安徽省高二(实验班)上学期期末考试数学试题(解析版)

滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二年级上学期期末
考试卷（实验班）数学试题
（仅在答题卡指定范围内作答）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知直线：与直线：平行，则a 的值是
1l 20x ay -+=2l
()()240a x a y a ++-+=（） A. B. 1
C. 或1
D. 4或
4-4-1-【答案】B 【解析】
【分析】根据给定条件列出关于a 的等式，求解并验证即可作答.
【详解】因直线：与直线：平行， 1l 20x ay -+=2l ()()240a x a y a ++-+=则有，解得或，
(2)40a a a ++-=1a =4a =-当时，直线：与直线：平行，
1a =1l 20x y -+=2l 3310x y -+=当时，直线：与直线：，即重4a =-1l 420x y ++=2l 2840x y ---=420x y ++=合，
所以a 的值是1. 故选：B
2. 已知空间向量，，且，则的值为（）
()1,,2a m m =+- ()2,1,4b =- a b ⊥
m A. B. C. D.
103
-
10-10103
【答案】B 【解析】
【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.
2(1)80m m -++-=m 【详解】.
,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-
故选：B.
3. 已知直线和直线，下列说法不正确的是（） 1:0l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=A. 始终过定点 B. 若，则或 2l 21,33⎛⎫
⎪⎝⎭
12l l ∥1a =3-C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限
12l l ⊥0a =0a >1l 【答案】B
【分析】对于A 选项，提出让其前面的系数为，即可验证A 正确.对于B 选项，当
a 0则与重合，故B 错误.利用两直线垂直，即可得到，得到C 正确.把直线化为斜
1a =1l 2l a 截式方程，找到恒过定点，即可验证D 正确
【详解】，，，即()2:2310l ax a y ---=(2)310a x y y -+-=2021
(,)310
33x y y -=⎧⇒⎨
-=⎩始终过定点，故A 正确. 若，当则与重合，故B 错误.
2l 21,33⎛⎫
⎪⎝⎭12l l ∥1a =1l 2l 或，故C 正确. 当时，直线1(32)00a a a a ⨯+⨯-=⇒= 2a =0a >11
:1l y x a
=-
+始终过点，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确. (0,1)故选：B.
4. 已知直线被圆截得的弦长为2，则（） :(1)l y m x =+22:230C x y x +--=||m =
A.
B.
C. 2
D.
【答案】B 【解析】
【分析】求出该圆的圆心和半径长，用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用圆的半径长、弦长的一半以及弦心距三者满足勾股定理可得出关于的等式，则可解m 得的值.
m 【详解】圆的圆心为，半径为， 22:230C x y x +--=(1,0)C 2r =
圆心C 到直线l 的距离为
d =
由题意可知，， 2
2212+=
解之得，即23m =||m =故选：B.
5. 在棱长为1的正四面体中，点满足，
A BCD -M ()1AM xA
B y A
C x y A
D =++--
点满足，当线段、的长度均最短时，N ()1DN DB DC λλ=-- AM DN AM AN ⋅=
（） A.
B. C.
D. 23
23
-
43
43
-
【答案】A
【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得M ∈BCD N ∈BC ,AM DN 到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可M BCD △N BC AM 求得的值.
AM AN ⋅
【详解】解：如图所示，因为，
(1)AM x AB y AC x y AD =++--
，
()1DN DB DC λλ=-- 可得平面，直线，
M ∈BCD N ∈BC 当最短时，平面，且， ,AM DN AM ⊥BCD DN BC ⊥所以为的中心，为的中点，如图所示， M BCD △N BC 又由正四面体的棱长为1，所以
， 13
NM DN =
=
AN =所以， AM =
因为平面，所以，
AM ⊥BCD AM MN ⊥所以中，， Rt ANM
△cos AM MAN AN ∠===所以
2cos 3
AM AN AM AN MAN ⋅=⋅∠==
故选：A
6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为
()2,4B ()2,0A -
，则“将军饮马”的最短总路程为()
-2+80x y =A.
