高等数学-第8章 - (平面及其方程)

z
S1
S2
o
C
y
x
二、空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
n
M1
M3
n M1 M 2 M1 M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
M2
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
即
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x2 y1 z 4
3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) ( k 1 , 2 , 3)
这条定曲线 C叫柱 面的准线，动直 线 L 叫柱面的母 线. 观察柱面的形成 过程:
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在空间 直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线 为 xoy面上曲线C .
（其他类推）
实 例
y2 z2 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c 2 2 x y z 1 双曲柱面 // 轴 2 2 a b 抛物柱面 // y 轴 x 2 2 pz
2 2
2
数量积、向量积、混合积
向量的数量积（结果是一个数量） a b | a || b | cos (其中 为a 与b 的夹角)
向量的向量积（结果是一个向量） a 与b 的夹角) | c || a || b | sin (其中 为 向量的混合积（结果是一个数量）
• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B, C ) i , 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
z
任取点M ( x , y , z ) , 则有
M0 M n

o x
M
n
M0
故
M0 M n 0
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
( A2 B 2 C 2 0 )
x y z 1 a b c
x x1 x2 x1 x3 x1
(abc 0)
z z1 z2 z1 0 z3 z1
三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
• 第八章 空间解析几何与向量代数
▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 向量代数 数量积 向量积 混合积 空间曲面及其方程 空间曲线及其方程 平面及其方程 空间直线及其方程 综合例题
回顾：
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
bcx acy abz abc
二、平面的一般方程
设有三元一次方程
2 2 2 Ax B y C z D 0 ( A B C 0)
②
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则 A x0 B y0 C z0 D 0 以上两式相减 , 得平面的点法式方程
（注意共线、共面的条件）
8.3空间曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、锥面 五、二次曲面
曲面的实例：
水桶的表面、台灯的罩子面等．
z
P ( x, y, z )
曲面在空间解析几何中被
看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
o
x
y
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
练习：
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时,平面方程为 x y z 1 ( a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.
分析:利用三点式
xa a
y b
z
0 0
a 0 c 按第一行展开得 ( x a )bc y( a )c zab 0
即
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C 2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1 B2 C1C 2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C 2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
轴。
方程
f x y , z 0,
2 2


表示 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴 旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f y , x 2 z 2 0. 同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) 0 绕
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0 2x y z 0
即
例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 n P1 P0 n PP d Prj n 1 0 P0 n
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
旋转曲面： 一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的
【结论】柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且与 其准线方程相同.
8.4、空间曲线及其方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
A1 ຫໍສະໝຸດ Baidu B1 C1
2 2
A2 B2 C 2
2
2
2
1 : n1 ( A1 , B1 , C1 ) 2 : n2 ( A2 , B2 , C 2 )
n1 n2 cos n1 n2
n2
1
特别有下列结论：
(1) 1 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线yoz面上的投影曲线xoz空间曲线在面上的投影曲线xoy第五节一平面的点法式方程二平面的一般方程三两平面的夹角平面及其方程第八章四点到平面的距离设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程求该平面的方程
高等数学
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显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B , C )的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面;
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C 2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n2
2
即
n1 n2 cos n1 n2

1
cos
2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) P1 A2 B 2 C 2 A x0 B y0 C z0 D d A2 B 2 C 2
d
(点到平面的距离公式)
内容小结
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0


z 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f x 2 y 2 , z 0.
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) 0 绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程为


f x , y 2 z 2 0.


三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成 的曲面称为柱面.
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
B y Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1)得
化简,得所求平面方程
例
当平面不与任何坐 标面平行，且不过 原点时，才有截距 式方程。
三、两平面的夹角
2
n1
( 2) 1 // 2
n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2 1
例4. 一平面通过两点 M1 ( 1 , 1 , 1 )和 M 2 ( 0 , 1 , 1 ) , 且
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程
第八章
三、两平面的夹角
四、点到平面的距离
一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )且垂直于非零向
量 n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M1 M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A BC 0 , 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)