,∴,即,∴,…(10分)∵,∴,…(12分)又∵点P在椭圆C上,∴,∴,…(14分)∵﹣2<x1<3,∴,故k1•k2的取值范围为…(16分)19.(16分)已知左焦点为F(﹣1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.【解答】(1)解:由题意c=1,且右焦点F′(1,0)∴2a=EF+EF′=,b2=a2﹣c2=2∴所求椭圆方程为;(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则①,②②﹣①,可得k1==﹣=﹣;(3)证明:由题意,k1≠k2,设M(x M,y M),直线AB的方程为y﹣1=k1(x﹣1),即y=k1x+k2,代入椭圆方程并化简得()x2+6k1k2x+=0∴,同理,,当k1k2≠0时,直线MN的斜率k==直线MN的方程为y﹣=(x﹣)即此时直线过定点(0,﹣)当k 1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点(0,﹣)综上,直线MN恒过定点,且坐标为(0,﹣).20.(16分)已知函数f(x)=lnx.(1)求函数g(x)=f(x+1)﹣x的最大值;(2)若对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围;(3)若x1>x2>0,求证:>.【解答】解:(1)∵f(x)=lnx,∴g(x)=f(x+1)﹣x=ln(x+1)﹣x,x>﹣1,∴.当x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0,∴g(x)在(﹣1,0)上单调递增;当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,则g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴g(x)在x=0处取得最大值g(0)=0.(2)∵对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,∴在x>0上恒成立,进一步转化为,设h(x)=,则,当x∈(1,e)时,h′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x).要使f(x)≤ax恒成立,必须a.另一方面,当x>0时,x+,要使ax≤x2+1恒成立,必须a≤2,∴满足条件的a的取值范围是[,2].(3)当x1>x2>0时,>等价于.令t=,设u(t)=lnt﹣,t>1则>0,∴u(t)在(1,+∞)上单调递增,∴u(t)>u(1)=0,∴>.。

【精品】2016年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中数学试卷带解析答案(文科)

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2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二(上)期中数学试卷(文科)一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸相应的答题线上.)1.(5分)设命题P:∃x∈R,x2>1,则¬P为.2.(5分)函数y=x2+x在区间[1,2]上的平均变化率为.3.(5分)函数y=xe x的极小值为.4.(5分)已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M到y轴的距离为.5.(5分)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b=.6.(5分)设p:x<3,q:﹣1<x<3,则p是q成立的条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空).7.(5分)已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是.8.(5分)若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2,则椭圆的标准方程为.9.(5分)若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,则m=.10.(5分)若函数y=ax+sinx在R上单调增,则a的最小值为.11.(5分)已知椭圆的右焦点为F.短轴的一个端点为M,直线l:3x﹣4y=0,若点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是.12.(5分)已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,C上一点P满足,则△PF1F2的内切圆面积为.13.(5分)如图平面直角坐标系xOy中,椭圆,A1,A2分别是椭圆的左、右两个顶点,圆A1的半径为2,过点A2作圆A1的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆于点Q.则=.14.(5分)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=﹣1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定正确的有①,②,③,④f()>.二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(14分)已知a∈R,命题p:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”.(Ⅰ)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.16.(14分)设函数(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求f(x)在区间[1,e]上的最值.17.(14分)已知函数f(x)=x3+alnx(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当a=0时,求曲线y=f(x)过点(1,f(1))处的切线方程.18.(16分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A 的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为(Ⅰ)求E的离心率e;(Ⅱ)设点C的坐标为(0,﹣b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.19.(16分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(﹣c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(Ⅰ)求直线FM的斜率;(Ⅱ)求椭圆的方程;(Ⅲ)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.20.(16分)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x >0时,xf′(x)﹣f(x)<0,(Ⅰ)判断函数g(x)的奇偶性;(Ⅱ)证明函数g(x)在(0,+∞)上为减函数;(Ⅲ)求不等式f(x)>0的解集.2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸相应的答题线上.)1.(5分)设命题P:∃x∈R,x2>1,则¬P为∀x∈R,x2≤1.【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以:设命题P:∃x∈R,x2>1,则¬P为:∀x∈R,x2≤1故答案为:∀x∈R,x2≤1;2.(5分)函数y=x2+x在区间[1,2]上的平均变化率为4.【解答】解:∵f(x)=x2+x,∴f(1)=2,f(2)=6,∴该函数在区间[1,2]上的平均变化率为=4,故答案为:4.3.(5分)函数y=xe x的极小值为.【解答】解:求导函数,可得y′=e x+xe x,令y′=0可得x=﹣1令y′>0,可得x>﹣1,令y′<0,可得x<﹣1∴函数在(﹣∞,﹣1)上单调减,在(﹣1,+∞)上单调增∴x=﹣1时,函数y=xe x取得极小值,极小值是.故答案为:.4.(5分)已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M到y轴的距离为2.【解答】解:∵抛物线方程为y2=4x∴焦点为F(1,0),准线为l:x=﹣1设所求点坐标为M(x,y)作MQ⊥l于Q根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离即x+1=3,解之得x=2,代入抛物线方程求得y=±4故点M坐标为:(2,y)即点M到y轴的距离为2故答案为:2.5.(5分)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b=.【解答】解:双曲线x2﹣=1(b>0)的焦点为(,0),(﹣,0),由题意可得=2,解得b=.故答案为:.6.(5分)设p:x<3,q:﹣1<x<3,则p是q成立的必要不充分条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空).【解答】解:∵p:x<3,q:﹣1<x<3,由q⇒p,反之不成立.∴p是q成立的必要不充分条件;故答案为:必要不充分.7.(5分)已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1.【解答】解:设双曲线方程为y2﹣x2=λ,代入点,可得3﹣=λ,∴λ=﹣1,∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1.故答案为:x2﹣y2=1.8.(5分)若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2,则椭圆的标准方程为+=1.【解答】解:设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意可得c=1,即有a2﹣b2=1,又椭圆过点,即有+=1,解方程可得a=2,b=,则椭圆方程为+=1.故答案为:+=1.9.(5分)若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,则m=1或2.【解答】解:等轴双曲线的离心率为,即有椭圆的离心率为,若椭圆的焦点在x轴上,则a2=2,b2=m2,c2=2﹣m2,即有e2===,解得m=1;若椭圆的焦点在y轴上,则b2=2,a2=m2,c2=m2﹣2,即有e2===,解得m=2.综上可得m=1或2.故答案为:1或2.10.(5分)若函数y=ax+sinx在R上单调增,则a的最小值为1.【解答】解:y′=a+cosx;∵y=ax+sinx在R上单调增;∴a+cosx≥0;∴a≥﹣cosx;﹣cosx的最大值为1;∴a≥1;即a的最小值为1.故答案为:1.11.(5分)已知椭圆的右焦点为F.短轴的一个端点为M,直线l:3x﹣4y=0,若点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是(0,] .【解答】解:椭圆的短轴的一个端点为M(0,b),点M到直线l的距离不小于,即为≥,即有1≤b<2,又a=2,c=,则e==∈(0,].故答案为:(0,].12.(5分)已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,C上一点P满足,则△PF1F2的内切圆面积为4π.【解答】解:∵椭圆,∴a2=49,b2=24,可得c2=a2﹣b2=25,即a=7,c=5,设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m+n=2a=14,m2+n2=(2c)2=100,可得2mn=96,即mn=48,∴|PF1|•|PF2|=48,∵PF1⊥PF2,得∠F1PF2=90°,∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|=×48=24,由S=r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=r•(2a+2c)=12r(r为内切圆的半径),由12r=24,解得r=2,则所求内切圆的面积为4π.故答案为:4π.13.(5分)如图平面直角坐标系xOy中,椭圆,A1,A2分别是椭圆的左、右两个顶点,圆A1的半径为2,过点A2作圆A1的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆于点Q.则=.【解答】解:连结PO、PA1,可得△POA1是边长为2的等边三角形,∴∠PA1O=∠POA1=60°,可得直线PA1的斜率k1=tan60°=,直线PO的斜率k2=tan120°=﹣,因此直线PA1的方程为y=(x+2),直线PO的方程为y=﹣x,设P(m,n),联解PO、PA1的方程可得m=﹣1.∵圆A1与直线PA2相切于P点,∴PA2⊥PA1,可得∠PA2O=90°﹣∠PA1O=30°,直线PA2的斜率k=tan150°=﹣,因此直线PA2的方程为y=﹣(x﹣2),代入椭圆,消去y,得x2﹣x+=0,解之得x=2或x=.∵直线PA2交椭圆于A2(2,0)与Q点,∴设Q(s,t),可得s=.由此可得====.故答案为:.14.(5分)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=﹣1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定正确的有①③①,②,③,④f()>.【解答】解;∵f′(x)=,f′(x)>k>1,∴>k>1,即>k>1,x=时,f()+1>•k=1>0,故①正确,②错误;当x=时,f()+1>×k=,即f()>﹣1=,故f()>,故③正确,④错误;故选:①③.二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(14分)已知a∈R,命题p:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”.(Ⅰ)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.【解答】解:(I)由命题p为真命题,a≤x2min,a≤1;(II)由命题“p∧q”为假命题,所以p为假命题或q为假命题,p为假命题时,由(I)a>1;q为假命题时△=4a2﹣4(2﹣a)<0,﹣2<a<1,综上:a∈(﹣2,1)∪(1,+∞).16.(14分)设函数(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求f(x)在区间[1,e]上的最值.【解答】解:(I)定义域为(0,+∞)…(2分)得,令f'(x)=0,x=2所以f(x)的单调减区间为(0,2)单调增区间为(2,+∞)…(6分)(II)由(I),f(x)在[1,2]减,在[2,e]增,所以f(x)min=f(2)=2﹣4ln2…(9分)又f(1)=,…(11分)因为所以f(x)min=f(2)=2﹣4ln2,…(14分)17.(14分)已知函数f(x)=x3+alnx(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当a=0时,求曲线y=f(x)过点(1,f(1))处的切线方程.【解答】解:(I)由函数f(x)=x3+lnx,f(1)=1,,f'(1)=4,所以在(1,f(1))处的切线方程为y﹣1=4(x﹣1),即4x﹣y﹣3=0;(II)函数f(x)=x3,f'(x)=3x2,设过(1,1)的直线与曲线相切于(m,n),则切线方程为y﹣1=3m2(x﹣1),所以,得或,所求切线方程为3x﹣y﹣2=0,3x﹣4y+1=0.18.(16分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A 的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为(Ⅰ)求E的离心率e;(Ⅱ)设点C的坐标为(0,﹣b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.【解答】解:(I)∵点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,∴,∵A(a,0),B(0,b),∴=.∵,∴,a=b.∴=.(II)由(I)可得直线AB的方程为:=1,N.设点N关于直线AB的对称点为S,线段NS的中点T,又AB垂直平分线段NS,∴,解得b=3,∴a=3.∴椭圆E的方程为:.19.(16分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(﹣c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(Ⅰ)求直线FM的斜率;(Ⅱ)求椭圆的方程;(Ⅲ)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵离心率为,∴==,∴2a2=3b2,∴a2=3c2,b2=2c2,设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c),∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,∴圆心(0,0)到直线FM的距离d=,∴d2+=,即()2+=,解得k=,即直线FM的斜率为;(Ⅱ)由(I)得椭圆方程为:+=1,直线FM的方程为y=(x+c),联立两个方程,消去y,整理得3x2+2cx﹣5c2=0,解得x=﹣c,或x=c,∵点M在第一象限,∴M(c,c),∵|FM|=,∴=,解得c=1,∴a2=3c2=3,b2=2c2=2,即椭圆的方程为+=1;(Ⅲ)设动点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,∵F(﹣1,0),∴t=,即y=t(x+1)(x≠﹣1),联立方程组,消去y并整理,得2x2+3t2(x+1)2=6,又∵直线FP的斜率大于,∴>,6﹣2x2>6(x+1)2,整理得:x(2x+3)<0且x≠﹣1,解得﹣<x<﹣1,或﹣1<x<0,设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),联立方程组,消去y并整理,得m2=﹣.①当x∈(﹣,﹣1)时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,∴m=,∴m∈(,);②当x∈(﹣1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,∴m=﹣,∴m∈(﹣∞,﹣);综上所述,直线OP的斜率的取值范围是:(﹣∞,﹣)∪(,).20.(16分)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x >0时,xf′(x)﹣f(x)<0,(Ⅰ)判断函数g(x)的奇偶性;(Ⅱ)证明函数g(x)在(0,+∞)上为减函数;(Ⅲ)求不等式f(x)>0的解集.【解答】解:(I)因为f(x)(x∈R)是奇函数,所以,所以g(x)是偶函数…(4分)(II)因为当x>0时xf'(x)﹣f(x)<0,所以,所以g(x)在(0,+∞)上为减函数…(8分)(III)由(I)f(﹣1)=0,g(﹣1)=g(1)=0,…(10分)x>0时f(x)>0等价于,即g(x)>g(1),由(II)所以0<x<1,…(12分)x<0时f(x)>0等价于,即g(x)>g(﹣1),由(I)(II)g(x)在(﹣∞,0)上为增函数,所以x<﹣1.…(14分)综上不等式f(x)>0的解集为(﹣∞,﹣1)∪(0,1)…(16分)赠送:初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型:图形特征:BAPl运用举例:1. △ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为AP的中点,则MF的最小值为EM FB2.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为AB的中点,F为AC上一动点,则EF+BF的最小值为_________。