B.
C. D.
10
【答案】A 【解析】
【分析】求出点关于直线的对称点为，则可得即为“将军饮马”的最短总路程，A A 'A B '求出的坐标，即可求出．
A 'A
B '【详解】如图，点关于直线的对称点为，则即为“
将军饮马 ”的最短总路程，
A A 'A
B '
设，
(),A a b '则，解得，
22+8=022
1122a b b a -⎧-⨯⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪+⎩2224,55a b =-=则
A B '＝
故“将军饮马”的 故选：A
7. 已知椭圆的上下顶点分别为，一束光线从椭圆左焦点射出，经过
22
:143
x y C +=,A B 反射后与椭圆交于点，则直线的斜率为（） A C D BD BD k
A.
B.
C.
D.
32
【答案】B 【解析】
【分析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线AD 的方程，进而求出点D 的坐标计算作答.
【详解】依题意，椭圆的上顶点，下顶点，左焦点
22
:143
x y C +
=
A (0,
B ，右焦点，
1(1,0)F -2(1,0)F 由椭圆的光学性质知，反射光线AD 必过右焦点，于是得直线AD 的方程为：
2F
y =
由得点，则有
22
3412y x y ⎧=⎪⎨+=
⎪⎩
8(,5D
BD k ==
所以直线的斜率BD BD k 故选：B
8. 已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若不等()f x R
(1)=-y f
x (1,0)式的解集为区间，且，则（）
(
)
(2)0
f
f k x ++≤[],a b 2b a -=k =A. B.
C. 2
D.
2-【答案】B 【解析】
【分析】根据条件可得函数是定义在上的奇函数且在上的增函数，进而可得
()f x R R
.
(2)k x ≤+-【详解】∵函数的图象关于点对称，
(1)=-y f x
(1,0)∴函数的图象关于点对称，又是定义在上的增函数，
()f x (0,0)()
f x R ∴函数是定义在上的奇函数且在上的增函数， ()f x R R 由，可得
(
)
(2)0f
f k x
++≤，
(
)()
(
2)(2)f
f k x f
k x ≤-+=-+的解集为区间，且， (2)k x ≤+-[],a b 2b a -=作出函数
y =(2)y k x =+-
函数表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，y =(2)y k x =+-
过定点的直线，
(2,A --由图象结合条件可知，又，
4b =2b a -=
∴，即直线与半圆的交点的横坐标为2，故， 2a =N (2,N
∴k =
=故选：B.
【点睛】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是掌握形与数的对应关系，基本思路为：①构造函数（或与），②作出（或与
()f x ()f x ()g x ()f x ()f x ）的图象，③找出满足题意的曲线（部分），曲线上点的横坐标为题目的解，并研究
()g x 解的特性来确定解题的切入点.
9. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在椭圆C 上，当取
1F 2F 22:143
x y C +=12MF MF ⋅最大值时，三角形面积为（） 12MF F
A. B.
C. 2
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的的范围可求得取最大值时，,x y 12MF MF ⋅点在椭圆的短轴上.
M 【详解】设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：
M ()11,M x y
112111
2,222
MF x MF x =+=-则有： 2
121144
MF MF x ⋅=-
根据椭圆的特点，可知： 122x -≤≤可得：当时，取最大值 10x =12MF MF ⋅
此时，点在椭圆的短轴上，则有：M 12MF F S =△故选：B
10. 设双曲线C ：的左､右焦点分别为，点P 在双曲线C
()22
2210,0x y a b a b
-=>>12,F F 上，若线段的中点在y 轴上，且为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（） 1PF 12PF F △
A. B. 2
C.
D.
12【答案】A 【解析】
【分析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性12PF F △12,PF PF 质即可求得答案.
