2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 一 2. 圆的参数方程 Word版含答案

2．圆的参数方程
[对应学生用书P17]
圆的参数方程
(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos
ωt ＝
x r
，sin
ωt ＝
y r
，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝rcosωt y ＝rsinωt
(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝rcos θ
y ＝rsin θ
(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．
(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x0＋Rcos θ
y ＝y0＋Rsin θ(0≤θ＜2π)．
[对应学生用书P17]
[
例
1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以
∠
MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．
[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，
设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.
(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝r ＋rcos φ，
y ＝rsin φ.
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则 参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ
(0≤θ＜2π)．
2．已知点P (2,0)，点Q 是圆
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ
y ＝sin θ
上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点M (x ，y )．则
⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2＋cos θ2
，
y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋1
2
cos θ，
y ＝1
2
sin θ，(θ为参数)
这就是所求的轨迹方程．
它是以(1,0)为圆心，以1
2为半径的圆.
[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．
[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．
[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－2
5≤2x ＋y ≤2
5.
即2x ＋y 的最大值为
2
5，最小值为－2
5
.
圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．
3．已知圆C ⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝－1＋sin θ
与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．
解：法一：∵⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝－1＋sin θ消去θ，
得x 2＋(y ＋1)2＝1.
∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a|
2≤1.
解得1－
2≤a ≤1＋
2.
法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0， 即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－
2sin(θ＋π
4
)．
∵－1≤sin(θ＋π
4)≤1，∴1－
2≤a ≤1＋2.
[对应学生用书P19]
一、选择题
1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )
A ．(0,2)
B ．(0，－2)
C ．(－2,0)
D ．(2,0)
解析：将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．
答案：D
2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ
化为x 2＋y 2
＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于
1
2
＝
22
<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C
3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ
y ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )
A ．相切
B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝9
5<2，故选
D.
答案：D
4．P (x ，y )是曲线
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋cos α，y ＝sin α
(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )
A ．36
B ．6
C ．26
D ．25
解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.
答案：A 二、填空题
5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，
令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±3
2.
∴交点坐标为(1，3)和(1，－
3)．
答案：(1，
3)；(1，－
3)
6．参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos φ＋4sin φ，
y ＝4cos φ－3sin φ
表示的图形是________．
解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆
7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 2
1－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．
解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )． 则⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝x21－y21＝cos 2θ，y ＝x1y1＝1
2sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos 2θ，y ＝1
2
sin 2θ，为所求．
答案：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos 2θy ＝1
2
sin 2θ
三、解答题
8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；
②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，
⊙O 的参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ.
②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，
∴M 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝6＋2cos θ2，
y ＝2sin θ
2，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝sin θ.
9．(
新课标全国卷
Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤0，π2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3
x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．
可得C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos t ，
y ＝sin t
(t 为参数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝
3，t ＝π
3
.
故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 10．已知直线C 1：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α
(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ
(θ为参数)．
(1)当α＝π
3
时，求C 1与C 2的交点坐标；
(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝π
3时，C 1的普通方程为y ＝
3(x －1)，
C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组错误!
解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫12，－32. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12sin2α，y ＝－12sin αcos α，
(α为参数)．
P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －142＋y 2＝116.
故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫14，0，半径为14的圆．。