江苏省泰兴中学高二数学上学期期中试题 理

江苏省泰兴中学高二数学上学期期中试题 理

江苏省泰兴中学高二数学(理科)期中考试试题一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位置上.......... 1、已知复数23z i =-,则复数z 的虚部为 .2、命题:“2,10x R x x ∀∈-->”的否定是 .3、复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭.4、双曲线221y x -=的渐近线方程为 . 5、抛物线2y x =的焦点坐标为 .6、观察下列各式:211=,2132+=,21353++=,213574+++=,L 从中归纳出一般结论: . 7、焦点在x 轴上,离心率45e =,焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的标准方程为 . 8、已知函数4y x =-的定义域为A ,集合{}|B x x a =≤,若P :“x A ∈”是Q :“x B ∈”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .9、已知动点(),P x y 在曲线22:1169x y C -=上,定点Q 的坐标为()5,0Q ,则线段PQ 长度的最小值为 .10、已知121212,,||||1,||3z z C z z z z ∈==+=,则12||z z -= .11、已知集合()||||,|132x y A x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭,()22,|194x y B x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭,则命题“():,p x y A ∈”是命题“():,q x y B ∈”的 条件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”)12、下列四个命题:①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;②命题“设,a b R ∈,若6a b +≠,则3a ≠或3b ≠”是一个假命题;③“2x >”是“112x <”的充分不必要条件;④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.其中真命题的个数是 .13、过点()1,2M 作直线l 交椭圆2212516x y +=于,A B 两点,若点M 恰为线段AB 的中点,则直线l的方程为 .14、过椭圆2211612x y +=的左顶点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点C ,交y 轴于点D ,P 为AC 中点,定点Q 满足:对于任意的()0k k ≠都有OP DQ ⊥,则Q 点的坐标为 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分14分)已知m R ∈,复数()()22231m m z m m i m -=++--,当m 为何值时,分别满足下列条件:(1)z R ∈;(2)z 对应的点位于复平面第二象限.16、(本题满分14分)已知()()21:|34|2,:0,:102p x q r x a x a x x ->>---<--.(1)p ⌝是q ⌝的什么条件?(2)若r ⌝是p ⌝的必要非充分条件,求实数a 的取值范围.17、(本题满分14分)设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点,M 是椭圆C 上一点,且直线2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求椭圆C 的方程.18、(本题满分16分)如图,某小区有一边长为2 (单位:百米)的正方形地块OABC ,其中OAE 是一个水池,计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计),切点为M ,并把该地块分为两部分.现以点O 为坐标原点,以线段OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,若池边AE 满足函数()2202y x x =-+≤≤的图象,且点M 到边OA 距离为2433t t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭. (1)当23t =时,求直路l 所在的直线方程; (2)当t 为何值时,地块OABC 在直路l 不含水池那侧的面积取到最大,最大值是多少?19、(本题满分16分)设i 为虚数单位,n 为正整数,[)0,2θπ∈.(1)用数学归纳法证明:()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+;(2)已知3z i =+,试利用(1)的结论计算10z ;20、(本题满分16分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为23+和23-,直线()0y kx k =>与AB 相交于点D ,与椭圆相交于,E F 两点.(1)求此椭圆的方程;(2)若6ED DF =u u u r u u u r,求斜率k 的值;(3)求四边形AEBF 面积的最大值.江苏省泰兴中学高二数学(理科)期中试题参考答案一、填空题:1、3-;2、2,10x R x x ∃∈--≤;3、1-;4、y x y x ==-和;5、10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭;6、()()213521*n n n N ++++-=∈L ;7、221259x y +=;8、4a >;9、1;10、1;11、充分不必要;12、2;13、825580x y +-=;14、()3,0- 二、解答题:15、解(1)2230,10m m z R m ⎧+-=∈∴⎨-≠⎩Q , ............................. 2分3m ∴=- .......................................................... 6分 (2)复数z 在复平面上对应点为()22,231m m m m m -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭, ............. 8分 依题意有()2201230m m m m m ⎧-<⎪-⎨⎪+->⎩......................................... 10分解之得()(),31,2m ∈-∞-U ......................................... 14分16、解 (1):|34|2,342342p x x x ->∴->-<-或,222,:233x x p x ∴><∴⌝≤≤或..................................... 2分 221:0,20,12,2q x x x x x x >-->∴<->--即或 ∴{}:|12q x x ⌝-≤≤, ............................................. 4分 ∴p ⌝是q ⌝的充分不必要条件. ...................................... 6分 (2)()():10,1r x a x a a x a ---<∴<<+.∴r ⌝:1x a x a ≤≥+或. ............................................ 8分 ∵r ⌝是p ⌝的必要非充分条件. ∴2121,233a a a a ≤+≤∴≥≤-或或................................ 12分∴a 的取值范围是1|23a a a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. .............................. 12分17、解:(1)记c =,则()()12,0,,0F c F c -,由题设可知2,b Mc a ⎛⎫⎪⎝⎭,则12232324MN F M b a k k b ac c ===⇒=, ..................................4分 2213,2()2c ca c ac e e a a ∴-=⇒====-或舍去; ....................6分 (2)记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2,则22||44b MF a =⇒=①, .... 8分 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫=∴=⇒-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r Q , ....................... 10分将N 的坐标代入椭圆方程得2229114c a b+=② ............................ 12分由①②及222c a b =-得2249,28a b ==,故所求椭圆C 的方程为2214928x y +=. ................................. 14分18、(1)214,39M ⎛⎫⎪⎝⎭, ................................................ 2分 :129220l x y +-=,.............................................. 6分 (2)()2,2M t t -+,过切点M 的切线()()2:22l y t t x t --+=--, 即222y tx t =-++,令2y =得2t x =,故切线l 与AB 交于点,22t ⎛⎫⎪⎝⎭; ... 8分令0y =,得122t x =+,又12t x t =+在24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减,所以11711,2126t x t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,故切线l 与OC 交于点1,02t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. ................................... 10分所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形, 面积111122442222t t S t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--+-⋅=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,............. 14分 当且仅当1t =时取等号,即1t =时max 2S =. ........................ 16分19、(1)证明:1o 当1n =时,左边=右边=cos sin i θθ+,所以命题成立; .. 2分 2o 假设当n k =时,命题成立,即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+, .... 4分 则当1n k =+时,()()()1cos sin cos sin cos sin k kx i i i θθθθθ++=++g()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)k i k i k k i k k k i k θθθθθθθθθθθθθθ=++=-++=+++ 1n k ∴=+当时,命题成立;........................................ 6分 综上,由1o和2o可得,()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ ............... 8分(2)31322cos sin 2266z i i i ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q , ................ 12分 10105513cos sin cos sin 663322z i i ππππ⎛⎫∴=+=+=- ⎪⎝⎭...............16分20、解(1))由题意,2323a c a c ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩ 解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩, ............... 2分故椭圆的方程为2214x y +=. .................................... 4分 (2)由(1)得,直线AB 的方程为220x y +-=.()222241444y kx k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩. ................................... 6分 设()()1111,,,E x kx F x kx --,()00,D x kx ,且1241x k =+则()()()()01011001,,,ED x x k x x DF x x k x x =--=---+u u u r u u u r,因为6ED DF =u u u r u u u r ,所以()01106x x x x -=--,即1057x x =-= 8分所以D ⎛⎫在直线AB220-=, 化简得2242560k k -+=,解得23k =,或38k =. .................... 10分 (3)AB =,E F 到直线AB 距离之和最大.E F d d +=............................ 12分421k +====..........................................14分因为0k >,所以E F d d +≤=, 当且仅当14k k =,即12k=时取“=”号.所以max 12S ==16分。

江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析

江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期中数学试卷(理科)一。

填空题(每题5分,共计70分)1.投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为.2.已知某算法的伪代码如图,根据伪代码,若函数g(x)=f(x)﹣m在R上有且只有两个零点,则实数m的取值范围是.3.如图,空间四边形O A BC中,=,=,=,点M在O A上,且=,点N为BC中点,则等于.(用向量表示)4.某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数应为.5.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x2+y2=.6.已知b为如图所示的程序框图输出的结果,则二项式(﹣)6的展开式中的常数项是.(用数字作答)7.如图,在正四面体ABCD中,点E为BC中点,点F为AD中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为.8.已知(x﹣m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35,则a1+a2+a3+…+a7=.9.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是.(请用分数表示结果)10.已知(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含x3项的系数为80.则(1+mx)n(1﹣x)6展开式中含x2项的系数为.11.袋中有4只红球3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤7)=.12.袋中混装着10个大小相同的球(编号不同),其中6只白球,4只红球,为了把红球与白球区分开来,采取逐只抽取检查,若恰好经过6次抽取检查,正好把所有白球和红球区分出来了,则这样的抽取方式共有种.(用数字作答)13.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如下表),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有种.1 2 34 5 67 8 914.已知数列{a n}为a0,a1,a2,a3,…,a n(n∈N),b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n,i∈N.若数列{a n}为等差数列a n=2n(n∈N),则(b i)=.二.解答题(本题包括六道大题共计90分,解答时请写出必要的计算或证明过程)15.“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80mg/100mL(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时,属醉酒驾车.”2015年9月26日晚8时开始,德阳市交警一队在本市一交通岗前设点,对过往的车辆进行抽查,经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名,如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.(1)求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数;(图中每组包括左端点,不包括右端点)(2)求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值;(3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组,第二组,…,第七组,在第五组和第七组的所有人中抽出两人,记他们的血液酒精浓度分别为x,y(mg/100mL),则事件|x﹣y|≤10的概率是多少?16.已知(+2x)n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.17.在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序(序号为1,2,…7),求:(1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率;(2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望.18.如图:已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,且C1C=CD=1.(1)试用,,表示,并求||;(2)求证:CC1⊥BD;(3)试判断直线A1C与面C1BD是否垂直,若垂直,给出证明;若不垂直,请说明理由.19.一个袋中装有黑球,白球和红球共n(n∈N*)个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是.现从袋中任意摸出2个球.(1)若n=15,且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是,设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ;(2)当n取何值时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大,最大概率为多少?20.数学运算中,常用符号来表示算式,如=a0+a1+a2+a3+…+a n,其中i∈N,n∈N*(Ⅰ)若a0、a1、a2、…a n成等差数列,且a0=0,公差d=1,求证:(a i C)=n•2n﹣1(Ⅱ)若(1+x)k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k,b n=,记d n=1+[(﹣1)i b i C]且不等式t•(d n﹣1)≤b n对于∀n∈N*恒成立,求实数t的取值范围.2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.填空题(每题5分,共计70分)1.投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果,满足条件的事件共4种结果,从而得到概率.【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果,满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12,有(2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2)共4种结果,∴要求的概率是=.故答案为:.2.已知某算法的伪代码如图,根据伪代码,若函数g(x)=f(x)﹣m在R上有且只有两个零点,则实数m的取值范围是(﹣∞,0)∪{1}.【考点】伪代码.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数y=的函数值;函数g(x)=f(x)﹣m在R上有且只有两个零点,则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=m的图象进行分析.【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数f(x)=的函数值;其函数图象如图所示:又∵函数g(x)=f(x)﹣m在R上有且只有两个零点,则由图可得m<0或m=1,故答案为:(﹣∞,0)∪{1}.3.如图,空间四边形O A BC中,=,=,=,点M在O A上,且=,点N为BC中点,则等于.(用向量表示)【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】连接AM,根据向量的加减运算三角形法则,求出,,即可求.【解答】解:由题意:=,=,=,∴,.点N为BC中点,那么:,=,则,连接AN,则,那么:===,故答案为:.4.某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数应为10.【考点】分层抽样方法.【分析】设从高三学生中抽取的人数应为x,根据分层抽样的定义和方法可得,由此求得x的值,即为所求.【解答】解:设从高三学生中抽取的人数应为x,根据分层抽样的定义和方法可得,解得x=10,故答案为10.5.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x2+y2=208.【考点】极差、方差与标准差.【分析】利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组,求解即可.【解答】解:由题意可得:x+y=20,(x﹣10)2+(y﹣10)2=8,解得则x2+y2=208,故答案为:208.6.已知b为如图所示的程序框图输出的结果,则二项式(﹣)6的展开式中的常数项是﹣540.(用数字作答)【考点】程序框图.【分析】根据题意,分析该程序的作用,可得b的值,再利用二项式定理求出展开式的通项,分析可得常数项.【解答】解:第一次循环:b=3,a=2;第二次循环得:b=5,a=3;第三次循环得:b=7,a=4;第四次循环得:b=9,a=5;不满足判断框中的条件输出b=9.∵(﹣)6=的展开式的通项为:=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540.故答案为:﹣540.7.如图,在正四面体ABCD中,点E为BC中点,点F为AD中点,则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为.【考点】异面直线及其所成的角.【分析】可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值,取一组空间基底为{},用这组基底分别表示出向量,可设正四面体的棱长为1,这样即可求出,,从而根据求出,这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值.【解答】解:,;设正四面体的棱长为1,则,=;=;∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.故答案为:.8.已知(x﹣m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35,则a1+a2+a3+…+a7=1或127.【考点】二项式系数的性质.【分析】由条件求得a0=(﹣m)7,根据展开式中x3的系数是35,求得m=±1.在(x﹣m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中,令x=1,可得(1﹣m)7=a0+a1+a2+…+a7 ①,分当m=1时和当m=﹣1时两种情况,分别由①求得a1+a2+a3+…+a7的值.【解答】解:∵(x﹣m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ,∴a0=(﹣m)7.又展开式中x3的系数是35,可得•(﹣m)4=35,∴m=±1.∴a0=(﹣m)7=±1.在(x﹣m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中,令x=1,可得(1﹣m)7=a0+a1+a2+…+a7 ①,当m=1时,a0=﹣1,由①可得0=﹣1+a1+a2+…+a7 ,即a1+a2+a3+…+a7=1.当m=﹣1时,a0=1,由①可得27=1+a1+a2+…+a7 ,即a1+a2+a3+…+a7=127,故答案为:﹣1或129.9.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是.(请用分数表示结果)【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】根据n次独立重复实验中至少发生k次的概率公式求得播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是即可.【解答】解:根据题意,播下4粒种子至少有2粒发芽即4次独立重复事件至少发生2次,由n次独立重复事件至少发生k次的概率的公式可得,P=•+•+=,故答案为:.10.已知(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含x3项的系数为80.则(1+mx)n(1﹣x)6展开式中含x2项的系数为﹣5.【考点】二项式系数的性质.【分析】由题意可得:2n=32,解得n=5,由(1+mx)5的展开式的通项公式,及其展开式中含x3项的系数为80.解得m=2.把(1+2x)5(1﹣x)6展开即可得出.【解答】解:由题意可得:2n=32,解得n=5,=(mx)r=m r x r,令r=3,(1+mx)5的展开式的通项公式:T r+1则=80,解得m=2.则(1+2x)5(1﹣x)6=,∴展开式含x2项的系数为=+﹣2=﹣5.故答案为:﹣5.11.袋中有4只红球3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤7)=.【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4,3,2,1个,黑球相应个数为0,1,2,3个,得分的随机变量ξ=4,6,8,10,由经能求出P(ξ≤7)的值.【解答】解:取出的4只球中红球个数的可能为4,3,2,1个,黑球相应个数为0,1,2,3个,∴得分的随机变量ξ=4,6,8,10,∴P(ξ≤7)=P(ξ=4)+P(ξ=6)==.故答案为:.12.袋中混装着10个大小相同的球(编号不同),其中6只白球,4只红球,为了把红球与白球区分开来,采取逐只抽取检查,若恰好经过6次抽取检查,正好把所有白球和红球区分出来了,则这样的抽取方式共有7920种.(用数字作答)【考点】进行简单的合情推理.【分析】根据题意,分2种情况讨论:①、前6次取出的全部为白球,②、前5次取出3个红球、2个白球,第6次取出红球,分别求出每种情况下的取法数目,再由分类计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,恰好经过6次抽取检查,正好把所有白球和红球区分开来,则一共有2种情况:①、前6次取出的全部为白球,需要将6个白球全排列,安排在前6次取出,有A66=720种情况,②、前5次取出3个红球、2个白球,第5次取出红球,需要在4个红球中取出3个,6只白球中取出2个,安排在前5次取出,第6次取出第4只红球,有C43C62A55=7200种情况,则一共有720+7200=7920种不同的抽取方式.故答案为:7920.13.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如下表),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有108种.1 2 34 5 67 8 9【考点】排列、组合的实际应用.【分析】当1,5,9,为其中一种颜色时,2,6共有4种可能,其中2种2,6是涂相同颜色,各有2种可能共6种可能.4,8及7,与2,6及3,一样有6种可能并且与2,6,3,颜色无关,当1,5,9换其他的颜色时也是相同的情况,相乘得到结果.【解答】解:首先看图形中的1,5,9,有3种可能,当1,5,9,为其中一种颜色时,2,6共有4种可能,其中2种2,6是涂相同颜色,各有2种可能共6种可能.4,8及7,与2,6及3,一样有6种可能并且与2,6,3,颜色无关.当1,5,9换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种,故答案为:10814.已知数列{a n}为a0,a1,a2,a3,…,a n(n∈N),b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n,i∈N.若数列{a n}为等差数列a n=2n(n∈N),则(b i)=(n2+3n)•2n﹣2.【考点】等差数列的通项公式.【分析】利用等差数列的求和公式可得:b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n==n(n+1).因此(b i)=1×2×++…+n(n+1),构造等式:x(x+1)n=+++…+,两边对x两次求导,令x=1即可得出.【解答】解:∵a n=2n(n∈N),∴b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n===n(n+1).∴(b i)=1×2×++…+n(n+1),∵x(x+1)n=+++…+,两边对x求导:(x+1)n+nx(x+1)n﹣1=1+2x+3x2+…+(n+1),两边对x求导:n(x+1)n﹣1+n(x+1)n﹣1+nx(x+1)n﹣2=1×2×+x+…+n(n+1)x n ﹣1,令x=1可得:(n2+3n)•2n﹣2=1×2×++…+n(n+1),故答案为:(n2+3n)•2n﹣2.二。

