高中数学必修5优质课件：数列的通项公式与递推公式
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第七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需 注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式．
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其 特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公 式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项 数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应 项变化的趋势．
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
3．已知 a1＝1，an＝1＋an1－1(n≥2)，则 a5＝________. 解析：由 a1＝1，an＝1＋an1－1得 a2＝2，a3＝32，a4＝53， a5＝85. 答案：85
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
4．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝13(n∈N*)，则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”)．
解：将 A，B 之间所有站按序号 1,2,3,4,5,6,7,8 编号．通过计 算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列 7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：
站号(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余邮件数(an) 7 12 15 16 15 12 7 0
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 1．一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件，沿途(包括 A，B) 共有 8 站，从 A 地出发时，装上发往后面 7 站的邮件各一个，到 达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面 各站的邮件各一个．试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余 邮件个数所成的数列．
第五页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
由递推公式归纳数列的通项公式
[例 3] 已知数列{an}的第 1 项是 2，以后的各项由公式
an＝1－ana－n1－1(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前 5 项，并 归纳出数列求值．
a1＝2，a2＝1－2 2＝－2，a3＝1－－－2 2＝－23，
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
【练习反馈】
1．符合递推关系式 an＝ 2an－1 的数列是( )
A．1,2,3,4，…
B．1， 2，2,2 2，…
C. 2，2， 2，2，…
D．0， 2，2,2 2，…
解析：B 中从第二项起，后一项是前一项的 2倍，符合递 推公式 an＝ 2an－1.
(1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝n＋n 1.
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[解] (1)数列{an}的前 5 项依次是 1,3,1,3,1，图象如下图 ①所示．
(2)数列{an}的前 5 项依次是 2，32，43，54，65，图象如下 图②所示．
第三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
解析：由已知 a1>0，an＋1＝13an(n∈N*)， 得 an>0(n∈N*)． 又 an＋1－an＝13an－an＝－23an<0， 所以{an}是递减数列．
答案：递减
第十九页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2＋n 1，写出它的前 5 项， 并判断该数列的单调性． 解：对于公式 an＝n2＋n 1，依次取 n＝1,2,3,4,5，得到数列的前 5 项为 a1＝12，a2＝25，a3＝130，a4＝147，a5＝256. 而 an＋1－an＝n＋n＋121＋1－n2＋n 1＝[n＋11－2＋n21－]nn2＋1. 因为 n∈N*，所以 1－n2－n＜0，所以 an＋1－an＜0，即 an＋1＜ an.故该数列为递减数列．
数列的通项公式与递推公式
【知识梳理】
如果已知数列{an}的 第一项 (或前几项)，且任一项 an 与它的 前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
第一页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
【常考题型】
数列的表示方法
[例 1] 根据数列{an}的通项公式，把下 列数列用图象表示出来(n≤5，且 n∈N*)．
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
a5＝a4＋5×1 4＝74＋210＝95. 故数列的前 5 项分别为 1，32，53，74，95. 由于 1＝2×11－1，32＝2×22－1，53＝2×33－1，74＝2×44－1， 95＝2×55－1， 故数列{an}的一个通项公式为 an＝2nn－1＝2－n1.
答案：B
第十六页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
2．数列12，14，18，116，…的递推公式可以是(
)
A．an＝2n1＋1(n∈N*)
B．an＝21n(n∈N*)
C．an＋1＝12an(n∈N*)
D．an＋1＝2an(n∈N*)
解析：数列从第二项起，后一项是前一项的12，故递推公式为
an＋1＝12an(n∈N*)． 答案：C
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由 an＝an－1 ＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bn＝aan＋n 1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn} 的前 4 项．
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且 a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
－2 a4＝1－－3 23＝－25，
第十一页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
a5＝1－－－25 25＝－27. 即数列{an}的前 5 项为 2，－2，－23，－25，－27. 也可写为－ －12，－12，－32，－52，－27. 即分子都是－2，分母依次加 2，且都是奇数， 所以 an＝－2n2－3(n∈N*)．
由递推公式求数列中的项
[例 2] 已知数列{an}的第一项 a1＝1，以后的各项由公式 an＋1＝a2n＋an2给出，试写出这个数列的前 5 项．
[解] ∵a1＝1，an＋1＝a2n＋an2，∴a2＝a12＋a12＝23， a3＝a22＋a22＝223× ＋232＝12，a4＝a32＋a32＝212× ＋122＝25， a5＝a24＋a42＝225× ＋252＝13.故该数列的前 5 项为 1，23，12，25，13.
