2013湖南郴州中考数学

2013年郴州市初中毕业学业考试试卷
数学
一．选择（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.（2013湖南郴州，1,3分）5的倒数是（）
A.－5
B.5
C.1
5
D.－
1
5
【答案】C .
2．（2013湖南郴州，2,3分）函数y=
2
3x
-
中自变量x的取值范围是（）
A.x＞3
B.x＜3
C.x≠3
D.x≠－3
【答案】C .
3．（2013湖南郴州，3,3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）
【答案】B.
4. （2013湖南郴州，4,3分）下列运算正确的是（）
A.x∙x4=x5
B.x6÷x3=x2
C. 3x2－x2=3
D.（2x2）3=6x6【答案】A .
5．（2013湖南郴州，5,3分）化简
1
11
a
a a
+
--
的结果为（）
A.－1
B.1
C.
1
1
a
a
+
-
D.
1
1
a
a
+
-
【答案】B .
6．（2013湖南郴州，6,3分）数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（）A.5，4 B.3，5 C.5，5 D. 5，3
【答案】D .
7. （2013湖南郴州，7,3分）在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280
元买了甲、乙两种药材，甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药村多买了2斤，设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药村各买了多少斤？
A.
2060280
2
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
B.
6020280
2
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
C.
2060280
2
x y
y x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
D.
6020280
2
x y
y x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
【答案】A.
8．（2013湖南郴州，8,3分）如图，在R t△A BC中，∠ACB=900，∠A=250，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B/处，则∠ADB/等于（）
A.250
B.300
C.350
D.400
【答案】D .
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（2013湖南郴州，9,3分）据统计，我国今年夏粮的播种面积大约为415000000亩，415000000用科学记数法表示为
【答案】4.15×108 .
10．（2013湖南郴州，10,3分）已知a＋b=4，a－b=3，则a2－b2= 。

【答案】12 .
11．（2013湖南郴州，11,3分）已知一个多边形的内角和是10800，这个多边形的边数是。

【答案】8 .
12．（2013湖南郴州，12,3分）已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b=0有两个相等的实数根，则b的值是。

【答案】2 .
13．（2013湖南郴州，13,3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=700，则∠OCB= 0
【答案】20 . 14．（2013湖南郴州，14,3分）如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，，不添加新的线段
和字母，要使△ABE ≌△ACD ，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）.
【答案】∠ADC =∠AEB 或∠CEB =∠BDC 或∠C =∠B 或AB =AC 或BD =CE . 15．（2013湖南郴州，15,3分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1—6，
掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是 【答案】
12
. 16．（2013湖南郴州，16,3分）圆锥的侧面积为6πcm 2，底面圆的半径为2cm ，则这个圆锥
的母线长为 cm 【答案】3. 三、解答题
17．（2013湖南郴州，17,6分）计算：0
1
1
(2013()
2sin 603
-︒+---
解：原式=-＋1－3－
1－3
2
18．（2013湖南郴州，18,6分）解不等式4（x－1）＋3≥3x，并把解集在数轴上表示出来解：去括号，得4x－4＋3≥3x，
移项，得4x－3x≥4－3
整理，得x≥1
故不等式的解集为：x≥1.
用数轴表示解集为：
19．（2013湖南郴州，19,6分）在下面的方格纸中
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
解：（1）作图如下：
（2）由B1、B2在图上的位置可知，B1先向右平移6格；再向下平移2格，因此△A2B2C2是由△A1B1C1先向右平移6格；再向下平移2格得到的.
20．（2013湖南郴州，20,6分）已知：如图，一次函数的图像与y轴交于点C（0，3），且
与反比例函数y =2
x
的图像在第一象限内交于A 、B 两点，其中A （1，a ），求这个一次函数的解析式
解：设一次函数的解析式为y =kx ＋b （k ≠0）. 因为点A 是直线与反比例函数y =
2x 的交点，故把A （1，a ）代入y =2
x
，得a =2，所以A 为（1，2）。

把A （1，2）和C （0，3）代入y =kx ＋b ，得
23k b b +=⎧⎨=⎩
解得k =－1 b =3，所以一次函数的解析式为：y =－x +3
21．（2013湖南郴州，21,6分）游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生
的安全意识，组织学生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2000名学生中作了抽样调查.请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题： （1）这次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）补全两个统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？
解：（1）由“一定会”有20人，其百分率为5%，所以调查人数为：20÷5%=400，故填400；
或由“结伴时会”的人数50，除以百分率12.5% （2）一定不会的人数=400×25%=100名，可补全条形统计图 “家长陪同时会”的百分率=1―25%―12.5%―5%=57.5% 所以两幅补充完整为：
22．（2013湖南郴州，22,6分）我国为了维护对钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化
的立体巡航.在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ），当轮船航行到距钓鱼岛P 20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是450；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC =5km ，轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为300，试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）.
解：过点A 、P 分别作AF ⊥BD ，PG ⊥BD ，垂足分别为F 、G 。