江苏省泰兴中学2015-2016学年高二12月阶段检测数学试题 含答案

江苏省泰兴中学2015-2016学年高二12月阶段检测数学试题 含答案

江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在相应位置上.1.已知z 是复数,i 是虚数单位,若i zi +=1,则z = ▲ . 2.命题“,sin 1R θθ∀∈≤"的否定是 ▲ .3.已知直线l 过直线02=+-y x 和012=++y x 的交点,且与直线023=+-y x 垂直,则直线l 的方程为 ▲ .4.已知平面上定点21,F F 及动点M .命题甲:“02||||21>=-a MF MF (a 为常数)";命题乙:“M 点轨迹是以21,F F 为焦点的双曲线”.则甲是乙的 ▲ 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)5.函数y =错误!+2ln x 的单调减区间为 ▲ .6.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 ▲ 。

7.与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且经过点()32,3-的双曲线方程为错误!.8.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y 2=4x 的焦点为F ,点P 在抛物线上,若PF =2,则点P 到抛物线顶点O 的距离是 ▲ . 9.已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足关系式2()3(2)ln f x x xf x'=++,则=)2('f ▲ .10.若x 轴是曲线()ln 3f x x kx =-+的一条切线,则k = ▲ . 11.设函数)()(2R a e axx f x ∈+=有且仅有两个极值点)(,2121x x x x <,则实数a 的取值范围是▲,________.为长12.ABC ∆中,1tan 3A =,4B π=.若椭圆E 以AB轴,且过点C ,则椭圆E 的离心率是▲ . 点O13.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原的对称点为,B F 为其右焦点,若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且ππ,,124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 ▲ . 14。

江苏省泰兴中学第一学期高二数学期中考试试卷

江苏省泰兴中学第一学期高二数学期中考试试卷

江苏省泰兴中学第一学期高二数学期中考试试卷一、选择题(5’×13=65’)1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0互相垂直,那么系数a= ( )A. -32B. –6C. -23D. 322.一条直线过点(5,2),且在两坐标轴上的截距相等,则满足条件的直线有 ( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ( )A. y=xB. x 2-y 2=0C. y=-xD. y=|x| 4.双曲线42x -52y =1的焦点坐标为( )A. (0,±1)B. (±1,0)C. (0, ±3)D. (±3,0) 5.如直线l 1、l 2的斜率是二次方程x 2-4x+1=0的两根,那么l 1和l 2的夹角是 ( )A.3π B. 4π C. 6π D. 8π6.M(3,0)是圆x 2+y 2-8x-2y+10=0内一点,过M 点最长的弦所在直线方程为 ( )A. x+y-3=0B. x-y-3=0C. 2x-y-6=0D. 2x+y-6=07.椭圆长轴是短轴的3倍,且过点(-3,0),则其标准方程为 ( )A. 92x +2y =1B. 812y +92x =1C. 92x +2y =1或92y +2x =1 D. 以上均不对8.设A 、B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程是 ( )A. x+y-5=0B. 2x-y-1=0C. 2y-x-4=0D. 2x+y-7=09.如直线ax+by=4与圆C :2x +2y =4有两个不同的交点, 那么点P(a,b)与圆C 的位置关系是 ( )A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不确定 10. 过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( )A. (x-3)2+(y+1)2=4B. (x+3)2+(y-1)2=4C. (x-1)2+(y-1)2=4D. (x+1)2+(y+1)2=411. 椭圆252x +92y =1上一点P 到右焦点的距离为6,则P 到左准线的距离是( )A.49 B. 415 C. 215D. 5 12. 已知定点P(x 0,y 0)不在直线l 1:f(x,y)=0上,则直线l :f(x,y)-f(x 0,y 0)=0与直线l 1和点P 的关系一定是 ( )A. 过P 且垂直l 1B. 过P 且平行于l 1C. 不过P 且垂直于l 1D. 不过P 且平行于l 113. a>1曲线y=a|x|和直线y-x-a=0有且仅有两个不同交点的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 二、填空题(5’×5=25’)14. 若方程52-k x -k y -32=-1表示的曲线是双曲线,则k 的取值范围是______________.15. 从椭圆2x +42y =1上任意一点P 向x 轴作垂线段PP’,且线段PP’上一点M 满足关系式|PP’|:|MP’|=3:2,则点M 的轨迹方程为_____________________. 16. 集合M={(x,y)|x=24y -},N={(x,y)|y=x+b},且M N=φ,则b 的取值范围是__________.17. 若点A(m,n)在直线y=-b a x-bc 2上(其中a,b,c 为直角三角形的三边,c 为斜边),则m 2+n 2的最小值为_______.18. 圆2x +(y-1)2=1上任意一点P(x,y)都使不等式x+y+c ≥0成立,则c 的最小值是_________.三、解答题(12’×5=60’)19. 分别求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程 (1)离心率e=22,焦点到相应准线的距离等于3;(2)经过两点P(-2,-3)和Q(315,2).20. 过点P(-3,0)作直线l 交椭圆11x 2+y 2=9于M 、N 两点,若以M 、N 为直径的圆恰好过椭圆中心,求直线l 的方程.21. 某工厂生产A 、B 两种产品,生产A 、B 所需的煤、电力、劳动力及产值如下表,每日所用的总量:煤不超过360吨,电不超过200千瓦,劳动力不超过300个,问每天两种产品各生产多少吨,才能使日产值最高?22. 椭圆252x +92y =1上有不同的三点A(x 1,y 1),B(4,59),C(x 2,y 2),它们与焦点F(4,0)的距离成等差数列. (1)求x 1+x 2的值;(2)求证线段AC 的垂直平分线过定点.23. 已知圆C 过定点A(0,a)(a>0)且在x 轴上截得的弦MN 的长为2a.(1) 求圆C 的圆心的轨迹方程; (2) 设|AM|=m ,|AN|=n ,求n m +mn的最大值及此时圆C 的方程.高二数学期中答案一、 1、D 2、B 3、B 4、D 5、A 6、B 7、D 8、A 9、A 10、C 11、D 12、B 13、A 二、14、(3,5) 15、x 2+169y 2=1 16、(-∞, -22)∪(2, +∞) 17、2 18、2-1 三、19、解:(1) a 2=2c 2 a 2=18,b 2=9c b 2=3 标准方程为:191822=+y x 或191822=+x y a 2=b 2+c 2(2)设所求方程为mx 2+ny 2=1则 2m+3n=11235=+n m m=1,n=-31 ∴x 2-31y 2=1 20、设l :x=my=3代入11x 2+y 2=9 (11m 2+1)y 2-223my+24=0 (*) OM ⊥ONx 1x 2+y 1y 2=(my 1-3) (my 2-3)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-3m(y 1+y 2)+3=0由韦达定理代入:0311166111)1(242222=++-++m m m m m=±3 且此时(*)式,△>0 ∴l :x ±3y-3=021、设生产A 、B 产品分别为x 、y 吨。

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期期中数学试卷与解析(文科)

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期期中数学试卷与解析(文科)