【详解】线段的中点在y 轴上,设的中点为M ，
1PF 1PF
因为O 为的中点，所以, 12F F 2OM PF 而,则，
12OM F F ⊥212PF F F ⊥为等腰三角形，故，
12PF F △212||=||=2c PF F F 由，得，
12||-||=2PF PF a 1||=2+2PF a c
又为等腰直角三角形，故， 12PF F △112||PF F
即，解得
，即， 222a c c +=
1c
a
=+1e =
故选：A.
11. 已知A ，B 两点在以F 为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB 的中24y x =3AF FB =u u u r u u r
点M 作抛物线对称轴的平行线，与OA 交于N 点，则MN 的长为（） A.
B.
C.
D.
1
3
12
23
34
【答案】C 【解析】
【分析】由已知结合抛物线的性质，求得坐标，进而求得坐标，即可得解.
,A B ,M N 【详解】由，利用抛物线的对称性，不妨设A 在第一象限，作垂直于
3AF FB =
11,AA BB 抛物线准线，垂足分别为，作于C ,如图所示，
11,A B 1BC AA
⊥
设，由抛物线的定义知, BF m =113,AA m BB m ==在中，，则, ABC
2,4AC m AB m =
=
BC =所以，所以直线AB 的方程为
, tan AB k BAC =∠=
=1)y x =-与抛物线的方程联立得，解得，, 231030x x -+=1
3x =213
x =
所以，，故AB 的中点
, (3,A 1
,3B ⎛ ⎝53M ⎛
⎝直线OA 的方程为，令，得
， y x
=y =1x =N ⎛∴ ⎝所以MN 的长为 52
133
-=故选：C
12. 过抛物线：的焦点且垂直于轴的直线被双曲线：所
C 2
6y x =x E ()22210x
y a a
-=>
截得线段长度为，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. 20x ±=20y =
C.
D.
0x ±=20y x ±=【答案】A 【解析】
【分析】首先根据抛物线的焦点坐标及线段长度可求出的值，从而可求出双曲线的渐近a 线方程.
【详解】易知抛物线的焦点坐标为， 26y x =3,02⎛⎫
⎪⎝⎭
所以点在双曲线上，即，
32⎛ ⎝2
221x y a
-=29214a -=
因为，所以解得. 0a >a =
所以双曲线的渐近线方程为. y x =20x ±=故选：A .
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知圆，直线（不同时为0），当
22:16C x y +=:()(32)0l a b x b a y a -+--=,a b 变化时，圆被直线l 截得的弦长的最小值为___________.
,a b C
【答案】【解析】
【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l (3,1)C l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.
【详解】把直线化为:()(32)0l a b x b a y a -+--=(21)(3)0
a x y
b x y --+-+=，恒过定点，当圆被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心2103
301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨
⎨-+==⎩⎩
(3,1)C
到定点，圆心到直线距离
(0,0)(3,1)
:()(32)0l a b x b a y a -+--=
，此时直线弦长为最小值. =
故答案为：
14. 已知双曲线：，与共渐近线的双曲线过，则的方程是
1C 22148
x y
-=1C 2C ()2,42C ___________.
【答案】
22
184
y x -=【解析】
【分析】设双曲线的方程为：，求出即得解.
2C 22
48x y λ-=λ【详解】设双曲线的方程为：，
2C 22
48x y λ-=由题得
22
24,121,48
λλ-=∴=-=-所以双曲线的方程为：即：.
