人教版九年级下数学第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）

《锐角三角函数》单元练习题
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）A．B．C．D．
3．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）
A．5 米B．5米C．2米D．4米
4．如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m，则树的高度BD为（）
A．8m B．9.6m C．（4）m D．（8+1.6）m
5．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（）
A．B．C．D．
6．如图，网格中小正方形的边长都为1，点A，B，C在正方形的顶点处，则cos∠ACB的值为（）
A．B．C．D．
7．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14m到达D，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为（）
A．m B．m C．m D．m
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cos∠BCD 的值为（）
A．B．C．D．
9．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）
A．千米B．千米
C．千米D．千米
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（）
A．8B．12C．13D．18
11．已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，如果它把一物体从地面送到离地面9米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）
A．18米B．4.5米C．米D．米．
12．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）
A．cm B．cm C．64 cm D．54cm
二．填空题
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sin B的值是．14．已知∠A是锐角，且cos A＝，则tan A＝．
15．如图，在点A处测得点B处的仰角是．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝．
17．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．
18．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是米．
三．解答题
19．计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．
20．如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．（本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
（1）试问船B在灯塔P的什么方向？
（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）
21．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；
（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．
22．如图，已知：R t△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A 作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．
（1）求CF的长；
（2）求∠D的正切值．
23．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡AF上的D处测得大树顶端B的仰角是30°，在地面上A处测得大树顶端B的仰角是45°．若坡角∠F AE＝30°，AD＝6m，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）
24．“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．
（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；
（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）
25．被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“大玉米”）坐落在风景如画的如意湖，是来郑州观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数知识后，刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大王米”的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量项目及结果如下表：
项目内容
课题测量郑州会展宾馆的高度
的仰角是α，前进一段距离到达C点用测倾器CF测得楼
β，且点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平
测量数据∠α的度数∠β的度数EC的长度
，
40°45°53米……
请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°
≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）
参考答案一．选择题
1．【解答】解：∵∠A＝α，AB＝3，
∴cosα＝，
∴AC＝AB•cosα＝3cosα，
故选：B．
2．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，
∴tan A＝＝，
故选：A．
3．【解答】解：作BC⊥地面于点C，
设BC＝x米，
∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，
∴AC＝2x米，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，
解得，x＝2，即BC＝2米，
故选：C．
4．【解答】解：在Rt△CBH中，∠HCB＝45°，CH＝8m，
∴，
∴HB＝CH•tan∠HAB＝8×tan45°＝8m，
∴HD＝HB+AC＝8+1.6＝9.6．
答：树的高度为9.6m．
故选：B．
5．【解答】解：如图，
由sinα＝＝可设PQ＝4a，OP＝5a，
∵OQ＝3，
∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，
解得：a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，
则tanα＝＝，
故选：C．
6．【解答】解：如右图所示，
∵网格中小正方形的边长都为1，
∴CE＝＝2，AC＝＝，AE＝3，CD＝4，作AH⊥CE于点H，
∵，
∴，
解得，AH＝，
∵AC＝，AH＝，∠AHC＝90°，
∴CH＝＝，
∴cos∠ACH＝，
即cos∠ACB＝，
故选：D．
7．【解答】解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝45°，
∴BD＝AB．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝30°，
∴BC＝AB．
设AB＝x（米），
∵CD＝14，
∴BC＝x+14．
∴x+14＝x
∴x＝7（+1）．
即铁塔AB的高为7（+1）米．
故选：B．