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期中数学试卷(文科)一、填空题(本题包括14个小题,每题5分,共70分)1.(5分)已知集合M={1,2,3,4,5,6},N={x|﹣2<x<5,x∈Z},则集合M∩N=.2.(5分)命题“∀x∈R,有x2+1≥x”的否定是.3.(5分)已知,则f(8)的函数值为.4.(5分)如图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为.5.(5分)超速行驶已成为马路上最大杀手之一,已知某中段属于限速路段,规定通过该路段的汽车时速不超过80km/h,否则视为违规.某天,有1000辆汽车经过了该路段,经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示,则违规的汽车大约为辆.6.(5分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x为7.(5分)如果函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+1减区间为(﹣∞,2),则实数a的值.8.(5分)向面积为S的△ABC内任投一点P,则△PBC的面积小于的概率为.9.(5分)设偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围是.10.(5分)函数y=x+的值域是.11.(5分)已知f(x)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上奇函数,且f(x+)f(x)=1,若f(﹣1)>1,f(2016)=,则a的范围.12.(5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.13.(5分)若关于x的方程(5x+)﹣|4x﹣|=m在(0,+∞)内恰有四个相异实根,则实数m的取值范围为.14.(5分)已知函数f(x)=(2x﹣a+1)ln(x+a+1)的定义域为(﹣a﹣1,+∞),若f(x)≥0恒成立,则a的值为.二、解答题(本题包含6大题,共90分)15.(14分)为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人.(I)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数;(Ⅱ)若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比,求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率.16.(14分)设集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2﹣5)=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.17.(15分)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R,x02+2x0﹣m﹣1=0,(1)若q是真命题,求m的范围;(2)若p∧(¬q)为真,求实数m的取值范围.18.(15分)市场上有一种新型的强力洗衣液,特点是去污速度快.已知每投放a(1≤a≤4,且a∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=a•f(x),其中f(x)=.若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效去污的作用.(Ⅰ)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(Ⅱ)若第一次投放2个单位的洗衣液,6分钟后再投放a个单位的洗衣液,要使接下来的4分钟中能够持续有效去污,试求a的最小值(按四舍五入精确到0.1).19.(16分)方程x2+(k﹣2)x+2k﹣1=0,(1)一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围.(2)两根都在(0,1)之间,求k的范围.(3)在(0,1)之间有一个零点,求k的范围.20.(16分)已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)当a=3时,方程f(x)=m的解的个数;(2)对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方,求a的取值范围;(3)f(x)在(﹣4,2)上单调递增,求a的范围.2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本题包括14个小题,每题5分,共70分)1.(5分)已知集合M={1,2,3,4,5,6},N={x|﹣2<x<5,x∈Z},则集合M∩N={1,2,3,4} .【解答】解:由集合N中的不等式﹣2<x<5,取整数解,得:x可以为﹣1,0,1,2,3,4,所以集合N={﹣1,0,1,2,3,4},则M∩N={1,2,3,4}.故答案为:{1,2,3,4}2.(5分)命题“∀x∈R,有x2+1≥x”的否定是∃x∈R,使x2+1<x.【解答】解:∵原命题“∀x∈R,有x2+1≥x”∴命题“∀x∈R,有x2+1≥x”的否定是:∃x∈R,使x2+1<x.故答案为:∃x∈R,使x2+1<x.3.(5分)已知,则f(8)的函数值为﹣76.【解答】解:∵已知,则f(8)=f(6)=f(4)=4﹣5×16=﹣76,故答案为﹣76.4.(5分)如图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为.【解答】解:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据为84,84,84,86,87,91,93,其平均值为=(84+84+86+84+87+91+93)=87,方差为s2=[(84﹣87)2+(84﹣87)2+(86﹣87)2+(84﹣87)2+(91﹣87)2+(93﹣87)2+(87﹣87)2]=,故答案为.5.(5分)超速行驶已成为马路上最大杀手之一,已知某中段属于限速路段,规定通过该路段的汽车时速不超过80km/h,否则视为违规.某天,有1000辆汽车经过了该路段,经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示,则违规的汽车大约为280辆.【解答】解:由频率分布直方图可得汽车超速的频率为0.020×10+0.008×10=0.28,故违规的汽车大约为1000×0.28=280辆,故答案为280.6.(5分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x为12【解答】解:模拟执行程序框图,可得x=1满足条件x是奇数,x=2不满足条件x是奇数,x=4,不满足条件x>8,x=5满足条件x是奇数,x=6,不满足条件x>8,x=7满足条件x是奇数,x=8,不满足条件x>8,x=9满足条件x是奇数,x=10,不满足条件x是奇数,x=12,满足条件x>8,退出循环,输出x的值为12.7.(5分)如果函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+1减区间为(﹣∞,2),则实数a的值﹣1.【解答】解∵抛物线f(x)=x2+2(a﹣1)x+2开口向上,对称轴方程是x=1﹣a,减区间为(﹣∞,2),∴1﹣a=2,解得a=﹣1,故答案为:﹣1.8.(5分)向面积为S的△ABC内任投一点P,则△PBC的面积小于的概率为.【解答】解:记事件A={△PBC的面积小于},基本事件空间是三角形ABC的面积,(如图)事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE是三角形的中位线),因为阴影部分的面积是整个三角形面积的,所以P(A)==.故答案为:.9.(5分)设偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围是().【解答】解:因为f(x)为偶函数,所以f(x)>f(2x﹣1)可化为f(|x|)>f(|2x﹣1|)又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以|x|>|2x﹣1|,即(2x﹣1)2<x2,解得x<1,所以x的取值范围是().故答案为:().10.(5分)函数y=x+的值域是(﹣∞,] .【解答】解析:令=t(t≥0),则x=1﹣t2,此时y=1﹣t2+t,(t≥0),所以y=﹣t2+t+1=﹣(t﹣)2+≤,所以原函数的值域为(﹣∞,].故答案为:(﹣∞,].11.(5分)已知f(x)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上奇函数,且f(x+)f(x)=1,若f(﹣1)>1,f(2016)=,则a的范围0<a<3.【解答】解:∵f(x+)f(x)=1,∴f(x+5)=f(x),∴f(x)是周期为5的周期函数,∵f(﹣1)>1,f(x)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上奇函数,∴﹣f(1)>1,∴f(1)<﹣1,∴f(2016)=f(403×5+1)=f(1)<﹣1,∴<﹣1,∴<0∴0<a<3.故答案为:0<a<3.12.(5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= 2.【解答】解:函数可化为f(x)==,令,则为奇函数,∴的最大值与最小值的和为0.∴函数f(x)=的最大值与最小值的和为1+1+0=2.即M+m=2.故答案为:2.13.(5分)若关于x的方程(5x+)﹣|4x﹣|=m在(0,+∞)内恰有四个相异实根,则实数m的取值范围为(6,10).【解答】解:当x≥1时,4x﹣≥0,∵方程,∴5x+﹣4x+=m,即x+=m;∵x+≥6;∴当m<6时,方程x+=m无解;当m=6时,方程x+=m有且只有一个解;当6<m<10时,方程x+=m在(1,+∞)上有两个解;当m=10时,方程x+=m的解为1,9;当x<1时,4x﹣<0,∵方程,∴5x++4x﹣=m,即9x+=m;∵9x+≥6;∴当m<6时,方程9x+=m无解;当m=6时,方程9x+=m有且只有一个解;当6<m<10时,方程9x+=m在(0,1)上有两个解;当m=10时,方程9x+=m的解为1,;综上所述,实数m的取值范围为(6,10).故答案为:(6,10).14.(5分)已知函数f(x)=(2x﹣a+1)ln(x+a+1)的定义域为(﹣a﹣1,+∞),若f(x)≥0恒成立,则a的值为.【解答】解:当0<x+a+1≤1时,﹣a﹣1<x≤﹣a时,有ln(x+a+1)≤0,∵f(x)≥0,∴2x﹣a+1≤0,x≤欲使∀x,f(x)≥0恒成立,则≥﹣a,∴a≥;当x+a+1>1时,x>﹣a时,有ln(x+a+1)>0,∵f(x)≥0,∴2x﹣a+1>0,x>欲使∀x,f(x)≥0恒成立,则≤﹣a,∴a≤;故a=.故答案为:.二、解答题(本题包含6大题,共90分)15.(14分)为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人.(I)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数;(Ⅱ)若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比,求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率.【解答】解:(I)家长委员会总数为54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数比为,所以从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数为3,1,2.(II)设A1,A2,A3为从高一抽得的3个家长,B1为从高二抽得的1个家长,C1,C2为从高三抽得的2个家长,从抽得的6人中随机抽取2人,全部的可能结果有:C62=15种,这2人中至少有一人是高三学生家长的结果有(A1,C1),(A1,C2),(A2,C1),(A2,C2),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),一共有9种.所以所求的概率为.16.(14分)设集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2﹣5)=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.【解答】解:由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0⇒a=﹣1或a=﹣3;当a=﹣1时,B={x|x2﹣4=0}={﹣2,2},满足条件;当a=﹣3时,B={x|x2﹣4x+4=0}={2},满足条件;综上,a的值为﹣1或﹣3;(2)对于集合B,△=4(a+1)2﹣4(a2﹣5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B⊆A,①当△<0,即a<﹣3时,B=∅满足条件;②当△=0,即a=﹣3时,B={2},满足条件;③当△>0,即a>﹣3时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得⇒矛盾;综上,a的取值范围是a≤﹣3.17.(15分)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R,x02+2x0﹣m﹣1=0,(1)若q是真命题,求m的范围;(2)若p∧(¬q)为真,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)若q:∃x0∈R,x02+2x0﹣m﹣1=0为真,则方程x2+2x﹣m﹣1=0有实根,∴4+4(m+1)≥0,∴m≥﹣2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)(2)2x>m(x2+1)可化为mx2﹣2x+m<0.若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真.则mx2﹣2x+m<0对任意的x∈R恒成立.当m=0时,不等式可化为﹣2x<0,显然不恒成立;当m≠0时,有∴m<﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)¬q:m<﹣2又p∧¬q为真,故p、¬q均为真命题.∴∴m<﹣2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(15分)18.(15分)市场上有一种新型的强力洗衣液,特点是去污速度快.已知每投放a(1≤a≤4,且a∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=a•f(x),其中f(x)=.若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效去污的作用.(Ⅰ)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(Ⅱ)若第一次投放2个单位的洗衣液,6分钟后再投放a个单位的洗衣液,要使接下来的4分钟中能够持续有效去污,试求a的最小值(按四舍五入精确到0.1).【解答】解:(Ⅰ)因为a=4,所以y=.(1分)则当0≤x≤4时,由,解得x≥0,所以此时0≤x≤4.(3分)当4<x≤10时,由20﹣2x≥4,解得x≤8,所以此时4<x≤8.(5分)(6综上,得0≤x≤8,若一次投放4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达8分钟.分)(Ⅱ)当6≤x≤10时,y=2×(5﹣)+a[]=(14﹣x)+﹣a ﹣4﹣a﹣4(10分)当且仅当14﹣x=4时等号取到.(因为1≤a≤4,所以x∈[6,10]能取到)所以y有最小值8﹣a﹣4.(12分)令8﹣a﹣4≥4,解得24﹣16≤a≤4,所以a的最小值为24﹣16≈1.4.(14分)19.(16分)方程x2+(k﹣2)x+2k﹣1=0,(1)一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围.(2)两根都在(0,1)之间,求k的范围.(3)在(0,1)之间有一个零点,求k的范围.【解答】解:令f(x)=x2+(k﹣2)x+2k﹣1.(1)一根在0和1之间,另一根在1和2之间,必有:,即⇒,解得:.(2)两根都在(0,1)之间,必有:⇒解得:(3)法一:在(0,1)之间有一个零点:①当f(0)=0时,,代入检验,x=0,,不满足题意.②当f(1)=0,,代入检验,x=1,或,满足题意.③f(0)f(1)<0,即:(2k﹣1)(3k﹣2)<0,解得:④,解得:综上所述:或.法二:由方程x2+(k﹣2)x+2k﹣1=0,∴,x∈(0,1)令t=x+2,t∈(2,3),那么:=,令g(t)=,时函数单调递增,时函数单调递减,f(x)只有一个零点,即y=k与y=两个函数图象只有一个交点.∴或.20.(16分)已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)当a=3时,方程f(x)=m的解的个数;(2)对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方,求a的取值范围;(3)f(x)在(﹣4,2)上单调递增,求a的范围.【解答】解:(1)当a=3时,,当m=6或时,方程有两个解;当m<6或时,方程一个解;当时,方程有三个解.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)(2)由题意知f(x)<g(x)恒成立,即x|x﹣a|<1在x∈[1,2]上恒成立,即在x∈[1,2]上恒成立,即在x∈[1,2]上恒成立,∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)(3)①且,即﹣2≤a≤2时,f(x)在R单调递增,满足题意;②且,即a<﹣2时,f(x)在(﹣∞,a)和(,+∞)单调递增,∵f(x)在(﹣4,2)上单调递增,∴a≥2或﹣4,∴a≤﹣6;③且,即a<﹣2且a>2时,不存在满足条件的a值;④且,即a>2时,f(x)在(﹣∞,)和(a,+∞)上单调递增,∵f(x)在(﹣4,2)上单调递增,∴或a≤﹣4,∴a>2综上:a≤﹣6或a≥﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(16分)。

7学年上学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)

7学年上学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)

江苏省泰兴中学高二数学(理科)期中考试试题一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位.......置上... 1、已知复数23z i =-,则复数z 的虚部为 .2、命题:“2,10x R x x ∀∈-->”的否定是 .3、复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭.4、双曲线221y x -=的渐近线方程为 .5、抛物线2y x =的焦点坐标为 .6、观察下列各式:211=,2132+=,21353++=,213574+++=, 从中归纳出一般结论: . 7、焦点在x 轴上,离心率45e =,焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的标准方程为 .8、已知函数y =A ,集合{}|B x x a =≤,若P :“x A ∈”是Q :“x B ∈”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .9、已知动点(),P x y 在曲线22:1169x y C -=上,定点Q 的坐标为()5,0Q ,则线段PQ 长度的最小值为 .10、已知121212,,||||1,||z z C z z z z ∈==+=12||z z -= .11、已知集合()||||,|132x y A x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭,()22,|194x y B x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭,则命题“():,p x y A ∈”是命题“():,q x y B ∈”的 条件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”)12、下列四个命题:①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;②命题“设,a b R ∈,若6a b +≠,则3a ≠或3b ≠”是一个假命题;③“2x >”是“112x <”的充分不必要条件;④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.其中真命题的个数是 .13、过点()1,2M 作直线l 交椭圆2212516x y +=于,A B 两点,若点M 恰为线段AB 的中点,则直线l 的方程为 .14、过椭圆2211612x y +=的左顶点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点C ,交y 轴于点D ,P 为AC 中点,定点Q 满足:对于任意的()0k k ≠都有OP DQ ⊥,则Q 点的坐标为 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分14分)已知m R ∈,复数()()22231m m z m m i m -=++--,当m 为何值时,分别满足下列条件:(1)z R ∈;(2)z 对应的点位于复平面第二象限.16、(本题满分14分)已知()()21:|34|2,:0,:102p x q r x a x a x x ->>---<--. (1)p ⌝是q ⌝的什么条件?(2)若r ⌝是p ⌝的必要非充分条件,求实数a 的取值范围.17、(本题满分14分)设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点,M 是椭圆C 上一点,且直线2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求椭圆C 的方程.18、(本题满分16分)如图,某小区有一边长为2 (单位:百米)的正方形地块OABC ,其中OAE 是一个水池,计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计),切点为M ,并把该地块分为两部分.现以点O 为坐标原点,以线段OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,若池边AE 满足函数(220y x x =-+≤≤的图象,且点M 到边OA 距离为2433t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭.(1)当23t =时,求直路l 所在的直线方程; (2)当t 为何值时,地块OABC 在直路l 不含水池那侧的面积取到最大,最大值是多少?19、(本题满分16分)设i 为虚数单位,n 为正整数,[)0,2θπ∈.(1)用数学归纳法证明:()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+;(2)已知z i =,试利用(1)的结论计算10z ;20、(本题满分16分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为22()0y kx k =>与AB 相交于点D ,与椭圆相交于,E F 两点.(1)求此椭圆的方程;(2)若6ED DF =,求斜率k 的值;(3)求四边形AEBF 面积的最大值.江苏省泰兴中学高二数学(理科)期中试题参考答案一、填空题:1、3-;2、2,10x R x x ∃∈--≤;3、1-;4、y x y x ==-和;5、10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭;6、()()213521*n n n N ++++-=∈ ;7、221259x y +=;8、4a >;9、1;10、1;11、充分不必要;12、2;13、825580x y +-=;14、()3,0- 二、解答题:15、解(1)2230,10m m z R m ⎧+-=∈∴⎨-≠⎩, ............................................................ 2分3m ∴=- ...................................................................................................................... 6分(2)复数z 在复平面上对应点为()22,231m m m m m -⎛⎫+-⎪-⎝⎭, ........................... 8分依题意有()2201230m m m m m ⎧-<⎪-⎨⎪+->⎩.................................................................................... 10分解之得()(),31,2m ∈-∞- .................................................................................... 14分16、解 (1):|34|2,342342p x x x ->∴->-<-或,222,:233x x p x ∴><∴⌝≤≤或. .......................................................................... 2分 221:0,20,12,2q x x x x x x >-->∴<->--即或 ∴{}:|12q x x ⌝-≤≤, ........................................................................................... 4分 ∴p ⌝是q ⌝的充分不必要条件. ............................................................................. 6分 (2)()():10,1r x a x a a x a ---<∴<<+.∴r ⌝:1x a x a ≤≥+或. .......................................................................................... 8分 ∵r ⌝是p ⌝的必要非充分条件. ∴2121,233a a a a ≤+≤∴≥≤-或或. ................................................................ 12分∴a 的取值范围是1|23a a a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. ............................................................. 12分17、解:(1)记c =,则()()12,0,,0F c F c -,由题设可知2,b M c a⎛⎫⎪⎝⎭,则12232324MN F M b a k k b ac c ===⇒=, ...................................................................... 4分2213,2()2c ca c ac e e a a∴-=⇒====-或舍去; .......................................... 6分(2)记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2,则22||44b MF a =⇒=①, .......... 8分 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫=∴=⇒-- ⎪⎝⎭, .............................................. 10分将N 的坐标代入椭圆方程得2229114c a b+=② ......................................................... 12分由①②及222c a b =-得2249,28a b ==,故所求椭圆C 的方程为2214928x y +=. ................................................................... 14分18、(1)214,39M ⎛⎫⎪⎝⎭, .................................................................................................. 2分:129220l x y +-=, ............................................................................................. 6分(2)()2,2M t t -+,过切点M 的切线()()2:22l y t t x t --+=--,即222y tx t =-++,令2y =得2t x =,故切线l 与AB 交于点,22t ⎛⎫⎪⎝⎭; ....... 8分 令0y =,得122t x =+,又12t x t =+在24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减,所以11711,2126t x t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦, 故切线l 与OC 交于点1,02t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. ........................................................................ 10分所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形, 面积111122442222t t S t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--+-⋅=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ........................... 14分 当且仅当1t =时取等号,即1t =时max 2S =. .................................................. 16分19、(1)证明:1当1n =时,左边=右边=cos sin i θθ+,所以命题成立; ..... 2分2 假设当n k =时,命题成立,即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+, ......... 4分则当1n k =+时,()()()1cos sin cos sin cos sin k kx i i i θθθθθ++=++()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)k i k i k k i k k k i k θθθθθθθθθθθθθθ=++=-++=+++ 1n k ∴=+当时,命题成立; ................................................................................ 6分综上,由1 和2可得,()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ ................................ 8分(2)122cos sin 266z i i i ππ⎫⎛⎫===+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ................................. 12分1010551cos sin cos sin 66332z i i ππππ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭ .............................. 16分20、解(1))由题意,22a c a c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ................................ 2分故椭圆的方程为2214x y +=. ......................................................................... 4分 (2)由(1)得,直线AB 的方程为220x y +-=.()222241444y kxk x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩. ........................................................................ 6分 设()()1111,,,E x kx F x kx --,()00,D x kx,且1x =.则()()()()01011001,,,ED x x k x x DF x x k x x =--=---+,因为6ED DF = ,所以()01106x x x x -=--,即1057x x =-=, .. 8分所以D ⎛⎫在直线AB220+-=, 化简得2242560k k -+=,解得23k =,或38k =. ......................................... 10分 (3)AB =,E F 到直线AB 距离之和最大.E F d d +=........................................................ 12分421k +====14分因为0k >,所以E F d d +≤=, 当且仅当14k k =,即12k =时取“=”号.所以max 12S ==16分。

