陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题(含答案解析)

陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二上学期期末文科数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知实数a 、b ，那么||||||a b a b +=-是0ab <的（）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
2．若实数x ，y 满足约束条件0
20x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩
，则2z x y =-的最小值为（
）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
3．已知数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，且354a b +=，598a b +=，则47a b +=（）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．已知()1
10m a a a
=++>，()31x
n x =<，则m ，n 之间的大小关系是（
）
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n
=D ．m n
≤5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4,30a b A ===︒，则B =（）
A ．30︒
B ．30︒或150︒
C ．60︒
D ．60︒或120︒
6．若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程为10x y -+=，则a b +=（）
A ．2
B ．0
C ．1
-D ．2
-7．抛物线()2
20x py p =>上一点M 的坐标为()2,1-，则点M 到焦点的距离为（
）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．
1716
8．函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，令(2)a f ='，(4)b f ='，(4)(2)
2
f f c -=
，则下列数值排序正确的是（）
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．c b a
<<
9．已知椭圆2
2
1(0)y x m m
+=>的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m =（
）
A ．2
B ．1
C ．1
4
D ．4
10．已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，以下结论：
①()f x 在区间(2,3)-上有2个极值点②()f x '在=1x -处取得极小值③()f x 在区间(2,3)-上单调递减
④()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于0正确的序号是（）
A ．①④
B ．②③④
C ．②③
D ．①②④
11．函数()sin e x
x
f x =
在[],ππ-上大致的图象为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()e x
f x '<，且()22e 2f =+，
则不等式()ln 2f x x >+的解集是（
）
A ．()
2
0,e
B ．()
0,2C ．()
2
,e
-∞D ．()
,2-∞
二、填空题
13．若命题“x ∃∈R ，22x m ->”是真命题，则实数m 的取值范围是______.14．已知直线1l ：()2100mx y m ++=>，与双曲线C ：2
214
x y -=的一条渐近线垂直，则m =__________.
15．设{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且248,,a a a 成等比数列，则12910
11a a a a ++= ___16．已知钝角三角形的三边a =k ，b =k +2，c =k +4，则k 的取值范围是___________.
三、解答题
17．设2:3,:11180p a x a q x x <<-+≤．
(1)若1a =，“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()29f x x x =+-.(1)解不等式()15f x <；
(2)若关于x 的不等式()f x a <有解，求实数a 的取值范围.
19．如图，已知平面四边形ABCD ，45A ∠=︒，75ABC ∠=︒，30BDC ∠=︒，2BD =
，CD =
（1）求CBD ∠；（2）求AB 的值.
20．已知函数()2
()4(),R f x x x a a =--∈且(1)0f '-=．
(1)求a 的值；
(2)讨论函数()f x 的单调性；
(3)求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值．
21．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个顶点为(0,1)A -，椭圆上任一点到两个焦点
的距离之和(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在实数m ，使直线:l y x m =+与椭圆有两个不同的交点M 、N ，并使||||AM AN =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数()3
1f x x ax =-+．
(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；(2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．
参考答案：
1．D
【分析】等式两边平方结合反例即可判断.
【详解】因为2222||||||2|2|||0a b a b a ab b a ab b ab ab ab +=-⇒++=-+⇒=-⇒≤，所以必要性不成立；
当1,2a b ==-时，满足0ab <，但||||||a b a b +≠-，所以必要性不成立；所以||||||a b a b +=-是0ab <的既不充分也不必要条件.故选:D ．2．A
【分析】画出可行域，平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此来求得z 的最小值.【详解】0
20x y x y -=⎧⎨+-=⎩
，解得1x y ==，设()1,1A ，
平移基准直线20x y -=到可行域边界()1,1A 处时，2z x y =-取得最小值1211-⨯=-.
故选：A
3．B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】因为354a b +=，598a b +=，所以355912a b a b ++=+，即355912a a b b ++=+，
根据等差数列的性质可知3559472212a a b b a b ++=+=+，所以476a b +=.
故选:B.4．A
【分析】利用基本不等式及其指数函数的单调性即可求解.
【详解】∵0a >，∴1113m a a
=++≥=，当且仅当1a =时，等号成立,即3m ≥，又∵1x <，∴1333x n =<=，即3n <，则m n >，故选：A .5．D
【分析】根据4,30a b A ===︒，利用正弦定理求解.
【详解】解：在ABC 中，4,30a b A ===︒，由正弦定理得
sin sin a b
A B
=，
所以sin sin 30sin 42
b A B a ⋅===
，所以B =60︒或120︒，故选：D 6．A
【分析】求出导数，将0x =代入后，可得1a =，将()0,b 代入10x y -+=后可得1b =，进而得到a b +．
【详解】由2y x ax b =++得2y x a '=+，
又曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程为10x y -+=，故当0x =时，1
y a '==又点()0,b 在10x y -+=上，则1b =，故2a+b =．故选：A ．7．B
【分析】将点M 坐标代入抛物线可得p ，则所求距离为12
p
+
.【详解】()2,1M - 在抛物线上，42p ∴=，解得：2p =，∴点M 到焦点的距离为122
p
+=.故选：B.8．C
【分析】利用导数的几何意义判断.【详解】由函数图象知：()()()42(2)442
f f f f -''<<-，
所以a c b <<，故选：C 9．D
【分析】根据椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，列式求解.【详解】由条件可知，2a m =，21b =
，且22=⨯，解得：4m =.故选：D 10．B
【分析】根据导函数()f x '的图像，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，分析判断①②③，对于④：由于()f x 的图像在0x =处的切线斜率为()0f '，从而可由导函数的图像判断.