2C 221,48x y -=-22
184y x -=故答案为：
22
184
y x -=15. 已知点为双曲线的右焦点，定点为双曲线虚轴的一个顶
F ()22
2210,0x y a b a b
-
=>>A 点，直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为，若，则此
FA y B )
1FA AB =-
双曲线的离心率是_________ 【解析】
【分析】利用直线的斜截式方程得直线的方程，再利用双曲线的性质及几何意义得双FA 曲线的一条渐近线方程，最后利用平面向量的坐标运算，结合双曲线的性质计算得结论． 【详解】因为过点，的直线方程为 ， F A +1x y
c b
=①双曲线的一条渐近线方程为 ， b
y x a
=-②联立，解得交点， ①②,ac bc B a c c a ⎛
⎫
⎪--⎝⎭
由，，得， )
1FA AB =
-
(,),(,)ac ab FA c b AB
a c c a
=-=-- )
1
ac c a c
-=
--解得
，故
c
=
e =
16. 抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反
射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴
()2
20y px p =>的光线从点向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点
()3,1A 3y x =-，则该抛物线的标准方程为___________. A 【答案】 216y x =【解析】
【分析】根据抛物线的聚焦特点，经过抛物线后经过抛物线焦点，再经()3,1A ,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
直线反射后经过点，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可. 3y x =-A 【详解】设光线与抛物线的交点为，抛物线的焦点为，则可得： B F 1,12B p ⎛⎫
⎪⎝⎭
抛物线的焦点为： ,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
则直线的方程为： BF 11222p y x p p ⎛⎫
⎪⎛⎫
⎪=- ⎪⎝
⎭ ⎪- ⎪⎝⎭
设直线与直线的交点为，则有：
BF 3y x =-M 112223
p y x p p y x ⎧⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=-⎪ ⎪
⎝
⎭⎨ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩解得：
2222436,2121p p p M p p p p ⎛⎫
-- ⎪+-+-⎝⎭
则过点且垂直于的直线的方程为：
M 3y x =-
222222436563
212121
p p p p p y x x p p p p p p ----=-++=-++-+-+-根据题意可知：点关于直线的对称点在直线上
()3,1A 22563
21
p p y x p p --=-++-1A BF 设点，的中点为，则有：
()122,A x y 1AA C
2231,22x y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
直线垂直于，则有：
1AA 2256321
p p y x p p --=-++- 221
13
y x -=-点在直线上，则有：
C 22563
21p p y x p p --=-++- 222213563
2221
y x p p p p ++--=-++-点在直线上，则有：
1A BF 2211222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫
⎪=- ⎪⎝
⎭ ⎪- ⎪⎝⎭
化简得： ()80p p -=又 0p >故
8p =故答案为：
216y x =【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键
三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17. 已知圆，直线． ()()2
2
:1236C x y -+-=:520l kx y k ---=（1）求证：直线与圆恒有两个交点；
l C （2）设直线与圆的两个交点为、，求的取值范围． l C A B AB 【答案】（1）证明见解析 （2） []4,12【解析】
【分析】（1）根据直线的方程可得直线经过定点，而点到圆l ()5,2P -()5,2-P ()5,2-心的距离小于半径，故点在圆的内部，由此即可证明结果．
()1,2C P （2）由圆的性质可知，当过圆心时，取最大值，当和过的直径垂直时，
l AB l ()5,2P -
取最小值，由此即可求出结果.
AB 【小问1详解】
证明：由于直线，即
:520l kx y k ---=()()520--+=k x y 令，解得， 5020
x y -=⎧⎨+=⎩5,2x y ==-
所以恒过点，所以，
l ()5,2P -6PC =
=<所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点； ()5,2P -()()2
2
:1236C x y -+-=l C 【小问2详解】
解：当过圆心时，取最大值，即圆的直径，
l ()1,2C AB 由圆的半径，所以的最大值为； ()()2
2
:1236C x y -+-=6r =AB 12当和过的直径垂直时，取最小值， l ()5,2P -AB
此时圆心到的距离，
()1,2C ()5,2P -==PC
所以，故的最小值为．
4AB ==AB 4综上，的取值范围.