江苏省泰兴中学高二数学期中考试试卷(理) 苏教版

江苏省泰兴中学高二数学期中考试试卷(理)  苏教版

某某省泰兴中学高二数学期中试卷(理科)一.填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1.抛物线x y 42=的准线方程是▲.2.双曲线221102x y -=的焦距为▲. 3.某学校共有师生2400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是▲.4.已知样本32,,32,3221+++n x x x 的方差为2,则样本n x x x ,,,21 的方差为▲. 5.经临床验证,一种新药对某种疾病的治愈率为%54,显效率为%22,有效率为%12,其余为无效。

求某人患该病使用此药后无效的概率为▲. 6.设x 是实数,则“x >0”是“|x |>0”的▲条件. 7.命题“对任意的3210x x x ∈-+R ,≤”的否定是▲. 8.命题“若a b >,则221a b >-”的否命题为▲.9.在等腰直角三角形ABC 中,在斜边AB 上任取一点M ,则AC AM <的概率是▲. 10.已知抛物线)0(22>=p px y ,过定点)0,(p 作两条互相垂直的直线21,l l ,若1l 与抛物线交于Q P ,两点,2l 与抛物线交于N M ,两点,1l 的斜率为k ,某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+k p p kp ,2,请你写出弦MN 中点坐标▲.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为▲.12.为了求方程lg 3x x =-的近似解,我们设计了如图所示的流程图,其输出的结果是▲.13.从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点21,F F 的视角为直角,1AF 的延长线交椭圆于B ,且2AF AB =,则椭圆的离心率为▲.14.定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值为▲.二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.为检查某工厂所产8万台电扇的质量,抽查了其中20台的无故障连续使用时限如下:248 256 232 243 188 268 278266 289 312 274 296 288 302 295 228 287 217 329 283(1)完成下面的频率分布表,并在给出的坐标系中作出频率分布直方图;第14题图(第12题)(2)估计8万台电扇中有多少台无故障连续使用时限会超过280小时;(3)用组中值估计样本的平均无故障连续使用时限.16.一只口袋装有形状、大小都相同的6只小球,其中有2只白球、2只红球和2只黄球。

【精品】2015-2016年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期数学期末试卷(理科)与答案

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2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期末数学试卷(理科)一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)1.(5分)已知复数z=3﹣2i,则复数z的虚部为.2.(5分)命题:“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是.3.(5分)已知函数f(x)=25x3+13x2+2016x﹣5,则f'(0)=.4.(5分)双曲线﹣=1的渐近线方程是.5.(5分)按如图所示的流程图,输出的结果为.6.(5分)若集合A,B满足A∩B=B且A≠B,则命题“p:x∈A”是命题“q:x∈B”的条件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”)7.(5分)用数学归纳法证明“1+++…+<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k (k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是.8.(5分)下列四个命题:①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;②命题“设a,b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”是一个假命题;③“x>2”是“<”的充分不必要条件;④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.其中不正确的命题是.(写出所有不正确命题的序号)9.(5分)在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC的外接圆半径r=;类比到空间,若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,且长度分别为a、b、c,则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=.10.(5分)设函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=f′()sin x+cos x,则f′()=.11.(5分)过点M(1,2)作直线l交椭圆+=1于A,B两点,若点M恰为线段AB的中点,则直线l的方程为.12.(5分)若当x∈[0,π]时,不等式sinx≤kx恒成立,则实数k的取值范围是.13.(5分)设A,B为抛物线x2=4y上的两动点,且线段AB的长为6,M为线段AB的中点,则点M到x轴的最短距离为.14.(5分)过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点C,交y轴于点D,P为AC中点,定点Q满足:对于任意的k(k≠0)都有OP⊥DQ,则Q点的坐标为.二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(14分)已知p:|3x﹣4|>2,>0,r:(x﹣a)(x﹣a﹣1)<0,(1)¬p是¬q的什么条件?(2)若¬r是¬p的必要非充分条件,试求实数a的取值范围.16.(14分)设F1,F2分别是C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C 上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.17.(14分)根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p=(日产品废品率=×100%).已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额)(1)将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数;(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?18.(16分)设i为虚数单位,n为正整数,θ∈[0,2π).(1)用数学归纳法证明:(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ;(2)已知z=+i,试利用(1)的结论计算z10;(3)设复数z=a+bi(a,b∈R,a2+b2≠0),求证:|z n|=|z|n(n∈N*).19.(16分)阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象,现象(1):光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等(如图1);现象(2):光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点(如图2).试结合上述事实现象完成下列问题:(1)有一椭圆型台球桌,长轴长为2a,短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击出,经过球桌边缘的反射(假设球的反射完全符合现象(2))后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S,求S的值(用a,b表示);(2)结论:椭圆+=1上任一点P(x0,y0)处的切线l的方程为+=1.记椭圆C的方程为C:+y2=1.①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线,切点分别为A,B,求证:直线l AB恒过一定点;②设点P(x0,y0)为椭圆C上位于第一象限内的动点,F1,F2为椭圆C的左右焦点,点I为△PF1F2的内心,直线PI与x轴相交于点N,求点N横坐标的取值范围.20.(16分)已知函数f(x)=e2ax(a∈R)的图象C在点P(1,f(1))处切线的斜率为e,记奇函数g(x)=kx+b(k,b∈R,k≠0)的图象为l.(1)求实数a,b的值;(2)当x∈(﹣1,2)时,图象C恒在l的上方,求实数k的取值范围;(3)若图象C与l有两个不同的交点A,B,其横坐标分别是x1,x2,设x1<x2,求证:x1•x2<1.2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)1.(5分)已知复数z=3﹣2i,则复数z的虚部为﹣2.【分析】直接利用复数的概念,写出结果即可.【解答】解:复数z=3﹣2i,则复数z的虚部为﹣2;故答案为:﹣2.2.(5分)命题:“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0.【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题:“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0;故答案为:∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0.3.(5分)已知函数f(x)=25x3+13x2+2016x﹣5,则f'(0)=2016.【分析】先求导,再代值计算即可.【解答】解:f′(x)=75x2+26x+2016,∴f′(0)=2016,故答案为:2016.4.(5分)双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x.【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程,化简即可得到所求.【解答】解:∵双曲线方程为﹣=1的,则渐近线方程为线﹣=0,即y=±,故答案为y=±.5.(5分)按如图所示的流程图,输出的结果为11.【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的a的值,当a=11时,不满足条件a<10,退出循环,输出a的值为11.【解答】解:模拟执行程序,可得a=1满足条件a<10,执行循环体,a=3满足条件a<10,执行循环体,a=11不满足条件a<10,退出循环,输出a的值为11.故答案为:11.6.(5分)若集合A,B满足A∩B=B且A≠B,则命题“p:x∈A”是命题“q:x∈B”的必要不充分条件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”)【分析】集合A,B满足A∩B=B且A≠B,可得:B⊊A,可得x∈B⇒x∈A,反之不一定成立.即可判断出结论.【解答】解:集合A,B满足A∩B=B且A≠B,∴B⊊A,∴x∈B⇒x∈A,反之不一定成立.则命题“p:x∈A”是命题“q:x∈B”的必要不充分条件.故答案为:必要不充分.7.(5分)用数学归纳法证明“1+++…+<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k (k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是2k.【分析】观察不等式左侧的特点,分母数字逐渐增加1,末项为,然后判断n=k+1时增加的项数即可.【解答】解:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为;由n=k,末项为到n=k+1,末项为,∴应增加的项数为2k.故答案为2k.8.(5分)下列四个命题:①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;②命题“设a,b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”是一个假命题;③“x>2”是“<”的充分不必要条件;④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.其中不正确的命题是①②.(写出所有不正确命题的序号)【分析】由互为逆否命题的两个命题共真假判断①②④;由充分必要条件的判定方法结合举例判断③.【解答】解:①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题不一定为真,故①错误;②命题“设a,b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”的逆否命题为:“若a=3且b=3,则a+b=6”,是真命题,故②错误;③由x>2,得<,反之,由<,不一定有x>2,x可能为负值,∴“x>2”是“<”的充分不必要条件,故③正确;④一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题,∴一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真,故④正确.故答案为:①②.9.(5分)在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC的外接圆半径r=;类比到空间,若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,且长度分别为a、b、c,则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=.【分析】直角三角形外接圆半径为斜边长的一半,由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c,将三棱锥补成一个长方体,其外接球的半径R为长方体对角线长的一半.【解答】解:若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为a,b,c,可补成一个长方体,体对角线长为,∵体对角线就是外接球的直径,∴棱锥的外接球半径R=.故答案为:.10.(5分)设函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=f′()sin x+cos x,则f′()=.【分析】对两边求导,令x=可得f′(),再令x=即可求得f′().【解答】解:由,得f′(x)=f′()cosx﹣sinx,则f′()=f′()•cos﹣sin,解得f′()=﹣1,∴=﹣cosx﹣sinx=﹣cos﹣sin=﹣=,故答案为:﹣.11.(5分)过点M(1,2)作直线l交椭圆+=1于A,B两点,若点M恰为线段AB的中点,则直线l的方程为8x+25y﹣58=0.【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则16x12+25y12=400,16x22+25y22=400,∴16(x1+x2)(x1﹣x2)+25(y1+y2)(y1﹣y2)=0.∵M(1,2)恰为线段AB的中点,∴32(x1﹣x2)+100(y1﹣y2)=0,∴直线AB的斜率为﹣,∴直线AB的方程为y﹣2=﹣(x﹣1),即8x+25y﹣58=0.故答案为8x+25y﹣58=0.12.(5分)若当x∈[0,π]时,不等式sinx≤kx恒成立,则实数k的取值范围是k≥1.【分析】求出函数的导数,通过讨论k的范围,求出函数的单调性,从而求出满足条件的k的范围即可.【解答】解:令f(x)=sinx﹣kx,x∈[0,π],f′(x)=cosx﹣k,k≥1时,f′(x)≤0,f(x)在[0,π]递减,f(x)的最大值是f(0)=0,符合题意,结合y=sinx和y=kx的图象,如图示:,k<0时,不合题意,故答案为:k≥1.13.(5分)设A,B为抛物线x2=4y上的两动点,且线段AB的长为6,M为线段AB的中点,则点M到x轴的最短距离为2.【分析】设A(x1,y1)B(x2,y2),根据抛物线方程可求得准线方程,所求的距离为d==﹣1,根据抛物线的定义可知d=﹣1,根据两边之和大于第三边且A,B,F三点共线时取等号求得d的最小值.【解答】解:设A(x1,y1)B(x2,y2),F为焦点,抛物线准线方程y=﹣1,根据梯形的中位线定理,得所求的距离为:d==﹣1由抛物线定义d=﹣1≥﹣1=2(两边之和大于第三边且A,B,F 三点共线时取等号)故答案为:2.14.(5分)过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点C,交y轴于点D,P为AC中点,定点Q满足:对于任意的k(k≠0)都有OP⊥DQ,则Q点的坐标为(﹣3,0).【分析】直线的方程为y=k(x+4),与椭圆联立,得(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12]=0,由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质,结合已知条件能求出定点Q的坐标.【解答】解:直线的方程为y=k(x+4),由,化简得(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12]=0,∴x1=4,x2=,…(6分)∴C(,),又∵点P为AC的中点,∴P(,),则k OP=﹣(k≠0),直线l的方程为y=k(x+4),令x=0,得D(0,4k),假设存在定点Q(m,n)(m≠0)使得OP⊥DQ,则k OP•k DQ=﹣1,即﹣•=﹣1,∴(4m+12)k﹣3n=0恒成立∴,即,因此定点Q的坐标为(﹣3,0),故答案为:(﹣3,0).二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(14分)已知p:|3x﹣4|>2,>0,r:(x﹣a)(x﹣a﹣1)<0,(1)¬p是¬q的什么条件?(2)若¬r是¬p的必要非充分条件,试求实数a的取值范围.【分析】(1)求出命题p,q的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.(2)根据¬r是¬p的必要非充分条件,进行转化,建立不等式关系进行求解即可.【解答】解:(1)由|3x﹣4|>2得3x﹣4>2或3x﹣4<﹣2,即x>2或x<,即p:x>2或x<,¬p:≤x≤2由>0得x2﹣x﹣2>0得x>2或x<﹣1,即:¬q:﹣1≤x≤2,则¬p是¬q的充分不必要条件.(2)由(x﹣a)(x﹣a﹣1)<0得a<x<a+1,即r:a<x<a+1,若¬r是¬p的必要非充分条件,则p是r的必要非充分条件,即a≥2或a+1≤,即a≥2或a≤﹣,即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣.16.(14分)设F1,F2分别是C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C 上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.【分析】(1)根据条件求出M的坐标,利用直线MN的斜率为,建立关于a,c的方程即可求C的离心率;(2)根据直线MN在y轴上的截距为2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出N的坐标,代入椭圆方程即可得到结论.【解答】解:(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直,∴M的横坐标为c,当x=c时,y=,即M(c,),若直线MN的斜率为,即tan∠MF1F2=,即b2==a2﹣c2,即c2+﹣a2=0,则,即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2(舍去),即e=.(Ⅱ)由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,设M(c,y),(y>0),则,即,解得y=,∵OD是△MF1F2的中位线,∴=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|,则|MF1|=4|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,即设N(x1,y1),由题意知y1<0,则(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).即,即代入椭圆方程得,将b2=4a代入得,解得a=7,b=.17.(14分)根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p=(日产品废品率=×100%).已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额)(1)将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数;(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?【分析】(1)由题意可知y=2x(1﹣p)﹣px,然后把p代入即可.(2)由于所得函数是分段函数,需要分段讨论,利用导数来求最值,最后确定最大日利润.【解答】解:(1)由题意可知,…(4分)(2)考虑函数当1≤x≤9时,,令f'(x)=0,得.…(6分)当时,2B,函数f(x)在上单调增;当时,f'(x)<0,函数f(x)在上单调减.所以当时,a取得极大值,也是最大值,又x是整数,,f(9)=9,所以当x=8时,f(x)有最大值.…(10分)当10≤x≤20时,,所以函数f(x)在[10,20]上单调减,所以当x=10时,f(x)取得极大值,也是最大值.由于,所以当该车间的日产量为10件时,日利润最大.…(12分)答:当该车间的日产量为10件时,日利润最大,最大日利润是千元.…(14分)18.(16分)设i为虚数单位,n为正整数,θ∈[0,2π).(1)用数学归纳法证明:(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ;(2)已知z=+i,试利用(1)的结论计算z10;(3)设复数z=a+bi(a,b∈R,a2+b2≠0),求证:|z n|=|z|n(n∈N*).【分析】(1)利用数学归纳法即可证明,注意和差公式的应用.(2)利用(1)的结论即可得出.(3)由于,可,利用(1)的结论.【解答】(1)证明:1°当n=1时,左边=右边=cosθ+isinθ,所以命题成立;2°假设当n=k时,命题成立,即(cosθ+isinθ)k=coskθ+isinkθ,则当n=k+1时,(cosx+isinθ)k+1=(cosθ+isinθ)k•(cosθ+isinθ)∴当n=k+1时,命题成立;综上,由1°和2°可得,(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ.](2)解:∵,∴,(3)解:,∵,∴,记,∴z n=r n(cosnθ+isinnθ),∴|z n|=r n=|z|n.19.(16分)阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象,现象(1):光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等(如图1);现象(2):光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点(如图2).试结合上述事实现象完成下列问题:(1)有一椭圆型台球桌,长轴长为2a,短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击出,经过球桌边缘的反射(假设球的反射完全符合现象(2))后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S,求S的值(用a,b表示);(2)结论:椭圆+=1上任一点P(x0,y0)处的切线l的方程为+=1.记椭圆C的方程为C:+y2=1.①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线,切点分别为A,B,求证:直线l AB恒过一定点;②设点P(x0,y0)为椭圆C上位于第一象限内的动点,F1,F2为椭圆C的左右焦点,点I为△PF1F2的内心,直线PI与x轴相交于点N,求点N横坐标的取值范围.【分析】(1)桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况,即可得出结论;(2)①求出点A,B的坐标均满足方程,即可证明直线l AB恒过一定点;②由(2)的结论知:椭圆C在P(x0,y0)处的切线l的方程为,由事实现象(2)知:直线PI⊥l,即可得出结论.【解答】解:(1)记,因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况,所以S=2(a﹣c)或S=2(a+c)或S=4a;[(4分)](2)①设,则…[(5分)],…[(6分)]代入,得,…[(7分)]则点A,B的坐标均满足方程,…[(9分)]所以,直线AB恒过定点;…[(10分)]②由(2)的结论知:椭圆C在P(x0,y0)处的切线l的方程为,…[(11分)]由事实现象(2)知:直线PI⊥l,∴…[(13分)]令y=0,得点N的横坐标为,…[(5分)]∵x0∈(0,2),∴.…[(16分)]20.(16分)已知函数f(x)=e2ax(a∈R)的图象C在点P(1,f(1))处切线的斜率为e,记奇函数g(x)=kx+b(k,b∈R,k≠0)的图象为l.(1)求实数a,b的值;(2)当x∈(﹣1,2)时,图象C恒在l的上方,求实数k的取值范围;(3)若图象C与l有两个不同的交点A,B,其横坐标分别是x1,x2,设x1<x2,求证:x1•x2<1.【分析】(1)求出函数的导数,根据函数的奇偶性求出b的值即可;(2)根据∀x∈(﹣1,2),e x>kx恒成立,得到关于k的不等式,记,根据函数的单调性求出k的范围即可;(3)要证x1x2<1,即证,令,即证2μlnμ<μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1<0,令φ(μ)=2μlnμ﹣μ2+1(μ>1),根据函数的单调性证明即可.【解答】解:(1)∵f'(x)=2ae2ax,∴,…[(2分)]∵g(x)=kx+b为奇函数,∴b=0;…[(4分)](2)由(1)知f(x)=e x,g(x)=kx,…[(5分)]因为当x∈(﹣1,2)时,图象C恒在l的上方,所以∀x∈(﹣1,2),e x>kx恒成立,…[(6分)]∵x=0时,k∈R,∴,…[(7分)]记,则,由h'(x)>0⇒x∈(1,2),∴h(x)在(﹣1,0)单调减,在(0,1]单调减,在[1,2)单调增,…[(8分)]∴,∵,∴,…[(9分)]综上,所求实数k的取值范围是;…[(10分)](3)由(2)知0<x1<1<x2,设x2=tx1(t>1),…[(11分)]∵,∴,…[(12分)],∴,…[(13分)]要证x1x2<1,即证,令,即证2μlnμ<μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1<0,令φ(μ)=2μlnμ﹣μ2+1(μ>1),即证φ(μ)<0,,∵μ>1,∴φ''(μ)<0,∴φ'(μ)在(1,+∞)上单调减,∴φ'(μ)<φ'(1)=0,∴φ(μ)在(1,+∞)上单调减,∴φ(μ)<φ(1)=0,所以,x1•x2<1…[(16分)]。