第九页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
故数列{an}的前 5 项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝aan＋n1，且 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa43＝35， b4＝aa45＝58. 故 b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需 注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式．
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其 特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公 式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项 数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应 项变化的趋势．
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
3．已知 a1＝1，an＝1＋an1－1(n≥2)，则 a5＝________. 解析：由 a1＝1，an＝1＋an1－1得 a2＝2，a3＝32，a4＝53， a5＝85. 答案：85
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
4．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝13(n∈N*)，则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”)．
解：将 A，B 之间所有站按序号 1,2,3,4,5,6,7,8 编号．通过计 算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列 7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：
站号(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余邮件数(an) 7 12 15 16 15 12 7 0
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 1．一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件，沿途(包括 A，B) 共有 8 站，从 A 地出发时，装上发往后面 7 站的邮件各一个，到 达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面 各站的邮件各一个．试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余 邮件个数所成的数列．
第五页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
由递推公式归纳数列的通项公式
[例 3] 已知数列{an}的第 1 项是 2，以后的各项由公式
an＝1－ana－n1－1(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前 5 项，并 归纳出数列求值．
a1＝2，a2＝1－2 2＝－2，a3＝1－－－2 2＝－23，
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
【练习反馈】
1．符合递推关系式 an＝ 2an－1 的数列是( )
A．1,2,3,4，…
B．1， 2，2,2 2，…
C. 2，2， 2，2，…
D．0， 2，2,2 2，…
解析：B 中从第二项起，后一项是前一项的 2倍，符合递 推公式 an＝ 2an－1.
(1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝n＋n 1.
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[解] (1)数列{an}的前 5 项依次是 1,3,1,3,1，图象如下图 ①所示．
(2)数列{an}的前 5 项依次是 2，32，43，54，65，图象如下 图②所示．
第三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
解析：由已知 a1>0，an＋1＝13an(n∈N*)， 得 an>0(n∈N*)． 又 an＋1－an＝13an－an＝－23an<0， 所以{an}是递减数列．
答案：递减
第十九页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2＋n 1，写出它的前 5 项， 并判断该数列的单调性． 解：对于公式 an＝n2＋n 1，依次取 n＝1,2,3,4,5，得到数列的前 5 项为 a1＝12，a2＝25，a3＝130，a4＝147，a5＝256. 而 an＋1－an＝n＋n＋121＋1－n2＋n 1＝[n＋11－2＋n21－]nn2＋1. 因为 n∈N*，所以 1－n2－n＜0，所以 an＋1－an＜0，即 an＋1＜ an.故该数列为递减数列．
数列的通项公式与递推公式
【知识梳理】
如果已知数列{an}的 第一项 (或前几项)，且任一项 an 与它的 前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
第一页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
【常考题型】
数列的表示方法
[例 1] 根据数列{an}的通项公式，把下 列数列用图象表示出来(n≤5，且 n∈N*)．
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
a5＝a4＋5×1 4＝74＋210＝95. 故数列的前 5 项分别为 1，32，53，74，95. 由于 1＝2×11－1，32＝2×22－1，53＝2×33－1，74＝2×44－1， 95＝2×55－1， 故数列{an}的一个通项公式为 an＝2nn－1＝2－n1.
答案：B
第十六页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
2．数列12，14，18，116，…的递推公式可以是(
)
A．an＝2n1＋1(n∈N*)
B．an＝21n(n∈N*)
C．an＋1＝12an(n∈N*)
D．an＋1＝2an(n∈N*)
解析：数列从第二项起，后一项是前一项的12，故递推公式为
an＋1＝12an(n∈N*)． 答案：C
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由 an＝an－1 ＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bn＝aan＋n 1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn} 的前 4 项．
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且 a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
－2 a4＝1－－3 23＝－25，
第十一页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
a5＝1－－－25 25＝－27. 即数列{an}的前 5 项为 2，－2，－23，－25，－27. 也可写为－ －12，－12，－32，－52，－27. 即分子都是－2，分母依次加 2，且都是奇数， 所以 an＝－2n2－3(n∈N*)．
由递推公式求数列中的项
[例 2] 已知数列{an}的第一项 a1＝1，以后的各项由公式 an＋1＝a2n＋an2给出，试写出这个数列的前 5 项．
[解] ∵a1＝1，an＋1＝a2n＋an2，∴a2＝a12＋a12＝23， a3＝a22＋a22＝223× ＋232＝12，a4＝a32＋a32＝212× ＋122＝25， a5＝a24＋a42＝225× ＋252＝13.故该数列的前 5 项为 1，23，12，25，13.
第九页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
故数列{an}的前 5 项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝aan＋n1，且 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa43＝35， b4＝aa45＝58. 故 b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.