AB []4,1218. 设直线l 的方程为 ()()1520a x y a a R ++--=∈（1）求证：不论a 为何值，直线l 必过一定点P ；
（2）若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点，，当面(),0A A x ()0,B B y AOB 积为12时，求的周长； AOB
【答案】（1）见解析（2） 10+【解析】
【分析】（1）将直线方程整理成关于的式子，再令其系数为0，解关于和的方程组，a x y 即可； （2）易知，，由，求出参数的值，从而5201A a x a +=
>+520B y a =+>1
122
A B S x y =⋅⋅=a 可得的坐标，即可求出答案. ,A B 【小问1详解】
证明：将整理成，
(1)520a x y a ++--=(2)50x a x y -++-=令，解得，， 20
50
x x y -=⎧⎨+-=⎩2x =3y =
所以定点为，
P (2,3)故不论为何值，直线必过一定点； a l P (2,3)【小问2详解】
解：由题意知，，由， 10a +≠()1520a x y a ++--=当时，，当时，， 0y =521
A a
x a +=
+0x =52B y a =+由，得， 5201520
a
a a +⎧>⎪
+⎨⎪+>⎩1a >-所以面积，解得， AOB 1152(52)12221A B a
S x y a a +=
⋅⋅=⋅⋅+=+12
a =此时，，
(4,0)A (0,6)B ||
AB =
=所以的周长为 AOB 4610++=
+故当面积为12时，的周长为.
AOB ∆AOB 10+19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧棱底面ABCD ，
P ABCD -
PD ⊥，E 、F 分别是PC 、AD 中点.
PD DC =
（1）求证：平面PFB ；
//DE （2）求平面PBC 与平面PBD 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 1
2【解析】
【分析】（1）取PB 的中点M ，连接EM ，FM ，证明，再利用线面平行判定定DE FM ∥理，即可得到答案；
（2）如图，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设，求出两个面的法向量，再求向量夹角的余弦值，即可得到答2DP DC ==案；
【小问1详解】
证明：取PB 的中点M ，连接EM ，FM ，
∵E ，M 分别是PC ，PB 的中点，∴，， EM BC ∥1
2
EM BC =
∵四边形ABCD 是正方形，F 是AD 的中点，∴，， DF BC ∥1
2
DF BC =∴四边形DEMF 是平行四边形，∴，
DE FM ∥又平面PFB ，平面PFB ，∴平面PFB . DE ⊄FM ⊂DE ∥【小问2详解】
如图，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设，
2DP DC ==则、、、、、、()0,0,0D ()2,0,0A ()2,2,0B ()0,2,0C ()002P ,,()0,1,1E ()1,0,0F ，
设平面PBD 的法向量为，∵，
(),,m x y z = ()0,0,2DP = ()2,2,0DB =
∴，∴，∴
00
m DP m DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 20220z x y =⎧⎨+=⎩()1,1,0m =- 设平面PBC 的法向量为，∵，，
(),,n x y z = ()2,0,0BC =-
()2,2,2BP =-- ∴，∴，∴
00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 202220x x y z -=⎧⎨--+=⎩()0,1,1n =r ∴
，
1
cos ,2m n =
=-
设平面PBC 与平面PBD 的夹角为，则，
θ1
cos cos ,2
m n θ== 故平面PBC 与平面PBD 夹角的余弦值为.
1
220. 已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，
()22
22:10x y C a b a b
+=>
>直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. :0l x y -=C （1）求椭圆的方程；
C （2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直M M MA MB A B 线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.