8．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，∴BC＝7，
∵CD是斜边AB上的高，，
∴CD＝＝，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴cos∠BCD＝＝＝，
故选：B．
9．【解答】解：作PC⊥AB交AB于点C，如右图所示，
AC＝，BC＝，
∵m＝AC﹣BC，
∴m＝﹣，
∴PC＝＝，
故选：A．
10．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝，
∴＝，
∴AB＝13，
∴BC＝＝12，
故选：B．
11．【解答】解：如图：由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2，AE＝9米，AE⊥BD，∵i＝＝，
∴BE＝18米，
∴在Rt△ABE中，AB＝＝9（米）．
故选：D．
12．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，
令b＝3x，则a＝4x，
由勾股定理可得c＝5x，
所以sin B＝＝＝，
故答案为：．
14．【解答】解：∵∠A为锐角，且cos A＝，以∠A为锐角作直角三角形△ABC，∠C＝90°．∴cos A＝＝．
设AC＝5k，则AB＝13k．
根据勾股定理可得：BC＝12k．
∴tan A＝＝．
故答案为：．
15．【解答】解：在点A处测得点B处的仰角是∠4，
故答案为：∠4．
16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，
∵AE⊥CD，
∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，
∴∠CAE＝∠B，
∴cot∠CAE＝cot B＝＝＝2，
故答案为：2．
17．【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，
则四边形ECBG，HBDF是矩形，
∴EC＝GB＝20，HB＝FD，
∵B为CD的中点，
∴EG＝CB＝BD＝HF，
由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．
在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，
∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，
在Rt△AHP中，AH＝HF•t an45°＝10米，
∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．
答：2号楼的高度为（50﹣10）米．
故答案为：（50﹣10）．
18．【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，
∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，
∴AM＝BN＝2.5x，
故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，
解得：x＝16，
即这个水库大坝的坝高是16米．
故答案为：16．
三．解答题（共7小题）
19．【解答】解：原式＝2×+4××﹣6×（）2
＝1+2﹣3
＝0．
20．【解答】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，
在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，
在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，
∴cos∠BPC＝＝，
∴∠BPC＝30°，
∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；
（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，
BC＝PB＝10，
∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，
答：两船相距（40﹣10）海里．
21．【解答】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，
∴CP＝4，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，
∴BP＝2，
∵D是边AB的中点，P为AC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝BP＝；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，
∵BD＝DA，
∴FD＝DC，BF＝AC，
∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，
∴EF＝8，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
设CP＝k，则P A＝3k，
∵PD⊥AB，D是边AB的中点，
∴P A＝PB＝3k
∴BC＝2k，
∴AB＝2k，
∵AC＝4k，
∴cos A＝；
（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝BD＝AB，
∵PB2＝2CD2，
∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴∠BPD＝∠A，
∵∠A＝∠DCA，
∴∠DPE＝∠DCP，
∵∠PDE＝∠CDP，
∴△DPE∽△DCP，
∴PD2＝DE•DC，
∵DE＝3，DC＝5，
∴PD＝．
22．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，
∴∠BAC+∠CAF＝90°，
∴∠B＝∠CAF，
∴△ABC∽△F AC，
∴＝，即＝，
解得CF＝；
（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
则CH＝＝，
∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，
∴tan D＝tan∠ECH＝＝．
23．【解答】解：延长BD交AE于点G，作DH⊥AE于H，设BC＝xm，
由题意得，∠DGA＝∠DAG＝30°，
∴DG＝AD＝6，
∴DH＝3，GH＝＝3，
∴GA＝6，
在Rt△BGC中，tan∠BGC＝，
∴CG＝＝x，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝x，
由题意得，x﹣x＝6，
解得，x＝≈14，
答：大树的高度约为14m．
24．【解答】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，
∴AG＝AC＝10，CG＝AG＝10，
∵BC＝BD﹣CD＝30，
∵CG⊥AB，DH⊥AB，
∴CG∥DH，
∴△BCG∽△BDH，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝≈23（厘米）；
∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；
（2）过C′作C′S⊥MN于S，
∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，
∴A′S＝C′S＝10，
∴BS＝＝10，
∴A′B＝10+10，
∵BG＝＝10，
∴AB＝10+10，
∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），
∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．
25．【解答】解：由题意可得：设BN＝FN＝x，则tan40°＝＝≈0.84，
解得：x＝278.25，
故AB＝278.25+1.5≈280（m），
答：郑州会展宾馆的高度为280m．。