人教版八年级上册第12章《全等三角形》综合专项基础与提高练习(含答案)

人教版八年级上册第12章《全等三角形》
综合专项基础与提高练习
姓名学号（含答案）
基础型（一）：
1．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC＝28°，求∠CAO的度数．
2．如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．
（1）求证：OC是∠AOB的平分线．
（2）若PF∥OB，且PF＝8，∠AOB＝30°，求PE的长．
3．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，
其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．
（1）证明：PC＝PD．
（2）若OP＝4，求OC+OD的长度．
5．已知：如图，∠ACB＝∠DCE，AC＝BC，CD＝CE，AD交BC于点F，连结BE．（1）求证：△ACD≌△BCE．
（2）延长AD交BE于点H，若∠ACB＝30°，求∠BHF的度数．
6．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，∠C＝90°，∠B＝45°，点E在边AB上，AE＝AC，请直接写出图中所有与BE相等的线段．
（2）如图2，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求证：AB＝AC+CD．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△CEB．
（2）猜想：AF与CD之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
8．如图，在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E．（1）求证：BC＝AD．
（2）若AC＝6，BC＝8，求△ACE的周长．
9．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．
（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．
（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD 向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶
点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
10．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC与DE交于点G，∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，BE ＝CF．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠F＝30°，GE＝2，求CE．
提高型（一）：
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE≌△CFE；
（2）若BE⊥AF，求证：AB＝BC+AD．
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE．（1）求证：△BCE≌△AHE．
（2）求证：AH＝2CD．
3．如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AB＝6，DE＝3CE，求CD的长．
4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．
（1）若AC＝BC＝6，求DE的长；
（2）求证：BE+CD＝BC．
5．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE（对应顶点字母顺序相同），∠ABC＝∠ADE＝90°，BC 与DE交于F．
（1）不添加辅助线，直接找出图中其他的全等三角形；
（2）求证：CF＝EF．
6．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．
（1）求证：AE＝DF．
（2）若BC＝16，EF＝6，求BE的长．
7．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，点E在BC上，AB，DE相交于点F．（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：∠BEF＝∠CAE．
8．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连结AD、BE，求证：AD＝EB．
9．如图，△ABC的高为AD．△A'B'C'的高为A'D'，且A'D'＝AD．现有①②③三个条件：
①∠B＝∠B'，∠C＝∠C'；
②∠B＝∠B'，AB＝A'B'；
③BC＝B'C'，AB＝A'B'．
分别添加以上三个条件中的一个，如果能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号，并画图证明；
如果不能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号，并画出相应的反例图形．
10．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是：；
②思路二的辅助线的作法是：．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
参考答案基础型：
1．证明：（1）∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，AD＝BC，AB＝BA，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）；
（2）在Rt△ACB中，∵∠ABC＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
由（1）可知△ACB≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ABC＝28°，
∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝62°﹣28°＝34°．2．解：（1）证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，
，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD＝PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
（2）∵PF∥OB，∠AOB＝30°，
∴∠PFD＝∠AOB＝30°，
在Rt△PDF中，．3．解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
4．证明：（1）如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°．
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF
在△PCE和△PDF中
∴△PCE≌△PDF（AAS）
∴PC＝PD；
（2）∵∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，
∴△POE与△POF为等腰直角三角形，
∴OE＝PE＝PF＝OF，
∵OP＝4，
∴OE＝2，
由（1）知△PCE≌△PDF
∴CE＝DF
∴OC+OD＝OE+OF＝2OE＝4．
5．证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠A＝∠B，
∵∠BFH＝∠AFC，
∴∠BHF＝∠ACB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠BHF＝30°．
6．解：（1）与BE相等的线段是DE和DC，理由：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴DE＝DC，∠DEA＝∠C＝90°，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝DE＝DC，
