高中数学讲义：函数的图像

函数的图像
一、基础知识
1、做草图需要注意的信息点：
做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。

在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点
（1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线
特点：两点确定一条直线信息点：与坐标轴的交点
（2）二次函数：()2
y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。

函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确特点：对称性
信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点（3）反比例函数：1
y x
=
,其定义域为()(),00,-¥+¥U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线信息点：渐近线注：
（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。

渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x ®+¥，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。

（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x ®+¥（或-¥）时，()f x ®常数
C ，则称直线y C =为函数()f x 的水平渐近线
例如：2x y = 当x ®+¥时，y ®+¥，故在x 轴正方向不存在渐近线 当x ®-¥时，0y ®，故在x 轴负方向存在渐近线0
y =（3）竖直渐近线的判定：首先()f x 在x a =处无定义，且当x a ®时，()f x ®+¥（或-¥），那么称x a =为()f x 的竖直渐近线
例如：2log y x =在0x =处无定义，当0x ®时，()f x ®-¥，所以0x =为2log y x =的一条渐近线。

综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线。

例：作出函数()1
f x x x
=-
的图像
分析：定义域为()(),00,-¥+¥U ，且()f x 为奇函数，故
先考虑x 正半轴情况。

()'21
10f x x =+
>故函数单调递增，()''32
0f x x =-<，故函数为上凸函数，当x ®+¥时，
()f x ®+¥无水平渐近线，0x ®时，()f x ®-¥，所以y 轴为()f x 的竖直渐近线。

零
点：()1,0，由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性得到()f x 完整图像：2、函数图象变换：设函数()y f x =，其它参数均为正数（1）平移变换：
()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位()f x b +：()f x 的图像向上平移a 个单位()f x b -：()f x 的图像向下平移a 个单位
（2）对称变换：
()f x -：与()f x 的图像关于y 轴对称
()f x -：与()f x 的图像关于x 轴对称()f x --：与()f x 的图像关于原点对称
（3）伸缩变换：
()f kx ：()f x 图像纵坐标不变，横坐标变为原来的1101k k k >ìí
<<î：收缩
：拉伸()kf x ：()f x 图像横坐标不变，纵坐标变为原来的101k k k >ìí
<<î：
拉伸倍：收缩
（4）翻折变换：
()f x ：()()(),0
,0
f x x f x f x x ³ìï=í
-<ïî即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半轴图像关于y 轴对称的图像
()f x ：()()()()(),0
,0
f x f x f x f x f x ³ìï=í
-<ïî即x 轴上方的图像不变，下方的图像沿x 轴对称的翻上去。

3、二阶导函数与函数的凹凸性：
（1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况，若一个函数的增减图像为 则称函数为下凸函数
若一个函数的增减图像为 则称函数为上凸函数
（2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快 下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢
（3）与导数的关系：设()'f x 的导函数为()''f x （即()f x 的二阶导函数），如图所示：增长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随x 的增大而增大，即()'f x 为增函
数()''0f x Þ³；上凸函数随x 的增大而减小，即()'f x 为减函数()''
0f x Þ£；
综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。

二、方法与技巧：
1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，
再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：
（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于x 轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于x 轴下方的区域表示原函数的单调减区间
（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分（3）极值点
（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察
（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分。

其单调性可由二阶导函数确定2、利用图像变换作图的步骤：
（1）寻找到模板函数()f x （以此函数作为基础进行图像变换）（2）找到所求函数与()f x 的联系
（3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。

例如：作图：()ln 1y x =+第一步寻找模板函数为：()ln f x x =第二步寻找联系：可得()
1y f x =+第三步制定策略：由()1f x +特点可得：先将()f x 图像向左平移一个单位，再将x 轴下方图像向上进行翻折，然后按照方案作图即可3、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换
例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤
()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为
平移变换
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求
② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化例如：()()21y f x y f x =®=+可有两种方案
方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x ®+。

