高中数学第二章随机变量及其分布全章素养整合课件新人教A版选修23

解析：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击 5 次只击 中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为 P＝C15×23×134＋135， 所以所求的概率为 1－P＝1－C15×23×134＋135＝223423.
(2)当 ξ＝4 时，记事件为 A， P(A)＝C13×23×132×23＝247， 当 ξ＝5 时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件 B. 则 P(B)＝C14×23×133＋134＝19， 所以所求概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝247＋19＝277.
解析：(1)记事件 A1 为“从甲箱中摸出的 1 个球是红球”， A2 为“从乙箱中摸出的 1 个球是红球”， B 为“顾客抽奖 1 次能获奖”， 则 B 表示“顾客抽奖 1 次没有获奖”． 由题意 A1 与 A2 相互独立，则 A 1 与 A 2 相互独立，且 B ＝ A 1·A 2， 因为 P(A1)＝140＝25，P(A2)＝150＝12， 所以 P( B )＝P( A 1·A 2)＝1－25·1－12＝130， 故所求事件的概率 P(B)＝1－P( B )＝1－130＝170.
[例 2] 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6. 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影 响，求前三局比赛甲队领先的概率． [解析] 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 1－0.6＝0.4， 记“甲队胜三局”为事件 A，“甲队胜二局”为事件 B，则： P(A)＝0.63＝0.216； P(B)＝C23×0.62×0.4＝0.432， ∴前三局比赛甲队领先的概率为 P(A)＋P(B)＝0.648.
X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且 X1 的均值 E(X1)＝6，求 a，b 的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系 数组成一个样本，数据如下： 3533855634 6347534853 8343447567 用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的均值；
2．事件的相互独立是概率问题中的常见类型，解决此类问题注意以下几点： (1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概 率问题的唯一工具． (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P(A＋B)＝1－P( A B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
解析：(1)由已知条件有 P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝ P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700) ＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1. 所以 Y 的分布列为：
X0 1 2 3
Байду номын сангаас
P
64 125
48 125
12 125
1 125
类型三 离散型随机变量的分布列、均值和方差 题型特点 离散型随机变量的期望和方差是高考的重要考点．不仅考查学生的理解能力与 数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率模型解决实际问题的能力，以 解答题为主，中等难度．
方法归纳 求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤 (1)理解 X 的意义，写出 X 可能的全部取值； (2)求 X 取每个值的概率或求出函数 P(X＝k)； (3)写出 X 的分布列； (4)由分布列和均值的定义求出 E(X)； (5)由方差的定义，求 D(X)，若 X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝ np(1－p)．
跟踪训练 1.掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出 6 点，问“掷出点数之和大于或等 于 10”的概率．
解析：设“掷出点数之和大于或等于 10”为事件 A；“第一颗掷出 6 点”为事件 B， 3
法一：P(A|B)＝PPABB＝366＝12. 36
法二：“第一颗骰子掷出 6 点”的情况有(6,1)(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共 6 种．∴ n(B)＝6. “掷出点数之和大于或等于 10”且“第一颗掷出 6 点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共 3 种，即 n(AB)＝3. ∴P(A|B)＝nnABB＝36＝12.
[例 3] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音 乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获 得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得－200 分)．设 每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率．
影响如下表：
降水量 X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数 Y 0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为
0.3,0.7,0.9，求：
(1)工期延误天数 Y 的均值与方差．
(2)在降水量至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率．
跟踪训练 3.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖 都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖； 若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布 列．
Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3， D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3，方差为 9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7，又 P(300≤X＜900)＝P(X ＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得 P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝P3P00X≤≥X3＜00900＝00..67＝67. 故在降水量 X 至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率是67.
类型二 独立重复试验与二项分布 题型特点 二项分布是一种重要的概率模型，在高考中经常出现，以选择题、填空题、 解答题都可能出现，解答题出现的频率更高，一般会综合相互独立、互斥或对立事件等 知识进行考查，难度中等． 方法归纳 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率 模型是否满足公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k 的三个条件：(1)在一次试验中某事件 A 发生 的概率是一个常数 p；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次 试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率．
(2)由已知得，样本的频率分布表如下： X2 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2 的分布列如下： X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
∴E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙厂产品的等级系 数的均值为 4.8.
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类型一 条件概率与相互独立事件的概率 题型特点 条件概率在高考中考查频率相对较低、难度较小．相互独立事件的概率是高 考的常考考点，是解决复杂问题的基础，一般情况下，一些较为复杂的事件可以拆分为 一些相对简单的事件的和或积．通常以解答题出现，与数学期望等知识结合，难度中等．
(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具有可购买性？ 说明理由．
产品的等级系数的均值 注：①产品的“性价比”＝ 产品的零售价 ； ②“性价比”高的产品更具有可购买性．
[解析] (1)∵E(X1)＝6，∴5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即 6a＋7b＝3.2， 又由 X1 的分布列得 0.4＋a＋b＋0.1＝1，即 a＋b＝0.5. 由6aa＋＋b7＝b＝0.53，.2， 解得ab＝＝00..32.，
(2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件 C， 由 P(C)＝P(A1·A2)＝P(A1)·P(A2)＝15， 顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验， 则 X～B3，15， 于是 P(X＝0)＝C03150453＝16245， P(X＝1)＝C13151452＝14285，
P(X＝2)＝C23152451＝11225， P(X＝3)＝C33153450＝1125. 故 X 的分布列为：
＝C33123＝18，P(X＝－200)＝P(ξ＝0)＝C03123＝18. 所以 X 的分布列为：
X 10 20 100 －200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i＝1,2,3)， 则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18. 所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是551112.
[例 1] 将三颗骰子各掷一次，记事件 A 表示“三个点数都不相同”，事件 B 表示“至少
出现一个 3 点”，则概率 P(A|B)等于( )
91
5
A.216
B.18
60
1
C.91
D.2
[解析] 事件 B 发生的基本事件个数是 n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件 A，B 同时
发生的基本事件个数为 n(AB)＝3×5×4＝60.所以 P(A|B)＝nnABB＝6901. [答案] C
[解析] (1)设“每盘游戏中击鼓三次后，出现音乐的次数为 ξ”．依题意，ξ 的取值可能
为 0,1,2,3，且 ξ～B3，12，则 P(ξ＝k)＝Ck3123－k12k＝Ck3·123. 又每盘游戏得分 X 的取值为 10,20,100，－200.根据题意
则 P(X＝10)＝P(ξ＝1)＝C13123＝38，P(X＝20)＝P(ξ＝2)＝C23123＝38，P(X＝100)＝P(ξ＝3)
方法归纳 1.条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲 求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法： (1)P(B|A)＝PPAAB； (2)P(B|A)＝nnAAB.在古典概型下，n(AB)指事件 A 与事件 B 同时发生的基本事件个数；n(A) 是指事件 A 发生的基本事件个数．
(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下： 甲厂产品的等级系数的均值为 6，价格为 6 元/件， 其性价比为66＝1， 乙厂产品的等级系数的均值等于 4.8，价格为 4 元/件， 其性价比为44.8＝1.2. ∴乙厂的产品更具有可购买性．
跟踪训练 4.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X(单位：mm)对工期的
2．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知 只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独 立的，且命中的概率都是23. (1)求油罐被引爆的概率； (2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 ξ，求 ξ 不小于 4 的概率．
[例 4] 某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，…，8，其中 X≥5 为标准 A，X≥3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件； 乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相 应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的分布列如下表：