江苏省泰州二中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(解析版)

江苏省泰州二中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(解析版)
【解答】解:如图可知f(4)=5,f'(4)的几何意义是表示在x=4处切线的斜率,故,
故f(4)+f'(4)=5.5.
故答案为:5.5
5.抛物线x2+y=0的焦点坐标为(0,﹣).
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先把抛物线的方程化为标准形式,再利用抛物线x2=﹣2py的焦点坐标为(0,﹣),求出抛物线x2+y=0的焦点坐标.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l1的斜率为﹣1,求△PMN的面m的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
20.若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A,B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为2,又OA⊥OB,求a,b的值.
4.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f(4)+f′(4)的值为
5.抛物线x2+y=0的焦点坐标为.
6.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=.
7.已知曲线y=x+sinx,则此曲线在x=处的切线方程为.
8.双曲线x2﹣=1的离心率是,渐近线方程是.
9.已知椭圆上一点P到左焦点的距离为,则它到右准线的距离为.
(1)求直线l的方程.
(2)求线段AB长.
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】(1)求出抛物线的焦点坐标F(1,0),用点斜式求出直线方程即可.
(2)联立直线方程与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式,可以求出线段AB的长度.
【解答】解:(1)根据抛物线y2=4x方程得:焦点坐标F(1,0),

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期中数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.(5分)命题“∀x∈R,x2﹣x+1>0”的否定是.2.(5分)抛物线y=x2的焦点坐标是.3.(5分)双曲线﹣x2=1的渐近线方程是.4.(5分)函数f(x)=x3﹣2x2+3x﹣1的极小值为.5.(5分)若命题“∃r∈R+,使得圆x2+y2=r2(r>0)与双曲线﹣=1有公共点”为假命题,则实数r的取值范围是.6.(5分)已知函数f(x)=x+2sinx,x∈[0,π],则函数y=f(x)的最大值为.7.(5分)命题“p:1<k<9”是命题“q:方程+=1表示椭圆”的条件.(填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”)8.(5分)函数f(x)=的递减区间为.9.(5分)双曲线9x2﹣16y2=144上一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O是坐标原点,则ON=.10.(5分)已知函数f(x)=e x﹣ax在区间(0,1)上有极值,则实数a的取值范围是.11.(5分)椭圆C:+=1和圆O:x2+y2=5,动点P在椭圆C上动点,当点P落在圆O内部时,点P横坐标的取值范围是.12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左焦点为F,直线x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0与椭圆分别相交于点A,B,C,D,则AF+BF+CF+DF=.13.(5分)已知直线l:y=x﹣4(k∈R)与双曲线C:﹣=1的右支有两个不同的交点,则双曲线C的离心率e的取值范围是.14.(5分)设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),在(﹣∞,0)上恒有2f(x)+xf′(x)>x2成立,则不等式(x+2015)2f(x+2015)﹣4f(﹣2)>0的解集为.二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知命题p:实数x满足x2﹣2x﹣8≤0;命题q:实数x满足|x﹣2|≤m(m>0).(1)当m=3时,若“p且q”为真,求实数x的取值范围;(2)若“非p”是“非q”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.16.(14分)已知椭圆C的中心在原点,左焦点为F1(﹣1,0),右准线方程为:x=4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C上点N到定点M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为1,求m 的值及点N的坐标.17.(14分)已知函数f(x)=xlnx.(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1,求实数a的取值范围.18.(16分)已知函数f(x)=a(x+),(x>0,a>0),点P为函数y=f(x)图象上一动点.(1)当a=2时,过点P分别向y轴及直线y=2x作垂线,垂足分别为点A,B,试计算线段PA,PB长度之积PA•PB的值;(2)作曲线y=f(x)在点P处的切线l,记直线l与y轴及直线y=ax的交点分别为M,N,试计算线段PM,PN长度比值.19.(16分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.20.(16分)已知函数f(x)=lnx+﹣kx(k为常数)(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在极值,求f(x)的零点个数.2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.(5分)命题“∀x∈R,x2﹣x+1>0”的否定是.【解答】解:∵命题“∀x∈R,x2﹣x+1>0”∵“任意”的否定为“存在”∴命题的否定为:,故答案为:2.(5分)抛物线y=x2的焦点坐标是(0,1).【解答】解:抛物线即x2=4y,∴p=2,=1,故焦点坐标是(0,1),故答案为(0,1).3.(5分)双曲线﹣x2=1的渐近线方程是y=±3x.【解答】解:已知双曲线﹣x2=1令:﹣x2=0即得到渐近线方程为:y=±3x;故答案为:y=±3x.4.(5分)函数f(x)=x3﹣2x2+3x﹣1的极小值为﹣1.【解答】解:f(x)=x3﹣2x2+3x﹣1,f′(x)=3x2﹣4x+3,令f′(x)=0,即x2﹣4x+3=0,解得:x=1,x=3,f′(x)>0,解得:x>3,x<1,∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,1),(3,+∞),f′(x)<0,解得:1<x<3,∴f(x)的单调递减区间为(1,3),∴当x=3,函数取极小值,极小值为f(3)=×27﹣2×9+3×3﹣1=﹣1,故答案为:﹣1.5.(5分)若命题“∃r∈R+,使得圆x2+y2=r2(r>0)与双曲线﹣=1有公共点”为假命题,则实数r的取值范围是0<r<2.【解答】解:双曲线﹣=1中a=2,∵命题“∃r∈R+,使得圆x2+y2=r2(r>0)与双曲线﹣=1有公共点”为假命题,∴命题“∀r∈R+,使得圆x2+y2=r2(r>0)与双曲线﹣=1没有公共点”为真命题,∴0<r<2,故答案为:0<r<2.6.(5分)已知函数f(x)=x+2sinx,x∈[0,π],则函数y=f(x)的最大值为.【解答】解:函数f(x)=x+2sinx,∴f′(x)=1+2cosx,当f′(x)=1+2cosx>0,解得cosx>﹣,即0≤x<,函数单调递增,当f′(x)=1+2cosx<0,解得cosx<﹣,即<x≤π,函数单调递减,故当x=函数有最大值,最大值为f()=+,故答案为:.7.(5分)命题“p:1<k<9”是命题“q:方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件.(填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”)【解答】解:方程+=1表示椭圆,则1<k<9且k≠5,即命题q:1<k<9且k≠5,故命题p是命题q的必要不充分条件,故答案为:必要不充分.8.(5分)函数f(x)=的递减区间为(﹣1,0)和.【解答】解:函数的定义域为{x|x≠0).∵f(x)=,∴f′(x)=令f′(x)<0,可得函数f(x)=的递减区间为(﹣1,0)和.故答案为:(﹣1,0)和.9.(5分)双曲线9x2﹣16y2=144上一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O是坐标原点,则ON=5.【解答】解:由题意,M在双曲线的左支上,∵M到左焦点F1的距离为2,∴M 到右焦点F 的距离为10, ∵N 为MF 1的中点,O 为坐标原点, ∴ON=5. 故答案为:5;10.(5分)已知函数f (x )=e x ﹣ax 在区间(0,1)上有极值,则实数a 的取值范围是 (1,e ) .【解答】解:f (x )的定义域为R ,且 f′(x )=e x ﹣a .①当a ≤0时,f (x )=e x ,故f (x )在R 上单调递增,从而f (x )没有极大值,也没有极小值.②当a >0时,令f'(x )=0,得x=lna .f (x )和f′(x )的情况如下:故f (x )的单调减区间为(﹣∞,lna );单调增区间为(lna ,+∞). 从而f (x )的极小值为f (lna )=a ﹣alna ;没有极大值. ∵函数f (x )=e x ﹣ax 在区间(0,1)上有极值, ∴0<lna <1, ∴a ∈(1,e ). 故答案为:(1,e ).11.(5分)椭圆C :+=1和圆O :x 2+y 2=5,动点P 在椭圆C 上动点,当点P 落在圆O 内部时,点P 横坐标的取值范围是 .【解答】解:如图,联立,得5x2=9,即x=.由图可知,当点P落在圆O内部时,点P横坐标的取值范围是.故答案为:.12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左焦点为F,直线x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0与椭圆分别相交于点A,B,C,D,则AF+BF+CF+DF=8.【解答】解:由题意,设椭圆的右焦点为F1,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接AF,F1D.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1(其中F1是椭圆的左焦点)为平行四边形,所以AF1=FD,同理BF1=CF所以AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8.故答案为:8.13.(5分)已知直线l:y=x﹣4(k∈R)与双曲线C:﹣=1的右支有两个不同的交点,则双曲线C的离心率e的取值范围是(1,2).【解答】解:双曲线C:﹣=1的渐近线方程为y=±x,直线l:y=x﹣4(k∈R)与双曲线C:﹣=1的右支有两个不同的交点,可得>,解得﹣2<a<2,则双曲线的离心率e=<=2,由e>1可得e的范围是(1,2).故答案为:(1,2).14.(5分)设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),在(﹣∞,0)上恒有2f(x)+xf′(x)>x2成立,则不等式(x+2015)2f(x+2015)﹣4f(﹣2)>0的解集为(﹣∞,﹣2017).【解答】解:∵函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,2f(x)+xf′(x)>x2,∴2xf(x)+x2f′(x)<x3<0,∴[x2f(x)]′<0,∴函数y=x2f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,∵(x+2015)2f(x+2015)﹣4f(﹣2)>0,∴(x+2015)2f(x+2015)>(﹣2)2f(﹣2),∴x+2015<﹣2,x<﹣2017故答案为:(﹣∞,﹣2017)二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知命题p:实数x满足x2﹣2x﹣8≤0;命题q:实数x满足|x﹣2|≤m(m>0).(1)当m=3时,若“p且q”为真,求实数x的取值范围;(2)若“非p”是“非q”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)若p真:﹣2≤x≤4;当m=3时,若q真:﹣1≤x≤5…(3分)∵p且q为真,∴,∴实数x的取值范围为:[﹣1,4]…(7分)(2)∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件…(10分)∵若q真:2﹣m≤x≤2+m∴且等号不同时取得(不写“且等号不同时取得”,写检验也可)∴m≥4.…(14分)16.(14分)已知椭圆C的中心在原点,左焦点为F1(﹣1,0),右准线方程为:x=4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C上点N到定点M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为1,求m 的值及点N的坐标.【解答】解:(1)设椭圆的方程为:,…(1分)由题意得:,解得:,…(4分)∴b2=3,∴椭圆的标准方程:;…(7分)(2)设N(x,y),则,对称轴:x=4m,﹣2≤x≤2…(9分)①当0<4m≤2即,x=4m时,,解得:,不符合题意,舍去;…(11分)②当4m>2,即,x=2时,,解得:m=1或m=3;∵,∴m=1;…(13分)综上:m=1,N(2,0);…(14分)17.(14分)已知函数f(x)=xlnx.(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1,求实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数f'(x)=1+lnx.令f'(x)>0,解得;令f'(x)<0,解得.从而f(x)在单调递减,在单调递增.所以,当时,f(x)取得最小值.(Ⅱ)依题意,得f(x)≥ax﹣1在[1,+∞)上恒成立,即不等式对于x∈[1,+∞)恒成立.令,则.当x>1时,因为,故g(x)是[1,+∞)上的增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,从而a的取值范围是(﹣∞,1].18.(16分)已知函数f(x)=a(x+),(x>0,a>0),点P为函数y=f(x)图象上一动点.(1)当a=2时,过点P分别向y轴及直线y=2x作垂线,垂足分别为点A,B,试计算线段PA,PB长度之积PA•PB的值;(2)作曲线y=f(x)在点P处的切线l,记直线l与y轴及直线y=ax的交点分别为M,N,试计算线段PM,PN长度比值.【解答】解:(1)当a=2时,,设点P的坐标为,则,…(1分)依题意,,…(3分)由,得,…(5分)∴,…(7分)∴…(8分)(2)设点P的坐标为…(9分)∵,∴,…(11分)∴,…(12分)令x=0,得,…(13分)由,得N(2x0,2ax0),…(14分)则点为点和点N(2x0,2ax0)的中点,…(15分)所以…(16分)19.(16分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.【解答】解:(Ⅰ)由题意知,所以,即a2=4b2,∴a=2b又因为,∴a=2,故椭圆C的方程为.(4分)(Ⅱ)由题意知直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x﹣4).由得(4k2+1)x2﹣32k2x+64k2﹣4=0.①(6分)由△=(﹣32k2)2﹣4(4k2+1)(64k2﹣4)>0,得12k2﹣1<0,∴(8分)又k=0不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是:.(9分)(Ⅲ)设点N(x1,y1),E(x2,y2),则M(x1,﹣y1).直线ME的方程为.令y=0,得.(11分)将y1=k(x1﹣4),y2=k(x2﹣4)代入整理,得.②由①得,代入②整理,得x=1.(13分)所以直线ME与x轴相交于定点(1,0).(14分)20.(16分)已知函数f(x)=lnx+﹣kx(k为常数)(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在极值,求f(x)的零点个数.【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=,方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4,(i)当﹣2<k<2时,△<0,在f(x)的定义域内f′(x)>0,f (x )是增函数;(ii )当k=±2时,△=0, 若k=﹣2,f′(x )=>0,f (x )是增函数 若k=2,f′(x )=,那么x ∈(0,1)∪(1,+∞)时,f′(x )>0,且f (x )在x=1处连续, 所以f (x )是增函数;(iii )当k <﹣2或k >2时,△>0,方程x 2﹣kx +1=0有两不等实根 x 1=,x 2=,当k <﹣2时,x 1<x 2<0,当x >0时,x 2﹣kx +1>0恒成立, 即f′(x )>0,f (x )是增函数当k >2时,x 2>x 1>0,此时f (x )的单调性如下表:综上:当k ≤2时,f (x )在(0,+∞)是增函数 当k >2时,f (x )在(0,),(,+∞)是增函数,在(,)是减函数;(2)由(1)知当k >2时,f (x )有极值 ∵x 1==<<1,∴lnx 1<0,且f 极大值(x )=f (x 1 )=<0,∵f (x )在(0,x 1 )是增函数,在(x 1,x 2)是减函数,∴当x ∈(0,x 2]时,f (x )≤f (x 1)<0,即f (x )在(0,x 2]无零点, 当x ∈(x 2,+∞)时,f (x )是增函数,故f (x )在(x 2,+∞)至多有一个零点,另一方面,∵f(2k)=ln(2k)>0,f(x2)<0,则f(x2)f(2k)<0,由零点定理:f(x)在(x2,2k)至少有一个零点,∴f(x)在(x2,+∞)有且只有一个零点综上所述,当f(x)存在极值时,f(x)有且只有一个零点.。