再放缩（横坐标变为原来的
12
），此时系数2只是添给x ，即()()121f x f x +®+方案二：先放缩（横坐标变为原来的1
2
），此时()()2f x f x ®，再平移时，若平移a 个单
位，则()()()()2222f x f x a f x a ®+=+（只对x 加a ），可解得12a =，故向左平移
1
2
个单位
③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如：()()21y f x y f x =®=+有两种方案
方案一：先放缩：()()2y f x y f x =®=，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即()()()
221
y f x y f x =®=+方案二：先平移：()()1y f x y f x =®=+，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a 倍，那么
()()()11y f x y a f x =+®=+，无论a 取何值，也无法达到()21y f x =+，所以需要对
前一步进行调整：平移1
2
个单位，再进行放缩即可（2a =）4、变换作图的技巧：
（1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。

在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。

先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性
（2）图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与y 轴的交点等三、例题精析：
例1：己知函数()32f x ax bx c =++，其导数()'f x 的图象如图所示，则函数()f x 的极大
值是（ ）
A.a b c ++
B.84a b c ++
C.32a b +
D.c 思路：由图像可知：()0,2x Î时，()'0f x >,()f x 单调递增，
()2,x Î+¥时，()'0f x <,()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()284f a b c
=++答案：B
小炼有话说：观察导函数图像时首要关注的是函数的符号，即是在x 轴的上方还是下方，导函数的符号决定原函数的单调性
例2：设函数()y f x =可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ¢=的图像可能为（ ）
思路：根据原函数的图像可得：()f x 在(),0-¥单调递增，在正半轴先增再减再增，故()'f x 在负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为“正负正”，观察四个选项只有D 符合答案：D
小炼有话说：本题可直接由导函数的符号来排除其他选项，若选项中也有符合D 中“ 负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为‘正负正’”，那么可观察第二条标准：从图上看在x 负半轴中，函数增长的速度越来越快，则说明切线斜率随x 的增大而增大，进而导函数在x 负半轴也单调递增，依次类推可得到正半轴的情况，D 选项依然符合特征 例3：函数()21x f x e x =-的部分图象为（
）
思路：()()()'
2222x x f
x e x e x x x e =+=+，可得()f x 在()(),2,0,-¥-+¥单调递增，在
()2,0-单调递减，且可估计当x ®-¥，2
20x
x x x e e
-=®即()1f x ®-，所以1y =-为函
A
B
C
D
数()f x 的渐近线，当,x y ®+¥®+¥由此可判断出图像A 正确答案：A
小炼有话说：（1）本题考查的是通过分析函数性质作图，单调性是非常重要的一个要素，通过单调性也可排除其他三个选项
（2）关于渐近线的判断：对于x ®-¥，2
20x
x x x e e
-=®可这样理解，x ®+¥时，2,x
x e -均趋向正无穷，但x e -的速度更快，进而伴随着x ®+¥，x e -将远远大于2x ，进而比值趋于0，当x ®+¥,增长速度的排名为：直线（一次函数）<二次函数<指数函数例4：函数()ln ||
||
x x f x x =
的图像可能是（ )思路：观察解析式可判断出()ln x x
f x x
=为奇函数，排除A,C. 当0x >时，()0ln f x x >=,故选择B 答案：B
小炼有话说：()ln ||
||
x x f x x =
有两点可以优先观察：一个是奇偶性，则图像具有对称性，只需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用x 的符号去掉绝对值，进而得到正半轴的解析式。

例5（2015 浙江文）：函数()()1cos ,0f x x x x x x p p æ
ö
=-
-££¹ç÷è
ø
的图像可能为（ ）A B
D
C
思路：观察4个选项的图像，其中A，B 图像关于y 轴对称，C,D 图像关于原点中心对称。