【详解】根据()f x '的图像可得，在()2,3-上，()0f x '≤，所以()f x 在()2,3-上单调递减，所以()f x 在区间()2,3-上没有极值点，故①错误，③正确；
由()f x '的图像可知，()f x '在()2,1--单调递减，在()1,1-单调递增，故②正确；根据()f x '的图像可得()00f '<，即()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于0，故④正确.故选：B.11．B
【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在[]0,π上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的[]π,πx ∈-，()()()sin sin e
e
x
x
x x f x f x ---==-
=-，
所以，函数()sin e
x x
f x =
在[],ππ-上的图象关于原点对称，排除AC 选项，当0πx ≤≤时，()sin e
x x
f x =，则(
)πcos sin 4e e x
x
x x x
f x ⎛
⎫- ⎪
-⎝⎭'==-，因为ππ3π
444x -
≤-≤，由()0f x '<可得π3π044
x <-≤，则ππ4x <≤，
由()0f x ¢>可得ππ
044
x -≤-<，则π04x ≤<，
所以，函数()f x 在π0,4⎡⎫
⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π4⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递减，排除D 选项.
故选：B.12．A
【分析】设()()e 2x
g x f x =-+，求导可得()g x 在R 上单调递减，再根据()ln 2f x x >+转化
为()ln 4g x >，再结合()g x 的单调性求解即可.
【详解】设()()e 2x g x f x =-+，则()()e x
g x f x '-'=.因为()e x
f x '<，所以()e 0x f x '-<，即()0
g x '<，
所以()g x 在R 上单调递减.
不等式()ln 2f x x >+等价于不等式()ln 24f x x -+>，即()ln 4g x >.
因为()22e 2f =+，所以()()2
22e 24g f =-+=，所以()()ln 2g x g >.
因为()g x 在R 上单调递减，所以ln 2x <，解得20e x <<故选：A 13．()
,2-∞【分析】求得22y x =-的最大值，结合题意，即可求得结果.
【详解】22y x =-的最大值为2，根据题意，2m >，即m 的取值范围是(),2-∞.故答案为：(),2-∞.14．4
【分析】求得双曲线C 的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.【详解】对双曲线C ：2
214
x y -=，其渐近线方程为12y x =±，
对直线1l ：()2100mx y m ++=>，且斜率为02
m
-<，
根据题意可得1
122
m -⨯=-，解得4m =.故答案为：4.15．
910
【详解】分析：由题意先求出{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.
详解：∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，∴（1+3d ）2=（1+d ）（1+7d ），解得d=1，或d=0（舍），∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ．∴
12910111111111119
1112239102239101010
a a a a ++=+++=-+-++-=-=⨯⨯⨯故答案为
9
10
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)
()
1
111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；（2
）
1k
=
；（3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此
外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.16．26
k <<【分析】先解不等式cos 0C <，再结合两边之和大于第三边求解.【详解】解：∵c b a >>，且ABC 为钝角三角形，∴C ∠为钝角，
∴()()()()
2
22
222224412
cos 022222k k k a b c k k C ab k k k k ++-++---===<++，
∴24120k k --<，解得26k -<<，
由两边之和大于第三边得24k k k ++>+，∴2k >.∴26k <<.故答案为：26k <<17．(1){23}x x ≤<(2){0a a ≤或23}
a ≤≤【分析】（1）先分别求得P 为真命题和q 为真命题的实数x 的取值范围，再根据p 且q 为真命题，利用集合的交集运算求解；
（2）记{3}C x a x a =<<，根据p 是q 的充分不必要条件，由C B Ü求解.【详解】（1）解：当1a =时，P 为真命题，实数x 的取值范围为{13}A x x =<<，211180(2)(9)029x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，
q 为真命题，实数x 的取值范围为{}29B x x =≤≤，∵p 且q 为真命题
所以实数x 的取值范围为{23}A B x x ⋂=≤<；（2）记{3}C x a x a =<<∵p 是q 的充分不必要条件所以C B
Ü当0a ≤时，C =∅，满足题意；
当0a >时，239
a a ≥⎧⎨≤⎩解得23a ≤≤；
综上所述：实数a 的取值范围为{0a a ≤或23}a ≤≤18．(1){}311x x <<；(2)9a >.
