现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告

本科实验报告
课程名称：现代控制理论
实验项目：状态反馈和状态观测器的设计实验地点：中区机房
专业班级：自动化学号：
学生姓名：
指导教师：
年月日
现代控制理论基础
一、实验目的
（1）熟悉和掌握极点配置的原理。

（2）熟悉和掌握观测器设计的原理。

（3）通过实验验证理论的正确性。

（4）分析仿真结果和理论计算的结果。

二、实验要求
（1）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态反馈阵K。

（2）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态观测器阵L。

（3）在计算机上进行分布仿真。

（4）如果结果不能满足要求，分析原因并重复上述步骤。

三、实验内容
（一）、状态反馈
状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入，采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要手段。

1.全部极点配置
给定控制系统的状态空间模型，则经常希望引入某种控制器，使得该系统的闭环极点移动到某个指定位置，因为在很多情况下系统的极点位置会决定系统的动态性能。

假设系统的状态空间表达式为
（1）
其中 n m C r n B n n A ⨯⨯⨯::;:;: 引入状态反馈，使进入该系统的信号为
Kx r u -=
（2）
式中r 为系统的外部参考输入，K 为n n ⨯矩阵. 可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为
（3）
可以证明，若给定系统是完全能控的，则可以通过状态反馈实现系统的闭环极点进行任意配置。

假定单变量系统的n 个希望极点为λ1,λ2, …λn, 则可以求出期望的闭环特征方程为
=)(*s f (s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=n n n a s a s +++-Λ11
这是状态反馈阵K 可根据下式求得
K=[])(100*1A f U c -Λ
（4）
式中[]b
A Ab b U n c 1-=Λ，)(*
A f
是将系统期望的闭环特征方程式中
的s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。

例1已知系统的状态方程为
u x x ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=•
111101101112 采用状态反馈，将系统的极点配置到-1，-2，-3，求状态反馈阵K..
其实，在MATLAB的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点配置函数acker(),该函数的调用格式为
K=acker(A,b,p)
式中，p为给定的极点，K为状态反馈阵。

对于多变量系统的极点配置，MATABLE控制系统工具箱也给出了函数place(),其调用格式为
K=place(A,B,P)
例2已知系统的状态方程为
u
x
x
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
-
-
-
=
•
3
1
3
3
1
4
2
9
5
14
10
2
3
3
8
2
13
10
1
4
求使状态反馈系统的闭环极点为-2，-3，（-13
j
±）/2的状态反馈阵K。

（二）．状态观测器的设计
1.全维状态观测器的设计
极点配置是基于状态反馈，因此状态x必须可测量，当不可测量时，则应涉及状态观测器来估计状态。

对于系统（5）若系统完全能观测则可构造如图所示的状态观测器。

由上图可得状态观测器的状态方程为
x=Ax+Bu-LCx+Ly
即x=(A-LC)x+Bu+Ly
其特征多项式为 f(s)=|sI-(A-LC)|
由于工程上要求x 能比较快速的逼近x ，只能调整反馈阵L ，观测器的极点就可以任意配置达到要求的性能，所以，观测器的设计与状态反馈极点配置的设计类似。

假定单变量系统所要求的n 个观测器的极点为λ1，λ2……λn ,则可求出期望的状态观测器的特征方程为
f*(s)=( λ-λ1)( λ-λ2)……( λ-λn)=s n +a 1s 1-n +……+a n 这时可求得反馈阵L 为
L=f*(A)V 01
-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)
式中 V0=⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅
-A n C CA C 1 ，f*(A)是将系统期望的观测器特征方程中s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。

利用对偶原理，可使设计问题大为简化，求解过程如下： 首先构造系统式（5）的对偶系统
⎪⎩⎪⎨⎧=+=•
Z
w n
z B C A T
T T （6）
然后，根据下试可求得状态观测器的反馈针L 。

),,ker(P ac C A L
T
T T
=
或
),,(P place C A L
T
T T
=
其中 P 为给定的极点，L 为状态观测器的反馈阵。

例3 已知开环系统
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=•Cx
y bu
Ax x 其中 A=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---6116100010,b=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100,C=[]001 设计全维状态观测器，使观测器的闭环极点为-232j ±，-5. 解 为求出状态观测器的反馈矩阵L ，先为原系统构造一对
偶系统， ⎪⎩⎪⎨⎧=+=z
B w n
C A z T
T
T 然后采用极点配置方法对对偶系统进行闭环极点位置的配置，得到反馈阵K ，从而可由对偶原理得到原系统的状态观测器的反馈阵L 。

由于rankr0=3，所以系统哪能观测，因此可设计全维状态观测器。

（三）、带状态观测器的状态反馈系统
状态观测器解决了受控系统的状态重构问题，为那些状态变量不能直接观测得到的系统实现状态反馈创造了条件。

带状态观测器的状态反馈系统由三部分组成，即原系统、观测器、控制器，图示是一个带有全维观测器的状态反馈系统。

设能控能观测的受控系统为
⎪⎩⎪⎨⎧=+=•
Cx
y Bu Ax x （12）
状态反馈控制规律为
x
K r u ˆ-= （13） 状态观测器方程为
（14）
由以上三式可得闭环系统的状态空间表达式
（15）
可以证明，由观测器构成的状态反馈闭环系统，其特征多项式等于状态反馈部分的特征多项式|Si-(A-BK)|和观测器部分的特征多项式|s I-(A-LC)|的乘积，而且两者相互独立。

因此，只要系统∑0),,(C B A 能
A
f C
A
K
B
f
C
L
B
控能观测，则系统的状态反馈阵K和观测器反馈阵L可分别根据各自的要求，独立进行配置，这种性质被称为分离特性。

例4已知开环系统
（1）分析原系统的单位阶跃响应。

（2）设计状态反馈使闭环极点为4.2
8.1j
±
-，而且状态不可测量，因此设计状态观测器使其闭环极点为-8.，-8。

（3）分析原系统直接采用状态反馈的单位阶跃响应。

（4）分析原系统带观测器的状态反馈的单位阶跃响应。

解（1）
024********
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
25Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
（2）状态反馈和状态观测器的设计分开进行，状态观测器的设计借助于对偶原理。

在设计之前，应先判别系统的能控性和能观测性。

（3）
00.51 1.52 2.53
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
（4）、
00.51 1.5
2 2.5300.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Step Response
Time (sec)A m p l i t u d e。