所以先判断函数奇偶性，可判断出()()()11cos cos f x x x x x f x x x æöæö-=-+
-=--=-ç÷ç÷è
øè
ø所以()f x 为奇函数，排除A，B，再观察C,D 的区别之一就是()f p 的符号，经过计算可得
()11cos 0f p p p p p p æ
ö=-=-<ç÷è
ø，所以排除C
答案：D
例6：已知()21sin ,42f x x x p æö
=
++ç÷èø
()f x ¢为()f x 的导函数，则()f x ¢的图像是( )
思路：()2211
sin cos 424
f x x x x x p æö=
++=+ç÷èø，()1'sin 2f x x x =-，可判断()'f x 为奇函数，图像关于原点中心对称，排除,B D 。

因为'
11sin 10626
626f p p p p æöæö
=×-=-<ç÷ç÷èøèø，排除C 。

故A 正确。

答案：A
小炼有话说：()'1
sin 2
f x x x =
-可优先判断出奇偶性，进而排除一些选项，对于,A C 选项而言，其不同之处有两点，一点是从0x =处开始的()'f x 符号，解析的思路也源于此，但需要代入特殊角进行判断，A 选项的图中发现在x 轴正半轴中靠近y 轴的函数值小于零，从而选择最接近0的特殊角
6
p ，除此之外，,A C 图像的不同之处还在于从0x =开始时()'
f x 的单调性，所以也可对()'f x 求导，()''1cos 2f x x =-，则0,3x p æö
Îç÷èø
时，()''0f x <，即()'f x 应先减再增。

所以排除C
例7：下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是( )
A．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④
思路：如图所示：在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的，即单调增区间导数大于零，单调减区间上导数小于零；在③中显示在区间()0,b 上导函数的值为负值，而该区间上的函数图象显示不单调，二者不一致，所以③不正确；在④图象显示在区间(),a b 上导函数的值总为正数，而相应区间上的函数图象却显示为减函数，二者相矛盾，所以不正确.故选B.答案：B
小炼有话说：要注意导函数图像与原函数图像的联系：导函数的符号与原函数的单调性相对应，导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。

例8：已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()2
'
230x x f
x -->的解集为
( )
A.()(),21,-¥-+¥U
B.()(),21,2-¥-U
C.
()()()
,11,02,-¥--+¥U U D.
()()()
,11,13,-¥--+¥U U
思路：由图像可得：()(),1,1,x Î-¥-+¥时，()'
0f
x >，()1,1x Î-时，()'0f x <，所以
所解不等式为：()2'
2300x x f x ì-->ïí>ïî或()2'230
x x f x ì--<ïí<ïî，可得：()()(),11,13,-¥--+¥U U 答案：D
例9：函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示,则22
12x x +等于
( )
A.
89 B.109 C.169 D.4
5
思路：由图像可得：12,x x 为()f x 的极值点，1,0,2x x x =-==为函数的零点
()'232f x x bx c =++,即12,x x 是方程2320x bx c ++=的两个根，122,3
b
x x \+=-
123c x x =,()2222
12121242293
b c x x x x x x \+=+-=-,
由()()()10101208420200
00f b c d b f b c d c d d f -=ì-+-+==-ììïïï
=Þ+++=Þ=-íííïïï===îîî
()
22
221
2
12124216
2939
b c x x x x x x \+=+-=-=
答案：C
小炼有话说：在观察一个函数图像时，有几个地方值得关注：极值点——单调区间的分界点，导函数的零点；零点——函数符号的分界点；单调性——决定导函数的符号。

例10：（2015 安徽）函数()()
2
ax b
f x x c +=
+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.0,0,0a b c >><
B.0,0,0a b c <>>
C.0,0,0a b c <><
D.0,0,0a b c <<<思路：观察函数图像突出的特点便可确定,,a b c
的符号：
- 11 -特点1：渐近线在x 正半轴，从解析式可知()f x 的竖直渐近线为0x c +=即x c =-，所以00
c c ->Þ<特点2：x ®-¥时，()f x 仍大于0，通过解析式可得()f x 的符号由ax b +决定，所以从“x ®-¥时，()f x 仍大于0”中可推断出0
a <特点3：图像与y 轴交点纵坐标为正，()2
00b f c =
>，所以0b >综上所述，选项0,0,0
a b c <><答案：C。