【分析】（1）根据零点分段法可得()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪
=-≤<⎨⎪-<⎩
，然后分段解不等式，即得；
（2）由题可得()min a f x >，然后求函数的最小值即得.【详解】（1）因为函数()29f x x x =+-，
所以()318,9
18,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪
=-≤<⎨⎪-<⎩
，
∵()15f x <，
所以931815x x ≥⎧⎨-<⎩或091815x x ≤<⎧⎨-<⎩或018315
x x <⎧⎨-<⎩，解得311x <<，所以原不等式的解集为{}311x x <<；
（2）由()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩
，可得
函数()f x 在(),9-∞上单调递减，在()9,+∞上单调递增，
当9x =时，函数()f x 有最小值为9，
∴9a >.
19．（1）60︒；（2
.
【分析】（1）由余弦定理求2BC ，根据勾股逆定理知90DCB ∠=︒，即可求CBD ∠.（2）由（1）得120ADB ∠=︒，应用正弦定理即可求AB 的值.
【详解】（1）在△BCD 中，由余弦定理，有2222cos301BC BD CD BD CD =+-⋅︒=，222BC CD BD ∴+=，即90DCB ∠=︒，
60CBD ∴∠=︒.
（1）在四边形ABCD 中，756015ABD ∠=︒-︒=︒，
∴120ADB ∠=︒，
在△ABD 中，由正弦定理
sin120sin 45AB BD =︒︒
，则sin120sin 45BD AB ⋅︒=︒20．(1)1
2a =(2)调递增区间为4(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为41,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭(3)最大值为92，最小值为5027-【分析】(1)求导得2()324f x x ax '=--，代入(1)0f '-=，得可得答案；
(2)由题意可得()(34)(1)f x x x '=-+，分别解()0f x '>，()0f x '<，即可得函数的单调递增、减区间；
(3)根据导数的正负，判断函数在[2,2]-上的单调性，即可得答案.
【详解】（1）解：因为函数()2()4(),R f x x x a a =--∈，
∴()22()2()4324f x x x a x x ax =-+-=--'，
由(1)0f '-=，得3240a +-=，解得12
a =；（2）解：由（1）可知2()34(34)(1)f x x x x x ==-'--+，
解不等式()0f x '>，得43
x >或1x <-，所以函数()f x 的单调递增区间为4(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
，解不等式()0f x '<，得413
x -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为41,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭；（3）解：当22x -≤≤时，函数()f x 与()f x '的变化如下表所示：
令()0f x '=，解得43x =
或=1x -，x
[)2,1--=1x -41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭43x =4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦()
f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增
因为9(1)2
f -=，(2)0f =；所以当=1x -时，函数()f x 取得极大值9(1)2f -=
；又因为(2)0f -=，450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，所以当43x =时，函数()f x 取得极小值450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，∴函数()f x 的最大值为92
，最小值为5027-．21．(1)2213
x y +=(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；
（2）首先求线段MN 的中垂线方程，根据点A 在中垂线上，求m ，并判断是否满足0∆>.
【详解】（1）椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个顶点为(0,1)A -得1b =
椭圆上任一点到两个焦点的距离之和2a =a =所以椭圆的方程为2
213
x y +=（2）设直线l 与椭圆C 两个不同的交点()()
1122,,,M x y N x y ∵||||
AM AN =所以，点A 在线段MN 的中垂线l '，下面求l '的方程
联立方程2233
y x m x y =+⎧⎨+=⎩去y ，可得2246330x mx m ++-=由()222(6)443312480m m m ∆=-⨯⨯-=-+>，解得22
m -<<1232
m
x x +=-设MN 的中点为()00,P x y ，有120003244x x m m x y x m +=
=-=+=则l '的方程为344m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝
⎭即2m y x =--由于点A 在直线MN 的中垂线l '上，解得2
m =又∵22
m -<<所以不存在实数m 满足题意．
22．(1)1y x =-+或()2314
y x =
-(2)证明见解析【分析】（1）易知()1,0不在()f x 上，设切点()3000,1x x x -+，由导数的几何意义求出切线方
程，将()1,0代入求出对应0x ，即可求解对应切线方程；
（2）构造()()31cos 0g x x ax x x =-+->，求得()23sin g x x a x '=-+，再令()()u x g x '=，
通过研究()u x '正负确定()g x '单调性，再由()g x '正负研究()g x 最值，进而得证.
【详解】（1）由题，1a =时，()31f x x x =-+，()231f x x '=-，
设切点()3000,1x x x -+，则切线方程为()()()320000131y x x x x x --+=--，
该切线过点()1,0，则()()3200001311x x x x -+-=--，即3200230x x -=，
所以00x =或032
x =．又()01f =；()01f '=-；32328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32324f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．所以，切线方程为1y x =-+或()2314y x =
-；（2）设()()31cos 0g x x ax x x =-+->，则()23sin g x x a x '=-+，
令()()()23sin 0u x g x x a x x '==-+>，则()6cos u x x x '=+，可知π
02x <<，时，()0u x '>；π2
x ≥时，()0u x '>，故0x >时均有()0u x '>，则()u x 即()g x '在()0,∞+上单调递增，()0g a '=-，
因为0a ≤时，则()00g a '=-≥，()()00g x g ''>≥，故()g x 在()0,∞+上单调递增，此时，()()00g x g >=．
所以，当0a ≤时，对于任意0x >，均有()cos f x x >．。