江苏省泰兴中学高二数学上学期分班考试试题

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江苏省泰兴中学2015-2016学年高二数学上学期分班考试试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1、已知全集N U =,集合{}01>-=x x A ,则=A C U ________. 2、函数()2ln 2-=x y 的定义域为 .3、已知向量()1,12-=x a ,()2,1+=x b ,若//,则实数=x .4、若直线l 过点)3,2(--A 且与直线0343=-+y x 垂直,则直线l 的方程为 .5、已知实数x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤11y x ,则y x z +=2的最小值是 .6、在等差数列{}n a 中,若14=a ,1697=+a a ,则12a 的值为 .7、已知a 、b 、c 是三条不同的直线,α是一个平面,以下叙述中正确的是 . ① 若b a //,b c ⊥,则a c ⊥; ② 若a b ⊥,b c ⊥,则c a //; ③ 若α//a ,b α⊂,则b a //; ④ 若a α⊥,b α⊂,则a b ⊥;8、在□ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若μλ+=,其中R ∈μλ,,则=+μλ________.9、若圆锥的底面半径为3,体积是π12,则该圆锥的侧面积等于______. 10、在ABC ∆中,3=a ,3=b ,A C sin 2sin =,则=A cos ________.11、数列{}n a 为等比数列,其前n 项积.为n T ,若82T T =,则=10T ______. 12、已知函数()4)(+=x x x f ,且0)()(2<+a f a f ,则实数a 的取值范围为 . 13、在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :1)2()(22=+-+-a y a x ,点)2,0(A ,若圆C 上存在点M ,满足1022=+MO MA ,则实数a 的取值范围是 .14、已知A ,B ,C 是平面内的三点,设a BC =,b CA =,c AB =,则cbb ac ++的最小值为 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本小题满分14分)如图,在三棱柱111C B A ABC -中,AB C B ⊥1,侧面11B BCC 为菱形.(1)求证:C B 1⊥平面1ABC ;(2)如果点D ,E 分别为11C A ,1BB 的中点,求证://DE 平面1ABC .16、(本小题满分14分)已知P 为线段AB 上的一点,3=,O 点是任意的一点.(1)若=x +y ,求y x ,的值;(24=2=,且9-=⋅,求与的夹角.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (其中A ,ω,ϕ为常数,且0>A ,0>ω,2πϕπ<<-)的部分图象如图所示. (1)求函数)(x f 的解析式; (2)若23)(=αf ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πα的值.18、(本小题满分16分)已知关于x 的不等式()()011>+-x ax .(1)若此不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-211x x ,求实数a 的值;(2)若R a ∈,解关于x 的不等式()()011>+-x ax .若圆C 经过坐标原点和点(6,0),且与直线1y =相切, 从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切线PT ,T 为切点,(1)求圆C 的方程;(2)已知点(2,2)Q -,且PT PQ =, 试判断点P 是否总在某一定直线l 上,若是,求出l 的方程;若不是,请说明理由;(3)若(2)中直线l 与x 轴的交点为F ,点,M N 是直线6x =上两动点,且以,M N 为直径的圆E 过点F ,圆E 是否过定点?证明你的结论.20、(本小题满分16分)给定一个数列{}n a ,在这个数列中,任取m ()*,3Nm m ∈≥项,并且不改变它们在数列{}na 中的先后次序,得到的数列{}n a 的一个m 阶子数列.已知数列{}n a 的通项 公式为),(1*为常数a N n an a n ∈+=,等差数列2a ,3a ,6a 是数列{}n a 的一个3阶子数列.(1)求a 的值;(2)等差数列m b b b ,,,21 是数列{}n a 的一个),3(*N m m m ∈≥阶子数列,且kb 11=()2,,*≥∈k Nk k 为常数,求证:1+≤k m ;(3)等比数列m c c c ,,,21 是数列{}n a 的一个),3(*N m m m ∈≥阶子数列,求证:m c c c +++ 211212--≤m .2015年江苏省泰兴中学高二阶段性检测数学试题参考答案2015.8.20一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1、【答案】{}1,0 2、【答案】()()+∞⋃-∞-,22,3、【答案】14、【答案】0134=--y x5、【答案】3-6、【答案】157、【答案】①④8、【答案】349、【答案】π1510、【答案】23 11、【答案】112、【答案】01<<-a 写成()0,1-也对 13、【答案】30≤≤a 写成[]3,0也对 14、【答案】212-二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答.题卡指定区域......内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、解:(1)因为三棱柱111C B A ABC -的侧面11B BCC 为菱形, 故11BC C B ⊥. 又AB C B ⊥1,且AB ,1BC 为平面1ABC 内的两条相交直线, 故C B 1⊥平面1ABC . …………………………………………………… 6分(2)如图,取1AA 的中点F ,连DF ,FE .又D 为11C A 的中点,故1//AC DF ,AB EF //. 因为DF ⊄平面1ABC ,`1AC ⊂平面1ABC , 故//DF 面1ABC . 同理,//EF 面1ABC . 因为DF ,EF 为平面DEF 内的两条相交直线, 故平面//DEF 面1ABC .因为DE ⊂平面DEF ,故//DE 面1ABC .………………………14分 16、解:(1)因为PA BP 3=,故()-=-3,……………………………………………… 3分即4143+=于是43=x ,41=y .………………… 6分(2)由(1)可知,OB OA OP 4143+=, 故()-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅414322412143+⋅+-=…………………………… 8分即4412116439⋅+⋅+⋅-=-B O OA ,解得4=⋅B O OA ,…………… 10分设OA 与OB 的夹角为α()πα≤≤0,因为2184cos ===α,故与的夹角为3π.…… 14分17、解:(1)由图可知,2=A ,……………………………………………… 2分 π2=T ,故1=ω,所以)sin(2)(ϕ+=x x f .………………………… 4分又22()2sin()233f ϕππ=+=,且22ϕππ-<<,故6ϕπ=-.于是)6sin(2)(π-=x x f .………………………………………………… 7分(2)由23)(=αf ,得3sin()64απ-=.………………………………………… 9分所以sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………………… 12分=2112sin ()68απ--=-.…………………………………14分18、解:(1)由题意可知0<a ,……………………………………………………… 2分1-和21-为方程()()011=+-x ax 的两根, 于是2-=a ,…………… 4分 (2)①当0=a 时,由0)1(>+-x ,得1-<x ;………………………………… 6分②当0>a 时,不等式可化为()011>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x ,解得1-<x 或a x 1>;… 8分 ③当0<a 时,不等式可化为()011<+⎪⎭⎫⎝⎛-x a x , 若11-<a ,即01<<-a ,则11-<<x a,…………………………… 10分若11-=a ,即1-=a ,则不等式解集为φ,…………………………… 12分 若11->a ,即1-<a ,则ax 11<<-.………………………………… 14分 综上,当1-<a 时,不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11; 当1-=a 时,不等式解集为φ;当01<<-a 时,则不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11x a x; 当0=a 时,不等式解集为{}1-<x x ;当0>a 时,不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11或.……………………… 16分 19、解:(1)设圆心(,)C m n ,由题易得3m =, …………………………………… 1分半径1r n =-, 得4n =-,5r =, ……………………… 3分 所以圆C 的方程为22(3)(4)25x y -++=. ……………………………… 4分 (2)由题可得PT CT ⊥,所以PTPQ 6分=240a b -+= 所以点P 总在直线240x y -+=上. …………………………………… 8分 (3)由(2)可知(4,0)F -, …………………………………………………… 9分由题可设点1(6,)M y ,2(6,)N y ,则圆心12(6,)2y y E +,半径122y y r -=, 从而圆E 的方程为2221212()(6)()24y y y y x y +--+-=,………………… 11分 整理得22121212()360x y x y y y y y +--+++=.又点F 在圆E 上,故0FM FN →→⋅=得12100y y =-,……………………… 13分 所以221212()640x y x y y y +--+-=.令0y =得212640x x --=, 所以16x =或4x =-,………………… 15分所以圆E 过定点(16,0)和(4,0)-. ……………………………………… 16分 20、解:(1)因为a 2,a 3,a 6成等差数列,所以a 2-a 3=a 3-a 6.………… 2分又因为a 2=12a +,a 3=13a +, a 6=16a+,代入得12a +-13a +=13a +-16a +,解得a =0.…………………… 4分 (2)设等差数列b 1,b 2,…,b m 的公差为d .因为b 1=1k ,所以b 2≤11k +, 从而d =b 2-b 1≤ 11k +-1k =-1(1)k k +.所以b m =b 1+(m -1)d ≤1k -1(1)m k k -+.…………………………………… 8分又因为b m >0,所以1k-1(1)m k k -+>0. 即m -1<k +1. 所以m <k +2. 又因为m ,k ∈N *,所以m ≤k +1. ……………… 10分 (3)设c 1=1t(t ∈N *),等比数列c 1,c 2,…,c m 的公比为q .因为c 2≤11t +,所以q =21cc ≤1t t +. …………………………………… 12分从而c n =c 1qn -1≤1t ()11n tt -+(1≤n ≤m ,n ∈N *).所以c 1+c 2+…+c m ≤1t +1t ()1tt +1+1t ()1tt +2+…+1t ()1t t +1m -=1t t +[1-()1t t +m] =1t t+-()1t t +1m -.………… 14分设函数f (x )=x -11m x -,(m ≥3,m ∈N *). 当x ∈(0,+∞)时,函数f (x )=x -11m x -为单调增函数. 因为当t ∈N *,所以1<1t t+≤2.所以f (1t t +)≤2-112m-,即 c 1+c 2+…+c m ≤2-112m -.………………… 16分。