因为AF =PG =CE =5km ，FG =AP =20km
在直角△AFB 中，∠=450，所以∠BAF =450，所以BF =AF =5 又AP ∥BD ，所以∠D =∠DPH =300
在直角三角形PGD 中，tan 300=
5
GD
，所以GD
所以BD =BF ＋FG ＋DG =5＋20＋＋km ）
答：飞机的飞行距离BD 是25＋.
四、证明题 23．（2013湖南郴州，23,8分）如图，已知BE ∥DF ，∠ADF =∠CBE ，AF =CE 。

求证：四边
形DEBF 是平行四边形。

证明：因为BE∥DF，所以∠AFD=∠CEB
又因为∠ADF=∠CBE，AF=CE，所以△ADF≌△CBE，所以DF=BE
又BE∥DF，BE. = DF，所以四边形DEBF是平行四边形
五、应用题
24．（2013湖南郴州，24,8分）乌梅是郴州的特色时令水果。

乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不太好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全倍售出，前后一共获得750元。

求小李所进乌梅的数量。

解：本例用思路1求解：设小李进了xkg乌梅，依题意，得
30003000
40%15020%(150)750
x
x x
⨯⨯-⨯⨯-=
解得，x=200
经检验x=200是方程的解
答：小李所进乌梅的数量是200kg.
25．（2013湖南郴州，25,10分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8cm，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x。

作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F。

（1）证明：△PCE中等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式。

x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值。

证明：（1）因为AB=BC，所以∠A=∠C，又PE∥AB，所以∠CPE=∠C，所以三角形PCE 是等腰三角形
解：（2）同理可证△AFP与△PCE、△ABC一样都是等腰三角形，EM⊥PC，所以
tanA=tan∠CPE=BH FN ME
AH AN PM
==，所以BH=AH×tanA=4k，FN=AN×tanA=（4-
2
x
）
×k ，ME =PM ×k =
2
x ×k ，由计算结果可看出：BH =FN +ME （3）当k =4时，EM =2x ，FN =16－2x ，BH =16，所以S △PCE =1
2
x ·2x =x 2，S △PCE =（8-x ），S △ABC =64。

所以S =S △ABC －S △PCE －S △=64－x 2－（8－x ）2=－2x 2+16x =－2（x －4）2＋32 所以当x =4时，S 有最大值32。

26．（2013湖南郴州，26,10分）如图，在直角梯形AOCB 中，AB ∥OC ，∠AOC =900，AB =1，
AO =2，OC =3，以O 为原点，OC 、OA 所在的直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A ，且经过点C 。

点P 在线段AO 上由A 向点O 运动，点Q 在线段OC 上由C 向点O 运动，QD ⊥OC 交BC 于点D ，OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点E . （1）求抛物线的解析式；
（2）点E /是E 关于y 轴的对称点，点Q 运动到何处时，四边形OEAE /是菱形？
（3）点P 、Q 分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t 秒.当t 为
何值时，PB ∥OD ？
解：（1）A （0，2）为抛物线顶点，设y =ax 2＋2 点C （3，0）在抛物线上，所以9a ＋2＋=0，a =－
29，所以抛物线解析式为：y =－2
9
x 2＋2 （2）如果四边形OEAE /是菱形，则AO 与EE /互相垂直平分
所以EE /经过AO 的中点，所以点E 的纵坐标为1，代入抛物线解析式，得－29
x 2
＋2=1 解得x
=±
E 在第一象限，所以点E
1） 设直线BC 的解析式为y =kx ＋b ，把B （1，2），C （3，0）代入得2
30
k b k b +=⎧⎨
+=⎩
解得k =－1，b =3，所以BC 的解析式为y =－x ＋3，同理，得OE 的解析式为y
=
3
x
联立两直线的解析式得，3
3
y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩
，解得67x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
所以Q 点的坐标为（
277-，0）故当Q 的坐标为（277
-，0）时，四边形OEAE /
是菱形
（3）设t 秒时PB ∥OD 。

因为QD ∥y 轴，所以∠APB =∠ODQ ，又因为∠BAP =∠DQO ，所以△APB ∽△QDO ，所以
AB AP
OD DQ
=
，因AB =1，AP =2，OQ =3－3t ，DQ =3t ，所以12333t t t =-，解得t =12，经检验，t =12是原方程的解，所以当t =1
2
秒时，PB ∥OD。