即与BE相等的线段是DE和DC；（2）在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠AED，CD＝ED，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∴EB＝CD，
∵AB＝AE+EB，
∴AB＝AC+CD．
7．（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠BEC＝∠ADB＝90°，
∴∠EAF+∠B＝∠B+∠BCE＝90°，
即∠EAF＝∠BCE．
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
（2）解：AF＝2CD．
理由：由（1）得AF＝BC．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2CD，
∴AF＝2CD．
8．（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ABC与△ABD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC＝AD；
（2）解：由（1）知Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝6+8＝14．9．解：（1）BP＝2t，则PC＝10﹣2t；
故答案为（10﹣2t）；
（2）存在．
分两种情况讨论：
①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ．
因为AB＝6，所以PC＝6．
所以BP﹣10﹣6＝4，即2t＝4．
解得t＝2．
因为CQ＝BP＝4，v×2＝4，所以v＝2．
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP．
因为PB＝PC，
所以BP＝PC＝BC＝5，即2t＝5．
解得t＝2.5．
因为CQ＝BA＝6，即v×2.5＝6，解得v＝2.4．
综上所述，当v＝2.4或2时，△ABP与△PQC全等．10．（1）∵BE＝BF
∴BE+CE＝CF+CE
即BC＝EF
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
（2）∵Rt△ABC≌Rt△DEF
∴∠ACE＝∠F
∵∠F＝30°
∴∠ACE＝30°
∴AC∥DF
∴∠CGE＝∠D
∵∠D＝90°
∴∠CGE＝90°
∵在Rt△CGE中，∠ACB＝30°，GE＝2
∴CE＝2GE＝4
提高型：
1．解：（1）∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，
∵点E为CD的中点，
∴ED＝EC，
∴△DAE≌△CFE（AAS）；
（2）∵△DAE≌△CFE，
∴AE＝EF，AD＝CF，
∵BE⊥AF，
∴AB＝BF，
∵BF＝BC+CF，CF＝AD，
∴AB＝BC+AD．
2．证明：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠1+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△AEH和△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
（2）∵△AEH≌△BEC
∴AH＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AH＝2BD．
3．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DEF，∠BAF＝∠D，
∵
∴△AFB≌△DFE（AAS），
∴BF＝EF；
（2）解：∵△AFB≌△DFE，
∴AB＝DE＝6，
∵DE＝3CE，
∴CE＝2．
∴CD＝CE+DE＝2+6＝8．
4．解：（1）∵AC＝BC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，
又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴D、E分别是AC、AB的中点，
∴AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AE＝3；
（2）证明：在BC上截取BH＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF
∴△EBF≌△HBF（SAS），
∴∠EFB＝∠HFB＝60°．
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝60°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFB＝120°，
∴∠CFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFD＝60°，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CHF（ASA）．
∴CD＝CH，
∵CH+BH＝BC，
∴BE+CD＝BC．
5．解：（1）其它的全等三角形有△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF．（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB，
∴∠CAD＝∠EAB，
∴△ACD≌△AEB，
∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE，
又∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠CDF＝∠EBF，
又∵∠DFC＝∠BFE，
∴△DCF≌△BEF（AAS），
∴CE＝EF．
6．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴AE＝DF．
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴BE＝CF，BF＝CE，
∵BF+CE＝BC﹣EF＝16﹣6＝10，
∴2BF＝10，
∴BF＝5，
∴BE＝BF+EF＝5+6＝11．
7．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，
∵∠BFE＝∠DFA，
∴∠BEF＝∠BAD，
∴∠BEF＝∠CAE．
8．证明：（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴△ABC和△DEF是直角三角形
又∵CD＝BF
∴CD+CF＝BF+CF，
即DF＝BC，
在Rt△DEF和Rt△BAC中
∴Rt△ABC≌Rt△EDF．
（2）∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF
∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴∠ACD＝∠EFB，
在△ACD和△EFB中．
∴△ACD≌△EFB（SAS）
∴AD＝BE．
9．解：①能判定△ABC≌△A'B'C'，证明如下：如图1，∵AD＝A'D'，∠B＝∠B'，∠ADB＝∠A'D'B'，
∴△ABD≌△A'B'D'（AAS），
∴AB＝A'B'，
又∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）；
②不能判定△ABC≌△A'B'C'，
对应的反例如图2所示．（只要C'在射线B'D'上，且B'C'≠BC均可）
③不能判定△ABC≌△A'B'C'，
对应的反例如图3所示．
10．解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：
∵BG＝BF，
∴∠G＝∠BFG，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFG，
∴∠G＝∠EAF，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∴AC＝BF；
故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．。