高考数学复习 第四章 第二节 三角函数的图象与性质 理(全国通用)1

第二节 三角函数的图象与性质

考点一 三角函数的图象及其变换

1．(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π

12个单位

B ．向右平移π

12个单位

C ．向左平移π

3

个单位

D ．向右平移π

3

个单位

解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B

2．(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝

⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数

g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3

，则φ＝( )

A.5π

12

B.π3

C.π4

D.π6

解析 易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，

由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，

①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩

⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，

sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π

4

＋k 1π，

k 2

＝π4＋φ＋k 2

π

(k 1

，k 2

∈Z )，

∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3

，

由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π

6.故选D.

答案 D

3．(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )

A ．向右平移π

4个单位

B ．向左平移π

4个单位

C ．向右平移π

12

个单位

D ．向左平移π

12

个单位

解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，

所以将函数y ＝2cos

3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.

答案 C

4．(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应

的函数( )

A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减

B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增

C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减

D ．在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析 将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3，

即y ＝3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得

x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π

12＋k π，

7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π12，7π12上单调递

增，故选B. 答案 B

5．(2013·四川，5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π

3

B ．2，－π

6

C ．4，－π

6

D ．4，π3

解析 因为3T 4＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，所以T ＝π.由此可得T ＝2π

ω＝π，解得ω＝2，由图

象知当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z )．又因为－

π

2

<φ<π2，所以φ＝－π3.

答案 A

6．(2012·浙江，4)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )

解析 y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应的图象为A 项． 答案 A

7．(2011·辽宁，16)已知函数

f (x )＝A tan(ωx ＋

φ)⎝ ⎛

⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π24＝

________．

解析 由题意，结合图象知函数周期T ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π8－π8×2＝π2，∴ω＝

2.

由2×3π8＋φ＝k π(k ∈Z )及|φ|＜π2，得φ＝π

4

.

∴f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.将点(0，1)代入上式，得1＝A tan π4，∴A ＝1，即f (x )＝

tan ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.

故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

24×2＋π4＝tan π3＝ 3.

答案

3

8．(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π

2

个单位长度．

(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；