1k 2k 125k k +=AB 【答案】（1）
2
212
x y +=（2）答案见解析 【解析】
【分析】（1）由等轴双曲线的离心率可得椭圆的离心率，再由直线与圆相切，可得的l b 值，由，，与离心率的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；
a b c a （2）由（1）可得的坐标，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线M AB AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由斜率之和可可得参数的关系，可证得直线恒过定点． AB 【小问1
详解】
，
又∵直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切， :0l x y -+=C
，即，
b =1b =可得，即，
222
221
12c b e a a ==-=22a =则椭圆的方程为：；
2
212
x y +=【小问2详解】
①若直线的斜率不存在，设方程为， AB 0x x =则点，，，，
0(A x 0)y 0(B x 0)y -由，即，解得，此时直线的方程为； 125k k +=0000115y y x x ---+=025x =-AB 25
x =-
②若直线的斜率存在，设的方程为，由题意可得， AB AB y kx m =+1m ≠±设，，，，
1(A x 1)y 2(B x 2)y 则，整理可得：， 22
220
y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩222(12)4220k x kmx m +++-=，
()()222222168121210k m k m k m ∆=-+-=+->且，，
122412km x x k +=-+2122
22
12m x x k -=+由，可得，即， 125k k +=1212115y y x x --+=1212
11
5kx m kx m x x +-+-+=即，，， 12122(1)5x x k m x x ++-⋅
=2251km k m -=+5
21k m =-故直线的方程为，即直线过定点， AB 21()1255k y kx k x =+
-=+-AB (12
5
,)--综上所述：直线过定点．
AB (12
5
,)--21. 已知抛物线，点在抛物线上． 2:2(0)>C y px p =(24)P ，
C （1）求抛物线的方程；
C （2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的:l y x m =+P Q OP OQ ⊥m 值．
【答案】（1） 28y x =（2） 8-【解析】
【分析】（1）由点在抛物线上可得的值，进而求出抛物线的方程； (24)P ，
C p （2）直线与抛物线联立求出两根之和与两根之积，由若可得实数的值． OP OQ ⊥m 【小问1详解】
∵点在抛物线上， (24)P ，
C ∴，即， 164p =4p =∴抛物线的方程为； C 28y x =【小问2详解】
设，，，，联立，得，△1(P x 1)y 2(Q x 2)y 2
8y x m
y x
=+⎧⎨
=⎩22(28)0x m x m +-+=，得，，，
22(28)40m m =-->2m <1282x x m ∴+=-2
12x x m =又，则，
OP OQ ⊥12120OP OQ x x y y ⋅=+=
，
∴222121212121212()()2()2(82)0x x y y x x x m x m x x m x x m m m m m +=+++=+++=+-+=或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，
8m ∴=-0m =0m =又， 82m =-<综上：的值为．
m 8-22. 已知双曲线，，分别为其左，右焦点，双曲线C 上()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>1F 2F
存在点P ，满足，且的面积为．
124
F PF π
∠=
12F PF △(2
31a （1）求双曲线C 的离心率；
（2）设A 为双曲线C 的左顶点，Q 为第一象限内双曲线C 上的任意一点，问是否存在正实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理λ22QF A QAF λ∠=∠λ由．
【答案】（1）； 2（2）存在，. 2λ=【解析】
【分析】（1）不妨设点P 在双曲线的右支上，设，由双曲线的定义可12,PF m PF n ==
得到，由余弦定理可得，结合三角形的面积公2m n a -=()2
242c m n mn =-+式即可求出，从而可求出双曲线C 的离心率；
2
23b a
=（2）先从特殊情况时，寻找出的值；再求满足条件的
22
QF A π
∠=
λ222QF A QAF ∠=∠轨迹，与双曲线完全一致即可. 【小问1详解】
不妨设点P 在双曲线的右支上，设，则， 12,PF m PF n ==2m n a -=在中，由余弦定理，得，
12F PF △222
42cos
4
c m n mn π
=+-
即，所以， ()2
242c m n mn =-+(2
42b mn =-
因为的面积为，所以. 12F PF △(2
31a +1sin 24
mn π
=(231a +
所以，所以.
223b a =2c e a ===【小问2详解】
由（1）知，.
22
2213x y a a
-
=,2b c a ==当时，，，所以，此时
22
QF A π
∠=
()2,3Q a a 23AF a =24
QAF π
∠=
，即；
222QF A QAF ∠=∠2λ=下面求满足条件的轨迹，
222QF A QAF ∠=∠设为轨迹上任意一点，则， (),M x y 222MF A MAF ∠=∠因为， 22tan ,tan 2y y y MF A MAF x c a x x a
∠=-
=∠=--+因为，所以，
2
222
2
2tan tan tan 21tan MAF MF A MAF MAF ∠∠=∠=-∠()
2
2
221y y x a y a x x a +=--
+化简，得，即，与双曲线完全一致，
2
2
2
33x y a -=22
2213x y a a
-=所以存在，使成立. 2λ=222QF A QAF ∠=∠。