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2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期中数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.(5分)命题“∀x∈R,x2﹣x+1>0”的否定是.2.(5分)抛物线y=x2的焦点坐标是.3.(5分)双曲线﹣x2=1的渐近线方程是.4.(5分)函数f(x)=x3﹣2x2+3x﹣1的极小值为.5.(5分)若命题“∃r∈R+,使得圆x2+y2=r2(r>0)与双曲线﹣=1有公共点”为假命题,则实数r的取值范围是.6.(5分)已知函数f(x)=x+2sinx,x∈[0,π],则函数y=f(x)的最大值为.7.(5分)命题“p:1<k<9”是命题“q:方程+=1表示椭圆”的条件.(填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”)8.(5分)函数f(x)=的递减区间为.9.(5分)双曲线9x2﹣16y2=144上一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O是坐标原点,则ON=.10.(5分)已知函数f(x)=e x﹣ax在区间(0,1)上有极值,则实数a的取值范围是.11.(5分)椭圆C:+=1和圆O:x2+y2=5,动点P在椭圆C上动点,当点P落在圆O内部时,点P横坐标的取值范围是.12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左焦点为F,直线x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0与椭圆分别相交于点A,B,C,D,则AF+BF+CF+DF=.13.(5分)已知直线l:y=x﹣4(k∈R)与双曲线C:﹣=1的右支有两个不同的交点,则双曲线C的离心率e的取值范围是.14.(5分)设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),在(﹣∞,0)上恒有2f(x)+xf′(x)>x2成立,则不等式(x+2015)2f(x+2015)﹣4f(﹣2)>0的解集为.二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知命题p:实数x满足x2﹣2x﹣8≤0;命题q:实数x满足|x﹣2|≤m(m>0).(1)当m=3时,若“p且q”为真,求实数x的取值范围;(2)若“非p”是“非q”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.16.(14分)已知椭圆C的中心在原点,左焦点为F1(﹣1,0),右准线方程为:x=4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C上点N到定点M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为1,求m 的值及点N的坐标.17.(14分)已知函数f(x)=xlnx.(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1,求实数a的取值范围.18.(16分)已知函数f(x)=a(x+),(x>0,a>0),点P为函数y=f(x)图象上一动点.(1)当a=2时,过点P分别向y轴及直线y=2x作垂线,垂足分别为点A,B,试计算线段PA,PB长度之积PA•PB的值;(2)作曲线y=f(x)在点P处的切线l,记直线l与y轴及直线y=ax的交点分别为M,N,试计算线段PM,PN长度比值.19.(16分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.20.(16分)已知函数f(x)=lnx+﹣kx(k为常数)(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在极值,求f(x)的零点个数.2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.(5分)命题“∀x∈R,x2﹣x+1>0”的否定是.【解答】解:∵命题“∀x∈R,x2﹣x+1>0”∵“任意”的否定为“存在”∴命题的否定为:,故答案为:2.(5分)抛物线y=x2的焦点坐标是(0,1).【解答】解:抛物线即x2=4y,∴p=2,=1,故焦点坐标是(0,1),故答案为(0,1).3.(5分)双曲线﹣x2=1的渐近线方程是y=±3x.【解答】解:已知双曲线﹣x2=1令:﹣x2=0即得到渐近线方程为:y=±3x;故答案为:y=±3x.4.(5分)函数f(x)=x3﹣2x2+3x﹣1的极小值为﹣1.【解答】解:f(x)=x3﹣2x2+3x﹣1,f′(x)=3x2﹣4x+3,令f′(x)=0,即x2﹣4x+3=0,解得:x=1,x=3,f′(x)>0,解得:x>3,x<1,∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,1),(3,+∞),f′(x)<0,解得:1<x<3,∴f(x)的单调递减区间为(1,3),∴当x=3,函数取极小值,极小值为f(3)=×27﹣2×9+3×3﹣1=﹣1,故答案为:﹣1.5.(5分)若命题“∃r∈R+,使得圆x2+y2=r2(r>0)与双曲线﹣=1有公共点”为假命题,则实数r的取值范围是0<r<2.【解答】解:双曲线﹣=1中a=2,∵命题“∃r∈R+,使得圆x2+y2=r2(r>0)与双曲线﹣=1有公共点”为假命题,∴命题“∀r∈R+,使得圆x2+y2=r2(r>0)与双曲线﹣=1没有公共点”为真命题,∴0<r<2,故答案为:0<r<2.6.(5分)已知函数f(x)=x+2sinx,x∈[0,π],则函数y=f(x)的最大值为.【解答】解:函数f(x)=x+2sinx,∴f′(x)=1+2cosx,当f′(x)=1+2cosx>0,解得cosx>﹣,即0≤x<,函数单调递增,当f′(x)=1+2cosx<0,解得cosx<﹣,即<x≤π,函数单调递减,故当x=函数有最大值,最大值为f()=+,故答案为:.7.(5分)命题“p:1<k<9”是命题“q:方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件.(填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”)【解答】解:方程+=1表示椭圆,则1<k<9且k≠5,即命题q:1<k<9且k≠5,故命题p是命题q的必要不充分条件,故答案为:必要不充分.8.(5分)函数f(x)=的递减区间为(﹣1,0)和.【解答】解:函数的定义域为{x|x≠0).∵f(x)=,∴f′(x)=令f′(x)<0,可得函数f(x)=的递减区间为(﹣1,0)和.故答案为:(﹣1,0)和.9.(5分)双曲线9x2﹣16y2=144上一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O是坐标原点,则ON=5.【解答】解:由题意,M 在双曲线的左支上, ∵M 到左焦点F 1的距离为2, ∴M 到右焦点F 的距离为10, ∵N 为MF 1的中点,O 为坐标原点, ∴ON=5. 故答案为:5;10.(5分)已知函数f (x )=e x ﹣ax 在区间(0,1)上有极值,则实数a 的取值范围是 (1,e ) .【解答】解:f (x )的定义域为R ,且 f′(x )=e x ﹣a .①当a ≤0时,f (x )=e x ,故f (x )在R 上单调递增,从而f (x )没有极大值,也没有极小值.②当a >0时,令f'(x )=0,得x=lna .f (x )和f′(x )的情况如下:故f (x )的单调减区间为(﹣∞,lna );单调增区间为(lna ,+∞). 从而f (x )的极小值为f (lna )=a ﹣alna ;没有极大值. ∵函数f (x )=e x ﹣ax 在区间(0,1)上有极值, ∴0<lna <1, ∴a ∈(1,e ). 故答案为:(1,e ).11.(5分)椭圆C :+=1和圆O :x 2+y 2=5,动点P 在椭圆C 上动点,当点P 落在圆O 内部时,点P 横坐标的取值范围是 .【解答】解:如图,联立,得5x2=9,即x=.由图可知,当点P落在圆O内部时,点P横坐标的取值范围是.故答案为:.12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左焦点为F,直线x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0与椭圆分别相交于点A,B,C,D,则AF+BF+CF+DF=8.【解答】解:由题意,设椭圆的右焦点为F1,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接AF,F1D.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1(其中F1是椭圆的左焦点)为平行四边形,所以AF1=FD,同理BF1=CF所以AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8.故答案为:8.13.(5分)已知直线l:y=x﹣4(k∈R)与双曲线C:﹣=1的右支有两个不同的交点,则双曲线C的离心率e的取值范围是(1,2).【解答】解:双曲线C:﹣=1的渐近线方程为y=±x,直线l:y=x﹣4(k∈R)与双曲线C:﹣=1的右支有两个不同的交点,可得>,解得﹣2<a<2,则双曲线的离心率e=<=2,由e>1可得e的范围是(1,2).故答案为:(1,2).14.(5分)设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),在(﹣∞,0)上恒有2f(x)+xf′(x)>x2成立,则不等式(x+2015)2f(x+2015)﹣4f(﹣2)>0的解集为(﹣∞,﹣2017).【解答】解:∵函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,2f(x)+xf′(x)>x2,∴2xf(x)+x2f′(x)<x3<0,∴[x2f(x)]′<0,∴函数y=x2f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,∵(x+2015)2f(x+2015)﹣4f(﹣2)>0,∴(x+2015)2f(x+2015)>(﹣2)2f(﹣2),∴x+2015<﹣2,x<﹣2017故答案为:(﹣∞,﹣2017)二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知命题p:实数x满足x2﹣2x﹣8≤0;命题q:实数x满足|x﹣2|≤m(m>0).(1)当m=3时,若“p且q”为真,求实数x的取值范围;(2)若“非p”是“非q”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)若p真:﹣2≤x≤4;当m=3时,若q真:﹣1≤x≤5…(3分)∵p且q为真,∴,∴实数x的取值范围为:[﹣1,4]…(7分)(2)∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件…(10分)∵若q真:2﹣m≤x≤2+m∴且等号不同时取得(不写“且等号不同时取得”,写检验也可)∴m≥4.…(14分)16.(14分)已知椭圆C的中心在原点,左焦点为F1(﹣1,0),右准线方程为:x=4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C上点N到定点M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为1,求m 的值及点N的坐标.【解答】解:(1)设椭圆的方程为:,…(1分)由题意得:,解得:,…(4分)∴b2=3,∴椭圆的标准方程:;…(7分)(2)设N(x,y),则,对称轴:x=4m,﹣2≤x≤2…(9分)①当0<4m≤2即,x=4m时,,解得:,不符合题意,舍去;…(11分)②当4m>2,即,x=2时,,解得:m=1或m=3;∵,∴m=1;…(13分)综上:m=1,N(2,0);…(14分)17.(14分)已知函数f(x)=xlnx.(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1,求实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数f'(x)=1+lnx.令f'(x)>0,解得;令f'(x)<0,解得.从而f(x)在单调递减,在单调递增.所以,当时,f(x)取得最小值.(Ⅱ)依题意,得f(x)≥ax﹣1在[1,+∞)上恒成立,即不等式对于x∈[1,+∞)恒成立.令,则.当x>1时,因为,故g(x)是[1,+∞)上的增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,从而a的取值范围是(﹣∞,1].18.(16分)已知函数f(x)=a(x+),(x>0,a>0),点P为函数y=f(x)图象上一动点.(1)当a=2时,过点P分别向y轴及直线y=2x作垂线,垂足分别为点A,B,试计算线段PA,PB长度之积PA•PB的值;(2)作曲线y=f(x)在点P处的切线l,记直线l与y轴及直线y=ax的交点分别为M,N,试计算线段PM,PN长度比值.【解答】解:(1)当a=2时,,设点P的坐标为,则,…(1分)依题意,,…(3分)由,得,…(5分)∴,…(7分)∴…(8分)(2)设点P的坐标为…(9分)∵,∴,…(11分)∴,…(12分)令x=0,得,…(13分)由,得N(2x0,2ax0),…(14分)则点为点和点N(2x0,2ax0)的中点,…(15分)所以…(16分)19.(16分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.【解答】解:(Ⅰ)由题意知,所以,即a2=4b2,∴a=2b又因为,∴a=2,故椭圆C的方程为.(4分)(Ⅱ)由题意知直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x﹣4).由得(4k2+1)x2﹣32k2x+64k2﹣4=0.①(6分)由△=(﹣32k2)2﹣4(4k2+1)(64k2﹣4)>0,得12k2﹣1<0,∴(8分)又k=0不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是:.(9分)(Ⅲ)设点N(x1,y1),E(x2,y2),则M(x1,﹣y1).直线ME的方程为.令y=0,得.(11分)将y1=k(x1﹣4),y2=k(x2﹣4)代入整理,得.②由①得,代入②整理,得x=1.(13分)所以直线ME与x轴相交于定点(1,0).(14分)20.(16分)已知函数f(x)=lnx+﹣kx(k为常数)(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在极值,求f(x)的零点个数.【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=,方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4,(i)当﹣2<k<2时,△<0,在f(x)的定义域内f′(x)>0,f(x)是增函数;(ii)当k=±2时,△=0,若k=﹣2,f′(x)=>0,f(x)是增函数若k=2,f′(x)=,那么x∈(0,1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,且f(x)在x=1处连续,所以f(x)是增函数;(iii)当k<﹣2或k>2时,△>0,方程x2﹣kx+1=0有两不等实根x1=,x2=,当k<﹣2时,x1<x2<0,当x>0时,x2﹣kx+1>0恒成立,即f′(x)>0,f(x)是增函数当k>2时,x2>x1>0,此时f(x)的单调性如下表:综上:当k≤2时,f(x)在(0,+∞)是增函数当k>2时,f(x)在(0,),(,+∞)是增函数,在(,)是减函数;(2)由(1)知当k>2时,f(x)有极值∵x 1==<<1,∴lnx 1<0,且f 极大值(x )=f (x 1 )=<0,∵f (x )在(0,x 1 )是增函数,在(x 1,x 2)是减函数,∴当x ∈(0,x 2]时,f (x )≤f (x 1)<0,即f (x )在(0,x 2]无零点, 当x ∈(x 2,+∞)时,f (x )是增函数,故f (x )在(x 2,+∞)至多有一个零点, 另一方面,∵f (2k )=ln (2k )>0,f (x 2)<0,则f (x 2)f (2k )<0, 由零点定理:f (x )在(x 2,2k )至少有一个零点, ∴f (x )在(x 2,+∞)有且只有一个零点 综上所述,当f (x )存在极值时, f (x )有且只有一个零点.赠送:初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型: 图形特征:P ABl运用举例:1. △ABC 中,AB =6,AC =8,BC =10,P 为边BC 上一动点,PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F ,M 为AP 的中点,则MF 的最小值为B2.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为AB的中点,F为AC上一动点,则EF+BF的最小值为_________。

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